湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第8讲 三角形(2)培优湘教版

D B C A
E
B C B E 第15题图
F
G
E
B
第8讲 三角形（2）
姓名：________
一、知识点
1.三角形的中线：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的中线的性质：1
2
BD DC BC ==
. 三角形有三条中线，它们交于同一点（重心）.
2.三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的 线段叫作三角形的高线（简称高）.
三角形的高线的性质：90AD BC ADB ADC ︒
⊥∠=∠=即.
三角形有三条高线，它们（或它们的延长线）交于同一点（垂心）.
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点 和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 三角形的角平分线的性质：1
2
BAD DAC BAC ∠=∠=
∠ 三角形有三条角平分线，它们交于同一点（内心）. 二、典型例题
【例１】已知在△ABC 中，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE=2，AD=3， 且△ABC 的周长为15，求BC 的长.
变式练习：△ABC 的周长为18，BE 、CF 分别为AC 、AB 边上的中线，BE 、CF 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点D ，且AF=3cm ，AE=2cm ，求AB 、AC 、BD 的长。

【例2】如图，AD 是△ABC 的中线，AB=6cm ，AC=5cm ，求△ABD 和△ADC 的周长的差。

变式练习：1、如图，BD 是△ABC 的中线，△ABD 和△BDC 的周长的差为3cm ，AB 的长为13cm ，求BC 的长。

2、如图，△ABC 中，AB=AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，求△ABC 各边的长。

3、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线把该三角形的周长分为15cm 和6cm 两部分，求这个等腰三角形各边的长。

【例3】如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ACD 的中线，已知DE=2， （1） 求BD 、BE 、BC 的长；
（2） 若△ACE 面积为4，求△ACD 、△ABC 的面积。

变式练习：1、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE 是△ACD 的边AC 上的中线，若
4ABC
S
∆=，则
ADE
S
∆=__________________；
2、如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，DE=2AE ，且
2
24ABC
cm S ∆=，则ABE S ∆=__________；
3、如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别在三边上，E 为AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，2BD DC =，
3GEC
S
∆=，4GDC S ∆=，则ABC ∆的面积是_____________；
4、如图 ，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆中线，
（1）15,35ABE BAD ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数；（2）在BED ∆中作BD 边上的高；（3）若ABC ∆的面积
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
E
D
O
C B
A
BD ，求点E到BC边的距离为多少？
为60，5
B
三、课堂练习
第23题图
F
D
C
B
O
1. 下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△ABD 中AD 边上的中线，若△ABC 的面积是24， 则△ABE 的面积是 ．
3. 如图，在△ABC 中，BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ， 则△PDE 的周长是 cm ．
4．已知，如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．
（1）求∠DAE 的度数；
（2）试写出∠DAE 与∠C ﹣∠B 有何关系？并说明理由.
5．如图所示，在△ABC 中，BP 和CP 是角平分线，两线交于点P ，试探求下列各图中∠A 与∠P 之间的关系．
（1）图1中∠P 与∠A 之间的关系: ； （2）图1中∠P 与∠A 之间的关系: ； （3）图1中∠P 与∠A 之间的关系: ．
四、课外作业
1.如图，△ABC 的角平分线BO 、CO 相交于点O ，∠A=120°，则∠BOC=_______ ．
2.如图，在△ABC 中，点E 是BC 上的一点，EC=2BE ，D 是AC 中点，点F 是BD 的中点。

若△ABC 的面积12ABC S ∆=，则ADF BEF S S ∆∆-= ．
3．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2， 则S 阴影= cm 2．
4.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1， 那么△A 1B 1C 1的面积是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．如图，将△ABC 的边AB 延长2倍至点A 1，边BC 延长2倍至点B 1，边CA 延长2倍至点C 1， 顺次连结A 1、B 1、C 1，得△A 1B 1C 1，再分别延长△A 1B 1C 1的各边2倍得△A B C 2，……，依次这样 下去，得△A n B n C n ，若△ABC 的面积为1，则△A n B n C n 的面积为 ．
6．如图，O 是等边三角形ABC ∆内任意一点，OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，，，AM 是BC 边上的高，试
说明：OD OE OF AM ++=。

7. 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，158FD AB ED AB AFD ⊥⊥∠=︒，，，求FDE ∠的度数.
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