2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷
（第 25 题图）
线段 BM 交边 AC 于点 G，求 EF 的值． DF
23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 9 分） （第 22 题图）
已知：如图，点 E 为□ABCD 对角线 AC 上的一点，点 F 在线段 BE 的延长线上，且 EF=BE，
线段 EF 与边 CD 相交于点 G．
（1）求证：DF//AC；
于点 F，联结 CF，那么线段 CF 的长度为 ▲ ．
（第 15 题图）
（第 17 题图）三、解答题Βιβλιοθήκη （本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： (
3)0
2(
2
1）+
1 3
2
1
82
．
（第 18 题图）
初三数学试卷 —2—
20．（本题满分 10 分）
解方程：
2x x
（备用图）
初三数学试卷 —4—
（备用图）
（C）棱 GH；
（D）棱 GF．
6．如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点 D 在
H E
G F
C D
A
B
（第 5 题图）
边 AC 上（不与点 A、C 重合），DE 与 AB 相交于点 F，
那么与△BFD 相似的三角形是
（A）△BFE；
（B）△BDC；
（C）△BDA；
（D）△AFD．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答
题纸的相应位置上】
1．下列各运算中，正确的运算是
（A） 5 3 3 5 8 8 ；
（B） (3a3 )3 27a9 ；
（C） a8 a4 a2 ；
（D） (a 2 b2 )2 a 4 b4 ．
2．如果 a b ，那么下列结论不正确的是
（A） a 3 b 3 ； （B） a 3 b 3 ； （C） 3a 3b ；
（D） 3a 3b ．
3．成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克，数据“0.0000046”用科学记数法表示为
（A） 46 107 ；
（B） 4.6 107 ；
的面积是 ▲ 平方厘米．
17．如图，已知在△ABC 中，∠A＝70°，⊙O 截△ABC 三边所得弦长相等，那么∠BOC= ▲ 度．
18．如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，BC=4，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转，点 A、B、D 的对应
点分别为 A’ 、B’、 D’，当 A’ 落在边 CD 的延长线上时，边 A’ D’ 与边 AD 的延长线交
（第 21 题图）
22．（本题满分 10 分，其中第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分） 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD 平分∠BAC，交边 BC
于点 D，过点 D 作 CA 的平行线，交边 AB 于点 E． （1）求线段 DE 的长； （2）取线段 AD 的中点 M，联结 BM，交线段 DE 于点 F，延长
（2）如果 AB=BE，DG=CG，联结 DE、
CF，求证：四边形 DECF 是矩形．
（第 23 题图）
初三数学试卷 —3—
24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A（−3,0）和点 B，
与 y 轴相交于点 C（0,3），抛物线的顶点为点 D． （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD、AC、CD，求∠DAC 的正切值； （3）如果点 P 是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移 m 个单位
（C） 4.6 106 ；
（D） 0.46 105 .
4．如果数轴上表示 1 和 3 的两点分别是点 A 和点 B，那么点 A 和点 B 之间的距离是
（A） 4 ；
（B） 2 ；
（C）2；
（D）4.
5．已知长方体 ABCD-EFGH 如图所示，那么下列各条棱中与
棱 GC 平行的是
（A）棱 EA；
（B）棱 AB；
7． 8 的立方根为 ▲ ．
（第 6 题图）
初三数学试卷 —1—
8．方程组
x y 3, xy 2
的解是
▲
．
9． 直线 y=－2x－3 的截距是 ▲ ．
10．某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m，那么该商品现
在的价格是 ▲ 元（结果用含 m 的代数式表示）．
11．已知函数
f
(x)
x 2
1 x
，那么
f（－2）=
▲
．
12．在五张完全相同的卡片上，分别画有：线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆，如果从中随机
抽取一张，那么卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ▲ ．
13．某班 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计如下：
（m>0），使平移后新抛物线经过点 P，求平移距离．
（第 24 题图）
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D 是边 AB 的中点，点 E 为
边 AC 上的一个动点（与点 A、C 不重合），过点 E 作 EF∥AB，交边 BC 于点 F．联结 DE、 DF，设 CE=x．
进球数
1
2
3
4
5
7
人数
1
1
4
2
3
1
这 12 名同学进球数的众数是 ▲ ．
14．已知扇形的弧长为 8，如果该扇形的半径为 2，那么这个扇形的面积为 ▲ ．
15．如图 ，点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作 EF∥BC，分别交 AB、AC 于点 E、F，如果 BC a ，那么 FE ▲ ．
16．如果直角梯形的两腰长分别为 8 厘米和 10 厘米，较长的底边长为 7 厘米，那么这个梯形
1
3x 2x
1
2
．
21．（本题满分 10 分，其中第（1）小题 7 分，第（2）小题 3 分） 甲、乙两辆汽车沿同一公路从 A 地出发前往路程为 100 千米的 B 地，乙车比甲车晚出发
15 分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用 y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间 x（分 钟）之间的函数关系如图所示. （1）分别求出 y1、y2 关于 x 的函数解析式并写出 定义域； （2）乙车行驶多长时间追上甲车？
浦东新区 2019 学年度第二学期初三学科综合练习
初三数学 试卷
考生注意： 1．本试卷共 25 题，试卷满分 150 分，考试时间 100 分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤．
上海市松江区2020年中考数学三模试卷含答案解析
上海市松江区2020年中考数学三模试卷（解析版）一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．2．如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞3．数据﹣2，﹣2，2，2的中位数及方差分别是（）A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．0，4 D．﹣2，24．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y=﹣B．y= C．y=﹣（x＞0）D．y=（x＜0）5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD相交于点O，已知△AOD和△AOB的面积分别为2和4，则△ACD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，则圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：=．8．分解因式：4x2﹣y2=．9．已知函数f（x）=，那么f（10）=．10．函数中自变量x的取值范围是．11．方程的根是．12．不等式：＜的解集是．13．在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机的摸取一个球，摸到的是黄球的概率是．14．已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），则一次函数解析式为．15．如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在AB、AC上，设=，=，那么=．（用、表示）16．学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制一幅不完整的统计图（如图所示）．已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息，可得该班步行上学的有人．17．当相交的两个圆，其中任意一个圆的圆心都在另一圆的外部时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别为3和4，且两圆“外相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是．18．如图，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着C点旋转，使得B 点落在AB上的B′处，A点落在A′处，则AA′=．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算： +（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+）0．20．解分式方程：．21．现要建造一段铁路，其路基的横断面ABCD是等腰梯形，上底CD=8米，高DH为2.5米，坡度i=1：1.2．（1）求路基底AB的长；（2）一段铁路长为2000米，工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，原计划需要55天，但在开工时，甲工程队改进了设备，工作效率提高了25%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（路基的土方=路基的横断面的面积×路的长度）22．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A点，y轴交于B点．已知点C的坐标为（3，6），CD=2BC．（1）求点D的坐标及一次函数的解析式；（2）求△COD的面积．23．如图，已知△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着EF折叠，使点B落在边AC上，记为点D，且DF=DC．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）求证：=．24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结AC，求∠BAC的正切值；（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．25．如图，▱ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E 不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．2020年上海市松江区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．【分析】根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、=0.1235，故本选项正确；B、=0.111111…，故本选项错误；C、=0.083333…，故本选项错误；D、=0.066666…，故本选项错误；故选A．【点评】本题主要考查了有理数，用到的知识点是有理数的除法法则，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键．2．如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞【分析】根据不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），故A正确；B、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；C、c＜0时，不等号的方向改变，故C错误；D、c＜0时，不等号的方向改变，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．3．数据﹣2，﹣2，2，2的中位数及方差分别是（）A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．0，4 D．﹣2，2【分析】直接利用中位数的定义以及结合方差公式分别分析得出答案．【解答】解：∵﹣2，﹣2，2，2的中间是﹣2和2，∴该组的中位数是：0，平均数为：0，方差为： [（﹣2﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2（2﹣0）2]=4．故选：C．【点评】此题主要考查了中位数以及方差，正确把握相关定义是解题关键．4．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y=﹣B．y= C．y=﹣（x＞0）D．y=（x＜0）【分析】根据反比例函数的性质：k＞0，图象在每一象限内y随x的增大而减小，可得答案．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大，故A错误；B、y=中k=1＞0，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而减小，但函数在x的整个取值范围内并不满足y随x的增大而减小，故B错误；C、y=﹣中k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大，故C错误；D、y=中k=1＞0，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0，图象在每一象限内y随x的增大而减小，k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大．5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD相交于点O，已知△AOD和△AOB的面积分别为2和4，则△ACD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意求出△ADB的面积，根据等底同高的三角形的面积相等解答即可．【解答】解：∵△AOD和△AOB的面积分别为2和4，∴△ADB的面积为6，∵AD∥BC，∴△ACD的面积=△ADB的面积=6，故选：D．【点评】本题考查的是梯形的性质和三角形的面积计算，掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．6．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，则圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB，并作点O关于AB的对称点O′，设⊙O的半径为R，则OD=，可得OO′，利用圆和直线的位置关系可得结论．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，并作点O关于AB的对称点O′，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，△ABC为正三角形，则OD=AOsin30°=R，∴OO′=R，∴圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是在圆上，故选B．【点评】本题主要考查了圆和直线的位置关系，掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；①点P在圆内⇔d＜r是解答此题的关键二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：=5．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：原式==5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．8．分解因式：4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）．【分析】没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．9．已知函数f（x）=，那么f（10）=2．【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（10）==2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键．10．函数中自变量x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．11．方程的根是x=10．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x﹣1=9x=10．检验：当x=10时，原方程的左边=3，右边=3∴x=10是原方程的根．故答案为：10．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，要把求得的x的值代入原方程进行检验．12．不等式：＜的解集是x＜2．【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可．【解答】解：去分母，得3x﹣6＜4﹣2x，移项合并，得5x＜10，系数化为1，得x＜2．故答案是：x＜2．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意在不等式两边都除以一个负数时，应改变不等号的方向这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：①在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；②在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；③在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机的摸取一个球，摸到的是黄球的概率是．【分析】先求出球的总个数，再用黄球的个数÷球的总个数可得黄球的概率．【解答】解：∵一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的红球4个、白球5个、黄球3个，共12个，∴从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是=，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），则一次函数解析式为y=x+3．【分析】先根据截距可确定b的值，利用待定系数法可求得一次函数的解析式．【解答】解：因为一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3，所以b=3，设一次函数的解析式为y=kx+3，把x=1，y=4代入解析式可得：4=k+3，解得：k=1所以一次函数的解析式为：y=x+3，故答案为：y=x+3【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答本题要注意待定系数法求一次函数的解析式．15．如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在AB、AC上，设=，=，那么=﹣．（用、表示）【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得与的数量关系，然后再根据=﹣，可得与、的数量关系．【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点F．∵DE∥BC，∴AG：AF=DE：BC；又∵点G是△ABC的重心，∴AG：AF=2：3，∴DE：BC=2：3；即：=2：3；∵=﹣，∴=（﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了三角形的重心、平面向量．在解答此题时要注意两点：①三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AG：GF=2：1，而不是AG：AF=2：1；②平面向量是有方向的．16．学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制一幅不完整的统计图（如图所示）．已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息，可得该班步行上学的有8人．【分析】根据题意和统计图可知骑车的人数有12人占总数的30%，从而可以得到调查的学生总数，进而可以得到步行的学生人数．【解答】解：由题意可得，调查的学生数为：12÷30%=40，故该班步行上学的学生有：40﹣20﹣12=8（人），故答案为：8．【点评】本题考查条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．17．当相交的两个圆，其中任意一个圆的圆心都在另一圆的外部时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别为3和4，且两圆“外相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是4＜d＜7．【分析】先利用两圆相交的判定方法得到1＜d＜7，再根据“外相交”的定义得到d＞3且d ＞4，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交，∴4﹣3＜d＜4+3，即1＜d＜7，∵两圆“外相交”，∴d＞3且d＞4，∴两圆的圆心距d的取值范围为4＜d＜7．故答案为4＜d＜7．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．18．如图，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着C点旋转，使得B 点落在AB上的B′处，A点落在A′处，则AA′=．【分析】由旋转的性质可证明△ACA′∽△BCB′，依据相似三角形的性质可得到AA′=BB′，接下来，过点C作CD⊥AB，然后依据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可求得BB′的长，从而得到问题的答案．【解答】解：过点C作CD⊥BB′．∵BC=B′C∵由旋转的性质可知：AC=A′C、∠BCB′=∠ACA′，BC=B′C，∴△ACA′∽△BCB′．∴AA′：BB′=4：3．∴AA′=BB′．∵BC=B′C，DC⊥BB′，∴BD=B′D．∴BB′=2BD=2×3×=．∴AA′=×=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得BB′的长以及AA′与BB′的关系是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算： +（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+）0．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和开方，然后根据同级运算要按照从左到右的顺序进行，求出算式+（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+）0的值是多少即可．【解答】解： +（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+）0=2+4﹣9+1=2﹣4【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a ≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．20．解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16=x﹣2，整理得：x2+3x﹣10=0，即（x﹣2）（x+5）=0，解得：x=2或x=﹣5，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．现要建造一段铁路，其路基的横断面ABCD是等腰梯形，上底CD=8米，高DH为2.5米，坡度i=1：1.2．（1）求路基底AB的长；（2）一段铁路长为2000米，工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，原计划需要55天，但在开工时，甲工程队改进了设备，工作效率提高了25%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（路基的土方=路基的横断面的面积×路的长度）【分析】（1）要求AB长度需求AE长度和BE长度．依据题意可知，需从C点向AB作垂线，垂足为F，求得BF长度，则可求出答案；（2）根据计划和实际分别列出两个等量关系式，根据方程组求解．【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，∵路基的横断面ABCD是等腰梯形，∴AH=FC，∵高DH为2.5米，坡度i=1：1.2，∴==，解得：AH=3，则AH=BF=3m，∵DC=8m，∴HF=8m，故AB=AH+HF+FB=14m，答：路基底AB的长为14m；（2）设原计划甲每天完成x土方，乙每天完成y土方；v=sh=×2.5×（8+14）×2000=55000（立方），由题意得：，解得．答：甲工程队原计划每天完成400土方，乙工程队原计划每天完成600土方．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及二元一次方程组的应用，注意过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形是常用辅助线方法．22．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A点，y轴交于B点．已知点C的坐标为（3，6），CD=2BC．（1）求点D的坐标及一次函数的解析式；（2）求△COD的面积．【分析】（1）由点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数m的值，根据比例关系即可找出点D的横坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征和m得值即可得出点D的坐标，再结合点C、D的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）过点C（3，6），∴m=3×6=18．∵CD=2BC，BD=BC+CD，∴BD=3BC，∴点D的横坐标为3×3=9．∵点D在反比例函数y=的图象上，∴点D的坐标为（9，2）．把点C（3，6）、点D（9，2）代入到一次函数y=kx+b（k≠0）中得：，解得：．∴一次函数的解析式为y=﹣x+8．（2）令一次函数y=﹣x+8中y=0，则0=﹣x+8，解得：x=12，即点A的坐标为（12，0）．∴S△COD=S△OAC﹣S△OAD=OA（y C﹣y D）=×12×（6﹣2）=24．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点A的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．23．如图，已知△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着EF折叠，使点B落在边AC上，记为点D，且DF=DC．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）求证：=．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠DFC，证出BE∥DF，得出∠ABC+∠BFD=180°，由折叠的性质得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，证出DE∥BC，得出四边形EBFD 是平行四边形，即可得出结论；（2）由平行线得出得出△ADE∽△ABC，得出比例式，，证出AE=AD，再由菱形的性质得出DE=DF=DC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB=AC，DF=DC，∴∠ABC=∠C=∠DFC，∴BE∥DF，∴∠ABC+∠BFD=180°，由折叠的性质得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，∴∠EDF+∠BFD=180°，∴DE∥BC，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE=DE，∴四边形EBFD是菱形；（2）证明：由（1）得：DE∥BC，四边形EBFD是菱形，∴△ADE∽△ABC，DE=DF=DC，∴，，∵AB=AC，∴AE=AD，∴=．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质，证明四边形EBFD 是菱形是解决问题的关键．24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结AC，求∠BAC的正切值；（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c 的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC==，则PC=AC，设P（t，t+1），然后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1∴直线AB的解析式为y=x+1，∵当x=0时，y=x+1=1，∴B（0，1），把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1；（2）如图，∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴C（1，0），∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20，而2+18=20，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴tan∠BAC===；（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC==，∴PC=AC，设P（t，t+1），∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣，t2=（舍去），此时P点坐标为（﹣，﹣ +1），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（﹣，﹣ +1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．25．如图，▱ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E 不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．【分析】（1）DE⊥AB时，根据sinA=即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥AB于M，根据DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题．（3）分三种情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根据BF∥AD，得出比例式，列方程即可解决．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴sinA==，∵AD=10，∴DE=8．（2）如图2中，作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB﹣AM=8﹣6=2，∴DG2=DM2+MG2，∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A，∴△DGE∽△AGD，∴=，∴DG2=AGEG，∴DM2+MG2=AGEG，∴82+（2+y）2=（8+y）（8+y﹣x），∴y=（0＜x＜8）（3）①当BF=FG时，∵BF∥AD，∴=，∴AD=AG=10，∴y=2，即=2，解得x=2，∴AE=2．②当FB=FG时，∵BF∥AD，∴=，∴AD=DG=10，∵DM⊥AG，∴AM=MB=6，∴AG=12，∴y=4，即=4，解得x=．③当GB=GF时，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG，∴∠A=∠GBF，∠ADG=∠BFG，∴∠A=∠ADG，∵∠A=∠EDG，∴∠EDG=∠ADG，∴此时点E与点A重合，不合题意．综上所述AE=2或时，△BFG是等腰三角形．【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．。
上海市静安区2024年中考三模数学试题(含答案)
2023学年第二学期初三数学试卷2024.5.14（总分：150分，时间：100分钟，答案请做在答题纸上，做在试卷上不计分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列实数中，不是有理数的是（）A ．27B ．0.32 C ．2D ．cos60︒2．下列四个选项中所表示的x 的取值范围与图中表示的x 的取值范围相同的是（）（第2题图）A ．满足128x x ≥⎧⎨<⎩的xB 中的xC ．ABC △的三边长分别为1.52.5、和xD ．到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的x3．下列计算正确的是（）A ．236333⨯=B ．111362333÷=C ．336236⨯=D ．()23533=4．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（）A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x x =-D ．1y =-5．关于x 的方程2210ax x ++=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．1a ≤且0a ≠C ．a 取一切实数D ．1a <6．某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，AC BD ⊥，AD a =，BC b =，由上述条件，得到了两个结论：①()22AC a b =+，②CD =对于结论①、②下列说法正确的是（）（第6题图）A ．①正确、②错误；B ．①错误、②正确；C ．①、②正确；D ．①、②都错误．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．9的平方根是______．8．分解因式：3x x -=______．92x x +=-的解为______．10．已知直线()12y k x =-+不经过第四象限，则k 的取值范围是______．11．从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，恰好为素数的概率是______．12．二元一次方程49x y +=的正整数解为______．13．化简：()123933a b a b +--= ______．14．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.020.030.040.05、、、，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为______人．（第14题图）15．已知：ABC △中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，2AD =，3CD =，B ∠的余弦值为______．16．已知A B 、为半径为1的O 上两点，P 在线段AB 上，3PA PB =，若,AB x OP y ==，则y 关于x 的数量关系式为______．17．如图，平行四边形ABCD 的顶点C D 、在双曲线()0k y x x=>上，()1,0A -，()0,2B -，AD 与y 轴交于点E ，若ABE △与四边形BCDE 的面积比为1:5，则k 的值为______．（第17题图）18．折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片ABCD 沿某直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕交BC 于点E ；（2）展开后，沿过点E 的直线EF 折叠，使点C 落在AD 边上点G 处．联结GB ，用量角器测得30GBC ∠=︒，则长方形纸片中AB BC的值为______．（第18题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）1021π2---．20．（本题满分10分）解方程组：22449,6.x xy y x y ⎧++=⎨-=⎩21．（本题满分10分）已知：如图，第一象限内的点A B 、在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，BC x ∥轴，点A 的坐标为()2,4，且2cot 3ACB ∠=．（第21题图）求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C 的坐标；（3）ABC ∠的余弦值．22．（本题满分10分）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边ABC△的边长为20cm ，分别以A B C 、、为圆心，AB 为半径作 BC AC AB、、，M 为ABC △的中心．（第22题图1）（第22题图2）（1）若Q 为 BC上任意一点，则MQ 的最小值为______cm ，最大值为______cm ．（2）转子沿圆P 转动时，始终保持M 与P 相切，M 的半径为8cm ，P 的半径为5cm ，当圆心P 在线段AM 的延长线上时，求B P 、两点间的距离．23．（本题满分12分）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，AC AB ⊥，OA OC OB OD⋅=⋅（第23题图）。
2020-2021学年上海市杨浦区中考数学三模试卷及答案解析
上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，无理数是（）A．B．C．D．2.0200200022．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的4．下列关于向量的等式中，正确的是（）A．=B．+=C．+=+D．+（﹣）=5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：﹣= ．8．a6÷a2= ．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．10．不等式组的解集是．11．函数的定义域是．12．当k＞2时，一次函数y=kx+k﹣1的图象经过象限．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为．14．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是度．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是．18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．化简：，并求当时的值．20．解方程：21．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．22．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟米，乙提速时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式，并写出相应的定义域．23．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．24．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．25．如图1，已知AB⊥BM，AB=2，点P为射线BM上的动点，联结AP，作BH⊥AP，垂足为H，∠APM的平分线交BH的延长线于点D，联结AD．（1）若∠BAP=30°，求∠ADP的度数；（2）若S△ADP ：S△ABP=3：2，求BP的长；（3）若AD∥BM（如图2），求BP的长．上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，无理数是（）A．B．C．D．2.020020002【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、=3是有理数，故A错误；B、=2是有理数，故B错误；C、是无理数，故C正确；D、2.0020002是有理数，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【考点】分数指数幂．【专题】推理填空题．【分析】求出=≠，即不等于3，即可判断A、B；求出==3，即可判断C、D．【解答】解：A、=≠3，故本选项错误；B、=≠±3，故本选项错误；C、==3，故本选项正确；D、=3≠±3，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对分数指数幂的应用，主要考查了学生的辨析能力和计算能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．下列关于向量的等式中，正确的是（）A．=B．+=C．+=+D．+（﹣）=【考点】*平面向量．【分析】根据相反向量的定义可知=﹣；由三角形法则可得+==﹣，根据平面向量的交换律可得+=+；又由+（﹣）=0，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、=﹣，故本选项错误；B、+==﹣，故本选项错误；C、+=+，故本选项正确；D、+（﹣）=0，故本选项错误．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握相反向量的定义与三角形法则的应用．5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2【考点】圆与圆的位置关系．【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d ＜R﹣r．【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．故选D．【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：﹣= ．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．8．a6÷a2= a4．【考点】同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2=a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞9 ．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．【点评】本题主要考查了实数范围内分解因式，二次三项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是△＜0，读懂题意是解答本题的关键．10．不等式组的解集是x＞2 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞；由②得，x＞2，故此不等式组的解集为：x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．函数的定义域是x≥﹣3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【专题】函数思想．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．当k＞2时，一次函数y=kx+k﹣1的图象经过一、二、三象限．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据k＞2，得出k＞0，k﹣1＞0进行解答即可．【解答】解：因为k＞2，可得k＞0，k﹣1＞0，所以一次函数y=kx+k﹣1的图象经过一、二、三象限，故答案为：一、二、三【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题时要根据k＞2，得出k＞0，k ﹣1＞0进行解答．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为7 ．【考点】频数（率）分布直方图．【专题】数形结合．【分析】利用频数分布直方图，最后2组的等待时间都不少于6分钟，而且可得它们的频数分别为5，2，然后计算这两组的人数之和．【解答】解：根据频数分布直方图得到最后2组的等待时间不少于6分钟，而它们的频数分别为5，2，所以这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为5+2=7（人）．故答案为7．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1；频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．14．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．【分析】四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆中任取一个图形共有6个结果，且每个结果出现的机会相同，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的正方形和圆两个．【解答】解：∵在四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆6个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的正方形和圆两个．∴从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．【点评】正确认识轴对称图形和中心对称图形以及理解列举法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是144 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=1440，即可求得n=10，再由多边形的内角和除以10，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=1440，解得：n=10，∴这个正多边形的每一个内角等于：1440°÷10=144°．故答案为：144．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为36 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα=，∴α=30°．则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是（1+2，2）．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．【专题】推理填空题．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE=30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解．【解答】解：∵AB=2，∠OAB=30°，∴OB=AB=1，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AB0+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠OAB=30°，点C作CE⊥x轴于点E，在Rt△BCE中，CE=BC=×4=2，BE===2，∴OE=OB+BE=1+2，∴点C的坐标是（1+2，2）．故答案为：（1+2，2）．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】利用折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=AB•BC=．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．化简：，并求当时的值．【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．【专题】探究型．【分析】先根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=++1===．当x=+1时，原式===【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解方程：【考点】换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题；换元法．【分析】此题用换元法解答，设y=，把分式方程化为整式方程求解．【解答】解：设y=，则原方程化为y﹣﹣2=0，∴y2﹣2y﹣3=0，解得：y1=3，y2=﹣1．当y1=3时，=3，解得x1=﹣；当y2=﹣1时，=﹣1，解得x2=﹣．经检验，原方程的解是x1=﹣，x2=﹣．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度．【解答】解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接OA．∵AB=CD，AB⊥CD，∴OM=ON，∴矩形OMEN是正方形．∵CE=2，ED=6，∴CD=2+6=8，∵ON⊥CD∴CN=CD=4，∴EN=OM=2，同理：AM=4．在直角△AMO中，OA===2．∴⊙O的半径长为2．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．22．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟10 米，乙提速时距地面的高度b为30 米；（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式，并写出相应的定义域．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）甲的速度=（300﹣100）÷20=10，根据图象知道一分的时间，走了15米，然后即可求出A地提速时距地面的高度；（2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，所以乙的速度是30米/分．那么求出点B的坐标，加上点A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把C、D坐标代入一次函数解析式可求出甲的函数解析式．【解答】解：（1）甲的速度为：（300﹣100）÷20=10米/分，根据图中信息知道乙一分的时间，走了15米，那么2分时，将走30米；故答案为：10；30（2）由图知：x=+2=11，∵C（0，100），D（20，300）=10x+100（0≤x≤20）；∴线段CD的解析式：y甲∵A（2，30），B（11，300），=∴折线OAB的解析式为：y乙【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是正确理解题意．23．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用AF=CE，AF∥BC得出即可；（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG•BE=AF•AE，∴FG•BE=CE•AE．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．24．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】应用题；综合题．【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．∵直线与BC边相交于点D，∴．∴x=2，故点D的坐标为（2，3）（2）∵若抛物线y=ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为．（3）∵抛物线的对称轴为x=3，设对称轴x=3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD=∠AMP1．M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△MP1A．①∵∠AP1（3，0）．∴P1=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP2．②当∠MAP2M=∠ADB∴∠AP2=AB，∠AP1P2=∠ABD=90°，∵AP1P2≌△ABD∴△AP1P2=BD=4．∴P1在第四象限，∴P2（3，﹣4）．∵点P2答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．25．如图1，已知AB⊥BM，AB=2，点P为射线BM上的动点，联结AP，作BH⊥AP，垂足为H，∠APM的平分线交BH的延长线于点D，联结AD．（1）若∠BAP=30°，求∠ADP的度数；（2）若S△ADP ：S△ABP=3：2，求BP的长；（3）若AD∥BM（如图2），求BP的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据AB⊥BM、∠BAP=30°可得∠APB=60°、∠APM=120°，再由BH⊥AP、BH平分∠APM得∠BPA=∠DPA、PB=PD，证△ABP≌△ADP可得∠ADP=∠ABP=90°；（2）S △ADP ：S △ABP =3：2可得HD ：BH=3：2，设BH=2x ，DH=3x ，根据角平分线性质得DN=DH=3x ，在RT △BDN 中表示出tan ∠DBN ，由∠BAP=∠HBP 可得AB=，由AB=2可求出x的值；（3）过点D 作DN ⊥BM 于N ，根据已知条件知四边形ABND 是矩形可得DN=AB ，由角平分线性质得DH=DN ，故可证得△ABP ≌△DHA ，有BP=HA ，设BP=x ，再证△ABH ∽△APB 得AB 2=AH •AP ，可列出关于x 的方程，解方程即得．【解答】解：（1）∵AB ⊥BH ，∴∠ABP=90°，∵∠BAP=30°，∴∠APB=60°，∴∠APM=180°﹣60°=120°，∵PD 平分∠APM ，∴∠DPM=∠APM=60°，∵BH ⊥AP ，∴∠BHP=90°，∴∠HBP=30°，∵∠PBD+∠PDB=∠DPM ，∴∠PDB=60°﹣30°=30°，∴PB=PD ，在△ABP 和△ADP 中，∵，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ADP=∠ABP=90°；（2）如图1，过点D作DN⊥BM于N，∵BH⊥AP，∴S△ADP =AP•HD，S△ABP=AP•BH，∵S△ADP ：S△ABP=3：2，∴HD：BH=3：2，设BH=2x，DH=3x，∵PD平分∠APM，BH⊥AP，DN⊥BM，∴DN=DH=2x，在△BND中，BD=5x，DN=3x，则BN=4x，∴tan∠DBN=，∴HP=2x•=x，∴BP=x，∵AB⊥BP，∴∠BAP+∠BPH=90°=∠HBP+∠APB，∴∠BAP=∠HBP，∴AB=，∵AB=2，∴x=，∴BP=x=；（3）如图2，过点D作DN⊥BM于N，∵AB⊥BN，AD∥BM，∴∠ABN=∠DNB=∠BAD=90°，∴四边形ABND是矩形，∴DN=AB=2，∵PD平分∠APM，∴DH=DN=2，在△ABP和△DHA中，，∴△ABP≌△DHA（ASA），∴BP=HA，设BP=x，∵∠BAH=∠PAB，∠ABP=∠AHB，∴△ABH∽△APB，∴AB2=AH•AP，∴4=x•，解得：x2=2﹣2，（负根已舍）∴BP=．【点评】本题主要考查全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线性质等知识点，将待求角和线段通过全等或相似转化到求另一个相等量是关键也是难点．。
2020-2021学年上海市浦东新区九年级中考一模数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区九年级一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题（共12小题）.7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题（共7小题）.19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：1解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是2﹣2．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝0．解：原式＝2×﹣1＝0．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是36度．解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝2．解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为﹣．解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向向上．（填“向上”或“向下”）解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝15厘米．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y ＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．解：如图，∵点D是BC的中点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，过点P作PD⊥x轴于D，∴∠ODP＝90°，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴AC＝OC，∠OBC＝∠ABC，∵BP＝BP，∴△OBP≌△ABP（SAS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+①，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x②，联立①②解得，或，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝＝；（3）设M（2，m），∵A（2，4），B（5，0），P（，），∴AM＝|m﹣4|．OA＝2，AB＝5，BP＝＝，∵BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，∴∠ABP＜90°，∠APC＜90°，∵∠BOP＜90°，∴∠BAP＜90°，∴△ABP是锐角三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO为锐角三角形，∴点M在点A的下方，∴AM＝4﹣m，如图2，AM与x轴的交点记作点E，与BC的交点记作点F，∵AM⊥x轴，∴∠AEB＝90°，∴∠OBP+∠BFE＝90°，∵∠AFP＝∠BFE，∴∠OBP+∠AFP＝90°，∵BC⊥OA，∴∠AFP+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠OBP，由（2）知，∠OBP＝∠ABP，∴∠OAE＝∠ABP，∵△AMO与△ABP相似，∴①当△OAM∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），②当△MAO∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），即满足条件的点M的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．。
24.4相似三角形的判定(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.4相似三角形的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•长宁区期末）下列命题中，说法正确的是（ ） A ．四条边对应成比例的两个四边形相似 B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似2．（2020秋•郫都区校级期中）在下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E B ．BC EF =AC DF且∠B ＝∠E C ．ABDE=BC EF=AC DFD ．AB DE=AC DF且∠A ＝∠D3．（2020•浦东新区三模）如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是（ ）A ．△BFEB ．△BDCC ．△BDAD ．△AFD4．（2019秋•闵行区期末）如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC=13，AE ＝BE ，那么有（ ）A ．△AED ∽△BEDB ．△BAD ∽△BCDC ．△AED ∽△ABD D ．△AED ∽△CBD5．（2019秋•松江区期末）下列两个三角形不一定相似的是（ ） A ．两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形B ．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形C ．有一个内角为50°的两个直角三角形D ．有一个内角是50°的两个等腰三角形6．（2019秋•闵行区校级月考）下列条件中，不能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） A ．∠A ＝∠D ＝70°，∠B ＝60°，∠E ＝50° B ．∠A ＝∠D ＝70°，∠C ＝50°，∠E ＝50°C ．∠A ＝∠D ＝70°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，ED ＝16cm ，DF ＝20cmD ．∠A ＝∠D ＝70°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，ED ＝16cm ，EF ＝20cm7．（2020•涡阳县模拟）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定△ADE 与△ACB 相似的是（ ）A ．AD AC=AE ABB ．AD AE=AB ACC ．DE BC=AE ABD ．DE BC=AD AC8．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC ＝∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ）A ．AC AD=AB AEB ．ACAD=BC DEC ．ACAD=AB DED ．ACAD=BC AE9．（2020秋•崇川区校级月考）如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 上，且AD 平分∠BAC ，若∠ABE ＝∠C ，BE 与AD 相交于点F ．则图中相似三角形的对数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2020秋•杨浦区期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．△AEF ∽△CBFB ．△CMG ∽△BFGC ．△ABG ∽△CFBD ．△ABF ∽△CBG 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020秋•嘉定区期末）如图，点D 在△ABC 的AB 边上，当AD AC= 时，△ACD 与△ABC 相似．12．（2020秋•宝山区期中）如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，如果要判定△ACD ∽△BCA ，那么需要增加的一个条件可以是 ．13．（2020秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，D 是AB 上一点且AD ＝2cm ，点E 在边AC 上，当AE ＝ cm 时，使得△ADE 与△ABC 相似．14．（2020秋•新吴区期中）△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝3，若要在AB 上找一个点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝ ． 15．（2019秋•普陀区期末）如图，在△ABC 与△AED 中，AB AE=BC ED，要使△ABC 与△AED 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．16．（2019秋•浦东新区期中）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝5，BC ＝10，点E 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），作∠AEF ＝∠AEB ，使边EF 交边CD 于点F ，（不与C ，D 重合），线段BE ＝ 时，△ABE 与△CEF 相似．17．（2019秋•长宁区校级月考）已知，在△ABC 中，点D 在边AB 上，AD ＝2，AB ＝6，AC ＝6，在AC 上找一点E ，使以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ ．18．（2019秋•虹口区校级月考）如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为BC 中点，两个动点M 和N 分别在边CD 和AD 上运动且MN ＝2，若△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，则DM ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△AED∽△ACB．20．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B 向右D运动，问当点P离点B多远时，△P AB与△PCD是相似三角形？21．（2019秋•武冈市期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B 同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．22．（2018秋•浦东新区期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝4，CD＝2，CE⊥BC交边AD于点E．（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使△ABE、△CDE和△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）．23．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．24．（2020•高青县一模）如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出自变量的取值范围．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？。
2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)
压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
上海市浦东新区2020年中考数学三模试卷含答案解析
2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷一．选择题（共6小题）1．下列各运算中，正确的运算是（）A．5+3＝8B．（﹣3a3）3＝﹣27a9C．a8÷a4＝a2D．（a2﹣b2）2＝a4﹣b42．如果a＜b，那么下列结论不正确的是（）A．a+3＜b+3B．a﹣3＜b﹣3C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b 3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5 4．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA B．棱AB C．棱GH D．棱GF6．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD二．填空题（共12小题）7．﹣8的立方根是．8．方程组的解是．9．直线y＝﹣2x﹣3的截距是．10．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是元（结果用含m的代数式表示）．11．已知函数，那么f（﹣2）＝．12．在五张完全相同的卡片上，分别画有：线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆，如果从中随机抽取一张，那么卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是．13．某班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如表：进球数123457人数114231这12名同学进球数的众数是．14．已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积为．15．如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝．16．如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．17．如图，已知在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三边所得弦长相等，那么∠BOC＝度．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．解方程：＝2．21．甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；（2）乙车行驶多长时间追上甲车？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．23．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF ＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠P AB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE＝x．（1）当x＝1时，求△DEF的面积；（2）如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列各运算中，正确的运算是（）A．5+3＝8B．（﹣3a3）3＝﹣27a9C．a8÷a4＝a2D．（a2﹣b2）2＝a4﹣b4【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B进行判断；根据同底数幂的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．【解答】解：A、5与3不能合并，所以A选项错误；B、（﹣3a3）3＝﹣27a9，所以B选项正确；C、a8÷a4＝a4，所以C选项错误；D、（a2﹣b2）2＝a4﹣2a2b2+b4，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了整式的运算和二次根式的加减法．2．如果a＜b，那么下列结论不正确的是（）A．a+3＜b+3B．a﹣3＜b﹣3C．3a＜3b D．﹣3a＜﹣3b 【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；D、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D结论不正确．故选：D．【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．4．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．【解答】解：AB＝|﹣1﹣3|＝4．故选：D．【点评】本题考查了数轴，主要利用了两点间的距离的表示，需熟记．5．已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA B．棱AB C．棱GH D．棱GF【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．【解答】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．故选：A．【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．6．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴与△BFD相似的三角形是△BDA，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．8．方程组的解是，．【分析】观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．【解答】解：，由①得x＝y+3③，把③代入②式，整理得y2+3y+2＝0，解得y1＝﹣1，y2＝﹣2．把y1＝﹣1代入x＝y+3，得x1＝2，把y2＝﹣2代入x＝y+3，得x2＝1．故原方程组的解为，．故答案为：，．【点评】此题考查了二元二次方程组，关键是熟练掌握运用代入法解二元二次方程组的方法．9．直线y＝﹣2x﹣3的截距是﹣3．【分析】利用截距的定义，可找出直线y＝﹣2x﹣3的截距．【解答】解：∵b＝﹣3，∴直线y＝﹣2x﹣3的截距为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查一次函数的性质，牢记截距的定义是解题的关键．10．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100（1﹣m）2元（结果用含m的代数式表示）．【分析】现在的价格＝第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）．【解答】解：第一次降价后价格为100（1﹣m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1﹣m）（1﹣m）元，即100（1﹣m）2元．故答案为：100（1﹣m）2．【点评】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100（1﹣m）2．11．已知函数，那么f（﹣2）＝﹣．．【分析】将﹣2代入已知的函数解析式即可求得函数值．【解答】解：f（﹣2）＝＝﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查求函数值，此题比较简单，注意（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．12．在五张完全相同的卡片上，分别画有：线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆，如果从中随机抽取一张，那么卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是．【分析】先判断出线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．【解答】解：∵在线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、矩形、圆共3个，∴卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P （A）＝．13．某班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如表：进球数123457人数114231这12名同学进球数的众数是3．【分析】根据统计表找出各进球数出现的次数，根据众数的定义即可得出结论．【解答】解：观察统计表发现：1出现1次，2出现1次，3出现4次，4出现2次，5出现3次，7出现1次，故这12名同学进球数的众数是3．故答案为：3．【点评】本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数出现的次数最多．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据统计表中的数据，结合众数的定义找出该组数据的众数是关键．14．已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积为8．【分析】直接根据扇形的面积公式S扇形＝lR进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S扇形＝lR＝×8×2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．15．如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝﹣．【分析】如图，连接AG延长AG交BC于T．由G是△ABC的重心，推出AG＝2GF，由EF∥BC，推出＝＝2，推出＝，推出＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接AG延长AG交BC于T．∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GF，∵EF∥BC，∴＝＝2，∴＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故答案为﹣．【点评】本题考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是32平方厘米．【分析】如图，作DE⊥BC，根据勾股定理得到CE＝＝6，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，作DE⊥BC，已知AB＝8，CD＝10，BC＝7，∴CE＝＝6，∴AD＝BC﹣EC＝1，∴梯形的面积是：（AD+BC）•DE＝（7+1）×8＝32（cm2），答：这个梯形的面积是32平方厘米．故答案为：32．【点评】本题考查了梯形，勾股定理，梯形面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．如图，已知在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三边所得弦长相等，那么∠BOC＝125度．【分析】过点O作OH⊥DE于H，OK⊥FG于K，OP⊥MN于P，如图，由于DE＝FG ＝MN，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OH＝OK＝OP，则可判断OB平分∠ABC，OC平分∠OCB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．【解答】解：过点O作OH⊥DE于H，OK⊥FG于K，OP⊥MN于P，如图，∵DE＝FG＝MN，∴OH＝OK＝OP，∴OB平分∠ABC，OC平分∠OCB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×70°＝125°．故答案为125．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．【分析】由旋转的性质得CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，由勾股定理得出A'C＝5，则A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF＝，由勾股定理即可得出CF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C＝＝5，∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴DF＝，∴CF＝＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，合并得出答案．【解答】解：原式＝1+2﹣+9+2＝12+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．解方程：＝2．【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得与互为倒数，所以可采用换元法将方程转化．【解答】解：设＝y，则，则原方程为：y﹣＝2，即：y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝3，y2＝﹣1．当y1＝3时，x＝﹣1，当y2＝﹣1时，x＝．经检验，x1＝﹣1，x2＝是原方程的根．∴x1＝﹣1，x2＝．【点评】用换元法解分式方程是常用的一种方法，它能将方程化繁为简，因此要注意总结能够用换元法解的分式方程的特点．解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法．21．甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（1）分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；（2）乙车行驶多长时间追上甲车？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；（2）令（1）中的两个函数的函数相等，求出x的值，然后再减去15，即可得到乙车行驶多长时间追上甲车．【解答】解：（1）设y1关于x的函数解析为y1＝kx，120k＝100，得k＝，即y1关于x的函数解析为y1＝x（0≤x≤120），设y2关于x的函数解析为y2＝ax+b，，得，即y2关于x的函数解析为y2＝x﹣20（15≤x≤90）；（2）令x＝x﹣20，得x＝40，40﹣15＝25（分钟），即乙车行驶25分钟追上甲车．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．23．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF ＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形的中位线定理即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠BAE＝∠GCE，求得∠GEC＝∠GCE，得到GE＝CG，推出四边形DECF是平行四边形，得到DG＝CG＝FG ＝GE，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠GCE，∵∠BEA＝∠GEC，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝CG，∵DF∥AC，∴＝，∵DG＝CG，∴FG＝GE，∴四边形DECF是平行四边形，∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，∴DG＝CG＝FG＝GE，∴DC＝EF，∴四边形DECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠P AB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD＝90°即可解决问题．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，由∠P AB＝∠DAC，推出tan∠P AB＝tan∠DAC＝＝．接下来分两种情形，构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），则有，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D（﹣1，4）．（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），∴AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝3，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，∵∠P AB＝∠DAC，∴tan∠P AB＝tan∠DAC＝＝．①当a+3＝3（﹣a2﹣2a+3），解得a＝或﹣3（舍弃），∴P（，），过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N，则点N与点P关于直线x＝﹣1对称，根据对称性可知N（﹣，），∴平移的距离为．②当a+3＝﹣3（﹣a2﹣2a+3），解得a＝或﹣3（舍弃），∴P（，﹣），过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，则点Q与点P关于直线x＝﹣1对称，根据对称性可知Q（﹣，﹣），∴平移的距离为，综上所述，平移的距离为或．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE＝x．（1）当x＝1时，求△DEF的面积；（2）如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．【分析】（1）如图1，过E作EM⊥AB于M，根据勾股定理计算AB＝5，根据三角函数定义得sin∠A＝＝，可得EM的长，由平行线分线段成比例定理可得EF的长，根据三角形面积公式可得结论；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD'，交EF于Q，由对称得DD'⊥EF，QD＝DD'，先根据三角函数计算DD'＝＝，得QD＝，证明四边形ENDQ是矩形，则EN＝QD＝，最后利用三角函数可得结论；（3）如图3，连接AF，交ED于G，先表示CF＝x，EF＝x，计算AF的长，根据平行线分线段成比例定理可得AG的长，证明△AEG∽△AFC，得AG•AF＝AC•AE，列方程解出即可．【解答】解：（1）如图1，过E作EM⊥AB于M，当x＝1时，CE＝1，AE＝4﹣1＝3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，sin∠A＝＝，∴，∴EM＝，∵EF∥AB，∴，即，∴EF＝x＝，∴△DEF的面积＝•EM＝＝；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD'，交EF于Q，∵点D关于EF的对称点为D′，∴DD'⊥EF，QD＝DD'，∴∠EQD'＝90°，∵EF∥AB，∴∠ADQ＝∠EQD'＝90°，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝，tan∠A＝，∴DD'＝＝，∴QD＝，∵EF∥AB，EN⊥AB，QD⊥AB，∴∠END＝∠NDQ＝∠EQD＝90°，∴四边形ENDQ是矩形，∴EN＝QD＝，Rt△AEN中，sin∠A＝，∴，AE＝4﹣x，∴x＝；（3）如图3，连接AF，交ED于G，Rt△CEF中，∠ECF＝90°，tan∠CEF＝tan∠CAB＝，∴，CF＝x，∴EF＝x，∴AF＝＝＝，∵EF∥AB，∴，即＝，∴，∴AG＝，∵⊙A与⊙F相交于点E、H，且H在ED上，∴AF⊥DE，∴∠AGE＝90°，∴∠AGE＝∠ACF＝90°，∵∠EAG＝∠F AC，∴△AEG∽△AFC，∴，即AG•AF＝AC•AE，∴＝4（4﹣x），解得：x1＝0（舍），x2＝．【点评】本题考查了三角形的综合题，考查了直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，三角函数的定义是解题的关键．。
2024年上海市闵行区中考三模数学试卷含详解
2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．4．本次考试不能用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.1125-没有立方根C.正数的两个平方根互为相反数D.(13)--没有平方根2.已知3a →=，2b →=，而且b →和a →的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A.32a b →→= B.23a b →→= C.32a b→→=- D.23a b →→=-3.下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（）A.十拿九稳B.守株待兔C.水中捞月D.一箭双雕4.方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x ，可用如下算式计算方差：()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦，其中“5”是这组数据的（）A .最小值 B.平均数 C.中位数 D.众数5.“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数21y x =，其图象位于（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限6.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上，动点F 在线段OD 上，点,E F 同时从点O 出发，分别向终点,B D 运动，且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E ；点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若函数2m y x =-是反比例函数，则m 的值是__．8.为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是__．9.如果关于x 的多项式22x x m -+在实数范围内因式分解，那么实数m 的取值范围是________．10.某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．11.如果二次函数241y x x =-+的图象的一部分是下降的，那么x 的取值范围是__．12.一个多边形的内角和是1080︒，这个多边形的边数是______．13.若点P 到A 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么A 的半径为__．14.如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是边CD 中点，点N 是边BC 的中点，设AB a = ，BC b = ，那么MN 可用a ，b表示为_____________．15.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点A ，B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角a 为60︒．若圆曲线的半径 1.5km OA =，则这段圆曲线 AB 的长为________km ．16.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为()23,3-，()0,3-，则点M 的坐标为__．17.如图，ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC 的重心，E 为线段AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt CDE △（点D 在直线BC 的上方），2G 为Rt CDE △的重心，设12G G 、两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．18.在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-≤≤的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++≤≤图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(103833232π++-．20.解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩21.如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2k y x=图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离．22.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml /s ；开水的温度为100℃，流速为15ml /s ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml 温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．23.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2=OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．24.蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高4m ，3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：（1）如图，求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为，求BK 的长．25.如图，已知在ABC 中，射线AM BC ∥，P 是边BC 上一动点，APD B ∠=∠，PD 交射线AM 于点D ，连接CD ．4AB =，6BC =，=60B ∠︒．（1）求证：2AP AD BP =⋅；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；（3）将ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时BEP ∠的余切值．2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.1125-没有立方根C.正数的两个平方根互为相反数D.(13)--没有平方根【答案】C【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．【详解】A 、无限循环小数是有理数，故不符合题意；B 、1125-有立方根是15-，故不符合题意；C 、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意；D 、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、立方根、平方根，掌握无理数、立方根、平方根的定义是解题的关键．2.已知3a →=，2b →=，而且b →和a →的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A.32a b→→= B.23a b →→= C.32a b →→=- D.23a b→→=-【答案】D 【分析】根据3,2a b == ，而且b 和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b == ，而且b 和a 的方向相反∴32a b =- 故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.3.下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（）A.十拿九稳B.守株待兔C.水中捞月D.一箭双雕【答案】C【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【详解】解：A.十拿九稳是随机事件，不符合题意；B.守株待兔是随机事件，不符合题意；C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意；D.一箭双雕是随机事件，不符合题意；故选：C ．4.方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x ，可用如下算式计算方差：()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦，其中“5”是这组数据的（）A.最小值B.平均数C.中位数D.众数【答案】B 【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦中“5”是这组数据的平均数.故选B ．【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.5.“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数21y x =，其图象位于（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限【答案】A【分析】根据x 的取值，判断y 的范围即可求解．【详解】解：当0x >时，0y >，此时点在第一象限，当0x <时，0y >，此时点在第二象限，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．6.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上，动点F 在线段OD 上，点,E F 同时从点O 出发，分别向终点,B D 运动，且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E ；点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形1212E E F F 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，90BAD ABC ∠=∠=︒，∴60BDC ABD ∠=∠=︒，906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒，∵OE OF =、OB OD =，∴DF EB=∵对称，∴21DF DF BF BF ==，，21,BE BE DE DE ==∴1221E F E F =∵对称，∴260F DC CDF ∠=∠=︒，130EDA E DA ∠=∠=︒∴160E DB ∠=︒，同理160F BD ∠=︒，∴11DE BF ∥∴1221E F E F ∥∴四边形1212E E F F 是平行四边形，如图所示，当,,E F O 三点重合时，DO BO =，∴1212DE DF AE AE ===即1212E E EF =∴四边形1212E E F F 是菱形，如图所示，当,E F 分别为,OD OB 的中点时，设4DB =，则21DF DF ==，13DE DE ==，在Rt △ABD 中，2,3AB AD ==，连接AE ，AO ，∵602ABO BO AB ，∠=︒==，∴ABO 是等边三角形，∵E 为OB 中点，∴AE OB ⊥，1BE =，∴22213AE =-，根据对称性可得13AE AE ==，∴2221112,9,3AD DE AE ===，∴22211AD AE DE =+，∴1DE A 是直角三角形，且190E ∠=︒，∴四边形1212E E F F 是矩形，当,F E 分别与,D B 重合时，11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形∴在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若函数2m y x =-是反比例函数，则m 的值是__．【答案】1-【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：()10-=≠y kxk ，列式计算即可．【详解】解：∵函数2m y x =-是反比例函数，∴1m =-，故答案为：1-8.为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是__．【答案】1250【分析】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键．根据抽取的试卷的本数⨯每本试卷的份数即可得出答案．【详解】50251250⨯=∴样本容量是1250．故答案为：1250．9.如果关于x 的多项式22x x m -+在实数范围内因式分解，那么实数m 的取值范围是________．【答案】1m £【分析】原多项式在实数范围内能因式分解，说明方程22x x m -+=0有实数根，即转换为24b ac ∆=-不小于0，再代入求值即可．【详解】由题意知：∵关于x 的多项式22x x m -+在实数范围内因式分解，∴22x x m -+=0有实数根，∴a=1，b=-2，c=m ，则224(2)41440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得：1m £；故答案为：1m £．【点睛】本题考查因式分解，其实是考查一元二次方程根与判别式的关系，能够转换思维解题是关键．10.某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．【答案】13【详解】分析：根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论．详解：所有等可能结果共有6种，其中女生有2种，∴恰好是女生的概率为2163=．故答案为13．点睛：本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．11.如果二次函数241y x x =-+的图象的一部分是下降的，那么x 的取值范围是__．【答案】2x ≤【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当x 在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解： ()224123y x x x =-+=--，又抛物线开口向上，∴当2x ≤时，y 随x 的增大而减小，图像下降；当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，图像上升；二次函数241y x x =-+的图像的一部分是下降的，∴2x ≤，故答案为：2x ≤．12.一个多边形的内角和是1080︒，这个多边形的边数是______．【答案】8【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式()2180n -⨯︒进行求解即可．【详解】解：由题意得：()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =；故答案为8．13.若点P 到A 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么A 的半径为__．【答案】3或者5【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P 在A 外和A 内两种情况讨论，当点P 在A 外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P 在A 内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．【详解】解：点P 在A 外时，O 外一点P 到O 上所有的点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，O ∴ 的半径长等于8232-=；点P 在A 内时，O 内一点P 到O 上所有的点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，O ∴ 的半径长等于8252+=，故答案为：3或者5．14.如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是边CD 中点，点N 是边BC 的中点，设AB a = ，BC b = ，那么MN 可用a ，b表示为_____________．【答案】1122a b - 【分析】根据平行四边形的性质和线段的中点，可用a 表示出MC ，用b 表示出CN ，再根据MN MC CN =+ ，即可用a 和b 表示出MN ．【详解】∵BC b = ，∴CB b =-uu r r ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD AB a ==，∵点M 是边CD 中点，点N 是边BC 的中点，∴1122MC AB a == ，1122CN CB b ==- ，∴1111()2222MN MC CN a a b =+=+-=- ．故答案为：1122a b - ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算．利用数形结合的思想是解答本题的关键．15.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点A ，B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角a 为60︒．若圆曲线的半径 1.5km OA =，则这段圆曲线 AB 的长为________km ．【答案】2π##12π【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出60AOB ∠=︒，将已知数据代入弧长公式，即可求解．【详解】解：∵过点A ，B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角a 为60︒．∴90CAO CBO ∠=∠=︒，∴18060AOB ACB α∠=︒-∠==︒，∴圆曲线 AB 的长为()603ππ18022km ⨯⨯=故答案为：π2．16.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为()-，()0,3-，则点M 的坐标为__．【答案】()32-，【分析】设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．判断出OC ，CM 的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】解：设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．点P ，Q 的坐标分别为(23,3)-，(0,3)-，图中是7个全等的正六边形，3AB BC ∴==3OQ =，3OA OB ∴==33OC ∴=，2DQ DB OD == ，1OD ∴=，2QD DB CM ===，()332M ∴-，，故答案为：()332-，17.如图，ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC 的重心，E 为线段AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt CDE △（点D 在直线BC 的上方），2G 为Rt CDE △的重心，设12G G 、两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．【答案】010d ≤≤【分析】当点E 与点B 重合时，0d =，当点E 与点A 重合时，d 的值最大，利用重心的性质以及勾股定理求得125CG =，210CG =12CG G BCA ∽△△，推出12CG G △是等腰直角三角形，据此求解即可．【详解】解：当点E 与点B 重合时，0d =，当点E 与点A 重合时，d 的值最大，如图，点FH 分别为BC AC 、的中点，∵ABC 为等腰直角三角形，1906A AB G ∠=︒=，，为ABC的重心，∴221166222AF BF FC BC ====+，∴1123G F AF ==22115CG CF G F =+=，同理11322DH AH HC AC AB =====，∴2113G H DH ==，222210CG CH G H =+=1245BAC G CG ∠=∠=︒，2262AC BC ==，21102225CG CG ==，即21CG AC CG BC =，∴12CG G BCA ∽△△，∴12CG G △是等腰直角三角形，∴12210G G CG ==∴010d ≤≤故答案为：010d ≤≤【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，重心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18.在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-≤≤的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++≤≤图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =________．【答案】712或2512-【分析】根据题意求得点()3,0A ，()3,4B ，()0,4C ，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．【详解】由()2(2)03y x x =-≤≤，当0x =时，4y =，∴()0,4C ，∵()3,0A ，四边形ABCO 是矩形，∴()3,4B ，①当抛物线经过O B ，时，将点()0,0，()3,4B 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴019344c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：712b =②当抛物线经过点,A C 时，将点()3,0A ,()0,4C 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴419304c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：2512b =-综上所述，712b =或2512b =-，故答案为：712或2512-．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(10383π++．【答案】4-【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分母有理化，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】(10383π+-+2321=+-+4=-．20.解方程组：2256012x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩【答案】1184xy=⎧⎨=⎩或2293xy=⎧⎨=⎩【分析】利用因式分解法求22560x xy y-+=，得到20x y-=或30x y-=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得20x y-=或30x y-=，2012x yx y-=⎧⎨+=⎩或3012x yx y-=⎧⎨+=⎩，解方程组得：1184xy=⎧⎨=⎩，2293xy=⎧⎨=⎩，则原方程组的解为1184xy=⎧⎨=⎩和2293xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.21.如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx=图象的一个交点为M（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B到直线OM的距离．【答案】（1）22y x =-（2255．【分析】（1）根据一次函数解析式求出M 点的坐标，再把M 点的坐标代入反比例函数解析式即可；（2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ，根据一次函数解析式表示出B 点坐标，利用△OMB 的面积=12×BO×MC 算出面积，利用勾股定理算出MO 的长，再次利用三角形的面积公式可得12OM•h ，根据前面算的三角形面积可算出h 的值．【详解】解：（1）∵一次函数y 1=﹣x ﹣1过M （﹣2，m ），∴m=1．∴M （﹣2，1）．把M （﹣2，1）代入2k y x=得：k=﹣2．∴反比列函数为22y x =-．（2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ．∵一次函数y 1=﹣x ﹣1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是（0，﹣1）．∴OMB 1S 1212∆=⨯⨯=．在Rt △OMC 中，2222OC +CM 1+25==，∵OMB 15S OM h h=122∆=⋅⋅=，∴2h=555=∴点B 到直线OM 255．22.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml /s ；开水的温度为100℃，流速为15ml /s ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml 温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．【答案】该学生接温水的时间为8s ，接开水的时间为8s【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设该学生接温水的时间为s x ，则接温水20ml x ，开水()28020ml x -，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．【详解】解：设该学生接温水的时间为s x ，根据题意可得：()()()2060302802010060x x ⨯-=-⨯-，解得8x =，∴208160ml ⨯=（），∵280160120ml -=（），∴120158s ÷=（），∴该学生接温水的时间为8s ，接开水的时间为8s ．23.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2=OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，得到OE OD OD OB =，然后由AD ∥BC ，得到OA OD OC OB =，则OA OE OC OD =，即可得到AF//CD ，即可得到结论；（2）先证明∠AED=∠BCD ，得到∠AEB=∠ADC ，然后证明得到AE AD BE DC =，即可得到△ABE ∽△ADC.【详解】证明：（1）∵OD 2=OE ·OB ，∴OE OD OD OB=．∵AD//BC ，∴OA OD OC OB =．∴OA OE OC OD=．∴AF//CD ．∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵AF//CD ，∴∠AED=∠BDC ，BE BF BD BC =．∵BC=BD ，∴BE=BF ，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD ．∵∠AEB=180°-∠AED ，∠ADC=180°-∠BCD ，∴∠AEB=∠ADC ．∵AE·AF=AD·BF ，∴AE AD BF AF=．∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF=CD ．∴AE AD BE DC=．∴△ABE ∽△ADC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.24.蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高4m ，3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：（1）如图，求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为，求BK 的长．【答案】（1）2144y x =-+；（2）0.5m ；（3）97m 12【分析】（1）根据题意得到E 的坐标，设函数解析式为24y ax =+，求出点A 坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据正方形性质得到 3.75m HL HF FL =+=，求出 3.75y =时，对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）设直线AC 的解析式为y kx b =+，根据题意求出直线AC 的解析式，进而设出过点的光线解析式为34y x m =-+，利用光线与抛物线相切，求出m 的值，进而求出点K 坐标，即可得出BK 的长．【小问1详解】解：由题知，E 点为抛物线顶点坐标为()0,4，设抛物线的解析式为24y ax =+，四边形ABCD 为矩形，OE 为BC 的中垂线，4m BC =，∴4m AD BC ==，2m OB =，3m AB =，∴()2,3A -，将其代入24y ax =+中，有344a =+，14a ∴=-，∴抛物线的解析式为2144y x =-+；【小问2详解】解： 四边形LFGT 和SMNR 为正方形，0.75m FL NR ==，∴0.75m MN FG FL NR ====，延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，易知四边形FHJN 和ABFH 为矩形，∴3m FH AB ==，FN HJ =，3.75m HL HF FL ∴=+=， 2144y x =-+，当 3.75y =时，214 3.754x -+=，解得1x =±，()1,0H ∴-，()1,0J ，2m FN HJ ∴==，0.5m GM FN FG MN ∴=--=；【小问3详解】解： OE 为BC 的中垂线，4m BC =，2m OB OC ==，∴()2,0B -，()2,0C ，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为3342y x =-+， 太阳光为平行线，设过点K 且平行于直线AC 的解析式为34y x m =-+，由题意得34y x m =-+与抛物线相切，即只有一个交点，联立234144y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得234160x x m -+-=，则()()224344160b ac m -=---=，解得7316m =，∴373416y x =-+，当0y =时，7312x =，73,012K ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()2,0B - ，73972m 1212BK ∴=+=．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．25.如图，已知在ABC 中，射线AM BC ∥，P 是边BC 上一动点，APD B ∠=∠，PD 交射线AM 于点D ，连接CD ．4AB =，6BC =，=60B ∠︒．（1）求证：2AP AD BP =⋅；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；（3）将ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时BEP ∠的余切值．【答案】（1）证明见解析（2）2（3）【分析】（1）先由平行线证明APB DAP ∠=∠，再由已知条件APD B ∠=∠，证明ABP DPA ∽，得出对应边成比例AP BP DA AP=，即可得出结论；（2）设BP x =，作AH BC ⊥于H ，，先根据勾股定理求出AH ，再由勾股定理得出222AP PH AH =+，由两圆外切时，AB AD BP =±，得出方程，解方程即可；（3）作PG AB ⊥于G ；先根据题意得出2416 4.x x AD AB x-+===，解方程求出BP ，再证明ABP 为等边三角形求出PG ，然后证明四边形ADCH 为矩形得出BE CD AH ===，90ABE ADC ∠=∠=︒，求出BF ，即可求BEP ∠的余切值，【小问1详解】AM BC ∥，APB DAP =∴∠∠，APD B ∠=∠，ABP DPA ∴∽△△，AP BP DA AP∴=，∴2AP AD BP =⋅；【小问2详解】设BP x =，作AH BC ⊥于H ，如图所示∶=60B ∠︒，4AB =，30BAH ∴∠=︒，122BH AB ∴==，根据勾股定理得∶AH ==()(2222222416AP PH AH x x x =+=-+=-+，22416AP x x AD BP x-+∴==，两圆相切时，AB AD BP =±，即24164x x x x-+=±，解得：2x =，∴BP 的长度为2；【小问3详解】根据题意得：2416 4.x x AD AB x-+===，解得：4x =，4BP ∴=，60ABP ∠=︒ ，4AB BP ==ABP ∴ 为等边三角形，4AD AB ==，4CH BC BH =-=，AD CH ∥，90AHC ∠=︒，∴四边形ADCH 为矩形，BE CD AH ∴===，90ABE ADC ∠=∠=︒，作PG AB ⊥于G ，如图所示：则PG BE ∥，PG =PG BE ∴=，∴112BF FG BG ===，cot BEEBP BF ∴∠==．【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形是解题的关键．。
中考强化训练2022年上海杨浦区中考数学三模试题(含答案及解析)
2022年上海杨浦区中考数学三模试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下面各比中，能与11:53组成比例的是（）A．5:3B．5:7C．22:35D．3:52、下列分数中不能化成有限小数的是（）A．916B．38C．518D．7503、下面分数中可以化为有限小数的是（）A．764B．730C．7172D．12724、下列说法中：①比的前项相当于分数中的分母；②2:3与4:9的比值相等；③9是3与27的比例中项；④将3:4中前项乘以3，后项加上8，比值不变，错误的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5、一个扇形的面积是同半径圆面积的15，这个扇形所含圆弧的长是同半径圆周长（）A．15B．25C．45D．110·线○封○密○外6、如果::a b c d =，则下列等式：①ab d α=；②ac bd =；③ad bc =．其中成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37、在下列分数中能化成有限小数的是（ ）A ．46 B ．412 C ．416 D ．4188、二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与一次函数y ＝ax +c 在同一坐标系中的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．9、下列分数中不能化为有限小数的是（ ）A ．725 B ．732 C ．380 D ．5610、小明在学习“线段与角的画法”章节有关知识时，有如下说法：（1）两点之间，线段最短；（2）如果5338α'∠=︒，那么α∠的余角的度数为3622'︒；（3）互补的两个角一个是锐角一个是钝角；（4）一个锐角的余角比这个角的补角小90︒．以上说法正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把下列各数：87.5%、0.88、421、522按从小到大的顺序排列：________．2、213的倒数是______．3、将36%化成最简分数是_______________．4、若:1:2a b =，:1:3b c =，则::a b c =_______．5、一副52张的扑克牌（无大王和小王），从中任意抽取一张，抽到A 的可能性大小是______（用分数表示） 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、计算：13234-+ 2、求下列阴影部分的面积（单位；厘米，π取3.14）．3、如果3121211444442+==+=+，241313113666632+===+=+．求58、35．利用上述规律将这两个分数拆成不同单位的分数之和．4、如图，一个边长是2厘米的等边三角形ABC ，将它沿直线l 作逆时针方向的翻动，到达图示中最左边三角形的位置．试在A 、B 、C 三个顶点中选一个点，求该点所经过的路程是多少厘米?（精确到0.01厘米）5、如图：在等腰ABC 中2AB AC ==厘米； 3.4BC =厘米；底边BC 上的高1AD =厘米；ABC ∠为·线○封○密·○外30，现分别以A点为圆心AB长为半径画圆，以C为圆心BC长为半径画圆，求图中阴影部分的面积．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；由此依次算出各选项的比值，找出与11:53比值相等的选项组成比例．【详解】解：113 := 535A.5 5:3=3；B.5 5:7=7；C. 225:= 353；D.3 3:5=5∴11:53与3:5能够组成比例 故选：D 【点睛】 本题主要是应用比例的意义（表示两个比相等的式子）解决问题．2、C【分析】把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 【详解】 解：916分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数； 38分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数； 518分母中含有质因数3．所以不能化成有限小数； 750分母中只含有质因数2和5，所以能化成有限小数； 故选：C ． 【点睛】 本此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 3、A 【分析】 根据题意可直接进行分数化简小数，然后排除选项即可． ·线○封·○密○外【详解】A 、7=0.10937564，故符合题意； B 、7=0.2330，故不符合题意； C 、71=1.097272，故不符合题意； D 、72=2.58312，故不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键．4、C【分析】根据比的意义、比例的基本性质及比例中项直接进行排除即可．【详解】 由比的前项相当于分数中的分子，故①错误；由242:3=,4:939=可得②错误；由比例中项可得29=327⨯，故③正确；由将3:4中前项乘以3，前项为9，要使比值不变，故后项也要乘以3，即为12，相当于后项加上8，故④正确；所以错误的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查比的意义及比例的基本性质，熟练掌握比和比例是解题的关键．5、A【分析】 根据题干分析可得，扇形所对的面积是等圆的面积的15，则这个扇形的圆心角的度数就是这个圆的圆心角的15，由此根据扇形的弧长公式即可得出，这个扇形的弧长是这个圆的周长的15． 【详解】 解：一个扇形的面积是同半径圆面积的15， ∴扇形圆心角的度数÷360°=15， ∴扇形的圆心角是360°÷5=72°， ∴72°的弧长是721223605r r ππ⨯⨯=⨯， 112255r r ππ⨯÷=， ∴这个扇形所含圆弧的长是同半径圆周长的15． 故选A ． 【点睛】 本题考查了扇形的面积及周长，熟练掌握公式是解题的关键． 6、B 【分析】 根据比例的基本性质即可得出结论． 【详解】 解：由::a b c d =，可得ad bc =，故①②错误，③正确 故选B ． 【点睛】 此题考查的是比例的变形，掌握比例的基本性质是解题关键． 7、C ·线○封○密○外【分析】一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此判断即可．【详解】解：A．46=23，分母含质因数3，故不能化为有限小数，故不符合题意；B．412=13，分母含质因数3，故不能化为有限小数，故不符合题意；C．416=14，分母的质因数只有2，故能化为有限小数，故符合题意；D．418=29，分母含质因数3，故不能化为有限小数，故不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了小数与分数互化的方法的应用，解题的关键是要明确：一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．8、D【分析】观察两图象，分别确定,a c的取值范围，即可求解．【详解】解：A、抛物线图象，开口向下，即0a<，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则0a>，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B、抛物线图象与y轴交于负半轴，即0c<，而一次函数图象与y轴交于正半轴，0c>，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C、抛物线图象，开口向上，即0a>，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a<，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，两图象与y 轴交于同一点，即c 相同，故本选项正确，符合题意； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20y ax bx c a ++≠＝（） a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点位置是解题的关键． 9、D 【分析】 首先，要把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数；据此逐项分析后再选择． 【详解】 解：A. 725的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数； B. 732分母中只含有质因数2，能化成有限小数； C.380的分母中只含有质因数2和5，能化成有限小数； D. 56分母中含有质因数2以外的质因数3，不能化成有限小数； 故选：D 【点睛】 此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 10、C 【分析】·线○封○密·○外根据线段与角的知识点判断即可；【详解】两点之间线段最短.故（1）正确；互为余角的两个角的和为90︒，所以α∠余角的度数为905338'3622'︒-︒=︒，故（2）正确； 两个直角互补，此时两个角既不是锐角也不是钝角，故（3）错误；互为余角的两个角的和为90︒，互为补角的两个角的和为180︒，因为该角为锐角，所以它的余角比补角小90︒，故（4）正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了线段与角的综合，准确计算是解题的关键．二、填空题1、4587.5%0.882122<<< 【分析】把各数化成用小数形式表示的准确数或近似数，再根据小数比较大小的方法即可得到答案．【详解】 解：4587.5%0.8754210.1905220.2272122==÷≈=÷≈，，，又0.1900.2270.8750.88<<<， ∴原来各数按从小到大的顺序排列为：4587.5%0.882122<<<， 故答案 为：4587.5%0.882122<<<． 【点睛】本题考查数的大小比较，把各数化成相同的形式再作比较是解题关键 ．2、35 【分析】 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】 解：213的倒数是35， 故答案为：35． 【点睛】 此题主要考查了倒数的判断，熟练掌握倒数的定义是解答此题的关键． 3、925【分析】 百分数化分数的方法是先把百分数化成分母是100的分数，再化简． 【详解】 解：36936%=10025=； 故答案为：925． 【点睛】 此题是考查百分数化分数的方法．百分数化分数的方法是先把百分数化成分母是100的分数，再化简． 4、1:2:6 【分析】 根据比的基本性质，将:1:3b c =化为:2:6b c =，然后即可得出答案． ·线○封○密○外【详解】根据比例的基本性质可知，:1:3=2:6b c=∵:1:2a b=，∴::1:2:6a b c=，故答案为：1:2:6．【点睛】本题主要考查求比值，掌握比的基本性质是解题的关键．5、1 13【分析】因为A有4张，求抽到A的可能性，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答即可．【详解】4÷52=113；故答案为：113．【点睛】本题考查了简单事件发生的可能性求解，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论．三、解答题1、29 12【分析】直接根据分数的加减运算进行求解即可．【详解】 解：13234-+ =4912122412-+ =2912． 【点睛】 本题主要考查分数的加减运算，熟练掌握分数的加减运算法则是解题的关键． 2、阴影部分的面积为28.26平方厘米． 【分析】 由题意可知：阴影部分的面积=大扇形的面积-小扇形的面积． 【详解】 阴影部分的面积=()22120 3.1433360120 3.143360⨯⨯+÷-⨯⨯÷ 28.26=（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米． 【点睛】 本题考查了组合图形的面积，明确“阴影部分的面积=大扇形的面积-小扇形的面积”是解题的关键． 3、（1）511882=+；（2）3115102=+ 【分析】 分子为1的分数叫做单位分数，将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和，要注意“不同的单位分数”，先将分子进行拆分，有的要进行化简，可得出答案． 【详解】 ·线○封·○密○外解：514118882+==+． 36151511510101010102+===+=+． 【点睛】本题考查了分数的拆分．了解单位分数的概念是解题的关键．4、约12.56厘米【分析】选择C 点作为参考，由题意可得旋转一次点C 所走的路径长为1202π2360⨯⨯，到达指定位置时，点C 总共走了三个这样的路径长，故问题得解．【详解】解：由题意得：选择C 点，则C 点所经过的路程为12032π24π12.56360⨯⨯⨯=≈（厘米）； 答：该点所经过的路程是12.56厘米．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及弧长，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．5、26.36平方厘米【分析】首先计算出空白部分的面积，再用两个圆的面积减去空白部分面积的2倍即可得到阴影部分的面积．【详解】空白部分面积：221121π 3.4 3.413π2 3.416232⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯14π 3.43=- 所以阴影部分面积：2214ππ 3.4π22( 3.4)26.363⨯+⨯-⨯-=（平方厘米） 【点睛】 解答此题的关键是求得圆的半径，掌握三角形和圆的面积公式． ·线○封○密·○外。
2019-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类：圆压轴题专项(含解析)
2019-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类：圆压轴题专项1．（2020•长宁区二模）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．2．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．3．（2020•崇明区二模）如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC 交弦AB与点D，CD＝1．（1）求圆⊙O的半径；（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG 交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．4．（2020•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O 于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．求：（1）求的值；（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．5．（2020•闵行区一模）在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D 在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB ＝．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF ＝4S△BOF，求线段AF的长．6．（2020•宝山区一模）如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x 的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．7．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．8．（2020•都江堰市模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝16．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．（1）求半径OB的长；（2）如果点P是弧AB的中点，联结PC，求∠PCB的正切值；（3）如果BA平分∠PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长．9．（2020•亳州模拟）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A 的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．10．（2019•杨浦区三模）△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G．（1）如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；（2）当圆O与圆A存在公共弦MN时（如图2），设OB＝x，MN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．11．（2019•青浦区二模）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．12．（2019•浦东新区二模）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．13．（2019•静安区二模）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD ＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．14．（2019•普陀区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O 与射线AB交于点D，以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．15．（2019•嘉定区二模）在圆O中，AB是圆O的直径，AB＝10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），点M是弦BC的中点．（1）如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；（2）如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；（3）如图3，如果AB：BC＝5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F．探究一：如果设BD＝x，FO＝y，求y关于x 的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．16．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC 上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．17．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若BE＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．18．（2019•宝山区二模）如图已知：AB是圆O的直径，AB＝10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M为弦BC的中点．（1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；（3）如果AB：BC＝5：4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．探究一：设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域．探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．19．（2019•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cos C＝，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长20．（2019•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．（1）求证：△DCE∽△BCA．（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P．①当⊙P与边AB相切时，求t的值．②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP并延长CP交边AB于点M，当△PFM与△CDE相似时，求t的值．参考答案一．解答1．（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC，∴＝．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴3∠C+90°＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，∴EC2+2EC﹣4＝0，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．2．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．3．解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，∴OC⊥AB且OC平分AB，∴AD＝3，∠ODA＝90°，设OA＝r，则OD＝r﹣1，∴r2＝32+（r﹣1）2，解得，r＝5，即圆⊙O的半径为5；（2）作OH⊥EF于点H，∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，∵OA∥BG，OG∥AB，∴四边形OABG是平行四边形，∴OG＝AB，∵AB＝6，∴OG＝6，∴sin∠OGH＝＝＝，即sin∠OGE＝．4．解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，OD过O，PE过P，∴AD＝AB，AE＝AC，∴；（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP，∵OB＝OA，PA＝PC，∴∠OBA＝∠OAB＝∠PAC＝∠PCA，即∠OBA＝∠PCA，∠BAO＝∠PAC，∴△OOA∽△CPA，∴＝，∵⊙O和⊙P的半径比为3：5，即＝，∴＝．5．解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB＝＝，∴设OH＝a，AH＝2a，∵AO2＝OH2+AH2＝5，∴a＝1，∴OH＝1，AH＝2，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝4，∵弧AC＝弧BD∴＝，∴AB＝CD＝4；（2）∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴∠OAF＝∠ECF，①当∠AFO＝90°时，∵OA＝，tan∠OBA＝，∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA＝；②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，∵OA＝，∴OF＝OA•tan∠OAF＝，∴AF＝，∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴＝＝，∴EF＝OF＝，即：EF＝或；（3）如图，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴＝， ∴＝，∴FO ＝CO ＝，∴OH ＝＝1，∴HF ＝＝，∴AF ＝AH +HF ＝2+．6．解：（1）∵直线的解析式y ＝x ，∴tan ∠A 1OB 1＝＝， ∴∠A 1OB 1＝60°，OA 1＝1，∴A 1B 1＝，OA 2＝OB 1＝2， ∴B 1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA1＝1，OA2＝2，OA3＝4，OA4＝8，∵OA4＝OB3，OH⊥A4B3，∴∠A4OH＝∠A4OB3＝30°，∴OH＝OA4•cos30°＝8×＝4．7．（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．8．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝16，∴AB＝＝12，如图1，过O作OH⊥AB于H，则BH＝AB＝6，∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BHO∽△BCA，∴，∴＝，∴OB＝9；（2）如图2，连接OP交AB于H，过P作PE⊥BC于E，∵点P是弧AB的中点，∴OP⊥AB，AH＝BH＝AB＝6，在Rt△BHO中，OH＝＝＝3，在△POE与△BOH中，，∴△POE≌△BOH（AAS），∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3，∴CE＝BC﹣OB+OE＝10，∴∠PCB的正切值＝＝；（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，∴AE＝AC＝4，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，∴△ADE∽△BDC，∴＝，设DE＝x，∴＝，∴AD＝，在Rt△ACB与Rt△AEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），∴BE＝BC＝16，∵CD2+BC2＝BD2，∴（4+）2+162＝（16+x）2，解得：x＝，∴AD＝，BD＝16+＝，∴CD＝，∴OB＝9，过O作OF⊥PB交PB于F，则△OBF∽△DBC，∴，∴＝，∴BF＝7，∴PB＝2BF＝14，∴PD＝BD﹣BP＝．9．（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．10．解：（1）圆A与圆O外切，理由如下：∵∠ACB＝90°，tan B＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，如图1所示：则PB＝PE，OP∥AC，∴＝，设PB＝PE＝x，则CG＝CE＝4﹣2x，∴OB＝＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，∵AG＝OB，∴2x﹣1＝x，解得：x＝，∴OB═，∴OA＝AB﹣OB＝5﹣＝＝2OB，∴圆A与圆O外切；（2）连接OM，如图2所示：∵圆O与圆A存在公共弦MN，∴OA与MN垂直平分，∴∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即（y）2＝x2﹣（）2，整理得：y2＝3x2+10x﹣25，∴y＝（＜x＜5）；（3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝；②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，如图3所示：作EH⊥OF于H，则OF＝OH＝﹣OB，∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，∴△BEH∽△BAC，∴＝，∴EH＝＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得：（）2+（﹣OB）2＝OE2＝OB2，解得：OB＝；③当O与A重合时，OE＝OF，F与B重合，OE＝AB＝5；综上所述，当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或5．11．解：（1）如图1中，连接CE．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CED＝90°，∴CE⊥AB，∵BD＝AD，∴CD＝AB＝，∵•AB•CE＝•BC•AC，∴CE＝，在Rt△CDE中，DE＝＝＝．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．∵∠FCK＝90°，∴FK是⊙Q的直径，∴直线FK经过点Q，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CFD＝∠CKD＝90°，∴DF⊥BC，DK⊥AC，∵DC＝DB＝DA，∴BF＝CF，CK＝AK，∴FK∥AB，∴＝，∵BC＝x，AC＝1，∴AB＝，∴DC＝DB＝DA＝，∵△ACE∽△ABC，∴可得AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝﹣，∴＝，∴＝，∴y＝（x＞1）．（3）如图3中，连接FK．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE，∵∠FKC＝∠CEG，∵FK∥AB，∴∠FKC＝∠A，∵DC＝DA，∴∠A＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，∴∠CDA＝∠ECG，∴EC＝DE，由（2）可知：＝﹣，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴BC＝1+．12．解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：∵P是优弧的中点，PH经过圆心O，∴PH⊥AB，AH＝BH，在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5，∴OH＝＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，∴AP＝＝＝4；（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示：∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，∴△OBG∽△ABM，∴＝，即＝，解得：BM＝，∴OM＝﹣5＝，∵＜，∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；（3）①当点N在线段AB延长线上时，当圆N与圆O相外切时，作OD⊥AB于D，如图3所示：∵OA＝OB＝5，∴AD＝DB＝AB＝4，∴OD＝＝＝3，∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5，∴DN＝DB+BN＝9，在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，∵圆N与圆O相切，∴圆N半径＝ON﹣5＝3﹣5；当圆N与圆O相内切时，圆N半径＝ON+5＝3+5；②当点N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点N在圆O内部，如图4所示：作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝4，OE＝＝3，∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5，∴EN＝BN＝BE＝1，在Rt△OEN中，由勾股定理得：ON＝＝＝，∴圆N半径为5﹣或5+；综上所述，当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，圆N半径的长为3﹣5或3+5或5﹣或5+．13．（1）∵证明：梯形ABCD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCB，∵PB＝PE，∴∠B＝∠PEB，∴∠DCB＝∠PEB，∴PE∥CD；（2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF，∵AD＝2，BC＝DC＝6，∴BF＝FG＝GC＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝＝4，∵PH∥AF，∴＝＝，即＝＝，∴PH＝x，BH＝x，∴CH＝6﹣x，在Rt△PHC中，PC＝，∴y＝，即y＝（0＜x＜9）；（3）解：作EM∥PD交DC于M．∵PE∥DC，∴四边形PDME是平行四边形．∴PE＝DM＝x，即MC＝6﹣x，∴PD＝ME，∠PDC＝∠EMC，又∵∠PDC＝∠B，∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EMC＝∠PBE＝∠PEB．∴△PBE∽△ECM，∴＝，即＝，解得：x＝，即BE＝，∴PD＝EC＝6﹣＝，当两圆外切时，PD＝r P+R，即R＝0（舍去）；当两圆内切时，PD＝r P﹣R，即R1＝0（舍去），R2＝；即两圆相交时，0＜R＜．14．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝，∴AC＝4，BC＝＝＝3，∵OA＝OB＝x，∴OC＝4﹣x，在Rt△BOC中，∵OB2＝BC2+OC2，∴x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝（2）如图2中，作CH⊥AB于H，OG⊥AB于G，EK⊥AC于K，连接CE．∵•AB•CH＝•BC•AC，∴CH＝，AH＝，∵OD＝OA＝x，OG⊥AD，∴AG＝DG＝OA•cos A＝x，∴AD＝x，DH＝x﹣，∴CD2＝（）2+（x﹣）2，∵AK＝AE•cos A＝y，EK＝y，∴CE2＝（4﹣y）2+（y）2，∵CD＝CE，∴（）2+（x﹣）2＝（4﹣y）2+（y）2，∴x2﹣x＝y2﹣y，∴（y﹣）2＝（x﹣2）2，∵y＜，x＞2，∴﹣y＝x﹣，∴y＝﹣x+（2＜x≤）．（3）①如图3﹣1中，当⊙C经过点B时，易知：BH＝DH＝，∴BD＝，∴AD＝5﹣＝，∴x＝，∴x＝，观察图象可知：当0＜x＜时，⊙C与线段AB只有一个公共点．②如图3﹣2中，当⊙C与AB相切时，CD⊥AB，易知OA＝2，此时x＝2，③如图3﹣3中，当＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．综上所述，当0＜x＜或x＝2或＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．15．解：（1）过点O作ON∥BC交AM于点N，如图1∴，，∵∴∵点M是弦BC的中点∴BM＝MC∴，∴OE：CE＝1：2；（2）联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC＝90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO＝90°∴∠OMC＝∠MEO＝90°，又∵∠MOC＝∠EOM∴△MOC∽△EOM；∴，∵OE：CE＝1：2∴，∵OB＝OC∴∠ABC＝∠OCM在直角△MOC中，∴；（3）探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL∥OC，∴∠LDB＝∠C＝∠B∴BL＝DL，∵AB＝10，AB：BC＝5：4，∴BC＝8，OC＝5，∵BM＝CM＝4，∴cos∠OCM＝∵DL∥OC，∴设BD＝x，则CD＝8﹣x，∴BL＝DL＝x，CH＝（8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5﹣（8﹣x），∵OH∥DL，∴，∴＝；∴y关于x的函数解析式是定义域是，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF＝OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO＝OL，∴y＝5﹣x，∴，解得：x＝，∴BD＝．16．解：（1）∵BE＝FQ，∴∠BPE＝∠FPQ，∵PE＝PB，∴∠EBP＝（180°﹣∠EPB），同理∠FQP＝（180°﹣∠FPQ），∴∠EBP＝∠FQP，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBP，∴∠FQP＝∠ADB，∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝，设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝＝，∴＝，解得：r＝，∴⊙P的半径为；（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：在Rt△ABQ中，cos∠AQB＝＝＝＝，在Rt△PQM中，QM＝PQ cos∠AQB＝，∵PM⊥FQ，PF＝PQ，∴FQ＝2QM＝，∴，当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，解得：x＝，∴x的取值范围为：；（3）设BP＝x，分两种情况：①EP∥AQ时，∴∠BEP＝∠BGQ，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠BEP，∴∠BGQ＝∠PBE，∴QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，解得：x＝，∴QG＝QB＝2x＝，∵EP∥AQ，PB＝PQ，∴BE＝EG，∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴BE＝BG＝；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），∴BQ＝2，∴BP＝1，作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠PBN＝∠ADB，∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝，即＝，∴BN＝，∴BE＝2BN＝；综上所述，或．17．（1）证明：∵ED⊥DP，∴∠EDP＝90°．∴∠BDE+∠PDA＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠PAD＝90°．∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠PAD．∴∠BDE＝∠B．∴BE＝DE．（2）∵AD＝y，BD＝BA﹣AD＝5﹣y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE＝DE，∴．在Rt△EHB中，∠EHB＝90°，∴．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．∴AB＝5．∴．∴，∴．（3）设PD＝a，则，在等腰△PDA中，，易得在Rt△PDF中，∠PDF＝90°，．∴，．若△BDP∽△DAF又∠BDP＝∠DAF①当∠DBP＝∠ADF时，即，解得a＝3，此时．②当∠DBP＝∠F时，即，解得，此时．综上所述，若△BDP与△DAF相似，线段AD的长为或．18．解：（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，∵点O是AB的中点，∴点N是AM的中点，∴ON＝BM，∵点M为弦BC的中点，∴BM＝CM，∴ON＝CM，∵ON∥BC，∴＝；（2）如图1，连接OM，∵点M为弦BC的中点，∴OM⊥BC，∵AM⊥OC于点E，∴∴∠OME+∠CME＝∠CME+∠C＝90°，∴∠OME＝∠MCE，∴△OME∽△MCE，∴ME2＝OE•CE，设OE＝x，则CE＝2x，ME＝x，在Rt△MCE中，CM＝＝x，∴sin∠ECM＝＝＝∴sin∠ABC＝；（3）探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，∵DF⊥OC，∴DL∥OC，∴∠LDB＝∠C＝∠B，∴BL＝DL，∵AB＝10，AB：BC＝5：4，设BD＝x，则CD＝8﹣x，BL＝DL＝x，CH＝，OH＝OC﹣CH＝5﹣（8﹣x），∵OH∥DL，∴＝，∴，∴y＝（其中）；探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF＝OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO＝OL，∴y＝5﹣x，∴，解得：x＝，∴BD＝．19．解：（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cos C＝，则sin C＝，sin C＝＝＝，解得：R＝；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cos C＝，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH＝BC sin C＝8，同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝4，则：tan∠CAB＝2BP＝＝，DA＝x，则BD＝4﹣x，如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，PD∥BE，tanβ＝2，则cosβ＝，sinβ＝，EB＝BD cosβ＝（4﹣x）×＝4﹣x，∴PD∥BE，∴，即：＝，整理得：y＝（0＜x＜10）；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，点D在圆P上，EP是圆Q的直径，则点D也在圆Q上，故GD为相交所得的公共弦，设∠DCP＝∠PDC＝∠α，GD是公共弦，则GD⊥PE，则∠PED＝∠BDE，∵∠EDP＝90°，∴∠PDE+∠EPD＝90°＝∠EPD+∠GDP，故∠PED＝∠EDP＝∠α，由（2）知tan∠BAC＝tanβ＝2，故tan，则cosα＝，则AD＝AG＝x，在Rt△EPD中，ED＝2PD＝2x，在Rt△BED中，ED＝2x，则EB＝ED＝x，则EC＝CB﹣BE＝10﹣x，在Rt△CGE中，CG＝AC﹣AG＝10﹣2x，cos∠C＝＝＝，解得：x＝；GD＝2PD cosα＝2x cosα＝2××＝．20．（1）证明：由题意得：CD＝t，CE＝t，由勾股定理得，BC＝＝12，＝，＝＝，∴＝，又∠C＝∠C，∴△DCE∽△BCA；（2）①连结CP并延长CP交AB于点H，∵∠ACB＝90°，∴DE是⊙P的直径，即P为DE中点，∴CP＝DP＝PE＝DE，∴∠PCE＝∠PEC，∵△DCE∽△BCA，∴∠CDE＝∠B，∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠B+∠HCB＝90°，即CH⊥AB，∵⊙P与边AB相切，∴点H为切点，CH为⊙P的直径，∵sin A＝＝，∴＝，解得，CH＝，∴DE＝，sin A＝sin∠CED＝＝，即＝，解得，CD＝，∴t＝；②由题意得，0＜t≤12，即0＜t≤9，∵CD＝t，CE＝t，∴DE＝＝t，由①得，CM＝，CP＝DE＝t，CM⊥AB，∴PM＝﹣t，PF＝CP＝t，∠PMF＝90°，当△FMP∽△DCE时，＝，即＝，解得，t＝；当△PMF∽△DCE时，＝，即＝，解得，t＝；∴综上所述：当△PFM与△CDE相似时．t＝或t＝．。