河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)解析版
中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），则该双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增
函数”的一个函数可以是（ ）
（x）=loga（ax+t）（a＞0 且 a≠1）是“半保值函数”，则正实数 t 的取值范围是（ ）
A. （0， ]
B. （0， ）
C. （0，+∞）
D. （ ，+∞）
12. 已知椭圆 C1：
（a＞b＞0）与双曲线 C2：
有公共焦点，C2 的一
条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 C1 恰好将线段 AB 三等 分，则（ ）
（2）对数据作出如下处理：令 ui=lnxi，vi=lnyi，得到相关统计量的值如表：
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中
e=2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一 年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu
的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
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20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上， 且|MF|= ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA， MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
B.
C.
） D.
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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几 何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 函数 f（x）的定义域为 D，若 f（x）满足在 D 内是单调函数，且存在[m，n]⊆D 使
f（x）在[m，n]上的值域为[ ， ]，那么就称 y=f（x）为“半保值函数”，若函数 f
16. 已知函数
，若在区间（1，+∞）上函数 f（x）的图象恒在直线
y=2ax 的图象的下方，则实数 a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AC=4，cos∠CAB= ，点 D 在
线段 BC 上，且 BD= CD，AD= ．
=λ ，三棱锥 B-AHC 的体积等于三棱锥 O-DEF 的 体积，求 λ 的值．
19. 某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 x（单位：千 万元）对年销售量 y（单位：千万件）的影响，统计了近 10 年投入的年研发费用 xi 与年销售量 yi（i=1，2，…，10）的数据，得到如图散点图． （1）利用散点图判断，y=a+bx 和 y=c•xd（其中 c，d 为大于 0 的常数）哪一个更 适合作为年研发费用 x 和年销售量 y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说 明理由）．
A.
B. a2=12
C.
D. b2=1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足条件
则 z=3x-2y 的最大值为______．
14. 在三棱锥 D-ABC 中，AB=AC=AD= ，BC=BD=CD=2，则三棱锥 D-ABC 外接球的 表面积为______．
15. 在数列{an}中，满足 a1=1，a2=4.2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1（n≥2 且 n∈N*）， 则 a8=______．
（Ⅰ）求 AB 的长； （Ⅱ）求△ABD 的面积．
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18. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， FO⊥平面 ABCD，四边形 OAEF 为平行四边形． （Ⅰ）求证：平面 DEF⊥平面 BDF； （Ⅱ）若 AB=FO=BD=2，点 H 在线段 BF 上，且
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛 算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古
代数学的重要文献．这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学
拟从这 5 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著
高考数学三模试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x∈N|-1＜x＜3}，集合 B={x|0＜x＜π}，则 A∩B=（ ）
A. {x|0＜x＜3}
B. {0，1，2}
C. {1，2}
D. {x|0＜x＜π}
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1-i）=2+i，则在复平面内 的对应的点在（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在△ABC 中，若点 D 满足 =2 ，点 M 为 AC 中点，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（-x）=f（x），且函数 f（x）在（-∞，0）上
是减函数，若 a=f（-1），b=f（log2 ），c=f（20.3），则 a，b，c 的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
8. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积
，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ）
A.
B. 2
C. 2
D. 4
9. 已知数列{an}，{bn}满足 a1=b1=1，an+1-an= =3，n∈N*，则数列{ }的前 10 项的
和为（ ）
A.
21. 设函数 f（x）=aex-x，g（x）=blnx． （Ⅰ）设 h（x）=f（x）+g（x），函数 h（x）在（1，h（1））处切线方程为 y=2x-1 ，求 a，b 的值； （Ⅱ）若 a=1，k 为整数，当 x＞0 时，（x-k）f'（x）+x+1＞0 成立，求 k 的最大值 ．
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（文科）（三模）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.(5 分)已知集合A = {1, 2, 4, 8}, 3={)*=log 小.正A},则 AC1B=(A. {1, 2}B. {0, 1, 2, 3}C. {L 2, 3}D. {().3}【解答】解：A = {1, 2, 4, 8}, B={0,1, 2, 3}；•.•AC8={1, 2).故选：2.（5分）己知复数z 满足（2・D z=l+2/3为虚数单位），则z 的虚部为（A. 1B. - 1C. 0D. /)【解答】解：由（2・i ） z=l+2nl+2i (l+20(2+i) Si 得2 =打=(2r)(2+i) =5='则Z 的虚部为1.故选：A.3.（5分）函数y=A- - 2lr, （.veR ）的部分图象可能是（【解答】解：显然原函数是偶函数，立即排除D.取x=0,则），排除A・故选：C.4.（5分）在△A8C 中，角A, B, C 所对的边分别为s b 9c 若=c ・ bcosA .则7T A.—67T B.-47T c.—3n D・—12【解答】解:•/v ；3</sinB=c - bcos4,角B 等于（)由正弦定理可得：V^sia4sinB=sinC - sinFcosA./. V3sia4sinB+sinBco5i4 = sinC,VsinC=s in(A+B)=sin/lcosB+coSsinB,/.V3sin4sin5=siMcosB，VsinA^O..•.V5sinB=cos8，可得taiiB=孕,VBE(0.n).••・b=m故选：5.（5分）两个非零向量b满足诺+刎=福一州=2局,则向量b与，方夹角为（5 A.一7T6nB.-62C.-7T3nD.-3【解答】解：•.•两个非零向量"，E满足馈+；1=苻一；1=2赤如图.设OA=a.OB=b.贝lj OC=a+b9BA=a—b9则四边形OAC8为矩形BA=2OA.OB=yj^OA.设向量b与a-b夹角为S则NOBA=n・。
河南省郑州市高三第三次模拟考试数学(文)试题 扫描版
2016年高中毕业年级第三次质量预测数学(文科) 参考答案第Ⅰ卷一、选择题：第Ⅱ卷二、填空题:13．64 14. -15.16．三、解答题:17.（Ⅰ）———————2分因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,———————4分因为,所以.所以———————6分（Ⅱ）因为,所以,因为角A 为ABC 的内角,所以. ———————8分又因为所以由正弦定高考,得,也就是,因为,所以或. ———————10分当时,;当时,. ———————12分18.解 (1)k ＝55×50×30×75105×(10×30－20×452≈6.109＞3.841， ———————5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ———————7分(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个 ∴P (A )＝368＝92. ———————12分19.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，不妨设，为等腰直角三角形，，，E、F分别为BC、的中点，，，，有，，又平面ABC，，，平面AEF．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，，，…………………………………………………………（8分），，在中，，，………………（10分）设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．………………………………………………（12分）20.（I）由：知（0，1），设，因M在抛物线上，故①又，则②，由①②解得，椭圆的两个焦点（0，1），，点M 在椭圆上，由椭圆定义可得∴又，∴，椭圆的方程为：. ……………5分（II）设，由可得：，即由可得：，即⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，两式相加得，又点A，B在圆上，且，所以，，即，所以点Q总在定直线上. ……12分21. （Ⅰ）--------------------------------------3分---------------------------------------5分-------------------------------------6分（Ⅱ）----------------------------------------------7分------------------------8分-------------------------------------------9分----------------------------10分，，----------------------------------------------------------12分22．证明：(Ⅰ)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. ———————5分(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. ———————10分23．(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的直角坐标方程为———————5分(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为又圆C的圆心坐标为，半径r＝2，圆心到直线l的距离故直线l与圆C相交．———————10分24．。
河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．503．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n，且 a6 a8=4，则 a8（a4 2a6 a8）的值为（）}++ +A．2B．4C．8D．169．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣210．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体 A﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100π C． 200πD． 300π12．已知函数 f （x）=，且 f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为．三、解答题（本大题共7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和 n．={ b }S18．2012 年 3 月 2 日，国家环保部公布了新订正的《环境空气质量标准》，此中规定：居民区的 PM2.5 的年均匀浓度不得超出 35 微克 / 立方米．某城市环保部门在 2013年 1月1日到2013 年 4 月 30 日这 120 天对某居民区的 PM2.5 均匀浓度的监测数据统计以下：组别PM2.5 浓度（微克 / 立方米）频数（天）第一组（ 0， 35]32第二组（35，7564 ]第三组（75， 11516]第四组115以上8（Ⅰ）在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步剖析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本 PM2.5 的均匀浓度超出 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀浓度超出 115（微克 / 立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．12+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，20．已知点 P 是圆 F ：（x﹣1）=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与 PF1，PF2交于 M， N 两点．（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．2017 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．若会合 A={ x| x﹣ x2＞0} ， B={ x| （x+1）（m﹣x）＞ 0} ，则“m＞1”是“A∩B≠?”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【考点】 2L：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】会合 A={ x| x﹣ x2＞ 0} =（ 0，1）．对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m ）＜0，对 m 与﹣ 1 的大小关系分类议论，再利用会合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：会合 A={ x| x﹣x2＞ 0} =（0，1），对于 B：（x+1）（ m﹣x）＞ 0，化为：（x+1）（ x﹣ m）＜ 0，m=﹣1 时， x∈ ?．m＞﹣ 1，解得﹣ 1＜x＜ m，即 B=（﹣ 1， m）．m＜﹣ 1 时，解得 m＜x＜﹣ 1，即 B=（m，﹣ 1）．∴ “m＞1”? “A∩ B≠ ?”，反之不可立，比如取m=．∴ “m＞1”是“A∩ B≠ ?”的充足而不用要条件．应选： A．2．为认识600 名学生的视力状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分红几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40D．50【考点】 B4：系统抽样方法．【剖析】依据系统抽样的特色，求出分段间隔即可．【解答】解：依据系统抽样的特色，得；从 600 名学生中抽取 20 个学生，分段间隔为=30．应选： B．3．已知 z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣ 1，2）B．（﹣ 2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣ 2）【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义．【剖析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解： z=m﹣ 1+（m+2）i 在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞ 0，解得﹣ 2＜m＜1．则实数 m 的取值范围是（﹣ 2，1）．应选： B4．中国有个名句“运筹决胜之中，决胜千里以外”．此中的“筹”原意是指《孙子算经》中记录的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面长进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，以下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数同样，把各个数位的数码从左到右摆列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，比如 6613 用算筹表示就是：，则 5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】 F1：概括推理．【剖析】依据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则 5288 用算筹可表示为11，应选： C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】 GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【剖析】由已知利用引诱公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴ sin[﹣（﹣α）] =sin（+α）=﹣．应选： D．6．已知 f' （x）=2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（x）的图象在点A（1，f（ 1））处的切线的斜率为3，数列的前 n 项和为 S n2017），则 S 的值为（A．B．C．D．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】由题意可设f（x）=x2mx c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c + +的值，求出== ﹣，再由数列的乞降方法：裂项相消乞降，计算即可获得所乞降．【解答】解： f'（x）=2x+m，可设 f（ x）=x2+mx+c，由 f（ 0） =0，可得 c=0．可得函数 f（ x）的图象在点 A（1，f（1））处的切线的斜率为 2+m=3，解得 m=1，即 f（ x）=x2+x，则==﹣，数列的前 n 和 S n，S2017+⋯=1=．=1+ +故： A．7．如是某个几何体的三，个几何体体是（）A．B．C．D．【考点】 L!：由三求面、体．【剖析】由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．【解答】解：由三可知：几何体由一个半柱与三棱柱成的几何体．个几何体体 V=+ ×（）2×2=2+ ．故： A．8．已知等比数列 { a n } ，且 a6+a8=4， a8（a4+2a6+a8）的（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】 8G：等比数列的性．【剖析】将式子“a8 468）”睁开，由等比数列的性：若m， n， p， q∈++N* ，且 m+n=p+q，有 a m a n=a p a q可得， a8（a4+2a6+a8） =（ a6+a8）2，将条件代入获得答案．【解答】解：由意知： a8（a4+2a6+a8） =a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．应选 D．9．若实数 a、b、c＞0，且（a+c）?（a+b）=6﹣ 2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+ 1 C．2 +2 D．2﹣2【考点】 7F：基本不等式．【剖析】依据题意，将 2a+b+c 变形可得 2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式剖析可得2a b c=（ a c）（ a b）≥ 2=2，计算可得答案．+++++【解答】解：依据题意， 2a+b+c=（a+c） +（ a+b），又由 a、b、c＞0，则（ a+c）＞ 0，（ a+b）＞ 0，则2a b c=（ a c）（a b）≥ 2=2=2（﹣ 1）=2﹣2，+ ++ + +即2a b c 的最小值为 2﹣ 2，+ +应选： D．10．椭圆+=1 的左焦点为F，直线 x=a 与椭圆订交于点M、N，当△ FMN 的周长最大时，△ FMN 的面积是（）A．B．C．D．【考点】 K4：椭圆的简单性质．【剖析】设右焦点为 F′，连结 MF′，NF′，因为 | MF′|+| NF′|≥ | MN| ，可适当直线x=a过右焦点时，△FMN 的周长最大． c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y，即可得出此时△ FMN 的面积 S．【解答】解：设右焦点为F′，连结 MF′， NF′，∵MF′NF′≥MN，||+|| ||∴当直线 x=a 过右焦点时，△ FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得：△ FMN 的周长的最大值 =4a=4．c==1．把 c=1 代入椭圆标准方程可得：=1，解得 y=±．∴此时△ FMN 的面积 S==．应选： C．11．四周体 A﹣ BCD 中， AB=CD=10， AC=BD=2，AD=BC=2，则四周体A ﹣ BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC． 200πD． 300π【考点】 LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【剖析】由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x， y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，由此能求出球的半径，从而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采纳割补法，考虑到四周体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为 x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可获得一个长、宽、高分别为x，y，z 的长方体，而且 x2+y2=100，x2 +z2=136，y2+z2=164，设球半径为 R，则有（ 2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．应选 C．12．已知函数 f （x）=，且f=（）A．﹣ 2014 B．﹣ 2015 C．﹣ 2016 D．﹣ 2017【考点】 3T：函数的值．【剖析】推导出函数 f （ x） =1+，令 h（ x）+=，则 h（ x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f （x）=，=1++=1++，令 h（x） =，则 h（﹣ x）=﹣+=﹣ h（x），即 h（x）是奇函数，∵f=2016，∴ h=1+h（﹣ 2017）=1﹣h13．设变量 x，y 知足拘束条件：，则目标函数 z=x 2y的最小值为 4．+【考点】 7C：简单线性规划．【剖析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形联合获得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 A（ 2， 1），化目标函数 z=x+2y 为 y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为 4．故答案为： 4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数 m=．【考点】 9S：数目积表示两个向量的夹角．【剖析】利用两个向量的数目积的定义，两个向量的数目积公式，求得m 的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴= m+3=?2?cos30°，求得，故答案为：．15．在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是a，b，c，已知 b=a， A=2B，则 cosA=．【考点】 HP：正弦定理．【剖析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB= ，从而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵ b= a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB= ，∴cosA=cos2B=2cosB﹣1= ．故答案为：．16．在△ ABC中，∠ A=，O为平面内一点．且|| ，M 为劣弧上一动点，且．则 p+q 的取值范围为[ 1， 2]．【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义．【剖析】依据题意画出图形，联合图形，设外接圆的半径为r，对=p +q两边平方，成立 p、 q 的分析式，利用基本不等式求出p+q 的取值范围．【解答】解：以下图，△ ABC中，∠ A=，∴∠ BOC=；设 |=r，则 O 为△ ABC外接圆圆心；∵=p +q ，∴==r2，即 p2r2+q2 r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（ p+q）2=3pq+1；又 M 为劣弧 AC上一动点，∴ 0≤ p≤ 1， 0≤q≤ 1，∴ p+q≥2，∴ pq≤=，∴1≤（ p+q）2≤（p+q）2+1，解得 1≤（ p+q）2≤ 4，∴1≤ p+q≤2；即 p+q 的取值范围是 [ 1，2] ．故答案为： [ 1， 2] ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n } 是等差数列，首项a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 b n，求数列n的前n 项和n．={ b }S【考点】 8E：数列的乞降； 8H：数列递推式．【剖析】（1）设等差数列的公差为 d，首项 a1324的等比中项+即可求出公差 d，再写出通项公式即可，（ 2）化简 b n依据式子的特色进行裂项，再代入数列n的前n 项和 n ，利用裂{ b }S项相消法求出 S n．【解答】解：（1）设等差数列 { a n} 的公差为 d，由 a1=2，且 a3是 a2与 a4+1 的等比中项．∴（ 2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得 d=2，∴a n=a1+（n 1）d=2+2（n 1）=2n，（ 2） b n ====（），∴ S n=（+++⋯++）=（+）=18．2012 年 3 月 2 日，国家保部布了新修的《境空气量准》，此中定：居民区的PM2.5 的年均匀度不得超 35 微克 / 立方米．某城市保部在 2013 年 1 月 1 日到2013 年 4 月 30 日 120 天某居民区的 PM2.5 均匀度的数据以下：PM2.5 度（微克 / 立方米）数（天）第一（0， 3532 ]第二（35，7564 ]第三（75， 115]16第四115 以上8（Ⅰ）在 120 天中抽取 30 天的数据做一步剖析，每一抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的本 PM2.5 的均匀度超 75（微克 / 立方米）的若干天中，随机抽取 2 天，求恰巧有一天均匀度超 115（微克 / 立方米）的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率算公式； B3：分抽方法．【剖析】（Ⅰ）由 120 天中的数据中，各个数据之存在差别，故采纳分抽，算出抽比 k 后，可得每一抽取多少天；（Ⅱ） PM2.5 的均匀度在（ 75， 115] 内的 4 天 A，B，C，D， PM2.5 的均匀度在115 以上的两天 1，2，列出从 6 天任取 2 天的全部状况和足恰有一天均匀度超115（微克 / 立方米）的状况数，代入古典概型概率算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ） 120 天中抽取 30 天，采纳分抽，抽比 k==，第一抽取 32×=8 天；第二组抽取 64×=16 天；第三组抽取 16×=4 天；第四组抽取 8×=2 天（Ⅱ）设 PM2.5 的均匀浓度在（ 75， 115] 内的 4 天记为 A，B，C，D， PM2.5 的均匀浓度在 115 以上的两天记为 1，2．所以 6 天任取 2 天的状况有：AB，AC， AD， A1，A2，BC，BD，B1， B2， CD，C1，C2， D1，D2， 12，共 15 种记“恰巧有一天均匀浓度超出115（微克 / 立方米）”为事件 A，此中切合条件的有：A1，A2， B1，B2，C1， C2，D1，D2，共 8 种所以，所求事件 A 的概率 P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ ABC是等腰直角三角形，且斜边AB= ，侧棱 AA1=2，点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1上， AE=λ AA1（λ为实数）．（1）求证：无论λ取何值时，恒有 CD⊥ B1E；（2）当λ=时，求多面体 C1B﹣ECD的体积．【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【剖析】（1）由已知可得 CD⊥ AB．再由 AA1⊥平面 ABC，得 AA1⊥ CD．利用线面垂直的判断可得 CD⊥平面 ABB1A1．进一步获得 CD⊥B1E；（ 2）当λ=时，．再由△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，得 AC=BC=1．而后利用联合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，点 D 为 AB 的中点，∴ CD⊥ AB．∵AA1⊥平面 ABC，CD? 平面 ABC，∴ AA1⊥CD．又∵ AA1? 平面 ABB1A1，AB? 平面 ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面 ABB1A1．∵点 E 在线段 AA1上，∴ B1E? 平面 ABB1A1，∴CD⊥B1E；（ 2）解：当λ=时，．∵△ ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴ AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2上随意一点，点2 与点 1 对于原点对称，=8F F线段 PF2的垂直均分线分别与1， 2 交于M ，N两点．PF PF（ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上能否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．【考点】 KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程； KL：直线与椭圆的地点关系．【剖析】（1）判断轨迹方程是椭圆，而后求解即可．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2， 2），联立直线与椭y B x y圆方程，经过韦达定理，假定在y 轴上能否存在定点 Q（0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，利用，求得 m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点 M 的轨迹 C 的方程为．（ 2）直线 l 的方程可设为，设 A（ x1，1），（2，2），y B x y联立可得 9（1+2k2） x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假定在 y 轴上能否存在定点Q（ 0，m），使以 AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得 m=﹣1．所以，在 y 轴上存在定点 Q（0，﹣ 1），使以 AB 为直径的圆恒过这个点．21．已知函数 h（ x）=（x﹣a）e x+a．（ 1）若 x∈[ ﹣1，1] ，求函数 h（x）的最小值；（2）当 a=3 时，若对 ? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈ [ 1，2] ，使得 h（x1）≥ x22﹣2bx2﹣ ae+e+成立，求b的范围．【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】（1）求出极值点 x=a﹣1．经过当 a≤0 时，当 0＜ a＜2 时，当 a≥ 2 时，利用函数的单一性求解函数的最小值．（ 2）令，“对 ? x1∈[﹣1，1]， 2 ∈[ 1，2]，使得? x成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于 h（ x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．推出 h（x）min≥（） min．经过①当b ≤1时，f x②当 1＜b＜2 时，③当 b≥ 2 时，分别利用极值与最值求解 b 的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令 h'（x）=0 得 x=a﹣ 1．当 a﹣1≤﹣ 1 即 a≤ 0 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（ x）≥ 0，函数 h（ x）=（ x﹣a）e x+a 递加， h（x）的最小值为．当﹣ 1＜a﹣ 1＜1 即 0＜ a＜ 2 时，在 x∈[ ﹣ 1， a﹣ 1] 上 h'（x）≤ 0， h（x）为减函数，在 x∈ [ a﹣1，1] 上 h'（ x）≥ 0， h（ x）为增函数．∴ h（x）的最小值为 h （a﹣ 1）=﹣e a﹣1+a．当 a﹣1≥1 即 a≥ 2 时，在 [ ﹣ 1， 1] 上 h'（x）≤ 0，h（x）递减， h（x）的最小值为 h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当 a≤0时 h（x）的最小值为，当a≥ 2 时 h（x）的最小值为（1﹣ a）e a，当 0＜a＜2 时， h（x）最小值为﹣ e a﹣1a．++（2）令，由题可知“对? x1∈[ ﹣1，1] ，? x2∈[ 1，2] ，使得成立”等价于“f（x）在 [ 1，2] 上的最小值不大于h（x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最小值”．即 h（x）min≥f （x）min．由（ 1）可知，当 a=3 时， h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈1， 2，[]①当 b≤1 时，，由得，与 b≤1 矛盾，舍去．②当 1＜b＜2 时，，由得，与 1＜ b＜ 2 矛盾，舍去．③当 b≥2 时，，由得．综上， b 的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线的极坐标方程为ρ 2C sinθ﹣2cos θ =0．（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 订交于 A，B 两点，当θ变化时，求 | AB| 的最小值．【考点】 QH：参数方程化成一般方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）利用极坐标与直角坐标的转变方法，求曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin2θ﹣2tcos θ﹣1=0，利用参数的几何意义，求 | AB| 的最小值．222ρ ．θ【解答】解：（1）由ρsinθ﹣2cosθ ，得ρθ=0sin=2 cos∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2；=2x（ 2）将直线 l 的参数方程代入 y2，得22θ﹣2tcos θ﹣．=2x t sin1=0设 A，B 两点对应的参数分别为 t 1， t2，则，，==．当时， | AB| 的最小值为 2．第21页（共 23页）23．已知函数 f （x）=| x﹣5| ﹣| x﹣2| ．（1）若 ? x∈R，使得 f（ x）≤ m 成立，求 m 的范围；（2）求不等式 x2﹣8x+15+f （x）≤ 0 的解集．【考点】 R5：绝对值不等式的解法．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出 f （x）的分段函数的形式，求出 m 的范围即可；（2）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当 2＜x＜ 5 时，﹣ 3＜ 7﹣ 2x＜3，所以﹣ 3≤f（x）≤ 3，∴ m≥﹣ 3；（ 2）不等式 x2﹣8x+15+f（ x）≤ 0，即﹣ f（ x）≥ x2﹣8x+15 由（ 1）可知，当x≤2 时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15 的解集为空集；当 2＜x＜ 5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣10x+22≤0，∴；当 x≥5 时，﹣ f（x）≥ x2﹣8x+15，即 x2﹣8x+12≤ 0，∴ 5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．第22页（共 23页）2017年 5月 23日第23页（共 23页）。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
第 1 页，共 16 页
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017年省市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B ≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn ，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{an }，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年省市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B ≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A． B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn ，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A ．8．已知等比数列{a n }，且a 6+a 8=4，则a 8（a 4+2a 6+a 8）的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【考点】8G ：等比数列的性质．【分析】将式子“a 8（a 4+2a 6+a 8）”展开，由等比数列的性质：若m ，n ，p ，q ∈N*，且m+n=p+q ，则有a m a n =a p a q 可得，a 8（a 4+2a 6+a 8）=（a 6+a 8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a 8（a 4+2a 6+a 8）=a 8a 4+2a 8a 6+a 82， ∵a 6+a 8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M 为劣弧AC 上一动点， ∴0≤p ≤1，0≤q ≤1， ∴p+q ≥2， ∴pq ≤=，∴1≤（p+q ）2≤（p+q ）2+1， 解得1≤（p+q ）2≤4， ∴1≤p+q ≤2；即p+q 的取值围是[1，2]． 故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }是等差数列，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项．∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ， （2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．推出h（x）min ≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a 递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．即h（x）min ≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈[1，2]，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的围即可；（2）通过讨论x的围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log 2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{0，3}2．(★)已知复数z满足（2-i）z=1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．-1C．0D．i3．(★★)函数y=x 2-2 |x|（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．4．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinB=c-bcosA，则角B 等于（）A．B．C．D．5．(★★)两个非零向量，满足| |=| |=2| |，则向量与夹角为（）A．B．C．D．6．(★)下列说法正确的是（）A．命题p，q都是假命题，则命题“￢p∧q”为真命题B．将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4xC．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是奇函数D．函数的图象关于直线x=对称7．(★★)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．8πC．32πD．64π8．(★★)已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线C：y 2=8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2 ，则m等于（）A．B．2C．2D．29．(★)若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，3]C．[，1）D．（1，2]10．(★★)若将函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．(★★★)设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f'（x）＜-f（x），则使得（x 2-1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（-1，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（0，1）12．(★★★)如图，已知双曲线 C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若△ABF 1为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．(★★)已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 8 ．14．(★★)某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n= 11 ．15．(★★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，a=2，则sinB= ，则b= ．16．(★★)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a 1=3，对任意的正整数n满足S n+1=S n+ （2n-1）a n a n+1+a n，则a 19= - ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．(★★)已知数列{a n}是首项a 1= ，a 4= 的等比数列，设b n=-2-3log 4a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n= ，求数列{c n}的前n项和S n．18．(★★)2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：（I）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2= ，其中n=a+b+c+d．会参与不会参与男生6040女生2030P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87919．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，底面ABCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2 ，AB=AC=PA=2．（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若V M-PAC= V P-ACD，求三棱锥P-AMB的体积．20．(★★)已知椭圆C：，圆C 1：x 2+y 2=3，圆C 2：x 2+y 2=4，椭圆C与圆C 1、圆C 2均相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与圆C 1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求|AB|的最大值．21．(★★★)设函数f（x）=lnx+2x 2-（m-1）x，m∈R．（I）当m=6时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x 2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C 1：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线C 2：ρ2= ．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★)已知函数f（x）=|mx+1|+|2x-1|，m∈R．（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥恒成立，求m的最小值．。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={0,1，2，3}，则A∩B=()A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若z=−2+3ii(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. 2iB. −2iC. −2D. 23.函数e|x|3x的部分图象可能是()A. B.C. D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A=bsin A，且B>π2，则sin A+sin C 的最大值是()A. √2B. 98C. 1 D. 785.已知|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.下列说法正确的是()A. “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B. 若p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则¬p：∀x∈R，x2−x−1<0C. “若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”D. 若p∧q为假命题，则p,q均为假命题7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43 C. 83D. 1638. 已知直线y =kx +m(k >0)与抛物线C ：y 2=4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 等于( ) A. −√2 B. −2√2 C. −2√3 D. −2√69. 函数f(x)={ax 2+1,x ≥0(a +2)e ax ,x <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (−2,0)D. (−∞,−2)10. 将函数的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611. 函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x ∈R ，都有2f′(x)>f(x)成立，则( )A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定12. 如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±√3B. ±2C. ±√6D. ±√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a +b =______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =13，a =√2，b =√32，则sinB =______ 16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 3+a 4=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的首项为a 1=1，且a n+1=2(a n +1)(n ∈N ∗)．(Ⅰ)证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =log 2(a n+1+23)，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220 (Ⅰ)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(Ⅱ)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.100.050.0100.0050.001 k 2.706 3..841 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥A−BCDE中，侧面ABC⊥底面BCDE，△ABC是等边三角形，BE//CD，BC⊥CD，BC=CD=2BE=2，F是棱AD的中点．(1)证明：EF⊥平面ACD；(2)求三棱锥D−ACE的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆经过点M(−√2,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f(x)=ln(x+a)−x2−x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)=−52x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+a|x+1|，a>0．(1)若a=1，求关于x的不等式f(x)≤7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=−2+3ii =(−2+3i)(−i)−i2=3+2i，∴复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可．解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e3<1，排除A，当x→+∞时，e|x|3x→+∞，排除D，故选：C．4.答案：B解析：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键．根据正弦定理求出角B和A的关系，利用辅助角公式即可得到结论．解：∵acosA=bsinA，∴由正弦定理可得sinAcosA=sinBsinA,∴cosA=sinB,∴A=B−π2,C=3π2−2B，∴sinA+sinC=sin(B−π2)+sin(3π2−2B)=−2cos2B−cosB+1,当cosB=−14,(sinA+sinC)max=98，故选B．5.答案：B解析：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于基础题．由条件求得a⃗⋅b⃗ =3，再由cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，求得向量a⃗与b⃗ 的夹角．解：由于a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=2，所以a⃗⋅b⃗ =3，所以cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，所以<a⃗,b⃗ >=π3，故选B．6.答案：C解析：本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．根据充分必要条件、复合命题、含量词命题的真假判断对选项中的命题分析、判断正误即可．解：A.f(0)=0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)=x2，x∈R；函数f(x)是奇函数时，f(0)不一定等于0，如f(x)=1x，x≠0；是既不充分也不必要条件，故A错误；B.命题p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则￢p：∀x∈R，x2−x−1≤0，故B错误；C.若α=π6，则sinα=12的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，故C正确．。
河南省郑州市2017-2018学年高三数学三模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．1．设复数，则a+b=（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．“存在x 0∈R ，2X0≤0”的否定是（ ）A ．对任意的x 0∈R ，2X0＞0B ．存在x 0∈R ，2X0＞0C ．对任意的x 0∈R ，2X0≤0D ．不存在x 0∈R ，2X0＞03．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m ＞n 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+2B ．4π+2C ．2π+D ．4π+6．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2=2的一个焦点，则a 的值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S 的值是（ ）A．1007 B．2015 C．2016 D．30248．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．5010．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．若将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（）对称，则|φ|的最小值是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分的众数之和为．14．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．15．若关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0，当x∈（﹣∞，λ]时对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求ϕ的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．111，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别为BC、CC1的中点．（1）求证：B1E⊥平面AEF；（2）当AB=2时，求点E到平面B1AF的距离．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．1．设复数，则a+b=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b 的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b=1，故选A．2．“存在x0∈R，2X0≤0”的否定是（）A．对任意的x0∈R，2X0＞0 B．存在x0∈R，2X0＞0C．对任意的x0∈R，2X0≤0 D．不存在x0∈R，2X0＞0【考点】的否定．【分析】直接利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为称的否定是全称，所以“存在x0∈R，2X0≤0”的否定是：对任意的x0∈R，2X0＞0．故选：A．3．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，利用集合的基本运算即求出结论．【解答】解：M={x丨y=lg}={x丨＞0}={x|0＜x＜1}=（0，1），N={y|y=x2+2x+3}={y|y=（x+1）2+2≥2}=[2，+∞），∴∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞），∴（∁R M）∩N=[2，+∞）．故选：C．4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件m＞n的图形面积，及在区间[1，6]和[1，4]内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解．【解答】解：如图，则在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，故m＞n的概率P=，故选A．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C6．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2=2的一个焦点，则a 的值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标，列出方程求出a ．【解答】解：抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点为（0，），双曲线y 2﹣x 2=2的焦点为（0，±2）， ∵a ＞0，∴=2，∴a=，故选：D ．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S 的值是（ ）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．8．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△AB C==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．10．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣AB C =V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．11．若将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（）对称，则|φ|的最小值是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用图象变换的法则求出平移后函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出所得函数的对称中心，进而求得|φ|的最小值【解答】解：将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的函数解析式为y=2sin（3x﹣+φ）∵y=2sin（3x﹣+φ）的图象关于点（）对称，∴3×﹣+φ=kπ，（k∈Z）∴φ=kπ﹣∴|φ|的最小值是故选A12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110【考点】数列的求和；分段函数的应用．【分析】由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．【解答】解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分的众数之和为64．【考点】茎叶图．【分析】根据中位数与众数的定义，进行计算即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分的中位数是=35，乙运动员得分的众数是29，所以甲得分的中位数与乙得分的众数之和为35+29=64．故答案为：64．14．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣15．若关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0，当x∈（﹣∞，λ]时对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于x2+x≥（）n ma x对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由此求出λ的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]上恒成立，等价于x2+x≥（）n ma x对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，即x2+x≥对x∈（﹣∞，λ]恒成立；设y=x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，所以当x≤﹣时，左边是单调减函数，所以要使不等式恒成立，则λ2+λ≥，解得λ≤﹣1，或λ≥（舍）；当x＞﹣时，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，x2+x=﹣，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，二阶导数，得到一阶导函数有极大值点，根据f′（x）的单调性，只要，解出即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1，（x＞0），∴f′（x）=lnx﹣ax，，得一阶导函数有极大值点x=，由于f′（0）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→﹣∞，因此原函数要有两个极值点，只要解得，故答案为：（0，）．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求ϕ的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用诱导公式求得φ的值，可得函数的解析式．（II）由条件求得A，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B，再利用三角形内角和公式求得C的值．【解答】解：（I）∵=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），因为函数f （x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=﹣1，由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以，所以．（II）因为，所以，因为角A为△ABC的内角，所以．又因为，所以由正弦定理，得，也就是，因为b＞a，所以或．当时，；当时，．18．有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．1（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个∴P（A）==．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别为BC、CC1的中点．（1）求证：B1E⊥平面AEF；（2）当AB=2时，求点E到平面B1AF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理可证明B1E⊥EF，再由题意可得BB1⊥AE，从而证明B1E⊥平面AEF；（2）由条件知，，，从而可求得，再解△AFB1，从而可得，从而解得．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，不妨设|AB|=|AA1|=a，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵E、F分别为BC、CC1的中点，∴，，，∴，∴B1E⊥EF，又∵AE⊥BC，B1B⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，∴AE⊥面BCC1B1∴B1E⊥AE，AE∩EF=E，∴B1E⊥平面AEF．（2）解：由条件知，，，∵AE⊥EF，∴，在△AFB1中，，∴，设点E到平面B1AF的距离为d，则，∴，即点E到平面B1AF的距离为1．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点和准线方程，设M（x0，y0）（x0＜0），运用抛物线的定义求得M的坐标，由椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，c=1，求得b，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），运用向量共线的坐标表示，化简整理，运用平方差公式和点满足圆方程，代入即可得到所求定直线．【解答】解：（I）由C2：x2=4y知F1（0，1），准线为y=﹣1，设M（x0，y0）（x0＜0），因M在抛物线C2上，故，又，由抛物线的定义可得，解得，椭圆C1的两个焦点F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|==4，可得a=2，又c=1，则b2=a2﹣c2=3，椭圆C1的方程为：；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由=λ，可得，即为；由=﹣λ，可得，即为，①×③得：，⑤②×④得：，⑥又点A，B在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，所以，，⑤+⑥可得，3﹣3λ2=（x+3y）（1﹣λ2），由λ≠0且λ≠±1，可得x+3y=3，所以点Q总在定直线x+3y=3上．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）假设存在，根据x1+x2=2m，x1x2=1，得到消元得，根据f（x）的单调性判断函数无零点，得出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），，令h（x）=x2﹣2mx+1，△=4m2﹣4=4（m2﹣1），当△＞0即m＞1或m＜﹣1时，方程h（x）=0有两个根，设方程x2﹣2mx+1=0的两根是：x1，x2，且x1＜x2，解得：x1=m﹣，x2=m+，∴x1+x2=m，x1•x2=1，当△≤0时，即m∈[﹣1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，当m＜﹣1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，当m＞1时，△＞0，两根均为正，故f（x）在区间（0，m﹣），（m+，+∞）递增，在（m﹣，m+）递减；（2）由（1）知函数有两个极值点时m＞1且x1+x2=2m，x1x2=1AB斜率，若k=2﹣2m，则，两根均为正且x1x2=1，若x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，消元得，整理得x2﹣﹣2lnx2=0，由（1）知在区间（1，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（1）=0，函数没有零点，故这样的m值不存在．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得；当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得．综上可得，原不等式的解集为{x|}，（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年7月6日。