2017_2018学年高中数学第三章导数应用2_2最大值最小值问题教学案北师大版选修2_2
2．2 最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34]求函数的最值[例1] (1)求函数f (x )＝x 3－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2， 所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝21－xx＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.已知函数的最值求参数的值[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )＋0 －f (x )－7a ＋b最大值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )－0 ＋f (x )－7a ＋b最小值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，则f (x )为增函数； 当0<x <1时，f ′(x )<0，则f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值． 解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.生活中的优化问题[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期里的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料．解析：设水箱底面边长为x dm ，则高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值． 解：(1)设日销售量为s ，则s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke 40，则k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －x －30－m e xe x 2＝10e 40×31＋m －x ex. 令y ′＝10e 40×31＋m －x ex＝0，则x ＝31＋m . 当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练十三]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.211e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．[1，e 2π]D.(1，e 2π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e 2π，f (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
2019_2020学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题课件北师大版选修2_2
解析：(1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商 品所获得的利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
间端点的函数值进行比较，其中最__大__的__值__即为函数的最大值． 4．函数的最小值点也具有类似的意义和求法．函数的_最__大__值___和_最__小__值___统称为
最值．
[双基自测]
1．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数，无最值
B．是减函数，无最值
C．有最大值
x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0,1]上是增加的，所以 f(x)在区间[0,1]上 的最小值为 f(0)＝－k； 当 0＜k－1＜1，ห้องสมุดไป่ตู้ 1＜k＜2 时，由(1)知 f(x)在[0，k－1]上是减少的，在(k－1,1] 上是增加的，所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek－1； 当 k－1≥1，即 k≥2 时，函数 f(x)在[0,1]上是减少的． 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)＝(1－k)e.
即若 3≤a＜92时，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)
高中数学第三章导数应用函数的极值教案北师大版选修
函数的极值课标要求 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
三维目标 1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
教材分析教材首先给出极值的定义,并指出极值是函数在一个适当区间内的局部性质,并通过例2,例3总结出求函数极值的步骤 学情分析学生已经掌握了导数和函数单调性的关系 教学重难点重点 : 利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 提炼的课题函数极值的概念 教学手段运用教学资源选择 专家伴读教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）观察1.3.1图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.<三>、讲解例题 例2, 例3,见课本例4 函数()31443f x x x =-+的极值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时: (1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四>、课堂练习1、求函数f(x)=3xx 3的极值2、思考：已知函数f （x ）=ax 3bxx 在x=2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。
高中数学新北师大版精品教案《2.2最大值、最小值问题》
课题：导数应用----利用导数证明函数不等式教学设计一、教学内容分析导数在现行高中数学教材中处于一种特殊地位，处于知识的汇合点，它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，能为研究函数的单调性、最值、不等式的证明等提供捷径。
有利于高中学生的后续学习，有利于发展高中学生的思维能力。
在近几年的高考中，利用导数研究函数最值，并利用最值解决函数不等式问题愈来愈成为命题专家关注的热点。
它已成为考查学生分析问题解决问题的重要内容。
本节课的构建和实施旨在解决学生在常见的几类函数不等式证明时的困惑，理顺函数不等式不同的结构特征所应采取的不同证明思路。
二、学情分析导数作为选修内容（文科选修1-1，理科选修2-2），无论是文科学生还是理科学生都存在对导数知识的学习和运用感到困惑的现象，对理解概念有一定的困难，虽然对求导公式及求导法则的掌握问题不大，但学生的分析问题，解决问题的能力有限。
由于在高考中，导数题一般是压轴题，比较复杂且综合性较强，学生没有足够的把握，只能听天由命。
但作为理科实验班的学生，在认知上应有所提高。
三、设计理念本节课是以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据，以高考动向和命题热点为指南进行设计的，针对学生的学习背景和现状，采取适时引导，层层推进；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会确实改变学生的学习方式，使他们感觉到解决所谓的难题不再遥远。
四、教学目标一知识目标在会利用导数求函数最值的基础上，进一步掌握利用函数最值证明有关不等式的方法。
二能力目标通过探究有关不等式的证明思路，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及对问题的灵活处理及转化能力．三情感目标通过对函数不等式的证明思路的探究和总结，引导学生合作交流的学习方式，培养学生的探索精神，,激发学生对数学的学习兴趣．五、教学重点与难点重点：对不等式适当变形后构造函数，再利用导数求函数最值。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。
让学生学会使用导数来求函数的最大值。
2. 教学内容：导数的定义和性质。
利用导数求函数的最大值。
3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。
介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。
章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。
让学生学会使用导数来求函数的最小值。
2. 教学内容：导数的定义和性质。
利用导数求函数的最小值。
3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。
介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。
章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。
让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。
2. 教学内容：函数的单调性。
利用函数的单调性来求函数的最大值。
3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。
介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。
章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。
让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。
2. 教学内容：函数的单调性。
利用函数的单调性来求函数的最小值。
3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。
介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。
章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。
让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。
2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。
利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。
3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。
介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。
章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值函数的极值教案北师大版选修2_220170927373
函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入1、常见函数的导数公式：C；(x n )'nx n1；(sin x )'cos x；；(cos x )'sin x；'0(lnx )'1x1(log ；(e x )'e x；(a x )'a x ln aa x)'log eax2、法则1 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)法则2 [u(x)v(x )]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x )]Cu'(x)法则3'''u u v uv(v0) v v23、复合函数的导数：y'''x y uu x4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间（二）、探究新课1、极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3、极大值与极小值统称为极值- 1 -在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x是极大值点，1x是极小值点，而f(x)> f(x) 441（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)a x1x2Ob xx3x4x5f(b)f(x2)f(a)4、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f (x0)0，且在x的两侧f(x)的导数异号，0则x是f(x)的极值点，(x)f是极值，并且如果f (x)在00x两侧满足“左正右负”，则x是f(x)的极大值点，(x)f是极大值；如果f (x)在0x两侧满足“左负右正”，则x是f(x)的极小值点，f(x)是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f/(x)；(2)求方程f/(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章 函数的最大值与最小值 第一课时参考教案
第一课时 函数的最大值与最小值（一）一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程： （一）、复习引入1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2、极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3、极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．（二）、探究新课1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值（三）、例题探析例1、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-值解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x 导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4例2、已知23()log x ax bf x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.解：设g (x )=xbax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件。
2021年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值、最小值问题课件1北师大版选修2_2
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概括总结
注意： 〔1〕函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须 是整个区间上所有函数值中的最小者。
〔2〕函数的最大值和最小值是比较整个定义区间 的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值 点附近的函数值得出的。
总结
＊ 函数的最大(小)值：
若x 0 是 y f(x)在 a,b上的最大(小)值点，则
f ( x0 ) 不小 (大)于 y f(x)在此区间上的所有函数值。
＊ 求最值的步骤： 〔1〕求 f (x)在 (a，b) 内的极值； 〔2〕将 f (x) 的各极值与 f (a)，f (b) 进展比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
最值。
分析：
最值是在极值点或者区间的端点取得 的，所以 要想求最值，应首先求出函数的极值 点，然后将所有的极大(小)值与端点的 函数值进展比较，其中最大(小)的值即 为函数的最大(小)值。
解： y
-2 o 4
x
3
求导得 f(x)3x24x
令 f(x)0，得
x1
0,
x2
4 3
+ 0 - 0+ -11 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 5
〔1〕随 x 的变化，容积 V 如何变化？
〔2〕截去的小正方形边长为多少时，容器的容积最 大？最大容积是多少？
分析：
解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关 系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的 变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最 值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函 数值写出最值。
高中数学 第三章 导数及其应用 第10课时 函数的最大值与最小值教学案1
第三章 导数及其应用第10课时 函数的最大值与最小值教学目标：1.理解函数的最大值和最小值的概念；2.掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤. 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学1.最大值：2.最小值：3.利用导数求函数的最值步骤：Ⅲ.数学应用例1：求函数243y x x =-+在区间[]1,4-上的最大值与最小值变式练习：求下列函数在所给区间上的最大值和最小值（1）()32f x x =+ []1,3x ∈-（2）1()f x x x =+ 1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （3）3y x x =- []0,2x ∈例2：求1()sin 2f x x x =+在区间[]0,2π上的最大值与最小值. 变式练习：已知()c x bx ax x f +-+=223在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求()x f 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 80 练习2(2),31.下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y =x 3－3x 2－8x +5在区间[－4, 4]上的最大值是 .3.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值（1）22y x x =- [0,3]x ∈（2）12x y x -=+ [0,2]x ∈ （3）1cos 2y x x =- [,]22x ππ∈- 4.把长度为L cm 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大?。
高中数学第3章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义3.2.2最大值最小值问题学案北师大版选修2_2
2.1 实际问题中导数的意义2.2 最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 导数的实际意义阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A.t＝1 s时的速度B.t＝1 s时的加速度C.t＝1 s时的位移D.t＝1 s的平均速度【解析】v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.【答案】 B教材整理2 函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为最值.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( )(2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( )【答案】(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.图321(1)求t 从1 s 变到3 s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W ′(1)，W ′(2)，并解释它们的实际意义. 【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.【自主解答】 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，功W 从W (1)＝11 J 变到W (3)＝21 J ，此时功W 关于时间t 的平均变化率为W （3）－W （1）3－1＝21－113－1＝5(J/s).它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W ′(t ).根据导数公式和求导法则可得W ′(t )＝3t 2－12t ＋16，于是，W ′(1)＝7 J/s ，W ′(2)＝4 J/s.W ′(1)和W ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，这个人每秒做的功分别为7 J 和4 J.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.[再练一题]1.已知某商品生产成本c 与产量q (0<q <200)的函数关系为c ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系为p ＝25－18q ，求利润L 关于产量q 的关系式，用L ＝f (q )表示，并计算f ′(80)的值，解释其实际意义.【解】 ∵f (q )＝p ×q －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ×q －(100＋4q )，∴f (q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴f ′(q )＝－14q ＋21，∴f ′(80)＝－14×80＋21＝1.说明产量q ＝80时，产量每增加1，利润也增加1..【导学号：94210063】【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.【自主解答】 ∵f ′(x )＝12x 2＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得2x 2＋x －6＝0，∴x ＝－2或32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表所示：∴f (x )在x ＝32处取极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－4.又∵f (－2)＝57，f (3)＝32，∴f (x )的最大值为f (－2)＝57，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1154.求f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值点； (2)求出f (x )在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.[再练一题]2.已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2，2])，f (x )的最小值为1，则m ＝__________. 【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈[－2，2]. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值， ∴f (0)＝m ＝1. 【答案】 1)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【精彩点拨】 (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6，从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增 单调递减由上表可得，x 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本.(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.[再练一题]3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去).因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.[探究共研型]探究1 已知函数f (x )＝x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，如何求实数a 的取值范围？【提示】 由f (x )＝a x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2（x 2－a ）x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.故a 的取值范围为[e ，＋∞).探究2 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题. 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可. 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可.以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0). (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0，2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围.【自主解答】 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(不合题意，舍去). 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g (t )在(0h (t )<－2t ＋m 在(0，2)内恒成立等价于g (t )<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m <0，∴m 的取值范围为(1，＋∞).1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.[再练一题]4.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围. 【解】 (1)存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.由g ′(x )>0，得x <0或x >23，又x ∈[0，2]，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，g (x )max＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max .由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞).[构建·体系]函数的最大（小）值与导数—⎪⎪⎪⎪—最值—⎪⎪⎪⎪—最大值—最小值—求最值的步骤与方法—导数在实际问题中的应用—实际问题中导数的意义1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8【解析】 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.【答案】 C2.函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2，3]上的最小值为( )【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】 因为y ＝x 4－4x ＋3，所以y ′＝4x 3－4.令y ′＝0，解得x ＝1.当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减；当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增，所以函数y ＝x 4－4x ＋3在x ＝1处取得极小值0.而当x ＝－2时，y ＝27，当x ＝3时，y ＝72，所以当x ＝1时，函数y ＝x 4－4x ＋3取得最小值0.【答案】 D3.函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值为________.【解析】 ∵y ′＝x ′·e x －x （e x ）′（e x）2＝1－xex，令y ′＝0，得x ＝1∈[0，2]. ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e 2，∴f (x )max ＝f (1)＝1e .【答案】 1e4.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6).令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.【答案】 65.已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a ). (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值. 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92， f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2，2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( ) A.有最大值，无最小值 B.有最大值、最小值 C.无最大值、最小值 D.无最大值，有最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍). 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0. 从而函数f (x )有最大值，无最小值，故选A. 【答案】 A2.一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t 单位：s)( )A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s ，1 s ，4 s【解析】 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t ＝1或t ＝4.【答案】 D3.(2016·温州高二检测)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A.0≤a <1B.0<a <1C.－1<a <1D.0<a <12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，则f ′(x )＝0有解，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1.故选B. 【答案】 B4.已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥32B.m >32C.m ≤32D.m <32【解析】 令f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3. 经检验，知x ＝3是函数的最小值点， 所以函数f (x )的最小值为f (3)＝3m －272.因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A.【答案】 A5.做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A.6 m B.8 m C.4 mD.2 m【解析】 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m).【答案】 C 二、填空题6.(2016·连云港高二检测)当x ∈[－1，1]时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是__________.【导学号：94210065】【解析】 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2·e x （e x ）2＝2x －x 2e x ，x ∈[－1，1]. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去). ∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e，∴函数f (x )＝x 2e x ，x ∈[－1，1]的值域为[0，e].【答案】 [0，e] 7.若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________. 【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意，∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.【答案】3－18.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________.【解析】 设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r ＞0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r ＞0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr2，令S ′＝0，解得r＝3.当0＜r ＜3时，S ′＜0；当r ＞3时，S ′＞0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.【答案】 3 三、解答题9.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x (80<x <100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率.【解】 c ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5 284100－x ′＝ 5 284（100－x ）2，∴c ′(90)＝ 5 284（100－90）2＝52.84，c ′(98)＝5 284（100－98）2＝1 321.故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为50.84元/t ；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.10.设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值. 【解】 易知f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2（2x ＋1）（x ＋1）2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减. (2)由(1)知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 2＋14.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝116＋ln 72. [能力提升]1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元【解析】 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去). 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】 D2.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若存在x 0∈[－1，4]，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：94210066】A.2≤a ≤52B.－232≤a ≤52C.2≤a ≤16D.－232≤a ≤16【解析】 ∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.【答案】 D3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0).因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3.所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0).所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0，20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， 所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小. 【答案】 204.(2016·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .【解】 (1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0).故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.设t ＝cos x ，则t ∈[－1，1] 令g (t )＝2at 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得最小值，最小值为g ⎝⎛⎭⎪⎫1－α4α＝－（α－1）28α－1 ＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)＞g (1)>g ⎝⎛⎭⎪⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0， 所以A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α. 综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)·sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A .当15<α＜1时，A ＝α8＋18α＋34>1， 所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .。