概率论2优秀课件
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概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
概率论第二讲PPT课件
b b c r r c brbr cbr 2 cbr 3 c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
.
27
例11 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个,求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
.
20
五、乘法公式
由条件概率的定义：
P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 (2)和P(A(3))>式0,都则称P(为BA乘)=法P(公A)式P(,B|利A)用 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
此点必属于AB. 由于我们已经
知道B已发生, 故B变成了新的
样本空间 , 于是 有(1).
.
16
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (S | B) =1 ；
3.设A1, A2 , …,互不相容，则
P[(A1+A2 + …)| B] = P(A1|B)+ P(A2|B) + …
的概率.
.
4
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
6666129种6等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点}
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.
.
27
例11 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个,求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求
.
20
五、乘法公式
由条件概率的定义：
P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 (2)和P(A(3))>式0,都则称P(为BA乘)=法P(公A)式P(,B|利A)用 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
此点必属于AB. 由于我们已经
知道B已发生, 故B变成了新的
样本空间 , 于是 有(1).
.
16
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (S | B) =1 ；
3.设A1, A2 , …,互不相容，则
P[(A1+A2 + …)| B] = P(A1|B)+ P(A2|B) + …
的概率.
.
4
由于将一颗骰子抛掷4次,共有
6666129种6等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点}
概率论第二章(课件2)
条件概率具有非负性、规范性、乘法 法则和全概率公式等性质。
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任意两个事件A和B，有 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理常用于在已知某些条件 下，对其他条件的发生概率进行推 断和更新。
贝叶斯定理的意义
贝叶斯定理是概率论中的一个重要 定理，它提供了在已知某些信息的 情况下，对其他信息的可信度进行 评估的方法。
期望的计算
期望的计算公式为E(X)=∑xp(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值， p(x)为对应的概率。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其期望之间的差的平方的期望，表示随机变量 取值与期望的偏离程度。
方差的性质
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，D(X)≥0。
协方差的定义
协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量，表示两个随机变量 同时偏离各自期望的程度。
自的概率分布相乘得到。
THANKS
感谢观看
02
随机变量及其分布
离散随机变量
离散随机变量定义
离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数。
离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布由一个非负整数序列给出，表示在每个样 本点上随机变量取值的概率。
离散随机变量的期望值
离散随机变量的期望值是所有可能取值的概率加权和。
连续随机变量
连续随机变量念 • 随机变量及其分布 • 随机向量及其分布 • 随机变量的函数及其分布 • 随机变量的数字特征
01
概率论的基本概念
概率的定义与性质
01
02
03
概率的定义
概率是描述随机事件发生 可能性大小的数值，通常 用P表示。
概率论第2章精品PPT课件
当X=3时，取的另外两只球只能是1和2，即只有一种可能, 故
P{X
3}
1 C53
1 10
当X=4时，取的另外两只球可以是1、2、3中的任两个，故
P{X
4}
C32 C53
3 10
当X=5时，取的另外两只球可以是1、2、3、4中的任两个，故
P{X
5}
C42 C53
6 10
2
第2章 随机变量及其分布
(2) 根据概率密度的定义可得
fX
(x)
dFX (x) dx
1 / 0,
x,
1 xe 其它
13
第2章 随机变量及其分布
习题22(1)
22(1) 分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦 (Maxwell)分布，其概率密度为
f
(
x)
Ax 2e
x2
/b
,
0,
x0 其他
其中b=m/(2kT), k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为 温度，m是分子的质量，试确定常数A.
1 241
t ex / 241dx 1 et / 241
0
综合得到：
1 et /241, t 0
FT
(t)
0,
其他
利用分布函数的性质计算概率：
P{50 T 100} FT (100) FT (50)
e50/ 241 e100/ 241
17
第2章 随机变量及其分布
习题23
23. 某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度
解： 甲乙各自做3重伯努力实验，设甲投中次数为X, 乙投中次数为Y, 两 者均遵从二项分布。故所求为
甲乙投篮相互独立
3
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
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例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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概率论第二章24节-常用离散分布ppt课件
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,..., n 二项概率 Cnk pk (1 p)nk 恰好是二项式[ p (1 p)]n 的展开式中的第 k 1 项，这正是其名 称的由来.
.
7
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
2kkeke??????????????????????????????????????2eee????????????22xexexd故故专业文档常用离散分布的数学期望?几何分布gep的数学期望1p?01分布的数学期望p?二项分布bnp的数学期望np?泊松分布p?的数学期望?专业文档常用离散分布的方差?01分布的方差p1?p?二项分布bnp的方差np1?p?泊松分布p?的方差??几何分布gep的方差1?pp2专业文档1设火炮连续向目标射击n发炮弹每发炮弹命中为的概率为p则炮弹命中数的数学期望是
.
25
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上
（1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
.
14
泊松分布： X 0 P e
1 1 e 1!
2 ... 2 e ... 2!
n ... n e ... n!
EX 1
e
2 2
e
3 3
e
... n n e
...
1!
2!
3!
n!
e 1
2 ... n1
2!
.
7
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
2kkeke??????????????????????????????????????2eee????????????22xexexd故故专业文档常用离散分布的数学期望?几何分布gep的数学期望1p?01分布的数学期望p?二项分布bnp的数学期望np?泊松分布p?的数学期望?专业文档常用离散分布的方差?01分布的方差p1?p?二项分布bnp的方差np1?p?泊松分布p?的方差??几何分布gep的方差1?pp2专业文档1设火炮连续向目标射击n发炮弹每发炮弹命中为的概率为p则炮弹命中数的数学期望是
.
25
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上
（1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
.
14
泊松分布： X 0 P e
1 1 e 1!
2 ... 2 e ... 2!
n ... n e ... n!
EX 1
e
2 2
e
3 3
e
... n n e
...
1!
2!
3!
n!
e 1
2 ... n1
2!
概率论-2-2多维随机变量及其分布(2),边缘分布-PPT课件
由于
( y μ ) ( x μ )( 2 2 2 y μ x μ ( x μ ) 2 2 1 1 ρ ρ , 2 σ σ σ 2 1 1
pij P {Y y j },
i 1
分别称 p i ( i 1, 2 , ) 和 p j ( j 1, 2 , ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y y 1 y 2 y j
X
x x 1 x 2 i
p p 11 p 21 i 1
x
p( x, y)d y]d x,
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度 .
同理可得 Y 的边缘分布函数
F ( y ) F ( , y ) [ p ( x , y ) d x ] d y , Y
y
p ( y ) ( x ,y ) d x . Y p
Y 的边缘概率密度.
X 和Y 具有联合概率密度 例3 设随机变量 6, x2 y x, p(x, y) . 0, 其它 求边缘概率密度 pX (x), pY ( y).
解
p ( x ) ( x ,y ) d y X p
第二章
第二节 多维随机变量 及其分布(2)
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、内容小结
一、边缘分布函数
问题 : 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分 ?
F ( x ) P { X x }, F ( x , y ) P { X x , Y y } ,
《概率统计2章》课件
应用场景
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
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所以，
4
PAPA|BiPBi i1
0.050.150.040.20.030.30.020.35
3.15%. 14
例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的 试验具有如下效果：若以A表示事件“试验反 应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”， 已知P(A|C)=0.9A5|,CP( )=0.96.现对自然人群 进行普查，设被试验的人患癌症的概率为 0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C|A)？
P(Bi | A)
P(Bi)P(A| Bi)
n
P(Bi)P(A| Bi)
i1
由条件概率、乘法公式与全概率公式推出
12
有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不 能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问 题属于全概率类型。
当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A 发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计 算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A 发生的主要原因。
PAi | X
PAiPX| Ai
2
PX| AiPAi
i1
若P(A1|X)> P(A2|X)，则作出决策：具有X特征 的木材是桦木，否则是桉木。
17
在应用公式时，有两个问题要弄清楚： 1、如何确定完备事件组？
一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组： 当事件的发生与相继两个试验有关时，从第 一试验入手寻找完备事件组； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引 起的，可以这些“原因”为完备事件组。
有包含关系或主从条件关系的用条件概率 P(A|B).
7
例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7， 活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种 动物活到20岁的概率是多少？
解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上 显然A 包含B ，属于条件概率，且P(AB)=P(B)
所以，
PB|APPAAB00..7373.
P A B P B P A |B P A P B |A ,
这个称为乘法公式。
4
不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法： 在原样本空间Ω中分别求出P(B),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。
5
例2、一批零件共100个，次品率为10％，从 中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放 回，求第二次才取得正品的概率？
第三节 条件概率与全概率公式
例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是 女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？
解：Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}； 令，A={两个都是女孩}={(女,女)}； B={有一个是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)}; 计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩 减样本空间)，此时，A只含一个样本点。
8
例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正 品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任 取一件是一等品的概率。
解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品 是一等品。显然，A包含B；
所以，
PBPA B PA PB|A 0.950.70.665.
9
∩
二、全概率公式与Bayes公式
定理1 (全概率公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一组划分, P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且A Ω,则对任意事件A有：
13
例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别 为0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任 取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？
解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品”
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解 ： P A P A |C P C P A |C P C
0 .9 5 0 .0 0 4 1 0 .9 6 1 0 .0 0 4 0 .0 4 3 6 .
P C |A P P A A C P C P P A A |C 0 .0 8 7 2 .
P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概 率；
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi). i1
10
证明： 因为A可互斥分解为
AA AB 1 AB2 ... ABn
ABiin1两 两 互 斥
所以由加法公式与乘法公式得：
n
n
P (A ) P (Ai)B P (B i)P (A |B i).
i 1
i 1
11
定理2 (Bayes公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是一个完备事件组, P(Bi)>0 (i=1,2,…,n), A为一子事件，且P(A|Bi)>0，则
而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以 修正的概率P(C|A)叫做后验概率。
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Bayes决策： 为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用
先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据 这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。
以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木 这一事件，已知它们的先验概率P(A1)和P(A2)，试 验确定出P(X| A1)和P(X| A2)。
解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品 所以，
PA 10 ; PB| A90;
100
99
PABPAPB| A 10 90 1.
100 99 11
6
乘法公式可以推广到多个事件 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB) 涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB);
2
所以，
PA| B 1.
3
显然，P(A|B) ≠P(A)=1/4.
此外,在样本空间Ω中易计算得:
P(B)=3/4,
P(AB)=1/4,
且有 P(A| B) P(AB). P(B)
由此，一般可
设事件B的概率P(B)>0，记
PA|
B
PAB PB
,
称P(A|B)为在事件B已发生的条件下事件A发生 的条件概率。 任意事件A和B，若P(A)>0，P(B)>0，则有
2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？ “由因求果”用全概率公式, “执果求因”用Bayes公式.
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本节要点提示
4
PAPA|BiPBi i1
0.050.150.040.20.030.30.020.35
3.15%. 14
例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的 试验具有如下效果：若以A表示事件“试验反 应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”， 已知P(A|C)=0.9A5|,CP( )=0.96.现对自然人群 进行普查，设被试验的人患癌症的概率为 0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C|A)？
P(Bi | A)
P(Bi)P(A| Bi)
n
P(Bi)P(A| Bi)
i1
由条件概率、乘法公式与全概率公式推出
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有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不 能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问 题属于全概率类型。
当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A 发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计 算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A 发生的主要原因。
PAi | X
PAiPX| Ai
2
PX| AiPAi
i1
若P(A1|X)> P(A2|X)，则作出决策：具有X特征 的木材是桦木，否则是桉木。
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在应用公式时，有两个问题要弄清楚： 1、如何确定完备事件组？
一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组： 当事件的发生与相继两个试验有关时，从第 一试验入手寻找完备事件组； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引 起的，可以这些“原因”为完备事件组。
有包含关系或主从条件关系的用条件概率 P(A|B).
7
例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7， 活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种 动物活到20岁的概率是多少？
解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上 显然A 包含B ，属于条件概率，且P(AB)=P(B)
所以，
PB|APPAAB00..7373.
P A B P B P A |B P A P B |A ,
这个称为乘法公式。
4
不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法： 在原样本空间Ω中分别求出P(B),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。
5
例2、一批零件共100个，次品率为10％，从 中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放 回，求第二次才取得正品的概率？
第三节 条件概率与全概率公式
例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是 女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？
解：Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}； 令，A={两个都是女孩}={(女,女)}； B={有一个是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)}; 计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩 减样本空间)，此时，A只含一个样本点。
8
例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正 品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任 取一件是一等品的概率。
解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品 是一等品。显然，A包含B；
所以，
PBPA B PA PB|A 0.950.70.665.
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∩
二、全概率公式与Bayes公式
定理1 (全概率公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一组划分, P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且A Ω,则对任意事件A有：
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例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别 为0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任 取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？
解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品”
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解 ： P A P A |C P C P A |C P C
0 .9 5 0 .0 0 4 1 0 .9 6 1 0 .0 0 4 0 .0 4 3 6 .
P C |A P P A A C P C P P A A |C 0 .0 8 7 2 .
P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概 率；
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi). i1
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证明： 因为A可互斥分解为
AA AB 1 AB2 ... ABn
ABiin1两 两 互 斥
所以由加法公式与乘法公式得：
n
n
P (A ) P (Ai)B P (B i)P (A |B i).
i 1
i 1
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定理2 (Bayes公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是一个完备事件组, P(Bi)>0 (i=1,2,…,n), A为一子事件，且P(A|Bi)>0，则
而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以 修正的概率P(C|A)叫做后验概率。
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Bayes决策： 为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用
先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据 这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。
以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木 这一事件，已知它们的先验概率P(A1)和P(A2)，试 验确定出P(X| A1)和P(X| A2)。
解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品 所以，
PA 10 ; PB| A90;
100
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PABPAPB| A 10 90 1.
100 99 11
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乘法公式可以推广到多个事件 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB) 涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB);
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所以，
PA| B 1.
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显然，P(A|B) ≠P(A)=1/4.
此外,在样本空间Ω中易计算得:
P(B)=3/4,
P(AB)=1/4,
且有 P(A| B) P(AB). P(B)
由此，一般可
设事件B的概率P(B)>0，记
PA|
B
PAB PB
,
称P(A|B)为在事件B已发生的条件下事件A发生 的条件概率。 任意事件A和B，若P(A)>0，P(B)>0，则有
2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？ “由因求果”用全概率公式, “执果求因”用Bayes公式.
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本节要点提示