曲面壁静水总压力案例二.
流体力学 第二章 水静力学 (2)
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
曲面上的静水总压力
A F
B
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Fx
Fz
17
第六节 曲面上的静水总压力
三、压力体的概念 定义 压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分） 到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空 间体积。 数学体积计算式
Vp
hdA
A
z
作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的 重量，并且与压力体内是否充满液体无关。
（N） 合力通过球心与水平方向夹角为 1 F z左 1 69.3 tg tg 7 3528 Fx左 520
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图2-26
ห้องสมุดไป่ตู้
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30
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Fx ghc Ax
【例2-7】 求图2-25所示流体施加到水平放置的单 位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（a）如果圆 柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内 的气体；（b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆 柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。 【解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影 为则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的 水平分力为 Az=[4-2(1-cos300)] ×1 则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水 平分力为 Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)] ×1 =353.75=130.5(kN) 圆柱体表面所研究部分的净水平投影为
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第六节 曲面上的静水总压力
三、压力体的概念 压力体体积的组成： （1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。 压力体
作用于曲面上的静水总压力(PPT 60张)
静水总压力水平分力
d P P d P P
x x
c
x
d
P P
c
x
o d
s
o
A
d
A d A A
x
d c
x x
P o s
c
o
s
x
s
x
h
A
x
h h
c
d A
P
Ax : 曲面在铅垂面上的投影面（平面）的面积 hc : Ax形心点水深（埋深）
作用点：Px 通过投影面Ax平面压力中心
z
d P
z
d P sin
顶部
z
h d A
sin
体积形心
z
d A P
sin d A
A
侧部
z
h d A h d A
z
z
V P
z
A
z
V
底部 图2.6.10 压力体构成示意
V ：压力体体积
Pz作用线通过压力体的体积形心
21
顶部
侧部 Pz = γV 底部
x
d P cos
cos
A
d P
x
y
x
h d AdPcos d A
A x x
E
h
dP
dPz
d A P
x
α
dPx
α dA dAz
dAx
x
x
工程流体力学2_3平面和曲面上的总压力
yc 为平面A的形心C点处的y坐标
hc yc sin 为形心的淹深
1. 总压力的大小
液体作用在平面A上的总压力为：
F gyc sin A ghc A pc A
pc 为形心处的压强，表明液体作用在平面A上的总压力大小 等于形心压强乘以面积 。方向垂直指向平面。
请回答开始提出的问题
A
A
A
A
的垂直分力方向向下。
pa O A
pa OA
pa OA
虚压力体：b；对应的垂直
分力方向向上。
B B
a
b
压力体的大小均为： Vp VOAB
B c
复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出。
g
b c d
实压力体？ 虚压力体？
h A
2. 总压力的作用点（压力中心）
D(xD , yD )
由合力矩定理，得 FyD
ydF gsin
A
y2dA
A
面积A对Ox轴的惯性矩为
Ix
y2dA
A
总压力 F ghc A gyc Asin
所以
yD
Ix yC A
由平行移轴定理，知 I x Icx yc 2 A
其中：I c为x 面积A对C轴的惯性矩，
角为，面积为A。平面在oxy平面内，
原点O在自由液面上，y轴沿斜平面向下。 z轴和平面相垂直。
在平面A上取微元面积dA，淹深为 h y sin
作用在dA 和A上的总压力为：
dF ghdA gy sin dA F= dF=ρ gsinθ ydA
A
A
在几何上，平面A 对ox 轴的面积矩
A ydA yc A
C平行于Ox轴且通过形心C。
静水总压力解-PPT
P bAP VP
垂直指向受压面
➢ c.静水总压力作用点—压力中心
➢矩形平面受到的静水总压力通过压强分布图的
形心，且落在对称轴上，见图
➢ 梯形压力分布 e L 2h H
图的形心距底
3 hH
b
h
➢ 三角形压力分
布图的形心距底
e L 3
P
Ap
L
e
H
（2） 任意平面上的静水总压力的计算 适用条件：受压面为任意平面。
p p' pa 94.8 98 3.2kPa
相对压强为负值，说明C 点存在真空。则
pv pa p' 98 94.8 3.2kPa
4. 压强的单位及表示方法
•一个工程大气压为 98kN/m2（Kpa）， •相当于 10 m(H2O) 或 736 mm(Hg)
• 在静水压强分布公式 z p C 中，各项都为长度单
以当地大气压为
零点，记为 p
两者的关系为:
p p p a
水利工程中，自由面上的气体压强等于 大气压强，则液体内任一点的相对压强为
p ( pa h) pa h
（3）真空压强
相对相 对压强为负 值时，其绝 对值称为真 空压强
压强
大气压强 pa
pv pa p p
O
A
A点相 对压强
合力与水平线的夹角
tg 1( pz ) tg 1( 774.6) 16.91
px
2548
压力中心D
h D 4 10 sin16.91 6.91m
静水总压力为2663KN；合力作用线与水平 方向的夹角为16.91°，合力与闸门的交点到 水面的距离6.91米。
本章小结
1．概念 （1）静水压强的两个特性； （2）静水压强方程式的几何意义和物理意义； （3） p、p、p的V 定义及其相互关系；
作用于曲面壁上的静水总压力
第五节 作用于曲面壁上的静水总压力一、 静水总压力的两个分力水工建筑物中常碰到受压面为曲面的情况，如弧形闸门、拱坝坝面、闸墩及边墩等。
其水力计算归为曲面壁静水总压力的求解。
因曲面上各点静水压强的方向也是垂直指向作用面，各点压力互不平行，则求平面壁静水总压力的方法这里不再适用。
但是我们可以将曲面壁上的静水总压力分解为水平方向的力P x 和铅直方向的力P z ，分别求解，然后再根据求合力的法则，求出静水总压力P 。
公式推导如下。
现以弧形闸门AB 为例，讨论曲面壁静水总压力计算问题。
见图2-24。
为了确定P x 、P z ，先取宽度为b （即闸门宽度）、截面为ABC 的水体为脱离体。
z图 2-23(a)(b)(c)注意：从Ａ点向下做一铅直平面AC ，从Ｂ点做一水平面BC ，两平面的相交于Ｃ，由曲面AB 与AC 、BC 平面包围的水体即为ABC 脱离水体，如图2-23（b ）所示，研究该水体的平衡。
在图2-23中P '── 闸门AB 对水体的反作用力，与P 等值反向； x P '、z P '── P '的水平分力和铅直分力；AC P 、BC P ──作用在AC 、BC 面的静水总压力；G ── 脱离体水重。
1. 静水总压力的水平分力分析脱离水体的受力情况，如图2-23(b )所示。
列水平方向的静力平衡方程得：x P '=AC P根据作用力与反作用力大小相等，方向相反的原理，闸门受到的水平分力为x x P P '==AC P （2-33）因AC 为铅直面，而且相当于曲面AB 在铅直投影面上的投影，则由上式可知：作用于曲面壁上静水总压力的水平分力P x 等于作用于该曲面在铅直投影面上的静水总压力。
因此，求水平方向的静水总压力可归结为：将曲面投影到铅直投影平面上，再计算出铅直投影面上所受到的静水总压力即为P 的水平分力P x 。
2. 静水总压力的铅直分力P z根据静力平衡条件，列出铅直方向的静力平衡方程式得：G P P BC z -='由于BC 水平面是以BC 和b 为边的矩形平面，其面积可用A BC 表示，，所处水深为h 2，其面上各点的压强都等于2h γ，则MCBN BC BC V A h P γγ==2式中V MBCN —— 以MCBN 为底面积、b 为宽度的棱柱体体积。
作用于曲面壁上的静水压力
作用于曲面壁上的静水总压力在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形闸门、闸墩及边墩等。
这就要求确定作用于曲面上的静水总压力。
作用于曲面上任意点的静水压强也是垂直指向作用面，即曲面上各点的内法线方向，并且其大小与该点所在的水下深度成线性关系。
因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图，如图1-16所示。
由于曲面上各点的法线方向各不相同，因此不能像求平面上的总压力那样通过直接积分求其合力。
为了将求曲面上的总压力问题也变为平行力系求合力的问题，以便于积分求和，通常将曲面上的静水总压力P分解成水平分力和铅直分力，然后再合成P。
图1-165.1静水总压力的两个分力图1-17对于母线为水平线的二维曲面，可取Oz轴铅直向下，Oy轴与曲面的母线平行。
此时二维曲面在xOy平面上的投影将是一根曲线，如图1-17上的EF。
在这种情况下，P y=0，问题转化为求P x和P z的大小及其作用线的位置。
5.1.1 静水总压力的水平分力作用于曲面上静水总压力P的水平分力P x为P x=γh c A x(1-34) c点为曲面EF的铅直投影面E′F′的形心点。
上式表明：作用于二维曲面EF上的静水总压力P的水平分力P x等于作用于该曲面的铅直投影面A x(E′F′)上的静水总压力。
因此可按确定平面上静水总压力(包括大小和作用点)的方法来求解P x。
5.1.2 静水总压力的铅直分力作用于曲面上静水总压力P的铅直分力P z为P z=γV EE′′F′′F=γV压（1-35）V压表示以EE′′F′′F为底面积，高度为b（二元曲面壁的宽度）的棱柱体体积。
上式表明：作用于二维曲面EF 上的静水总压力P 的铅直分力P z 等于压力体内水的重量。
在实际计算中，只要求得V 压，就可求得P z ，关键在于掌握压力体的构成。
5.1.3 压力体的组成压力体应由下列界面所围成：（1）受压曲面本身；（2）受压曲面在自由液面(或自由液面的延展面)上的投影面，如图1-17(或图1-18)所示；（3）从曲面的边界向自由液面(或自由液面的延展面)所作的铅直面。
工程流体力学26曲面上的静水总压力
V p ? Aabcd ?b
第六第节六节曲面曲上面的上静的水静总水压总力压力
三、压力体的概念 ? 压力体的种类： ? 实压力体：实压力体方向向下 ? 虚压力体：虚压力体方向向上
实压力体
虚压力体
第六节 曲面上的静水总压力 三、压力体的概念
? 压力体的绘制（一）：
第六节 曲面上的静水总压力 三、压力体的概念
dA z
dx
dA x dh
?
ds
曲面面积在垂直平面（OYZ 坐标面）上 的投影面积AX 对OY 轴的面积矩
? 该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积Ax=bH ，
? 其形心hc=H/2 ?则
Fx ?
1 ? gbH
2
2
第六节 曲面上的静水总压力
一、总压力的大小和方向
dAz
dx
1. 水平分力 Fx ? ?g ??hdAx ? ?ghc Ax
Fx
?
1 ? gbH
2
2
? 静止液体作用在曲面上垂直分力Fz Fz ? ?gV p
? 静止液体作用在曲面上的总压力
F ? Fx2 ? Fz2
? 总压力与垂线间夹角的正切为
tg? ? Fx
Fz
第六节 曲面上的静水总压力
二、总压力的作用点 ?总压力的作用线通过Ｏ点以及 F x 和Fz 作用线的交点。 ?总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用 点，即压力中心。
2. 垂直分力
曲面AB与自由液 面间的柱体体积
??hdAz ? Vp
A
Fz ? ?gV p
dAz
dx
dAx dh
?
ds
压力体
静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压 力体的液体重量，Fz的作用线通过压力体的重心。
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曲面壁静水总压力计算案例
水力分析与计算
主讲人:张伟丽 山西水利职业技术学院
2015.04
曲面壁静水总压力计算内容
A
R=10.0m
Φ
Px
θ
P
B Pz
水力分析与计算
• 1、求水平分力 Px :
曲面在铅直投影面上的投影所受 静水总压力
（利用平面壁方法求解）
O
2、求铅直分力Pz:
等于水的容重与压力体的体积之积：
Px
3773
6、作用点
ZD R sin 10 sin 26.84 4.52m
A
Px
R
D Pz
R=10.0m
O
ZD
B
水力分析与计算
小
结
曲面壁静水总压力的求解步骤： 一、大小
（一）水平分力PX PX大小等于铅直投影面上的静水总压力 关键：绘制静水压强分布图
（二）铅直分力Pz
Pz大小等于容重乘以压力体体积
24.99m2
B
S矩形AEDC h1 AC h1 (R Rcos) 2(10 10cos44.430) 5.72m2
S压力体 S扇形OAB S三角形OBC S矩形AEDC 38.75 24.99 5.72 19.48m2
• 3、求解铅直分力
h2=9.0m Δh=7.0m h 1= 2.0m
A
R=10.0m
Φ
472.00m B
479.00m
解： 根据已知情况得：
h 1= 2.0m
O
Δh=479.00-472.00=7.0m
h2=h1+Δh=2.0+7.0=9.0m
门宽b =10.0m
半径 R = 10.0m 求：静水总压力
水力分析与计算
Pz A
C R cos 479.00m
Φ
O
Δh=7.0m
arcsin h arcsin 7 44.43o
R
10
S扇形OAB
R2
360
44.43 360
3.14 102
38.75m2
S三角形OBC
1 2
h
R cos
0.5 710 cos44.43
Pz = γV压力体
Z0 • 3、总压力的大小：
P =（Px2 + Pz2)0.5
• 4、方向及方向角
方向角θ = arctan(Pz/Px)
• 5、压力中心D到转轴的铅直距 离
Z0 = R .sinθ
案例基本情况
某水库泄洪闸为弧形闸门，前有胸墙。闸门宽10m，门轴高程479.00m， 门底高程472.00m，旋转半径R=10.0m。求闸门全关、胸墙上游水面到门 顶水深h1=2.0m时弧形闸门所的静水总压力
•h2=9.0m Δh=7.0m h 1= 2.0m
案例解析（一）求解 水平分力Px
1
19.6KPa
A
Px
479.00m
Φ O
472.00m
88.2KPa 1
B
1、绘制铅直投影面压强分布图
（1）取铅直投影面1-1，并将A、B两点水平投影到铅直投影面上
（2）求上下端点压强
p1= γh1=9.8×2.0=19.6KPa p2=γh2=9.8×9=88.2KPa
Pz V压力体 S压力体 b 9.819.48 10 1909 .04 KN
水力分析与计算
案例解析（三）求解合力P、方向角θ 及转由高度Z0
4、静水总压力P
P Px2 Pz2 37732 1909.042 4228.47KN
5、方向
arctan Pz arctan 1909 .04 26.84 KN
2、求水平分力Px
Px S b
水力分析与计算
1 2
(
p1
p2
)
h
b
1 2
(19.6
88.2)
7
10
3773KN
案例解析（二）求解铅直分力Pz
• 1、绘制压力体剖面图
E
D
• 顶面为水平延长线，底面为曲面本 身，侧面为A、B点向上铅直面。
• 2、求压力体剖面面积S压力体：
h1=2.0m
.3、定位置：
压力山中心西D水点利位置职：业合技力术作学用线院通过压强分布图形心，且在受压面的 对称上，长距江底工部的程距职离业用技e表术示学。院不同的形状压强分布图e的计算公式不
同。
水力分析与计算
关键：绘制压力体剖面图
（三）求合力P
二、方向
P Px2 Pz2
三、作用点
arctan Pz Px
ZD R sin
水力分析与计算
结论
主持单位: 广东水利电力职业技术学院 黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨1、凌求职大小业：技关术键学是院正确绘制压强分布图
P = S•b
四川水利职业技术2学、院定方向： 安徽水利职业ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂术直学并院指向受压面；