2017_2018学年高中数学第三章导数应用2_2最大值最小值问题教学案北师大版选修2_2

2．2 最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34]求函数的最值[例1] (1)求函数f (x )＝x 3－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2， 所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝21－xx＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.已知函数的最值求参数的值[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )＋0 －f (x )－7a ＋b最大值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )－0 ＋f (x )－7a ＋b最小值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，则f (x )为增函数； 当0<x <1时，f ′(x )<0，则f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值． 解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.生活中的优化问题[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期里的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料．解析：设水箱底面边长为x dm ，则高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值． 解：(1)设日销售量为s ，则s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke 40，则k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －x －30－m e xe x 2＝10e 40×31＋m －x ex. 令y ′＝10e 40×31＋m －x ex＝0，则x ＝31＋m . 当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练十三]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.211e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．[1，e 2π]D.(1，e 2π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e 2π，f (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。