初级1 -第四章分层随机抽样

各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计 量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
抽样调查
原理与方法
证明性质1
L L ˆ ˆ ˆ E Yst E WhYh Wh E Y h h1 h1 L L 1 1 L Y WhYh N hYh Yh Y N h1 N h1 N h 1

抽样调查
原理与方法
性质6：对于分层随机抽样， 偏估计为：
ˆ VY
的一个无
2 h
1 f h 2 ˆ v Y N v y h N sh nh h 1 h 1
L 2 h L

抽样调查
原理与方法
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单 元，根据经济及收入水平将居民户划分为 4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位 ：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估 计的标准差。
首先，根据分层的目的确定分层的标志，也就是 应根据研究的需要来分层。分层的目的不同，分层的
标志通常也不一样：为了便于抽样的组织管理，可以按总体单 元的组织系统来分层；为了了解各地区子总体的情况，可以按 地区来分层；为了提高抽样效率，可以把标志值大小相近的单 元划在同一层内，按标志值大小分层。上述分层目的如果能够 统一起来则最佳，如果不能统一则需要权衡利弊，服从主要目 的。另外，当分层的目的是为了提高抽样效率时，由于现实中 的调查通常是多指标的，那么就会有以哪个指标作为分层标志 的问题。这时需要视具体情况来决定是按照主要指标来分层， 还是施行照顾多数指标的折衷方案来分层。
果用于分层的指标是属性变量，如性别、行政区划等，通常可按其分类 值直接进行划分。但有时候也需要根据研究目的来确定层的粗细，比如 全国按地区分层，既可以按行政区划的省、市分层，也可以按经济发展 情况将几个省市归并在一起作为一个层。而如果用于分层的指标是数值 型变量，例如工业企业可按产值或增加值分层，人口可按年龄分层等， 这时划分多少个层，就具有很大的灵活性。此时需要综合考虑研究目的 、抽样框的可获得性、如何提高抽样效率等多方面的因素，做到恰当的 分层。


h 1

ˆ W 2V Y ˆ VY h h st


抽样调查
原理与方法
性质2：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，
1 fh 2 V yst W V yh W Sh nh h1 h1
L 2 h L 2 h
差异。
抽样调查
原理与方法
2. 可对各层进行估计
分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能够对各层指标进行 推算。有时候，调查的目的不仅要推算总体指标，而且需要推 算各层的指标。例如，某省准备实施一项针对全省中小企业的 调查，以了解它们的生存状况，要求最终能给出各企业所属行 业的相关指标。从而，如果按行业进行分层，调查所得的样本 则不仅能推算全省的指标，还能对各个行业的相关指标进行推 算。
抽样调查
原理与方法
证明性质2：
E y h Yh
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样 ，对每一层有
因此，由性质1，有
E y st Y L V y st Wh2V y h
h 1
1 f 2 h 由第二章性质2，得 V yh Sh nh L L 2 2 1 fh 2 因此 V yst Wh V yh Wh Sh nh h1 h1
2 L
抽样调查
原理与方法
第四章
分层随机抽样
二、特点 1. 提高估计精度
分层抽样如果实施的好，将可以提高整体估计的精度，即抽 样效率较高。这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差 有关，和层间方差无关。因此，人们可以通过对总体分层， 尽可能地降低层内差异，使层间差异尽可能大，从而提高估 计的精度。比如，不同年龄的人血压值通常存在很大差异， 因此在研究血压的时候，按照不同的年龄分类是很有意义的 。在研究地区农作物产量的时候，按照地形的不同分类也是 很有意义的，沼泽地里的农作物和森林里的农作物就有很大
抽样调查
原理与方法
3．目标总体应具有这样的结构：即对总体分层后能使得层内 单元的标志值尽量相近，而层间单元的差异尽可能大。这 时，分层抽样能够达到提高抽样估计精度的目的。 4．既按类型又按层内单元标志值相近的原则进行多重分层， 可同时达到实现估计类值和提高估计精度的目的。
抽样调查
原理与方法
四、实施方法
nh 1 2 2 sh yhi yh nh 1 i1
抽样调查
原理与方法
第四章
分层随机抽样
nh fh Nh
nL n NL N
第 h 层抽样比
Nh Wh 第 i 层权数 N
n1 n2 等比例抽样 N1 N 2
N h nh n 即： N
不等比抽样
N h nh N n
抽样调查
原理与方法
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个无 偏估计为：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
抽样调查
原理与方法
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 机抽样，由第二章性质3，得 V y 的无偏 估计为： 1 fh 2
由于对每一层有
因此，

ˆ Y EY h h


估计量的方差 L L L L ˆ V W Y ˆ W 2V Y ˆ 2 ˆ ,Y ˆ VY W W Cov Y st h h h h h k h k h 1 k h h1 h1 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全为 0，从而有 L
抽样调查
原理与方法
第二节 估 计 量
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
1 Yst Wh Yh N h 1
L
L
N Y hh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
N
h 1
L
h
yh
抽样调查
原理与方法
估计量的性质
是 Y 的无 性质1：对于一般的分层抽样，如果 Y h h 是 Y 的无偏估 偏估计（ h 1,2, , L ），则 Y st 计。 Yst 的方差为：
W 2V Y V Y h h st
h1

L

只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
如果得到的是分层随机样本，则总体总量 的简单估计为：
Y Nyst
抽样调查
原理与方法
2.估计量的性质
性质4：对于一般的分层抽样，如果 Y st ˆ 是 Y 的无偏估 是 Y 的无偏估计，则 Y ˆ 的方差为： 计。 Y
2 ˆ ˆ ˆ V Y N V Yst V Y h
2 L 2 h
2 1
f2
f3
n2 10 0.025 N 2 400
n3 10 0.0133 N3 750
y2 105
抽样调查
原理与方法
三、分层原则
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供层指标和便于调查的组织实施，通 常，使用分层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。 总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。 分层抽样通常考虑如下原则：
1．可以对调查对象按不同类型进行划分，划分后层内单元具有相同性 质。这时，分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。 2．为了方便抽样的组织和实施，通常按行政管理机构设置进行分层。
抽样调查
原理与方法
其次，实施分层抽样，要求事先掌握总体单元的有关 信息，如分层的抽样框，分层后各层的总体单元数 等。但在某些场合，我们可能没有层的抽样框。这时可以采用先抽样
，再根据样本单元进行分层的办法。这种分层称作事后分层，将在本章 的后面加以介绍。
最后，要确定层的划分界限，即划分多少层的问题。如


L
2 ˆ ˆ N W V Yh N h V Yh h1 h1

h 1
L


抽样调查
原理与方法
ˆ 的方差为： 性质5：对于分层随机抽样， Y
2 2 1 fh 2 ˆ V Y N h V yh N h Sh nh h1 h1 L L
层 居民户 总数
200 400 750 1500
样本户奶制品年消费支出
1 10 50 180 50 2 40 130 260 35 3 0 60 110 15 4 110 80 0 0 5 15 100 140 20 6 10 55 60 30 7 40 160 200 25 8 80 85 180 10 9 90 160 300 30 10 0 170 220 25
抽样调查
原理与方法
3. 便于组织
分层抽样实施起来灵活方便，也便于组织。一方面，由于抽样在各层 独立进行，因而允许我们视层内的具体情况采用不同的抽样方 法。例如，在一个商业调查中，规模较大的公司可能采取邮寄 的方式调查，而小的公司可能采用入户调查或者电话调查的方 式。再比如，对于某些调查，针对城市和农村可能要采用不同 的调查方法。另一方面，分层抽样的数据处理比较简单，各层 的数据处理可以单独进行，而层间汇总方式又非常简单，对估 计量而言仅是对均值估计的加权平均或是对总量估计的简单相 加，相应的精度估计也不复杂。
h
v y h
2 h
V yst 的一个无偏估计为： 因此，
nh
sh