3.6三角函数式的求值
3．6 三角函数式的求值
【考点回顾】
1．“给值求值”问题的求法；
2．题型结构；给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值；
3．正确运用三角公式及整体化归思想方法；
4．探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法；
5．常用的“变角”技巧和方法.
【典型例题】
例1．已知.tan 1tan 2sin 2sin ,471217,53)4cos(的值求x
x x x x x -+<<=+πππ 例2．设)cos(,2
0,2,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαπβαβα+<<<<=--=-求的值. 例3．已知.tan tan ),sin(,2
tan ),cos(,332cos cos ,2sin sin βαβαβαβαβαβα++-=+=+求 例4．已知)2cos 2)(2cos 2(,2
3tan tan βαβα--=求之值. 【基础训练】
1．已知αββαππβπαsin ,13
5cos ,6533)sin(),,2(),2,0(则且-==+∈∈的值是 --------------
2．已知)4
tan(,41)tan(,542)tan(παπββα+=-=+那么的值是 ---------------
3．已知x x x x tan ),0[,5
1cos sin 则π∈=+的值是 -----------------
4．._____________)sin()sin(,2
1sin ,31sin =-+==βαβαβα则已知 5．已知θθ且,2524sin -=是第三象限的角，求_______,2sin _______,)6
sin(θπθ=+ ._____________2
tan ________,2cos ==θθ 【拓展练习】
1．在C B A ABC cos ,13
5cos ,53sin ,则若中==∆的值是----------------- 2,0433tan ,tan 2两根是一元二次方程=++x x βαα、β)cos(),0,2
(βαπ+-∈则等于--------------------
3．已知α、β为锐角，αβαβαsin ,1sin 6tan ,7sin 2tan 2则=-=+的值是--------------
4．已知.___________4
tan ,540450,552cos 2sin =<<-=-ααα
α
则且 5．已知.___________)cos (cos )sin (sin ,3
1)cos(22=+++=-βαβαβα则
6．若.____________tan )tan(,1),2sin(sin =+≠+=ββαβαα则
且m m 7．若.______________)sin(,)
sin(cos cos ,)sin(sin sin =-=+-=--βαβαβαβαβα则b a 8．已知._________)tan(),2
,0(),2,0(,21cos cos ,31sin sin =-∈∈=+-=-βαπβπαβαβα则 9．设.__________2
cos ,,54sin )sin(cos )cos(=-=-+-ββαβααβα则是第三象限且
11．若)2cos 1)(2cos 1(,2
0,2sin sin 4,6cos cos 4B A A B B A B A -+<<<==求π的值.
12．设方程),0(0sin cos πα在=++c x b x 内有两个相异的实根α、β，求)sin(βα+的值.
13．已知αααππααsin 2)sin()sin()(),2
,2(,43tan 2--++=-∈=x x x f 当函数的最小值为零时， 求2tan 2cos α
α及的值.
14．下面这道填空题印刷原因造成在横线内容无法认清，现知结论，请在横线上，写原题的一个 条件，题目：已知α、β均为锐角，且21sin sin -=-βα____________，则.72
59)cos(=-βα。
高三数学三角函数的求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内 容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求 值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简 和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效 果，做到事半功倍. 知识整合： 1、 熟记三角函数有关公式：同角三角函数关系， 诱导公式，两角和差公式，倍角公式，半角公式， 升幂缩角、降幂扩角公式，等。
2、 进行三角恒等变形进行化简、证明及求值。
3、反三角的表示。
变式3：设、为锐角，且a (sin, cos) ,
b ( cos ,sin )，a+b ( 6 , 2 ) ，
62
求a•b和 cos( ) 的值。
热点题型4 (备选) 三角函数与二次函数的 综合题
例 的4最小设值关为于fx(的)，函试数确y=定2c满os2足x－f(2)a=co1sx－(2a+1)
2
的a值，并对此时的a值求y的最大值
作业：高考题型设计
..Βιβλιοθήκη ....
.
；面具源码 面具源码
三角函数求值-学生版 (1)
三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。
高中数学复习专题讲座(第16讲)三角函数式的化简与求值
题目高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 快速阅读记忆：英语单词速记：/?id=330 更多资料下载：典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41， 即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值 命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解 由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21， 当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析 在求f -－1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-=+==- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=56)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A21B －2 C34 D21或－2 2 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2 答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π36556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解 以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系， 并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－2cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π) ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为 AB 的中点，P (21,23)8 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x 232-t2max 0.5min 0.50.50.514248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=++====>∴======- 当且仅当即在时是减函数时此时 课前后备注。
高中全程复习方略配套课件：3.6倍角公式和半角公式
①
②
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 3
5
由①②解得cosαcosβ= 2 ,sinαsinβ= 1 ,
则 tantan
sinsin 1 . coscos 2
5 5
1 tan 1 (3)tan( ) 2, 解得 tan . 4 1 tan 3
函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特
殊角的三角函数互化．
(5)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽 量少；③使项数尽量少；④次数尽量低；⑤尽量使分母不含三 角函数；⑥尽量使被开方数不含三角函数.
【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2α= 2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似，容易出错，应用时要加 强“目标意识”.
答案： (1)sin 2
(2)1
【反思·感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅 限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，
cos2 同时还要注意 2, , 三个角的内在联系， sin( 2) 4 4 2sin( ) cos( ) 是常用的三角变换. 4 4 2
【解题指南】(1)把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化
简求值；(2)利用两角和、差的余弦公式展开求 cosαcosβ,sinαsinβ，相除得结果；(3)根据已知条件求出 tanα，把所给的式子进行变形，代入tanα即可. 【规范解答】(1)原式= 2sin50 cos10 3sin10
1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而
考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容.
2.以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考
三角函数求值公式
三角函数求值公式
哎呀，说起三角函数求值公式，这可真是让我这个小学生脑袋都大了一圈！
三角函数，就像是数学世界里的神秘小精灵，它们的求值公式更是像一道道难以破解的密码。
你想想，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们就像是三个调皮的小伙伴，总是在各种数学问题里蹦跶，让我们去寻找它们的价值。
比如说，正弦函数的求值公式，sin A = 对边/ 斜边。
这就好像是我们分糖果，对边是我拿到的糖果数量，斜边是总的糖果数量，那我拿到的糖果占总糖果的比例不就是正弦值嘛！
还有余弦函数，cos A = 邻边/ 斜边。
这就好比是我和小伙伴们排队，邻边就是我旁边小伙伴的人数，斜边是整排的人数，那旁边小伙伴占整排人数的比例不就是余弦值嘛！
正切函数tan A = 对边/ 邻边，这又好像是我和朋友比赛跑步，对边是我跑的距离，邻边是朋友跑的距离，那我跑的距离和朋友跑的距离的比值不就是正切值嘛！
老师在课堂上讲这些的时候，我就拼命地想啊想，这到底是咋回事呢？我同桌小明也一脸懵，还悄悄跟我说：“这也太难懂啦！”我心里也直嘀咕：“可不是嘛，这咋比玩游戏还难！”
后来老师又举了好多例子，带着我们做了好多练习题，慢慢地，好像有点开窍了。
我发现，只要认真去琢磨，这些公式也不是那么可怕。
就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但是一步一步地往上走，总能看到更美的风景。
现在想想，三角函数求值公式虽然复杂，但只要我们用心去理解，多练习，也能把它们拿下！这不就跟我们做任何事情一样嘛，只要有决心，有耐心，就没有办不成的事儿！所以呀，别害怕这些公式，勇敢地去挑战它们，说不定会发现其中的乐趣呢！。
三角函数求值的几种方法
三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。
三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。
本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。
一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。
例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。
通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。
二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。
例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。
几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。
四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。
使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。
例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。
五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。
三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。
例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。
六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。
例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。
总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。
三角函数式的求值
三角函数式的求值角度1 给角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝6 .解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80° ＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10° ＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 角度2 给值求值(2019·聊城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝4－3310 . 解析：由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45， 即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以0＜θ＜π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 角度3 给值求角设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( C )A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.【条件探究1】 本典例中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝π4 .解析：∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.【条件探究2】 本典例中，若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是7π4 . 解析：∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.三角函数式求值的常见题型及求解策略1．给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．2．给值求值：给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．3．给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．(1)(2019·新疆第二次适应性检测)cos10°(1＋3tan10°)cos50°的值是2__.解析：依题意得cos10°(1＋3tan10°)cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin (10°＋30°)cos50°＝2sin40°sin40°＝2.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12＜α＜7π4，则sin2α＋2sin 2α1－tan α的值为－2875 .解析：sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α ＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin2α1＋tan α1－tan α＝sin2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12＜α＜7π4得5π3＜α＋π4＜2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43. cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－2875.。
三角函数式的化简与求值
４ 幂 的 变换
降 幂 是 三 角 变 换 时 常 用 方 法 ，对 次 数 较 高 的 三 角 函 数 式 ，
一
（ 求 ｆ ） Ｎ， 值及 取得 最小 值 时相 应 的 Ｘ的 值 ； ２ ） （Ｎ Ｊ ｘ ，
般 采 用 降 幂 处理 的方 法 ， ： ｎ Ｌ 如 ｓ Ｚ＝ ｉｏ
在 三 角 变形 中使 用 频 率 高 。 ２ 函数 名 称 变换
１ ｃ０｝１。 ＝ 一 。。 （ ｓ ｝ ｓ一 一４ ４ ｃ
解 法 二 ： ｘ ｓ Ｚ０ ＋ Ｏ ０ ＋ 设 ＝ ｉ ２ 。 Ｃ ８ 。 Ｖ ｓｎ ０ ｃ Ｓ ０ ． ｎ ８ ｉ２ ａｏ ８ 。
ｙ ｃｓ ０＋ｉ ０一 ／ ｃｓ０ｓ ８ 。则 ＝ ｏ２ 。ｓ ８ 。 、 ｏ２ 。ｉ ０ ， ２ ｎ ｎ ｘｙ １ １ 、 ｓ ６ 。 ， ＋ ＝ ＋ 一 ／ ｉ ０： ｎ
ｓｎ ２ ｉ２ ０。
＝
１＝。０６一ｏ ，（ｐｐ等 ｐ（孚） ５４一。０４＝ 仪 ）＝ ＋一 一 ， ￣５３＝。５孚 ＝＋一 （ ）Ｂ ２（ｐ １（＋）手 ，＋＝ 一 。 Ｑ ） 一＝ 仅 （一）１ 手 （ ） ＝＋＋ ３ ｝ 一 ） ２ ＂ ｝一
特 地 ＋ 与｝一 为 余 ， 们 间 以 相 化 别 ， Ｏ Ｌ ０互 角它 之 可 互 转 ， 【
１ ｃ０｝ｃｌｃ０ｓ２ｓｏｘ－２ 一 ０ 。 （ ２ 。。ｎ０ｎ。／ｓ０ 争 ｓ＋ ００ ｓ＿１ ｉ ） ３ｉ。 ４ ｓ 。４ ｉ 。４＋ ｎ
～
＝
（ ｓ０ｃｓ０－ｉ６ 。ｎ ０、 ｃ ６ 。ｏ２ 。ｓ ０ｓ ２ 。 ｏ ｎ ｉ
＝
在三角化简、 值 、 明中， 求 证 表达 式 往 往 出现 较 多 的相 异 角 ．
三角函数中的求值问题
f ( x)
1
2 sin(2 x cos x
4
)
（Ⅰ） 求 f (x) 的定义域； （Ⅱ） 设 是第四象限的角，且
4 tan ,求 f ( ) 的值 。 3
祝同学们学业有成
一帆风顺
1、同角三角函数的基本关系：
2、诱导公式： 3、两角和（差）的三角函数公式：
4、二倍角公式：
1 2sin B cos B （Ⅱ）将 3 2 2 cos B sin B
化为
cos B sin B 2sinBcosB 3 2 2 cos B sin B
2 2
2
(cosB sinB) 即： 3 (cosB sinB)(cosB sinB)
整理得： sinB 2cosB
（Ⅱ）由题知 整理得
2
1 2sin B cos B 3 2 2 cos B sin B
2
sin B sin B cos B 2cos B 0
2
cosB 0, tan B tan B 2 0
∴
而
tan B 2
或
tan B 1
tan B 1 不符合题意舍去
内蒙古通辽市奈曼一中 张宝东
1、同角三角函数的基本关系：
sin cos 1 sin tan cos
2 2
tan cot 1
（04 例1： 湖南)
2 1 3 若 tan ( ) 2 ，则 2 4 2 sin cos cos
A 6 6
A 5
6 6 6
∴ A 3
例5（2006年四川）
已知 A, B, C是三角形 ABC 三内角， m 1, 3 , n cos A,sin A ，且 m n 1
三角函数求值怎么计算公式
三角函数求值怎么计算公式三角函数是数学中重要的一部分，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们可以用来描述角度和长度之间的关系，解决各种问题。
在实际应用中，我们经常需要用三角函数来求值，下面将介绍三角函数求值的计算公式。
1. 正弦函数的求值公式。
正弦函数的求值公式为，sin(θ) = 对边/斜边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求sin(30°)的值，可以先构造一个30°的直角三角形，然后根据公式sin(30°) = 对边/斜边，计算出对边和斜边的比值，从而求得sin(30°)的值。
2. 余弦函数的求值公式。
余弦函数的求值公式为，cos(θ) = 邻边/斜边。
其中，θ为角度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求cos(45°)的值，可以先构造一个45°的直角三角形，然后根据公式cos(45°) = 邻边/斜边，计算出邻边和斜边的比值，从而求得cos(45°)的值。
3. 正切函数的求值公式。
正切函数的求值公式为，tan(θ) = 对边/邻边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度。
举个例子，如果要求tan(60°)的值，可以先构造一个60°的直角三角形，然后根据公式tan(60°) = 对边/邻边，计算出对边和邻边的比值，从而求得tan(60°)的值。
除了以上三种常见的三角函数，还有其它一些三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等，它们的求值公式也可以类似地通过构造直角三角形来求得。
在实际应用中，三角函数的求值可以帮助我们解决各种问题，比如在工程中用来计算力的方向和大小、在天文学中用来计算星体的位置和运动轨迹等。