高中数学人教版人教A版选修2-1 课件：1.2 充分条件与必要条件
第一章 常用逻辑用语
§1.2 充分条件与必要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
充分条件与必要条件
思考
解答
反思与感悟
探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条
件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先
寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.
知识点二
充要条件
思考
在△ABC 中，角 A 、 B 、 C 为它的三个内角，则 “A 、 B 、 C 成等 差数列”是“B＝60°”的什么条件？ 答案 因为 A 、 B 、 C 成等差数列，故 2B ＝ A ＋ C ，又因为 A ＋ B ＋ C ＝ 180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列” 是“B＝60°”的充分必要条件.
用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后； 答案 如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是 落后的充分条件.
②只有同心协力，才能把事情办好.
同心协力是办好事情的必要条件.
答案
梳理
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时， 必要 我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 充分 条件，q是p的_____ 条件. 充分而不必要 (2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的 必要而不充分 称p是q 的 条件. 条件，若q⇒p，但p⇏q，
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B， 则p是q的充分条件， 若AB， 则p是q的充分不必要条件 若B⊆A， 则p是q的必要条件， 若BA， 则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的 A.充分条件 C.既不充分也不必要条件
答案 解析
B.必要条件 D.无法判断
结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求 例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形； 四边形是矩形⇒四边形的对角线相等， ∴p是q的必要不充分条件.
(3)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1；
∵x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1；
解答
x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2，∴p 是 q 的充要条件.
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根； 解答
所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.
命题角度2 在实际问题中的判断 例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
解答
反思与感悟
“ 充分 ” 的含义是 “ 有它即可 ” ， “ 必要 ” 的含义是 “ 无它不可 ”. 用 日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解 和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明 白、透彻.
题型探究
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； 解答
∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解答
反思与感悟
判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命 题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断 中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q 的必要不充分条件 ⇔ 集合 PQ ， P 是 Q 的充要条件 ⇔ 集合 P ＝ Q ， P 是 Q 的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复 杂的关系，常用⇒ ，⇐， ⇏ 等符号进行传递，画出它们的综合结构图， 可降低解题难度.
若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
1 1 1 即 m<－4.∵m<－1⇒m<－4；m<－4⇏m<－1，
∴p是q的充分不必要条件. (5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
解答
由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又 当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的 充要条件.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0<a<4； 当a＝0时，1>0满足题意；
2 Δ ＝ a －4a<0， 当 a≠0 时，由 可得 0<a<4. a>0，
解答
故p是q的必要不充分条件.
6 (2)p：|x－2|<3，q： <－1； x－5
易知p：－1<x<5，q：－1<x<5， 所以p是q的充要条件.
解答
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； 解答
因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
α＋β>4， α>2， (4)p： q： αβ>4. β>2，
解答
α>2， 由 根据同向不等式相加、相乘的性质， β>2， α＋β>4， α＋β>4， α>2， 有 即 p ⇒ q . 但 ⇏ αβ>4 αβ>4， β>2， α＋β＝6>4， 比如，当 α＝1，β＝5 时， 而 α<2， αβ＝5>4，
梳理
(1) 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q ，此时，我们说， p 是q的 充分必要 条件，简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为 真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q， 那么p与q互为充要条件.
§1.2 充分条件与必要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
充分条件与必要条件
思考
解答
反思与感悟
探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条
件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先
寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.
知识点二
充要条件
思考
在△ABC 中，角 A 、 B 、 C 为它的三个内角，则 “A 、 B 、 C 成等 差数列”是“B＝60°”的什么条件？ 答案 因为 A 、 B 、 C 成等差数列，故 2B ＝ A ＋ C ，又因为 A ＋ B ＋ C ＝ 180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列” 是“B＝60°”的充分必要条件.
用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后； 答案 如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是 落后的充分条件.
②只有同心协力，才能把事情办好.
同心协力是办好事情的必要条件.
答案
梳理
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时， 必要 我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的 充分 条件，q是p的_____ 条件. 充分而不必要 (2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的 必要而不充分 称p是q 的 条件. 条件，若q⇒p，但p⇏q，
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B， 则p是q的充分条件， 若AB， 则p是q的充分不必要条件 若B⊆A， 则p是q的必要条件， 若BA， 则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的 A.充分条件 C.既不充分也不必要条件
答案 解析
B.必要条件 D.无法判断
结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求 例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形； 四边形是矩形⇒四边形的对角线相等， ∴p是q的必要不充分条件.
(3)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1；
∵x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1；
解答
x－1＝ x－1⇒x＝1 或 x＝2，∴p 是 q 的充要条件.
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根； 解答
所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.
命题角度2 在实际问题中的判断 例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
解答
反思与感悟
“ 充分 ” 的含义是 “ 有它即可 ” ， “ 必要 ” 的含义是 “ 无它不可 ”. 用 日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解 和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明 白、透彻.
题型探究
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； 解答
∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解答
反思与感悟
判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命 题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断 中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q 的必要不充分条件 ⇔ 集合 PQ ， P 是 Q 的充要条件 ⇔ 集合 P ＝ Q ， P 是 Q 的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复 杂的关系，常用⇒ ，⇐， ⇏ 等符号进行传递，画出它们的综合结构图， 可降低解题难度.
若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
1 1 1 即 m<－4.∵m<－1⇒m<－4；m<－4⇏m<－1，
∴p是q的充分不必要条件. (5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
解答
由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又 当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的 充要条件.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0<a<4； 当a＝0时，1>0满足题意；
2 Δ ＝ a －4a<0， 当 a≠0 时，由 可得 0<a<4. a>0，
解答
故p是q的必要不充分条件.
6 (2)p：|x－2|<3，q： <－1； x－5
易知p：－1<x<5，q：－1<x<5， 所以p是q的充要条件.
解答
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； 解答
因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
α＋β>4， α>2， (4)p： q： αβ>4. β>2，
解答
α>2， 由 根据同向不等式相加、相乘的性质， β>2， α＋β>4， α＋β>4， α>2， 有 即 p ⇒ q . 但 ⇏ αβ>4 αβ>4， β>2， α＋β＝6>4， 比如，当 α＝1，β＝5 时， 而 α<2， αβ＝5>4，
梳理
(1) 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q ，此时，我们说， p 是q的 充分必要 条件，简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为 真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q， 那么p与q互为充要条件.
合集下载
人教A版高中数学选修2-1《1.2充分条件与必要条件》课件
反思与感悟
探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条 件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先 寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1 是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由. 解答
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
答案 解析
结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求 例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 解答
(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交. 解答
由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又 当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的 充要条件.
反思与感悟
判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命 题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断 中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合P Q，P是Q 的必要不充分条件⇔集合P Q，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q 的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复 杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图， 可降低4 已知 A，B 是直线 l 上的任意两点，O 是直线 l 外一点，求证：点 P 在直线 l 上的充要条件是O→P＝xO→A＋yO→B，其中 x，y∈R，且 x＋y＝1.
高二数学人教A版选修2-1课件：1.2充分条件与必要条件 (共38张PPT)
所以p q,但q⇒p,
所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(2)①因为α= ⇒cosα= 1 ,但cosα= 1 α= ,
3
2
2
3
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0,所 以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件? 【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则 x=y”及逆命题是否成立,原命题成立p是q的充分条件,逆命题 成立p是q的必要条件. 【解析】由于|x|=|y| x=y,比如x=-1,y=1时,|x|=|y|,但 x≠y; 但x=y⇒|x|=|y|,故p q,但q⇒p. 所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
【补偿训练】“m= 1 ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+
2
(m+2)y-3=0相互垂直的
条件.
【解析】当m= 1 时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需
2
(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即m= 1 或m=-2,
2
因此,m= 1 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.
2
答案:充分条件但不是必要
类型二 充分条件与必要条件的应用
【典例2】
(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a=
.
(2)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
2019-2020人教A版数学选修2-1 第1章 1.2 充分条件与必要条件课件PPT
栏目导航
1．“x＞0”是“3 x2＞0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当 x＞0 时，3 x2＞0 成立；但当3 x2＞0 时，得 x2＞0，则 x ＞0 或 x＜0，此时不能得到 x＞0.]
栏目导航
2．已知 a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c 成等差数列”
栏目导航
1．(1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－21＜12”是“x3＜1”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
栏目导航
A [由x－12＜12得－12＜x－12＜12，解得 0＜x＜1. 由 x3＜1 得 x＜1.当 0＜x＜1 时能得到 x＜1 一定成立；当 x＜1 时，0＜x＜1 不一定成立．所以“x－12＜12”是“x3＜1”的充分而不 必要条件．]
[提示] (1)相同，都是 p⇒q.(2)等价．
栏目导航
2．充要条件 (1)一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.此时，我 们说，p 是 q 的 充分必要 条件，简称 充要 条件． 概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要 条件． (2)若 p⇒q，但 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (3)若 q⇒p，但 p q，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (4)若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
3．能够利用命题之间的关系判定充要关 的判断及应用，提升学生的
系或进行充要条件的证明．(难点)
逻辑推理素养.
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．充分条件与必要条件
1．“x＞0”是“3 x2＞0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当 x＞0 时，3 x2＞0 成立；但当3 x2＞0 时，得 x2＞0，则 x ＞0 或 x＜0，此时不能得到 x＞0.]
栏目导航
2．已知 a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c 成等差数列”
栏目导航
1．(1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－21＜12”是“x3＜1”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
栏目导航
A [由x－12＜12得－12＜x－12＜12，解得 0＜x＜1. 由 x3＜1 得 x＜1.当 0＜x＜1 时能得到 x＜1 一定成立；当 x＜1 时，0＜x＜1 不一定成立．所以“x－12＜12”是“x3＜1”的充分而不 必要条件．]
[提示] (1)相同，都是 p⇒q.(2)等价．
栏目导航
2．充要条件 (1)一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.此时，我 们说，p 是 q 的 充分必要 条件，简称 充要 条件． 概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要 条件． (2)若 p⇒q，但 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (3)若 q⇒p，但 p q，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (4)若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
3．能够利用命题之间的关系判定充要关 的判断及应用，提升学生的
系或进行充要条件的证明．(难点)
逻辑推理素养.
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．充分条件与必要条件
最新高二数学人教A版选修2-1课件：1.2充分条件与必要条件(共34张PPT)
类型二 用集合法判断充分条件、必要条件
[例2] 0<x<5是不等式|x－2|<4成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[分析] |x－2|<4⇒－2<x<6，由小范围可推出大 范围原理可得答案．
[点评] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙 为x∈B.
尝试应用 1．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是 () A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：B
2．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的( )
A．充分条件
设A＝{x|x2－x－2>0}， [分析] B＝{x|4x＋p<0
化简A、B
→ 得A、B的包含关系→ 求得p的范围
[点评] 1.根据定义，已知p是q的充分条件(或q是p 的必要条件)，则p⇒q成立．
2．可从集合的角度判断： ①若集合A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要 条件． ②若集合A B，则A不是B的充分条件，B也不是 A的必要条件．
1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原 命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也 可称q是p的必要条件．
2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆 命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可 称q是p的充分条件．
2．若p是q的充分条件，这样的条件p是惟一的吗？ 提示：不惟一．如1<x<3是x>0的充分条件，又如， x>5,2<x<7等都是x>0的充分条件．
1.2充分条件与必要条件-人教A版高中数学选修2-1课件
第一章 1.2充分条件与必要条件
1.2 充分条件与必要条件
旧知复习
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
课堂导入
情境一：
如果同学甲是我校高二年级的学生， 那么该生一定是我校学生吗？
反之，若同学甲是我校学生，则他 一定是我校高二年级学生吗？
充分条件的含义用通俗语言来说是指“有它就行” 必要条件的含义用通俗语言来说是指“缺它不行”
【定义得出】
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那 么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．
注： ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的情势, 即“有之必成立”。
自主建构 【课堂活动】
请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存
在的是否是充分条件或必要条件的关系.
知识联系
p: xZ, q: xR
pq
思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系.
p : x A, q : x B ，且 p q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系？
任意x A,则x B, 即：A B
A
B
A、B
历史文化
p : x A, q : x B ，且 p q ,则 A B .
A
B
A、B
我国战国时期，墨子所著《墨经》 充分条件：有之则必然，无之则未必不然； 必要条件：无之则必不然，有之则未必然 。
理性认识
原命题： 若 p 则 q ， 为真命题； 逆否命题：若 q 则 p ，为真命题.
1.2 充分条件与必要条件
旧知复习
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
课堂导入
情境一：
如果同学甲是我校高二年级的学生， 那么该生一定是我校学生吗？
反之，若同学甲是我校学生，则他 一定是我校高二年级学生吗？
充分条件的含义用通俗语言来说是指“有它就行” 必要条件的含义用通俗语言来说是指“缺它不行”
【定义得出】
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那 么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．
注： ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的情势, 即“有之必成立”。
自主建构 【课堂活动】
请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存
在的是否是充分条件或必要条件的关系.
知识联系
p: xZ, q: xR
pq
思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系.
p : x A, q : x B ，且 p q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系？
任意x A,则x B, 即：A B
A
B
A、B
历史文化
p : x A, q : x B ，且 p q ,则 A B .
A
B
A、B
我国战国时期，墨子所著《墨经》 充分条件：有之则必然，无之则未必不然； 必要条件：无之则必不然，有之则未必然 。
理性认识
原命题： 若 p 则 q ， 为真命题； 逆否命题：若 q 则 p ，为真命题.
《充分条件与必要条件》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1.2.1课时)
• “x>2ab”是“x>a²+b² ”的必要条件.
新知探究
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q
的充分条件？
（1）若x 1，则x 2 4 x 3 0; （2）若f ( x) x，则 f ( x)为增函数;
（3） 若x为 无 理 数, 则x 2为 无 理 数.
例如 例1中的命题（3）是假命题，那么，x为无理数
课前导入
通过这个小小的例子，同学们是否对充分条件和必要条件有了大概的理解呢？ 接下来，让我们深入学习“充分条件”和“必要条件”这两个概念.
新知探究
1、一般地：若p则q为真，记作： p q 或 q p 若p则q为假，记作： p q
例如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两个三形全等
例例如如
两个三形全等
两三角形面积相等。
“两个三形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件
“两三角形面积相等”是“两个三形全等 ”的必要条件
新知探究
因此：上面的命题
（1）若x＞a²+b²，则x＞2ab. 是真命题，即x>a²+b²
x>2ab.
所以，
• “x>a²+b² ”是“x>2ab”的充分条件；
课堂练习
“
6
”是“
cos 2 1
2
”的（ A ）
A． 充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
课堂练习
指出下列各组命题中，p是q 的什么条件，q是p的什么条件？
（1） p : a Q q : a R
（2） p : a R q : a Q
人教A版高中数学选修2-1课件：1.2.2 充要条件 精品
则称 p 是q 的充分必要条件， 也可以说 q 是 p 的充分必要条件，
简称充要条件.
例题
例1 对下列命题,判断前者是后者的什么条件，
后者是前者的什么条件. （1）若 x y，则x2 y2 ；
（2）面积相等的三角形是全等三角形；
（3）若三角形的三条边相等，则三个角也相等；
（4）若 a2 b2，则a b.
回顾
1.充分条件和必要条件：
如果已知p q,则p是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
如果已知p q, 但q p,则p 是 q
的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件.
思考
ABC中，p: A > B， q: BC > AC.
因为： A > B BC > AC , 即：p q,
所以p 与 q 互为充要条件. 若p q且q p,即q p,
充要
内错角相等 (x 2)(x 3) 0
两x直 2线平0行 必要不充分 充分不必要
四边形对角线 四边形是平行
既不充分 也不必要
既不充分 也不必要
相等
边形
充分不必要 必要不充分
例3 判断下列电路图中p与q的充要关系,其中p：
开关闭合, q：灯亮.
p
q
p
q
（1）充要条件
p
q
（2）充分不必要
p
q
（3）必要不充分
答：（1）充分不必要；
必要不充分.
（2）必要不充分；
充分不必要.
（3）充要；
充要.
（4）既不充分也不必要； 既不充分也不必要.
例2 填表
p
x0
q
xy 0
p是q的什 q是p的什 么条件 么条件
简称充要条件.
例题
例1 对下列命题,判断前者是后者的什么条件，
后者是前者的什么条件. （1）若 x y，则x2 y2 ；
（2）面积相等的三角形是全等三角形；
（3）若三角形的三条边相等，则三个角也相等；
（4）若 a2 b2，则a b.
回顾
1.充分条件和必要条件：
如果已知p q,则p是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
如果已知p q, 但q p,则p 是 q
的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件.
思考
ABC中，p: A > B， q: BC > AC.
因为： A > B BC > AC , 即：p q,
所以p 与 q 互为充要条件. 若p q且q p,即q p,
充要
内错角相等 (x 2)(x 3) 0
两x直 2线平0行 必要不充分 充分不必要
四边形对角线 四边形是平行
既不充分 也不必要
既不充分 也不必要
相等
边形
充分不必要 必要不充分
例3 判断下列电路图中p与q的充要关系,其中p：
开关闭合, q：灯亮.
p
q
p
q
（1）充要条件
p
q
（2）充分不必要
p
q
（3）必要不充分
答：（1）充分不必要；
必要不充分.
（2）必要不充分；
充分不必要.
（3）充要；
充要.
（4）既不充分也不必要； 既不充分也不必要.
例2 填表
p
x0
q
xy 0
p是q的什 q是p的什 么条件 么条件
人教A版高中数学选修2-1课件《1.2.1充分条件与必要条件》
(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)P:x>0,y>0,q:xy>0;
p q.
(3)P:a>b,q:a+c>b+c.z`xx··k
解：在(1)(3)中，pq ,所以(1)(3)中的p是q的充 要条件。在(2)中，qp，所以(2)中p的不是q的
充要条件。
归纳
、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假：
z··x`````x··k
（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
（3）sin=sin是=的充分 条件；
（4）ab0是a0的= 充分条=件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
充分非必要条件
必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件
推理的本质: 强推弱,小推大
1)
B
A
2)
A
B
3）若AB且BA，则甲是乙的 4）若A=B，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 充分且必要条件
A
B
A=B
3)
4)
小结充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B充亮分的不条必件要； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B必亮要的不条充件分； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充条要 件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
数学：1.2《充分条件与必要条件》PPT课件(新人教A版-选修2-1)
2.充要条件的证明
例 1、已知 x 、 y 是非零实数，且 的充要条件是 xy 0 . x y , 求证： 1 x 1 y
注意：分清p与q.
证明：充分性
p : xy 0
q:
1 x
1 y
( p q)
x 0 或 y 0
x 0 若 xy 0 , 则 y 0
引申
①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件.
x y 当 x 0 , y 0 时，有：
当 x 0 , y 0 时，有： 1 x 1 y .
1 x
1 y
.
必要性 ( q p ) 若 1 x 1 y , 则有： y x xy 0 , 即 xy ( y x ) 0 .
x y y x 0 xy 0 .
. 条件是（） D.x 0 或 x 0
例 5、设 、 、 为平面， 一个充分条件是（
m 、 n 、 l 为直线，则 ） .
m 的
D
A. ， l , m l C . , , m
B. m , , D.n , n , m
判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 x 1 ，则
（2）若
2 2
x
2
1
；
高中数学选修2-1-1.2充分条件与必要条件.ppt
(3)若x为无理数，则x2为无理数. 点拨：事实上就是判断“p q”是否为真命题。
如(1)中“x＝1” “x2-4x+3=0”，所以“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推， 故“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件.
例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题 q是p的必要条件？ (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc.
二、概念理解
注意下列说法：
1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件;
这时pq成立（是真命题）
q p也成立
2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件; 这时q p成立（是真命题）
p q也成立
比较下列说法：
1 p是q的充分条件； 这时pq成立 2 p成立的一个充分条件是q. q p 3 p是q的必要条件； q p 4 q成立的一个必要条件是p. q p 5 p是q的充要条件； 6 q成立的充要条件是p.
课内活动
运用本节课所讲的知识填空
①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件； ②“x＞5”是“x＞3”的 条件； ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件； ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5
整除”的 条件；
⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等” 的 条件； （1）充分非必要 （2）充分非必要
数学运用
例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么 条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
（1）充分不必要条件 （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（2）充要条件 （3） p：a>b；q：a2>b2
如(1)中“x＝1” “x2-4x+3=0”，所以“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推， 故“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件.
例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题 q是p的必要条件？ (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc.
二、概念理解
注意下列说法：
1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件;
这时pq成立（是真命题）
q p也成立
2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件; 这时q p成立（是真命题）
p q也成立
比较下列说法：
1 p是q的充分条件； 这时pq成立 2 p成立的一个充分条件是q. q p 3 p是q的必要条件； q p 4 q成立的一个必要条件是p. q p 5 p是q的充要条件； 6 q成立的充要条件是p.
课内活动
运用本节课所讲的知识填空
①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件； ②“x＞5”是“x＞3”的 条件； ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件； ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5
整除”的 条件；
⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等” 的 条件； （1）充分非必要 （2）充分非必要
数学运用
例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么 条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
（1）充分不必要条件 （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（2）充要条件 （3） p：a>b；q：a2>b2