磁悬浮隔振系统非线性动力学建模与仿真
磁悬浮系统
则电磁铁绕组中的电压与电流的关系可表示如下：
(4)系统平衡的边界条件
小球处于平衡状态时，其加速度为零，由牛 顿第二定律可知小球此时所受合力为零。 小球受到向上的电磁力与小球自身的重力相 等，即：
(5)系统方程的描述
(6)系统控制模型的建立 定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压也即 控制电压 U in ，系统对象输出量为x 所反映出来的输 出电压为U out (传感器后处理电路输出电压)，则该 系统控制对象的模型可写为：
有开环系统的特征方程为： As2 − B = 0
2.系统物理参数
三、仿真及实验
1. 根轨迹分析
给系统施加脉冲扰动，输出量为小球质心和磁极 之间的气隙 考虑到输入r(s) = 0，结构图变换
2.完成报告内容
（1）对磁悬浮实际系统模型进行可控性分析。 （2）根轨迹校正 对于传递函数 设计控制器，使得校正后系统的要求如下： 调整时间ts= 0.2 s (2%) ； 最大超调量Mp≤ 10% 要求得到校正前后的根轨迹仿真图形，并在实 际系统上进行验证。
磁悬浮的根轨迹实时控制模块
磁悬浮球控制系统是研究磁悬浮技术的平台，它 是一个典型的吸浮式悬浮系统。
2.磁悬浮技术的应用领域
1) 磁悬浮列车 2) 磁悬浮轴承 3) 高速磁悬浮电机 4) 磁悬浮的其他应用领域 风洞磁悬浮系统、磁悬浮隔振系统、磁悬浮熔炼
3.系统组成
磁悬浮实验装置主要由LED 光源、电磁铁、光电 位置传感器、电源、放大及补偿装置、数据采集 卡和控制对象(钢球)等元件组成。它是一个典型 的吸浮式悬浮系统。系统组成框图见下图。
小球受到向上的电磁力与小球自身的重力相6系统控制模型的建立定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压也即控制电压系统对象输出量为x所反映出来的输出电压为uout传感器后处理电路输出电压则该系统控制对象的模型可写为
浮筏隔振系统动力学建模与软件开发
浮筏隔振系统动力学建模与软件开发浮筏隔振系统动力学建模与软件开发随着工业化进程的加速，机械设备的使用越来越广泛。
然而，机械设备的振动问题也随之而来，给生产、安全和环境带来了很大的威胁。
因此，隔振技术的研究和应用变得尤为重要。
浮筏隔振系统是一种常用的隔振技术，它通过将机械设备和地面隔离，降低机械振动的传递，从而减少振动对生产设备的影响。
为了更好地理解和优化浮筏隔振系统，需要进行动力学建模与软件开发。
动力学建模是分析系统动力学特性的重要工具。
对于浮筏隔振系统来说，动力学建模有助于了解系统的振动传递和控制机制。
首先，需要确定系统的力学原理。
浮筏隔振系统主要由弹簧、阻尼器和质量块组成。
弹簧用于支撑负荷，阻尼器用于减缓振动的衰减，质量块用于抵消机械设备的运动。
其次，通过应用牛顿第二定律，建立系统的运动方程。
最后，通过数学模拟方法求解运动方程，分析系统的振动响应。
动力学建模不仅可以帮助我们理解系统的行为，还可以指导系统设计与优化。
软件开发是实现动力学建模的关键步骤，它可以使系统的模型得以应用和传播。
软件开发需要分为几个步骤。
首先，需要选择适用的开发工具和编程语言。
随着计算机技术的快速发展，各种数学建模和仿真工具被广泛应用于工程实践。
其次，需要根据系统的物理特性和运动方程，编写数值求解算法。
常用的数值求解算法有欧拉法、龙格-库塔法等。
然后，需要进行软件的编码和调试，确保软件的正确性和稳定性。
最后，应该进行软件的测试和验证，验证软件的准确性和可靠性。
随着浮筏隔振系统的建模与软件开发，可以更好地应对机械设备振动问题。
首先，提高了隔振系统的设计精度和可靠性。
通过动力学建模，可以更准确地预测系统的振动响应，为系统设计提供有力的支持。
其次，加强了隔振系统的优化与控制。
通过动力学建模和软件开发，可以对隔振系统进行优化设计和控制策略的研究，从而使系统的隔振效果得到最大程度的提升。
最后，推动了隔振技术的研究与应用。
动力学建模与软件开发是隔振技术研究的重要组成部分，通过在实际工程中的应用，可以推动隔振技术的不断发展和应用。
数控机床用磁悬浮系统非线性动态积分滑模变结构控制
ｗ ｒ ｃｏｅ ｉ ｎ ｔ ｏｌ ｅｒ ｏ ｅ ｏ ｃｎｒｌ ｄｏｊｃ ｙｔｅ ｒｎｆｒ ｆ ｉｅ ｎ ａ ａ ａｌ ，ｒ ｇｌ ｏ ｌ ｅｒ ｔｅ ａｉ ｅｅ ｈｓｎａ ｇａ ｎｎｉ ａ ｍ ｄｌ ｆ ｏｔ ｌ ｂｅｔ ａｓ ｍ ｏ ｄｆｒ ｔｔ ｅｖｒ ｂ ｓ ｉｅｕａ ｎｎｉ ａ ｍａ ｍ ｔ ｍｉ ｎ ｏｅ ．Ｂ ｈ ｔ ｏ ｆｅ ｓｔ ｉ ｅ ｒ ｒ ｎ ｈ —
ＬＵ Ｃ ｕ ￣ ｇ Ｚ Ａ Ｇ Ｊ ｎ Ｃ Ｉ ｉｇｕ ｎ Ｉ ｈ ｎ ｎ ， Ｈ Ｎ ｉ ， Ｈ ｎｇ ａ ｇ ａ Ｑ （ ｃ ｏｌ ｆ ｌ ｔｃｌ ｎ ｉ ｅｉｇ ｈ ｎ ａ ｇＵ ｉ ｒ ｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ ， ｈ ｎ ａｇＬａｎｎ ８ ０，Ｃ ｉａ Ｓ ｈｏ ｏ ｅ ｒ ａ Ｅ ｇ ｅｒ ，Ｓ ｅｙｎ ｎ ｅｓ ｙ ｆ ｃ ｎｌ ｙ Ｓ ｅ ｙｎ ｉ ｉｇ１０ ７ Ｅ ｃｉ ｎ ｎ ｖ ｉ Ｔ ｏ ｏ １ ｈｎ ）
中 图分 类 号 ：Ｔ ２３ Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ ３ ８ （０ ２ ０ １— ８ １ ２ １ ）９— １ ４ ０ １—
Ｎｏ ｌｎ ａ ｎａ ｃ Ｉ ｔ ｇ ａ ｉ ｎ ｏ ｅ Ｃｏ ｔ ｏ ｏ ｈｅ ＮＣ ｏ ｎ ｉ ｅ ｒ ｄ ｎ ｒ ｌｆ ｒ ｔ Ｔｏ ｌ Ｍ ａ ｎ ｔｃ Ｌｅ ｉａ ｉ ｎ Ｓｙ ｔ ｍ ｇ ｅ ｉ ｖ ｔ ｔｏ ｓｅ
的影响有所转移 ，从而有效降低了滑模控制器抖振的发生 ；另外 由于在滑模切换 函数 中加入 了积分环节并且 是对非线性被
控对象直接进行控制 ，消除 了滑模控制的稳态误差和系统模型 的误差 。仿 真研 究结果表 明 ：所设计 的动 态积分滑模控制 器 比传统 的滑模控制器更好地实现 了系统 的稳定悬浮 ，具有很强 的抗扰性并能够使 系统具有较高 刚度 。 关键 词 ：悬浮气 隙；龙 门移动数控加工 中心 ；切削扰动 ；非线性系统 ；动态积分滑模控制器
磁悬浮轴承弹性转子非线性系统的建模与控制
Ｏ 引 言
近年 来 ， 由于磁 悬 浮 具 有 无 摩 擦 、 需 润 滑 、 无 低
耗 能 、 精 度 等 优 点 ， 广 泛 应 用 于 航 空 、 事 、 密 高 被 军 精 加 工 等 领 域 。 如 何 建 立 磁 悬 浮 系 统 的数 学 模 型 并 进 行 有 效 的 控 制 成 为 目前 研 究 的 焦 点 。 一 方 面 ， 对 针
型 、 性 与 刚 性 磁 悬 浮 模 型 所 需 控 制 量 的 大 小 进 行 弹 分 析 比较 。 轴 ， 平 方 向为 Ｄ 水 ｙ轴 。 在 圆 盘 运 动 的 任 意 瞬 时 ， 两 端 支 承 中 心 坐 标 分 别 为 Ａ ， 和 Ｂ （ ， ； （ Ｙ ） Ｙ ） 圆
ｎ ｔ ｏ ｃ ｎ ｈ ｅ ｉ ｉｉ ｆ ｂ ａ ｉ ｇ ｈ ｓ ａ ｇ ｅ ｔ ｉ ｆｕ ｎ ｅ ｏ ｈｅ ｅ ｉ ｆ ｒ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｆ ｘ ｂ ｌｔ ｏ ｅ ｒ ｎ ａ ｒ ａ ｎ ｅ ｃ ｎ ｔ ｍａ ｎｅ ｉ ｓ ｓ ｅ ｉ ｎ ｒ ｔ ｒ ｓ ｓ ｅ ， ｅ ｌ ｙ ｌ ｇ ｔｃ ｕ ｐ ｎｓｏ ｏ ｏ ｙ ｔ ｍ
、 、
作 者 简 介 ： 惠群 （ ９ ４ ）， ，教 授 ，博 士 生 导 师 。Ｅ ｍ ｉ ｕ ｎ ｈ ＠ １ ３ ｃ ｎ 袁 １５ 一 男 — ａｌ ａ — ｑ ６ ． ｏ ：ｙ
兵 工 学 报
浮 系 统 的 控 制 ， 所 周 知 。 磁 悬 浮 系 统 是 典 型 的 非 众
模 型 所 需 控 制 量 有 较 大 的 差 异 。 电磁 力 的 非 线 性 及 轴 承 的 弹 性 对 磁 悬 浮 系 统 影 响 较 大 ， 能 忽 略 ； 不 该结 果对 工 程 实际具 有 一定 的指 导 意义 。 关 键 词 ： 用 力 学 ；磁 悬 浮 轴 承 弹 性 转 子 ；陀 螺 效 应 ； 确 非 线 性 反 馈 应 精 中 图分类 号 ： ０ ９ ０ ３ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１０ —０ ３ ２ １ ） ２０ ４ — ０ ０１ ９ （０ １ ０ －２ ７０ ５
单自由度磁浮式系统的H∞控制及其仿真
在现代 控制理论 中 ， 对象数学 模型的建立必须 在其状态 空间精确 描述 的基 础上 ， 而在实际工程 中这种精确的数学模型（ 包括其结构及参 数） 是很难做到 的。由于被 控对象的复杂性 ， 常常要 用低阶的线性定常 集 中参数模 型来代 替实 际的高 阶非线性 时变分布参数模型 。 由此 引入了一个问题 ， 就是如何设计一种控制系统 ， 使得 当一定 范 围的参数不确 定性及一定 限度的未建模 动态存在时 ， 闭环系统仍 能保 持稳定并保证一定的动态性能 品质 。这样 的系统就称 为具有 鲁棒性的
相应地 ， 问题可以转化为具有 凸不确 定性 的约束条件， 即ｕ要
≥０ （ ９ ）
馏 一
≥ｏ
０
（ １ ｏ ）
… ）
在平衡点附４ ５ －阶 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 展开可得
ｌ ０ ） ＋ － 。 “ Ｔ ａ －
１
１
△ （ 卉 ； ）
ｍ ＋ ｚ 一 豪 ＿ ） ＝ 一 喊
很慢 ， 因此我们有 卢 ｌ ＞Ｏ ， ２ ＞Ｏ， 使得 ０ ≤ ｚ １ ｌ 且０ Ｅ ｘ ２ ２ 。
从而， 在Ｈ 控制器 的求解过 程 中， 需要 在 Ｏ ＜ ｘ ｌ ２ 口的假设下 同 时考虑如下约束条件， 即
ｍｇ— ． ２ ７ １ ２ ≥０
鲁棒控制理论 中的分析方法 主要有 Ｈ 控制理论 、 结 构奇异值方法 等 。其 中Ｈ 控制是对于一个有 限能量信号集 的干扰信 号 ， 设计 一个控 制器使 系统闭环稳定 且干扰对期望 输出 的影响 最小 。它是 以 Ｈ 范数 作为目 标 函数 的度量 来进行优化设 计控制器 的理论 ， 在系统频 域法和 鲁棒稳定性奇异值分析法基础上建立的最优控制理论。 Ｈ 控制最大 的一个特 点就是对系统模型 的鲁棒性 ， 也就是说 当系 统 的模 型在一定范 围 内摄 动变化 时 ， 系统仍能保 持 良好 的稳态性 能 。 Ｈ 控 制 自提 出以来 ， 得 到了人们 的广泛重视和研 究 ， 取得 了一系列 的 研究 成果－ － 。 ， 并且也 在实际工程领域 中获得 了成功 的应用 ” ， 所 以为 了 使 控制对象尽快恢 复到平衡位 置 ， 并抑制基 座的竖 向抖动 对其平衡 的 影响 ， 本文将尝试利用Ｈ 控制的优点设计磁力悬浮式系统的Ｈ 控制器。 ２、 模型转化与理论分析 文献 将 悬浮物体—— 控制对象视 为一个质点 ， 其运动方程为
主动磁悬浮系统的Matlab仿真研究
・9・
4 仿真研究
采用式 ( 8 ) 所示的 P I D 控制器 , 在 M atlab 环境 下用 Sim ulink 仿真工具对磁悬浮系统进行仿真 , 观 察其响应曲线 。仿真数据取自某磁悬浮轴承实验装 置 ,采用双电磁铁差动激磁 ,用于仿真的控制系统结 构如图 2 所示 。
系统有了较为满意的输出幅值 。 接下来调节微分时间常数 , 图 3 中同时画出了 闭环控制系统在 Td = 0. 000 05、 0. 000 06、 0. 000 07 时的单位阶跃响应 。从图中可以看出 , 随着微分作 用的加强 ,系统的超调量减小 ,稳定性提高 。 关于积分环节 ,这里需要说明的是 ,在文中第 3 部分已经从理论的角度论证了使得磁悬浮系统稳定 的必要条件是需要一个比例和 微分环节 。仿真结果表明 , 积 分环节对于改善系统性能的效 果不明显 , 积分作用过强反而 使系统稳定性变差 , 因此在这 里选择了较小的积分时间常数 Ti = 0. 000 01。积分环节的主 要作用是为了消除稳态误差 , 由于在对系统建模的过程中忽 略了很多因素 ,采用了一些理想化的模型 ,例如功放 只当成一个比例环节来处理 , 而在实际工程应用中 势必会有多种因素导致稳态误差的产生 , 这就需要 配合积分环节去调节 。因此在实际的控制系统中 , 积分环节是必不可少的 ,可根据实际情况 ,调节积分 时间常数 。 在完成以上的仿真实验后 , 又尝试了一种改进 型 PI D 结构 ,在原有的微分模块中加入了一个微分 限制环节 ,其本质就是在一般的 P I D 前面添加一个 一阶滤波环节来限制高频干扰的影响 。控制器传递 函数为 : 1 + Td s 1 (1 + ) ( 9) Gc ( s) = Kp 1 + eTd s Ti s 式中参数 e为微分增量系数 , 它的作用是可以有效 提高系统的性能 ,主要表现在使系统的阻尼特性变 好 ,超调量降低 。 改进型 P I D 控制系统框图如图 4 所示 。 改进型系统中比例系数与积分时间常数仍旧选 用先前 实 验 中 的 参 数 值 , 即 Kp = 1. 669 87, Ti = 01000 01,而微分系数的选择较原 P I D 系统有了较 大的变化 。 需要说明的是 , 在实验中发现 : 仅用比例环节 时 ,选取 Kp = 1. 669 87 的系统振荡最小 。由于控制 对象本身的不稳定性 , 参数变化范围过大会引起很 严重的振荡 , 因此选择原有比例系数是最合适的 。 此外 ,由于系统的改进是在微分环节中 ,所以积分环 节的影响较原 P I D 系统差别不大 , 所以同样沿用原 有参数 。
五自由度磁悬浮轴承转子系统的非线性动力学研究
五自由度磁悬浮轴承转子系统的非线性动力学研究摘要：研究了五自由度主动磁悬浮轴承—转子系统的非线性动力学特性，考虑了系统非线性因素的影响，由Taylor级数展开得到非线性电磁力的表达式，建立了五自由度磁浮轴承转子系统动力学模型和空间状态方程，用数值积分法对其进行分析。
通过Matlab软件编程，借助庞加莱影射和Lyapunov指数对系统的运动形态进行分析，结果发现在一定参数条件下，系统会出现分叉和混沌现象。
关键词：五自由度；磁悬浮轴承；转子系统；非线性；动力学Research On Nonlinear Dynamics Of Five-dof rRotor –Amb SystemAbstract: To study the nonlinear dynamical behaviors of Five-DOF AMB system, system’s non-linear dynamic characteristics was considered. System’s non-linear dynamics mathematical model was established，and used Taylor formula to transform it to non-linear form. The space state equations was given and analyzed by numerical method. Through Matlab programming, Poincare maps were given and Lyapunov index were calculated, and they were used to analyze the system’s dy namical behaviors. The result show that there existed bifurcation and chaos in the system when there were some definite parameters..Key words: Five-DOF AMB, Rotor system, Nonlinear, Dynamics0 引言主动磁悬浮轴承在工程中有着广泛的应用，但由于其大多数组成部分具有非线性特性，因而构成了一个非线性机电系统。
两级磁悬浮工作平台的动力学建模及模态分析
关 键 词 ： 级磁 悬 浮 工作 平 台 ； 两 强耦 合 ； 格 朗 日方 程 ； 力 学模 型 ； 态 分析 拉 动 模
中 图分 类 号 ： Ｐ ７ Ｔ ２３ 文献 标 ｎ ｍ ｃ Ｍ ｄｅｉ ａ ｄ Ｍ ｄ ｌＡｎａ ｙ ｉ ｆｔ ａ ｎ ｔｃ Ｐｌ ｔ ） ｔ Ｔｗｏ Ｓ ｓ ｅ ｓｏ ｓ ｎｇ ｌ ｓｓ ｏ ｈｅ Ｍ ｇ ｅ ｉ ａ ｅ、ｉｈ ｌ ， ｕ ｐ ｎ ｉｎ
维普资讯
文章编号 ：０ ．９ ４２ ０ ）２０ ０ ．３ １０１ ４ （０ ７０ ．０ １ ９ ０
两级磁 悬浮工作 平 台的动 力学建模及 模 态分析
欧 阳华 ， 群 明 ， 吉安 ， 李 段 万 梁
（ 中南 大 学 机 电 Ｘ 程 学 院 ， 沙 ４ ０ ８ ） － 长 １ ０ ３
摘 要 ： 级 磁 悬浮 工 作 平 台往 往 只 能 实现 一 维直 线 运 动 。 此 建 立 能 够 实现 平 面 运动 的 两 一 因 级 磁 悬 浮 工 作 平 台便 成 为 研 究 需 要 。以 一 个 两 级 磁 悬 浮 工 作 平 台为 对 象 ， 力学 、 理 与 从 物 控 制 等 基 本 原 理 出发 ，利 用 拉 格 朗 日方 程 ．建 立 了能 够 全 面反 映其 耦 合 特 性 的 动 力 学 方
程 。进 行 模 态分 析 后 发 现 两级 磁 悬 浮 平 台的 固有 频 率 和 振 型 随 上 悬 浮 平 台悬 浮 位 置 的 不
同 而 变化 很 小 平 台动 力 学方 程 的 建 立 和 模 态分 析 能 够 为 控 制 器 的 设 计 和 控 制 参 数 的 选
取 及 优 化 提 供 参 考
Ｏ Ｙ Ｎ ｕ ，ＩＱ ｎｍｉｇ Ｄ Ｎ Ｊ—ｎ ＷＡ ｉ ｇ Ｕ Ａ Ｇ Ｈ ａ Ｌ ｕ — ｎ ， ＵＡ ｉ ， Ｎ Ｌａ ａ ｎ
基于DSP和PWM技术的电磁悬浮隔振系统
为 空气 磁导 率 ； 为 磁极 总面 积 （ ；。 ｍ ） ， 为预 置 电流及 永磁 体 的等效 预置 电 流 之和 （ ； 为 Ａ） Ｎ 电 磁铁线 包 的 匝数 ； ｉ ｚ方 向电磁铁 的控制 电 流 （ ；。 为 Ａ） 为静平 衡 时 的气 隙 （ ； 为 方 ｍ） 向气 隙 的变化 （ 。若按 图 １ａ 中所 示方法选 取 ｏ点 ， ｍ） （） 即 １端面 上的 点作 为 ｚ 的原 点 ， ｚ 则 实际 就是 １与 Ｂ １之 间在 方 向 的气 隙 ， 即 一 ＋ 。 在上 述关 于均 匀磁 场和 气 隙变化 很小 的两个 假定 条 件下 ， 磁悬 浮 隔振 系 统可 用 如 下一 组
方 向的受 力情 况 。
１ ２ 数 学 模 型 ．
如 图 １ ａ 所 示 ， ， 分 别 为悬 浮体 和 电磁 铁 支座 在 某 惯性 空 间 ｏｙ （） ｘ ｚ中 方 向 的位 移 （ ， 中 ： 惯性 空 间 中的 任意 一点 ， 中 轴 没 有 画 出 ； 为悬 浮 体 在相 对 空 间 ０ Ｙ ｍ） 其 ０为 图 １ 中 方 向的位移 （ ； 电磁铁 支座 以及与其 固连 的框架 上 的任意一 点 ， 轴 也 没有 画 出 ； ｍ）ｏ为
力 学方程
电 学 方 程
主 一
一
（） １
（） ２
Ｕ ： ２ 一 ２ ｄ ｄ Ｒｉ Ｌ ｉ／ ｔ
联 方 合程
坐标 变换
收 稿 日期 ：０ ２ ０ — ３ 修 改 稿 收 到 日期 ： ０ ２ ０ — ６ ２ ０ — １２ ； ２０ —４１ 。
ห้องสมุดไป่ตู้
１２ １
振
动 、测
试
与
诊
断
第 ２ 卷 ２
非线性系统建模与仿真技术研究
非线性系统建模与仿真技术研究在现实生活中，很多系统并不是线性的，它们的行为无法简单地通过线性方程来描述和预测。
这就需要我们使用非线性系统建模与仿真技术来研究这些非线性系统。
本文将介绍非线性系统建模的基本原理和方法，并讨论仿真技术在非线性系统研究中的应用。
非线性系统建模是将一个非线性系统转化为数学模型的过程。
在非线性系统建模中，最常用的方法是利用微分方程来描述系统的动态行为。
对于复杂的非线性系统，可以使用基于物理原理的建模方法，如力学方程、电路方程等。
而对于一些相对简单的非线性系统，可以使用经验模型，通过拟合实验数据得到。
非线性系统建模的关键是确定系统的输入和输出变量以及它们之间的关系。
在这一过程中，需要考虑到系统中的非线性效应，如非线性动力学、非线性耦合等。
对于一些具有明显非线性特性的系统，我们可以使用常规的非线性建模方法，如多项式展开、傅里叶级数展开等。
而对于一些特殊的非线性系统，我们需要使用一些高级的建模技术，如神经网络、模糊逻辑等。
在建立了非线性系统的数学模型之后，我们就可以使用仿真技术来研究系统的性能和行为。
仿真是指通过计算机模拟的方式对系统进行分析和预测。
仿真技术可以帮助我们理解系统的动态特性、观察系统的稳定性、评估系统的性能等。
在非线性系统仿真中，最常用的方法是数值仿真。
数值仿真是一种离散化的方法，通过将时间和状态连续的系统离散化为一系列离散的时间和状态点来模拟系统的行为。
数值仿真的基本原理是通过离散化时间和状态，使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）来求解系统的微分方程，从而得到系统在不同时间点上的状态。
除了数值仿真外，还有一些其他的仿真技术可以用于非线性系统研究。
例如，基于平衡点分析的线性化仿真可以将非线性系统近似为线性系统，并通过线性系统的分析来研究非线性系统的行为。
此外，混沌仿真技术可以用于研究非线性系统的混沌特性，并分析混沌行为的规律和特征。
非线性系统建模与仿真技术在实际应用中有着广泛的应用。
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1
磁悬浮隔振平台结构设计及模态分析
定子及由矩形线圈、 永 磁悬浮隔振平台包括浮子、
磁体组成的作动器等， 见图 1 。洛伦兹力作动器作为实 现隔振的主要单元均具有一个自由度， 为实现空间六 自由度隔振， 配 8 个作动器共同作用。 在外界扰动下 定子发生六自由度移动及转动； 带线圈的浮子通过洛 伦兹力作用悬浮于定子上方， 因定子与浮子间存在供
式中： a 为浮子质心绝对加速度； ω 为浮子绕中心转动 角速度； J 为浮子的惯量张量。 据空间向量几何关系， 浮子质心绝对加速度为
→ · · → · · → · · → · · →
a = Ｒ NS + Ｒ SF + r + r c =
· ·T ·
· · T NS
Ｒ
T T T E + r E + （ ωT r T c ） e + ω （ ω rc ） e ≈ · ·T NS
Ｒ E + r T E + ωT （ r T c）
· ·
·
～Hale Waihona Puke TE式中： Ｒ NS 为惯性坐标系原点至定子坐标系原点向量； Ｒ SF 为定子原点到浮子原点初始向量； r c 为浮子原点至 质心向量； （ ）
据小角度假设简化得 （ 2）
Fig． 2 Modal analysis results of the stator
第 20 期
武倩倩等： 磁悬浮隔振系统非线性动力学建模与仿真
163
坐标系间变换关系为 e = TE （ 3） 作用于浮子的外力 F 包括直 设浮子的质量为 m， 接作用于浮子上的外力 F d ， 线缆产生的绕动力 F u 及作 …， 8 ） ； 浮子的总力矩 动器产生的主动控制力 F c （ c = 1 ， 线缆产生的力 包括直接作用的外力产生的外力矩 M d ， …， 8） 。 矩 M u 及作动器产生的主动控制力矩 M c （ c = 1 ， 浮子的运动微分方程可写为 F = ma = F d － F u + F c M = J ω + ω（ J ω） = M d － M u + M c
子本体坐标系的欧拉角， ω = ［θ x
θy
θ z］ 为浮子坐
T
标系下关于 xyz 轴的角速度。 定义惯性坐标系基向量 至平台本体系基向量间的转换矩阵为 T， 据欧拉角定义 及坐标系转换方式， 获得转换矩阵 T 的表达式为 c2 c3 T = s1 s2 c3 + s3 c1 － c1 s2 c3 + s3 s1 式中： c = cos（
据图 4 （ b ） 的作动力分布定义含力方向意义的作 （ 4） 动器各力向量为 F1x fc = ［ F2z F3y F4z F5x F6z F7y F8z ］ （ 11 ） 基于洛伦兹力原理， 作动器产生的力与电流 I、 磁 感应强度 B 及线圈有效长度 L 成正比， 因磁场的非线 性特性， 洛伦兹力亦具有非线性特性， 每个作动器产生 的作动力在数值上可表示为 F c = BIL （ 5） 作动力的方向矩阵为 （ 12 ） 式（ 11 ） 中每个作动力均可表示为式（ 12 ） 形式。 记
图2 定子模态分析结果
－ c2 s3 － s1 s2 s3 + c3 c1 c1 s2 s3 + c3 s1
s2 － s1 c2 （ 1 ） c1 c2
）， s = sin（ 1 T = s3 －s 2
2 = θy ， 3 = θz 。 ）， 1 = θx ， － s3 1 s1 s2 － s1 1
［1 － 3 ］
Muller 等［12］建立的三自由度主动隔振系统动力学
［13 － 14 ］ 模型， 仅描述竖直方向运动； Beadle 等 利用线动
。传统被动隔振方法不能隔离低频范围内的振
［4 ］
量、 角动量守恒建立六自由度运动微分方程， 用局部刚
［15 ］ 度及阻尼表示浮子、 定子关系 Zenga 研究主动隔振
→ → →
J
T 浮子本体坐标系 F 的基向量为 e = K］ ，
→
→
j
→
T 定义含浮子变化位置、 角度的状态空间列 k］ ，
x 阵 X =［
y
z
θx
θy
θ z］ ， x 其中 r = ［
T
→
y
T z］ →
为浮子坐标系 F 与定子坐标系 S 间相对位置变化量， θ =［ θx θy
T θ z］ 为惯性坐标系先后绕 Z － Y － X 轴浮 · · ·
图1
磁悬浮隔振平台结构示意图 （ 单位： mm） Fig． 1 Schematic diagram of maglev vibration isolation platform
为提高隔振平台结构刚度， 减小平台质量， 支撑板 采用刚度大、 质量小的蜂窝铝板材料。 由于隔振平台 的定子位于扰动源中， 定子的基频需大于隔振频率范 围， 磁悬浮隔振平台设计频率为 0． 1 ～ 100 Hz。为验证 定子结构是否满足要求， 建立蜂窝铝板结构的三维模 型， 借助有限元软件分析获得定子前三阶模态 ， 见图 2 。
（ 1． School of Mechatronics Engineering Harbin Institute of Technology，Harbin 150001 ，China； 2． China Academy of Launch Vehicle Technology Ｒesearch and Development Center，Beijing 100076 ，China）
动， 需采取主动隔振技术实现低频微振动有效隔离 燃烧等基础学科实验提供理想的微重力环境 应用广泛
［8 － 11 ］ ［5 － 7 ］
。
为材料、 流体、 磁悬浮隔振技术用于低频微振动隔离， 。磁 精密定位等领域 悬浮隔振平台在超静平台、 精密制造、 。磁悬浮主动隔振原理即利用电、 磁产 生的悬浮力抵消扰动力达到隔振目的。 该原理主要为 洛伦兹力原理及电磁力原理。 基于洛伦兹力原理， 驱 动力与电流的关系可近似为线性， 大大简化控制方法； 而电磁力原理具有明显的非线性， 影响平台的稳定性 能。因此， 本文以空间有效载荷在轨低频微振动为对 象， 用洛伦兹力原理实现振动隔离与抑制 。
基金项目： 国家自然科学基金 （ 51475117 ） ； 高等学校学科创新引智计划 （ B07018 ） ； 机器人技术与系统国家重点实验室 （ 哈尔滨工业大学 ） 自 主研究课题（ SKLＲS201301B） 收稿日期： 2014 － 12 － 11 修改稿收到日期： 2015 － 03 － 11 1988 年 12 月生 第一作者 武倩倩 女 ， 博士生， 1965 年 7 月生 通信作者 刘荣强 男 ， 教授， 博士生导师，
Nonlinear dynamics modeling and simulation of maglev vibration isolation system WU Qianqian1 ，CHEN Shang2 ，CHEN Yongqiang2 ，YUE Honghao1 ，LIU Ｒongqiang1
Abstract：
A six degrees of freedom maglev vibration isolation system was designed and analysed． The structure of
the maglev vibration isolation platform was designed ，and the stator of the vibration isolation platform，locating at the vibration source ，was analyzed by using finite element software． By analyzing the coupling characteristics of the system under the influences of different disturbing forces，a nonlinear dynamic model for control was established and nonlinear dynamics behaviors of the system were simulated． The results provide a basis for the design of control algorithms． Key words： magnetic levitation； micro vibration； modal analysis； dynamics modeling 空间低频微振动对高分辨率指向精度、 精密有效 载荷使 用 及 空 间 站 科 学 实 验 结 果 的 准 确 性 影 响 较 大
图3 隔振系统空间几何模型 Fig． 3 Space geometric model of the vibration isolation system
由于空 据空间几何建模方法描述空间位置向量， 间振动属微振动， 运动行程小于 5 mm， 定子与浮子间 相对转角较小， 建模时利用小位移小角度假设对运动 方程进行简化。 为获得系统状态空间方程， 本文中向 量均写成列矩阵形式。定义惯性坐标系 N 的基向量为 E = ［I ［i
振 第 34 卷第 20 期
动
与
冲
击 Vol． 34 No． 20 2015
JOUＲNAL OF VIBＲATION AND SHOCK
磁悬浮隔振系统非线性动力学建模与仿真
1 武倩倩 ，陈 2 2 1 1 尚 ，陈永强 ，岳洪浩 ，刘荣强
平台的动力学模型， 却未考虑线缆影响； Hampton 等
［16 ］
利用牛顿 － 欧拉方程建立磁悬浮隔振平台的六自由度 运动微分方程， 但动力学模型较复杂， 并无针对隔振平 台非线性动力学行为的仿真验证。任维佳等