2017_2018学年高中数学第三章导数应用2_2最大值最小值问题教学案北师大版选修2_2

2．2 最大值、最小值问题

[对应学生用书P33]

1．问题：如何确定你班哪位同学最高？

提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．

2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．

问题1：试说明y＝f(x)的极值．

提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．

问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？

提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．

问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．

提示：在极值点或端点中．

1．最值点

(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．

(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．

2．最值

函数的最大值与最小值统称为最值．

(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．

(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函

数值中的最大、最小值．

(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．

[对应学生用书P34]

求函数的最值

[例1] (1)求函数f (x )＝x 3

－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；

(2)求函数f (x )＝1

2x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．

[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3

－12x 2－2x ＋5，

所以f ′(x )＝3x 2

－x －2.

令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2

3

，x 2＝1.

因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝157

27，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，

所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝1

2x ＋sin x ，

所以f ′(x )＝1

2

＋cos x ，

令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π

3.

因为f (0)＝0，f ⎝

⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4π3＝2π3

－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；

(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；

(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．

1．函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2

－6x ＋6＝3(x －1)2

＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－6

2．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝2cos 2x －1.

令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2， 解得x ＝－π6或x ＝π

6

.

而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π

6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6

，

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2

＝－π2

， 所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2

.

3．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝1

2时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．

解：当a ＝12

时，f (x )＝

2

1－x

x

＋ln x ，

f ′(x )＝x －2

x

2，

令f ′(x )＝0，得x ＝2.

当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )

极小值

＝f (2)＝ln 2－1.

∵f (1)＝0，f (e)＝2－e

e <0，

∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.

已知函数的最值求参数的值

[例2] 已知函数f (x )＝ax 3

－6ax 2

＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．

[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2

－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．

①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：

x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )

＋

0 －

f (x )

－7a ＋b

最大值

－16a ＋b

∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.

又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.

②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：

x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )

－

0 ＋

f (x )

－7a ＋b

最小值

－16a ＋b

∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.

又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.

综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.

[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．

4．如果函数f (x )＝x 3

－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最

小值是________．