三角函数求值问题
三角函数的求值练习题
三角函数的求值练习题1. 求解以下三角函数的值：a) sin 30° = ?b) cos 45° = ?c) tan 60° = ?d) cot 45° = ?e) sec 30° = ?f) csc 60° = ?解答：a) sin 30° = 0.5b) cos 45° = 0.7071c) tan 60° = √3d) cot 45° = 1e) sec 30° = 2f) csc 60° = 22. 求解以下三角函数的值：a) sin 150° = ?b) cos 210° = ?c) tan 300° = ?d) cot 240° = ?e) sec 120° = ?f) csc 225° = ?解答：a) sin 150° = 0.5b) cos 210° = -0.866c) tan 300° = -√3d) cot 240° = -√3e) sec 120° = -2f) csc 225° = -√23. 求解以下三角函数的值：a) sin π = ?b) cos 0 = ?c) tan π/2 = ?d) cot 3π/4 = ?e) sec 3π/2 = ?f) csc π/4 = ?解答：a) sin π = 0b) cos 0 = 1c) tan π/2 = undefinedd) cot 3π/4 = -1e) sec 3π/2 = undefinedf) csc π/4 = √24. 求解以下三角函数的值：a) sin (π/6)rad = ?b) cos (7π/4)rad = ?c) tan (11π/6)rad = ?d) cot (5π/4)rad = ?e) sec (5π/6)rad = ?f) csc (4π/3)rad = ?解答：a) sin (π/6)rad = 0.5b) cos (7π/4)rad = -0.7071c) tan (11π/6)rad = -√3d) cot (5π/4)rad = -1e) sec (5π/6)rad = -2f) csc (4π/3)rad = -2/√35. 求解以下三角函数的值：a) sin (-45°) = ?b) cos (-π/3) = ?c) tan (-60°) = ?d) cot (-π/4) = ?e) sec (-30°) = ?f) csc (-π/6) = ?解答：a) sin (-45°) = -0.7071b) cos (-π/3) = 0.5c) tan (-60°) = -√3d) cot (-π/4) = -1e) sec (-30°) = 2f) csc (-π/6) = -26. 求解以下三角函数的值：a) sin 75° + cos 75° = ?b) sin 30° * csc 60° = ?c) tan 45° - cos 45° = ?d) cot 180° + sec 0° = ?解答：a) sin 75° + cos 75° = 1 + 0.7071 = 1.7071b) sin 30° * csc 60° = 0.5 * 2 = 1c) tan 45° - cos 45° = 1 - 0.7071 = 0.2929d) cot 180° + sec 0° = -1 + 1 = 0通过以上练习题，我们可以更好地理解三角函数的求值。
三角函数的求值
问题7.已知 问题 已知 0 < α < 4 ,0 < β < 4 ,且3 sin β = sin(2α + β )， α 2α 的值. 4tan = 1− tan , 求 α + β 的值. 2 2
π
π
若a ⋅ b = 0, 求 tanθ .
问题5.已知 问题 已知
1 11 π π cosα = ， (α + β ) = − ，α ∈ 0， ，α + β ∈ ，π 式)求角 ①求角的某一三角函数值； 求角的某一三角函数值； ②确定角的范围； 确定角的范围； 写出角的值。 ③写出角的值。 π π 问题6.已知 已知0＜ ＜ 问题 已知 ＜α＜ 2 ，＜β＜0， ＜ ， 2 1 11 cos(α-β)= ,cos2α= - ,求α+β的值 求 的值. 的值 14 7
三角函数的求值
三种类型的求值问题
问题1.⑴ 的值. 问题 ⑴求tan(-1995°)的值 的值 ⑵求sin10°sin30°sin50°sin70° 的值. 的值 问题2.求 的值. 问题 求tan20°+4sin20°的值 一.给角求值 采用①诱导公式变形; 化为锐角; 求值 ⑴采用①诱导公式变形 ②化为锐角 ③求值. ⑵采用三角恒等变换 化特殊角 或抵消的项 采用三角恒等变换,化特殊角 或抵消的项, 三角恒等变换 化特殊角,或抵消的项 或约分等. 或约分等
问题3.已知 问题 已知6sin α +sinα cos − 2cos α = 0,α ∈[ ,π ), α 2 π 的值. 求 sin( 2α + )的值
2 2
π
3
二.给值(式)求值 给值( ①从角上分析 ②从函数名上分析 ③从式子结构上分析
三角函数“给值求值”的求解策略
Ｓｎ 十ｎ Ｊ十 牟ｔ 口』 口 ａ
一
ｎ
ＣＯＳ
２ 亏 （ 一
１ 一百 ＋（ ２）
ｃ ｚ 。ｓ ｎ一
１ ２
１ ３
口＋ ， ） ：（＋÷） 一÷ 等． 视题 目要求 ， 有时化
‘ ｆ
Ｓ 十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ 异ｔａ Ｉ Ｃａ１ ｎ ａ Ｏ
一
单 角 为 复 角 ， 时化 复 角 为单 角． 有
４ 切 弦 互 化 ， 异 为 同 ． 变
１（号 一一
１ （ ２） ＋ 一
・
５
切 弦 互化 就 是 正 切 、 切 与 正 切 、 弦 之 间 的 余 余 互 相 转化 ， 常用 的是 “ 化 弦 ” 但 有 时候 如 果 所 最 切 ， 求 式 子 的分 子 、 母 都 是 关 于 正 弦 ， 弦 的 一 次 或 分 余 二 次 齐次 式 时 我们 也可 采 用 用 “ 化 切 ”两 种 变 名 弦 ． 的 目的都 是 使 函数 名称 “ 多为 少 ”“ 异为 同” 化 ，化 ．
・ ． ．
ｃ ２ ＝ Ｃ － ｓ ｎ 一 ——ｚ ｓ ｎ ２ 。ｓ ０ ＯＳ ０－ ｉ ａ ｃｓ０ ｏ － ｉ
— —
＿
Ｉ ￣ 答 题 键 之 ，察到 手 ｉ ｌ解 本 关 点 一 观 （ ｇ ＋ｎ （ ２ 一 然 利 诱 公 进 ２ ＋手一ｎ 号，后 用 导 式 行 ） ）
化简． 如果 没 有 利 用 诱 导 公 式 结 合 ２倍 角 公 式 求 出 ｎ 运 算 过 程 会 变得 复 杂 ． 此 化 简 时 要 特 别 注 ， 因 意 观 察 角 之 间 的特 殊 关 系 ， 能 否 利 用 诱 导 公 式 ． 看
‘ ． ．
ｃｓａ ｏＥａ ） （ －ｐ ］ ｏ （ ＋ ｐ ｏＺ —ｃｓ （ ＋ｐ ＋ Ⅱ ） 一ｃｓ ａ ）
三角函数中的求值问题
2 12 。 继续 1.已知t anα = 2， t an( α－β) = － ， 那么t anβ = _____ 5 3 12 2. 已知 ，cos( - ) ， 2 4 13 3 sin( ) － ，求 sin2的值。 5
小结： 给值求角问题
实质上可转化为给值求值 问题,即先求出该角的某一 三角函数的值,然后讨论角 的范围,判断该角的大小.
基础训练三： 1 1、已知 ,- 0, tan = - , 2 3 1 tan = - , 求2 + 的值. 7
tan 2 tan 解：∵ tan(2 ) , 1 tan 2 tan
3 1.sin660的值为______. 2
2.化简sin50 (1 + 3t an10 ) .
基础训练一：
继续
1 3 2( cos10 sin10 ) 3sin10 2 2 解:原式= sin50 (1 ) = sin50 cos10 cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2sin 50 cos10 化切为弦
2 2 2
② 注意三角公式的“活用”；
③ 重视角的范围对三角函数值所起的影响，注意角的
范围的讨论。
2 5 3 10 在ABC中， cos A ， cos B , 5 10 求A B的值。 1 10 变式：在ABC中， tan A , sin B , 2 10 求角C的值。
归纳与总结：
三角函数的求值要注意以下几点：
2 ( ) ( ) ① 注意“变角”如， ( ) ( ) 等 ；
三角函数求值问题的解题思维策略
１
一
ｔｎ ｔｎ ０一 ） ‘‘ ａ０ａ（ 一
１ ． ∈ （ ， ，ａ 声＜ ．． ． ０ ） ｔｎ
、 “ ”、 ’ ’
０ ． ∈（ ， ）又 ｏ ０ 丌）ｔｎ ＜１０ ’． ． － 丌 ． ， ， ０ ， ｙ Ｅ（ ａ Ｅ
：
０
＝ ３．ｔｎ（ ０ 一 声）＝ ａ ２
‘ “ “ 一
差 、倍 角关 系 ，或 者 题 目中 的 角存 在 着 和 、 差关 系 ，或 者题 目中的各角 的和 或差是 特殊 角 ，或者 已知条 件 中角轮换 后地 位平 等不影 响结果 等 等 ．解 题时要 善 于观察 、把握 和捕
２０ ０ ９年 第 ４期
河 北理科教 学研 究
问题 讨论
ｌ
三 角 函数 求值 问题 的解题 思维 策 略
广 东省佛 山市顺德 区容桂 职业技 术 学校 陈华安 ５ ８ ０ ２ ３３
＼ ／
—
＋ ＿ ｙ ０
三 角 函数 求值 问题是 三角 函数 中的基 本
问题 ，也是各 种考 试 中的常见 问题 ．一般 来 说 ，解 决这些 问题 可 以从 角 的关 系 、函数 特 征 、差 异分析 、退 到特殊 化等 方面 思考解 题 策 略 ，找 出解 题 的切 入 点 ．
（ ｊ） ０ 声 一 ，） ２ 一 ＝ ０ ， 一 ∈（ 丌０， ０ 声 ， ２ 故
３丌
４ ’
用适 当的推理运 算 ，优化 解题思 路 ，使 问题
迎 刃而解 ． １ １ 找 结论 式 与 条件 式 中角 的 和 、 、 角 ． 差 倍
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
配凑法解决三角函数的求值问题
因为 = ( + ) − ，所以 cos = cos[( + ) − ] = cos( + ) cos + sin( + ) sin
=−4 5 +32 5 = 2 5 5 5 5 5 25
例4、已知 为锐角，若 cos( + ) = 4 ，则 sin(2 + ) = ________ .
5
5
答案： 2 5 25
解析：因为 为锐角，且 cos = 5 1 ，所以 (0, ) ，且 sin = 2 5
52
3
5
又因为 sin( + ) = 3 3 ，所以 2 + （舍去 0 + ，因为 (0, ) 而 为锐角）
52
3
3
3
所以 cos( + ) = − 4 5
25
sin(2 + ) = sin[(2 + ) − ] = sin(2 + ) cos − cos(2 + ) sin = 24 3 − 7 1 = 24 3 − 7
6
36
36
3 6 25 2 25 2 50
2/6
题型二：化简求值处理技巧
例5、求 (tan10 − 3) sin 80 = _______ . cos 40
11、已知 sin = 5 ， sin( − ) = − 10 ，若 ， 都是锐角，求 = ______ .
5
10
12、已知 sin 2 = 5 ， sin( − ) = 10 ，且 [ , ] ， [ , 3 ] ，求 + = _____ .
5
10
4
2
13、已知 tan( − ) = 1 ， tan = − 1 ，且 、 (0, ) ，求 2 − = ______ .
三角函数中的参数求值或求范围问题
三角函数中的参数求值或求范围问题
1、等式恒成立型
这一类型包括奇偶性概率、周期性概念、存在性问题三种，解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路。
例1、若是奇函数，求θ的值。
若是偶函数呢？
解法1：（定义法）因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，所以为所求。
解法2：（特值法）因为是奇函数，所以f(0)=0，得，故，此时，而
，故为所求。
解法3：因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，进而恒成立，所以，即为所求。
2、不等式恒成立型
这类问题的理论依据是：若将含参数t的关于x的不等式分离
，通过求g(x)的最值，再求t的取值范围。
（1）；
（2）。
例2、已知函数
恒成立，求实数a的范围。
解析：
，由，由对。
3、函数最值型
此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或者转换为二次函数分类讨论求最值。
例3、若函数
的最小值是－6，求实数a的值。
解析：令。
（1）上递增，所以
，得a=－7。
（2）当时，g(t)在[－1，1]上递减，所以
，得a=7；
（3）当
时，g(t)在
递增。
所以，舍去；综上所述，得。
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则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
3 sin300°=sin(360° )=-sin60°=-60° 2
一
给角求值
3 【例 1】计算 tan12° ＋tan18° ＋ tan12° tan18° 的值． 3 【分析】发现 12° ＋18° ＝30° 从而出现特殊角．
tan120 tan180 tan( 0 180 ) 12 1 tan120 tan180
三
给值求角
1 13 π 例 3.已知 cosα＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0<β<α< ，求 β 的值； 7 14 2 【分析】 分析已知式和待求式中角的关系，不难发现
β＝α－(α－β)，因此应用两角差公式求解．
π π 解:(1)由 0＜β＜α＜ 得 0＜α－β＜ . 2 2 13 1 又 cos(α－β)＝ ，cosα＝ ， 14 7 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β 3 3 ＝ . 14 sinα＝ 4 3 . 7
3 解：原式＝tan(12° ＋18° )(1－tan12° tan18° )＋ tan12°tan18° · 3 3 3 = (1－tan12° tan18° )＋ tan12°tan18° · 3 3
3 3 3 ＝ － tan12° tan18° ＋ tan12° tan18° 3 3 3
3 = . 3
三角函数的求值
三角函数的求值问题常见类型: (1) “给角求值”; (2) “给值求值”; (3) “给值求角”.
一、给角求值问题
“给角求值” ：在不查表前提下，求三角函数值， 其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
3 练习: 2 sin300°的值为______.
二
给值求值
3 5 π 3 π 3 例 2 若 sin( π＋α)＝ ,cos( －β)＝ ,且 0<α< <β< π,求 cos(α＋β)的值 4 13 4 5 4 4 π 3 3 3 π π 解:因为 0<α< <β< π，所以 π< π＋α<π，－ < －β<0. 4 4 4 4 2 4
3 5 π 3 又 sin( π＋α)＝ ，cos( －β)＝ ， 4 13 4 5 3 12 π 4 所以 cos( π＋α)＝－ ，sin( －β)＝－ ， 4 13 4 5 π 所以 cos(α＋β)＝sin[2＋(α＋β)] 3 π ＝sin[(4π＋α)－(4－β)] 3 π 3 π ＝sin(4π＋α)cos(4－β)－cos(4π＋α)sin(4－β) 33 ＝－65.
2 已知 tanα=2，tan(α－β)=－ ，那么 tanβ= 5
12 。
分析：β=α- (α－β)
2 解： tan 2, tan( ) 5 2 2 tan tan 5 12 tan tan[ ( )] 1 tan tan 2 1 2 5
则 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
【点评】 给值求角问题，一般都需先求出待求角的 某一个三角函数值， 再根据角的范围确定角的值； 一般地， π π 若 α∈(－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 2 2 cosα 或 tanα，避免增角．Fra bibliotek作业：
• 《同步训练》P276 第20讲
4 4 3 cos( ) , cos( ) , 且 ( , ), ( ,2 ), 已知 5 5 2 2
求 cos2 , cos2的值。
三
给值求角
1 13 π 例 2.已知 cosα＝7，cos(α－β)＝14，且 0<β<α<2，求 β 的值； 变式： 0
π π 解:由 0＜β＜α＜ 得 0＜α－β＜ . 2 2 13 1 又 cos(α－β)＝ ，cosα＝ ， 14 7 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β 3 3 ＝ . 14 4 3 sinα＝ . 7
【点评】 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三 角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变 角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在象限没有确 定，则应分类讨论，应注意公式的灵活应用，如 β＝α－(α α＋β α＋β α－β －β)，α＋β＝ ×2，α＝ ＋ 等． 2 2 2
三、给值求角问题 实质上可转化为给值求值问题,即先求出该 角的某一三角函数的值,然后讨论角的范围,判断 该角的大小.