信号与系统chap10

j0
1

j0 n Z e u n
z 1
根据
z 2 z cos 0 1 z z Z cos 0 n un 2 j0 j0 2 ze ze z 2 cos 0 z 1
1 e j0n e j0n 2 1 sin 0 n e j0n e j0n 2j cos 0 n
j
Re
1
（阶跃序列Z变换的ROC）
正弦、余弦序列
令 b j0 ，则 令 b j0，则
z bn b ① Z e u n z e z eb
j0 n Z e u n
z z e j0
z z e j0
z e
∞
∞
∞
Z xn xn1 z n1 xn1 1z n1 1 xn2 z n2
序列的收敛域大致有以下几种情况：
(1)对于有限长序列，其双边z变换在整个平面，可能不
含 0和 ∞ ；
没有正幂项
(2)对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域含∞； (3)对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域含 0即原点；
没有负幂项
(4)对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
X ( z)
n


x(n) z n
x(1) z x(0) x(1) z 1
正幂项 负幂项
结 论：
1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z ) 收敛。 2）仅仅由 X ( z ) 的表达式不能唯一地确定一个信

n
x t
xs t
x nT t nT



X s s x s t e st dt x nT t nT e st dt n

n

收敛域为
1 z 3 3
1 u1 n 3
n
1 un un 10 2
n
2n un 5 un 5
③
④
(3z)1 1 1 n 1 n X z z (3z ) 0 z 收敛域为 1 3z 3z 9 z 2 3 n 3 n 1
Z平面上那些能使 X ( z ) 收敛的点的集合，就构
成了X ( z ) 的收敛域（ROC）。
单位样值序列的Z变换
1 n 0
Z n
n0 n0
n n n n z 1
1
n
n
（与 z 无关， z 可取任意点值，收敛域为整个Z平面）
z r1 ROC
当 n1 0 时,由于 X ( z ) 的展开式中有若干个Z
的正幂项，此时 z 不能为 。
例如，因果序列的ROC是 某个圆的外部包括∞
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包 括 z 0。 例如，反因果序列的ROC是某个圆的内部包括0
n2 0 时，序列的收敛域不包括z =0

则 X ( z ) x(n) z
n n1
n
若 z r0 ROC，则有

n N1
x(n)r
n 1

n
0

n
如果r1 r0 ，则

n N1
x(n)r

n N1
x(n)r

0
r0 n ( ) r1
n N1
x(n)r

n
0
r0 n1 ( ) r1
ROC: 0 z
(n) 1
(n n0 ) z
ROC: 0 z , for n0 0 ROC: 0 z , for n0 0
0 z
有限长序列变换的收敛域是至少为
有限长序列的收敛域分以下几种情况： ① n1 0 时，序列的收敛域为：z 0 ，包括点 z ； z 不包括点 z ； ②n2 0 时，序列的收敛域为： 0 z 。 ③ n1 0, n2 0 时，序列的收敛域为：
[例]：求下列各式的Z变换，并注明其收敛域。 ① x n anu n bnu n 1 , b a, a 0 n x n 3 ② n 1 ③ u1 n
3
④
1 un un 10 2
号，只有X ( z ) 连同相应的ROC一道，才能与信
号 x(n) 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域。
4）如果 x(n) xi (n)，则其ROC是各个xi (n) 的 ROC的公共部分。若没有公共区域则表明 x(n)
i
的Z变换不存在。
5）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有




，可以得出
z sin 0 1 z z Z sin 0 nun 2 j 0 j 0 2j z e z e z 2 cos 0 z 1
例： sinn0 un 解： Z sinn0 un Z sinn0 cosun Z cosn0 sinun
z sin 0 cos z 2 z cos 0 sin 2 2 z 2 z cos 0 1 z 2 z cos 0 1
z 2 sin z sin 0 cos z cos 0 sin z 2 2 z cos0 1
z 2 sin z sin0 z 2 2 cos0 z 1
10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅 立叶变换的推广，也是采样信号的拉氏变换。 Z 变换的基本思想、性质及其分析方法都与 拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏
变换也存在着一些重要的差异。
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一.双边Z变换的定义:
4 有限长序列 xn ，只在 n1 n n2 上有值。
例：x(n) (n 1) (n) (n 1)
X ( z)
n
[ (n 1) (n) (n 1)]z
ROC: 0 z
n0

n
1 1 z z
ROC是否包括 z ，是 x(n) 是否因果的标志。 ROC是否包括 z 0，是 x(n)是否反因果的标志。
6. 双边序列的Z变换若存在，则ROC必为一环形区域
例. x(n) b , b 0
n
Im Z平面
x(n) b u(n) b u(n 1)
n
n
Re
b 1/b
1 b u(n ) , 1 1 bz
a 1
Case: 0<a<1
Re
见表5.2
j X ( z ) | X ( e ) 显然有 z e j
阶跃序列 x(n) u(n)
X ( z) z
n 0

n
1 1 1 z
z 1
此时，ROC不包括单位圆，所以不能简单地 从 X ( z ) 通过将
Z平面
Im
z
j 。 得到 X ( e ) e 1 X (e j ) ( 2 k ) j 1 e k 见表5.2
n
⑤
2n un 5 un 5
解：注意0 和∞处的收敛性。 ①
1 1 X z 1 az 1 1 bz 1
1
收敛域为
a z b
② X z 3n z n 3n z n
n n 0
8z 1 3 10 z 1 3z 2

x nT t nT e dt
st
n


x nT e snT
T 1 n X z x n z z es n
二. Z变换的收敛域（ROC）：
Z变换与DTFT、拉氏变换一样存在着收敛的问题。 1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 X ( z ) 收敛。
anu n
1 因果序列
X ( z) a z
n 0
x(n) a u(n)
n
n n
n
1 1 az 1
z a 时收敛
当 a 1 时， ROC包括了单位圆。 此时， x(n) 的DTFT存在。
1 X (e ) 1 ae j
j
Z平面
Im 单位圆
z a
n
n
1 n 1 n n X ( z) z 2 z n 0 2 n 1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2
1 ROC : z 2 2
Im
Z平面
Re
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2
一般情况下，双边序列 X ( z ) 的ROC是 Z 平
面上一个以原点为中心的圆环。
第10章
Z-变换
The Z-Transform
本章主要内容
1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，典型信号的ROC，零极点图。 3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 4. 由零极点图分析系统的特性。
5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。
6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。
0和∞处收敛性规律：
①n的取值范围包含n<0 时，则Z变换出现正幂项， 序列的收敛域不包括 z