三角函数的求值
三角函数的求值
第36课 三角函数的求值●考试目标 主词填空1.给角求值给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.2.给值求值给值求值的要领是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3.给值求角给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的单调性，最后求角.●题型示例 点津归纳【例1】 求下列各式的值. (1)tan20°+4sin20°; (2)︒∙︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ;(3)4cos 235°－cos170°－tan160°·sin170°. 【解前点津】 (1)化切为弦，通分合并; (2)∵15°－8°=7°,故应“积化和式”; (3)降次，并化切为弦.【规范解答】 (1)tan20°+4sin20°＝︒︒+︒=︒︒∙︒+︒20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ＝︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒+︒20cos 40sin 80sin 20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin )40sin 20(sin ＝320cos 20cos 60sin 2=︒︒︒.(2)原式=3215tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin )7cos 23(cos 217cos )7sin 23(sin 217sin -=︒=︒︒︒︒=︒+︒︒+︒=︒-︒+︒︒-︒+︒. (3)原式=2(1+cos70°)+cos10°+tan20°·sin10°=2+2cos70°+︒︒︒+︒∙︒20cos 10sin 20sin 20cos 10cos=2+2cos70°+︒︒+︒∙︒+=︒︒-︒20cos 10cos 20cos 70cos 2220cos )1020cos(=2+3220cos 20cos 30cos 2220cos 10cos 15cos +=︒︒︒+=︒︒+︒.【解后归纳】 此类问题属于“给角求值”，先从不同的视角观察对象，一看名称，二看运算结构.两角和与差是否产生“特殊角”，或产生可消除的非特殊角，这是选用公式的“着眼点”.【例2】 (1)已知cos(α+β)=－31,cos2α=－135,α、β都是钝角，求sin(α－β)之值. (2)已知cos 20,2,322sin ,912πβπαπβαβα<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-且,求cos(α+β)的值.【解前点津】 所求函数中的角与已知函数中的角，其运算结构不同，所以要作角的变形，使形式统一，在(1)中，作α－β=2α－(α+β),在(2)中,作⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222.【规范解答】 (1)∵2π<α<π,2π<β<π,∴π<α+β<2π,π<2α<2π.∵cos(α+β)=－31<0,cos2α=－135-<0,∴α+β,2α都在⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ内.于是:sin(α+β)=－3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--,∴sin(α－β)=sin ［2α－(α+β)］=sin2α·cos(α+β)－cos2α·sin(α+β)=3921012322135311312-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. (2)∵2π<α<π,0<β<2π,∴4π<α－2β<π,－224πβαπ<-<,∴9549112sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα.cos 3532122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα∴cos⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβαβαβαβαβα2sin 2sin 2cos 2cos 22cos 2=2757329543591=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.∴cos(α+β)=2cos 2729239127572122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα. 【解后归纳】 此类问题属于“给值求值”，从考察条件与结论式子的差异入手，确定变形目标，是变名还是变角，此题就是着眼于角度变形的问题.【例3】 已知:tan(α－β)=21,tan β=－71,且α、β∈(0,π),求2α－β之值. 【解前点津】 此类问题属于“给值求角”，因条件等式是“正切形式”，故应考虑计算tan(2α－β)的值.【规范解答】 tan α=tan ［(α－β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=∙--+-ββαββα.又α∈(0,π),∴α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,而tan β=－71<0,0<β<π,∴2π<β<π,∴－π<α－β<－2π,∴2α－β=α+(α－β)∈(－π,0),从而由tan(2α－β)=tan ［α+(α－β)］=1)tan(tan 1)tan(tan =-∙--+αβαβαα得2α－β=－43π.【解后归纳】 对(2α－β)的取值范围,估算要精确，范围过大，容易产生错误，只有对条件进行深入“挖掘”，才能准确推导角度的取值范围.【例4】 是否存在锐角α和β,使得:(1)α+(2β)=32π; (2)tan2α·tan β=2－3同时成立?若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.【解前点津】 由(1)可作角度形:2α+β=3π,两边取正切，与(2)联立，则可求出tan2α+tan β之值，联系一元二次方程根与系数关系，可看结论是否成立.【规范解答】 由(1)得:2α+β=3π,∴tan 3tan 2tan 1tan 2tan2=∙-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαβαβα， 将(2)代入上式得:tan2α+tan β=3－3,∴tan2α,tan β是一元二次方程;x 2－(3－3)x +(2－3)=0的两根，解之:x 1=1,x 2=2－3, 若tan 2α=1,但0<2α<4π,故此时α值不存在.若tan 2α=2－3,则tan β=1,∵0<β<2α,∴β=4π代入(1)得:α=6π.故存在锐角α=6π,β=4π,使(1)(2)同时成立.【解后归纳】 此类问题，常从“假设”存在入手，解后还须检验.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若0<α<π,则αsin 10,lgsin α,sin 10α三个数之间的大小顺序是 ( ) A.sin 10α<αsin 10<lgsin α B.lgsin α<sin 10α<αsin 10C. αsin 10<lgsin α<sin 10αD.lgsin α<αsin 10<sin 10α2.若θ是锐角，且sin θ－cos θ=21,则sin 3θ+cos 3θ的值是 ( ) A.1675 B.167 C.811 D.873.设M =[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥πθθθπθθθ,0,21cos |,,0,21sin |N ,则M ∩N ( )A.MB.NC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ4.函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 6π的值域是 ( )A.［－5,5］B.[]37,37- C.［－1,37］ D.［－7,1］5.若f (tan x )=sin2x ,则f (－1)的值是 ( ) A.－sin2 B.－1 C.21D.1 6.已知cos α=21-,sin β=－23,α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ2,23,则sin(α+β)的值为 ( ) A.23 B.－1 C.－23 D.－217.已知tan A ·tan B =1,则sin A ·sin B 的最大值是 ( )A.－43B.41C.21D.18.式子(1+tan21°)·(1+tan22°)·(1+tan23°)·(1+tan24°)的值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169.在①cos40°+3·sin40°=2cos20°,②1+2cos20°=4cos20°cos40°,③︒+︒40cos 140sin =c o t 70°,④︒+︒-40tan 140tan 1=tan20°这四个式子中，成立的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4 10.已知等腰三角形顶角的正弦为2524,则底角的余弦是 ( ) A.54 B.－53 C. 54或53 D.－54或－53 二、思维激活11.已知tan35°=a (a ≠0),则︒-︒20sin 120cos = .12.︒︒-︒70sin )20sin 80sin 2(= .13.︒+︒50cos 350sin 1的值为 .14.x =sin50°+cos50°,y =sin70°+cos70°,则x ,y 间的大小关系是 . 三、能力提高 15.已知tan x =2,tan y =31,求tan ［2(x +y )］的值. 16.设－6π≤x ≤4π,求y =l og 2(1+sin x )+l og 2(1－sin x )的最大值与最小值.17.已知1+cos α－sin β+sin αsin β=0,1－cos α－cos β+sin αcos β=0,求sin α的值.18.已知:tan α=1,sin(2α+β)=3sin β,求tan(α+β)的值.第7课 三角函数的求值习题解答1.B 取α=2π则αsin 10=10,sin 10α=1,lgsin α=0.故选B.2.A 由条件:1－2sin θcos θ=⇒41sin θcos θ=83.故sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)［sin 2θ－sin θ·cos θ+cos2θ］=(sin θ+cos θ)·85831=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(sin θ+cos θ)=⎪⎭⎫⎝⎛+θcos 22185.又∵θ为锐角.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-83cos sin 21cos sin θθθθ中消去sinθ167541722185417cos 83cos cos 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-=⇒=∙⎪⎭⎫⎝⎛+故原式θθθ. 3.D 化简得:M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6.N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3，故M ∩N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,3.4.B f (x )=4⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin cos 6cos sin 36sin cos 6cos sin ππππx x x x=7sin x ·23－cos x ·21,又∵2221237⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=37)(3737≤≤-x f 故. 5.B 令tan x =－1,则sin2x =1)1(1)1(2tan 1tan 222-=-+-=+x x. 6.A ∵cos α=21,∴sin α=23,∵sin β=－23,β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23, ∴cos β=21故sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β=2323212123=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯. 7.C ∵tan A ·tan B =1,∴sin A ·sin B =cos A ·cos B ⇒cos(A +B )=0, ∴A +B =2k π+2π(k ∈Z ),于是:sin A ·sin =－21［cos(A +B )－cos(A －B )］=21cos(A －B )≤21. 8.B ∵tan(24°+21°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ,∴tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1⇒(tan21°+1)·(1+ tan24°)=2,同理可得(1+tan22°)·(1+tan23°)=2,故原式=4. 9.C 逐一检验知，不成立.10.C 设底角为α,顶角为(π－2α),∵sin(π－2α)=sin2α=2524, ∴2sin αcos α=25242512cos 1cos 2=-∙⇒αα解之.cos α=53或54. 11.a135tan 170cos 170sin 20sin 120cos =︒=︒-︒=︒-︒.12.原式=［(sin80°－sin20°)+sin80°］÷sin10°=︒︒+︒︒70sin 80sin 30sin 50cos 2=320cos 20cos 370sin 20cos 60sin 270sin )40sin 80(sin =︒︒=︒︒∙︒=︒︒+︒. 13.原式=︒︒+∙︒=︒︒+︒100sin )50cos 212350(sin 4100sin 21)50cos 50sin 3( =480sin )3050sin(4100sin )30sin 50cos 30cos 50(sin 4=︒︒+︒=︒︒∙︒+︒︒.14.∵x >0,y >0,且x 2－y 2=(sin50°+cos50°)2－(sin20°+cos20°)2 =2(sin50°cos50°－sin20°cos20°)=sin(50°×2)－sin(20°×2) =sin80°－sin40°>0,∴x >y .15.∵tan2x =4391132)tan 1(tan 22tan ,34414tan 1tan 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-y y y x x , ∴tan[2(x +y )]=24724169121244334334143342tan 2tan 12tan 2tan -=-=+⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-+y x y x .16.y =log 2(1－sin2x )=2log 2|cos x |=2log 2cos x ,∵－6π≤x ≤4π,∴22≤cos x ≤1,∴－1≤y ≤0即最小值是－1,最大值是0. 17.由条件得:sin α－1≠0且sin β=ααsin 1cos 1-+,1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1c o s 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=ααααααβ故.化简得:3sin 2α－2sin α－3=0,解之:sin α=)101(31-. 18.∵sin ［(α+β)+α］=3sin ［(α+β)－α］,∴sin(α+β)·cos α+cos(α+β)·sin α =3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)·sin α4cos(α+β)·sin α =2sin(α+β)·cos α, ∴tan(α+β)=2tan α=2.。
三角函数求值-学生版 (1)
三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。
三角函数中的求值问题
2 12 。 继续 1.已知t anα = 2， t an( α－β) = － ， 那么t anβ = _____ 5 3 12 2. 已知 ，cos( - ) ， 2 4 13 3 sin( ) － ，求 sin2的值。 5
小结： 给值求角问题
实质上可转化为给值求值 问题,即先求出该角的某一 三角函数的值,然后讨论角 的范围,判断该角的大小.
基础训练三： 1 1、已知 ,- 0, tan = - , 2 3 1 tan = - , 求2 + 的值. 7
tan 2 tan 解：∵ tan(2 ) , 1 tan 2 tan
3 1.sin660的值为______. 2
2.化简sin50 (1 + 3t an10 ) .
基础训练一：
继续
1 3 2( cos10 sin10 ) 3sin10 2 2 解:原式= sin50 (1 ) = sin50 cos10 cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2sin 50 cos10 化切为弦
2 2 2
② 注意三角公式的“活用”；
③ 重视角的范围对三角函数值所起的影响，注意角的
范围的讨论。
2 5 3 10 在ABC中， cos A ， cos B , 5 10 求A B的值。 1 10 变式：在ABC中， tan A , sin B , 2 10 求角C的值。
归纳与总结：
三角函数的求值要注意以下几点：
2 ( ) ( ) ① 注意“变角”如， ( ) ( ) 等 ；
高中数学-三角函数中的求值问题
作业：(06年北京) 已知函数
f ( x)
1
2 sin(2 x cos x
4
)
（Ⅰ） 求 f ( x) 的定义域； （Ⅱ） 设 是第四象限的角，且
4 tan ,求 f ( ) 的值 。 3
祝同学们学业有成
一帆风顺
1、同角三角函数的基本关系：
2、诱导公式： 3、两角和（差）的三角函数公式：
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin 2 tan tan 2 2 1 tan
2 2 2
2
例 4： （2005江苏）
1 2 sin( ) , 则cos( 2 ) (A) 6 3 3
7 9
A.
3、两角和与差的三角函数： sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan
sin 7 cos15 sin 8 例2：求值： cos7 sin 15 sin 8
0 A
A 6 6
A 5
6 6 6
∴ A 3
例5（2006年四川）
已知 A, B, C是三角形 ABC 三内角， m 1, 3 , n cos A,sin A ，且 m n 1
（Ⅰ）求角
A
tan B
sin(15 8 ) cos15 sin 8 解： 原式 cos(15 8 ) sin 15 sin 8
sin 15 cos8 cos15 sin 8 cos15 sin 8 cos15 cos8 sin 15 sin 8 sin 15 sin 8
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。
三角函数求值问题
则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
三角函数求值公式
三角函数求值公式
哎呀，说起三角函数求值公式，这可真是让我这个小学生脑袋都大了一圈！
三角函数，就像是数学世界里的神秘小精灵，它们的求值公式更是像一道道难以破解的密码。
你想想，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们就像是三个调皮的小伙伴，总是在各种数学问题里蹦跶，让我们去寻找它们的价值。
比如说，正弦函数的求值公式，sin A = 对边/ 斜边。
这就好像是我们分糖果，对边是我拿到的糖果数量，斜边是总的糖果数量，那我拿到的糖果占总糖果的比例不就是正弦值嘛！
还有余弦函数，cos A = 邻边/ 斜边。
这就好比是我和小伙伴们排队，邻边就是我旁边小伙伴的人数，斜边是整排的人数，那旁边小伙伴占整排人数的比例不就是余弦值嘛！
正切函数tan A = 对边/ 邻边，这又好像是我和朋友比赛跑步，对边是我跑的距离，邻边是朋友跑的距离，那我跑的距离和朋友跑的距离的比值不就是正切值嘛！
老师在课堂上讲这些的时候，我就拼命地想啊想，这到底是咋回事呢？我同桌小明也一脸懵，还悄悄跟我说：“这也太难懂啦！”我心里也直嘀咕：“可不是嘛，这咋比玩游戏还难！”
后来老师又举了好多例子，带着我们做了好多练习题，慢慢地，好像有点开窍了。
我发现，只要认真去琢磨，这些公式也不是那么可怕。
就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但是一步一步地往上走，总能看到更美的风景。
现在想想，三角函数求值公式虽然复杂，但只要我们用心去理解，多练习，也能把它们拿下！这不就跟我们做任何事情一样嘛，只要有决心，有耐心，就没有办不成的事儿！所以呀，别害怕这些公式，勇敢地去挑战它们，说不定会发现其中的乐趣呢！。
三角函数求值的几种方法
三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。
三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。
本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。
一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。
例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。
通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。
二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。
例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。
几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。
四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。
使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。
例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。
五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。
三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。
例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。
六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。
例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。
总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。
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三角函数的求值
一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用． 三、教学过程：
（一）主要知识：
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形
重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 （二）主要方法：
1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．
（三）例题分析：
例1、计算)310(tan 40sin 0
0-的值。
【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。
解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000
- =0
000
60
cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 0
00
-=⋅-
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系
注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=0
020cos 40sin 80sin +
=320
cos 20cos 60sin 20
0= 例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2
θ的值 解：法一：由已知
2
1
tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ
sin2θ-2cos 2
θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5
4
tan 12tan 22
-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2
θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(
θπ22
+)-sin(
θπ22
+)-1
=5
41)
4
(tan 1)
4tan(2)4(tan 1)
4(
tan 1222-=-+++-+++--θπθπ
θπθπ
[点评] “给值求值” 法一,由tan θ的值，利用齐次式求值。
法二，由角度之间关系求解 练习:)6
sin(,212
tan
π
αα
+=
求已知 解：（利用万能公式）
10
3
34+ 例3、已知sin(
-4πx)=135，0<x<4
π
，求)
4
cos(2cos x x
+π
的值。
【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4π
-x)
又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4
π
-x)
∴)4
cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=213
24)1312(=⨯ 【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 2
2
x x x x x x x -+=-= )4
cos()4sin(2π
π
++
x x ∴
)4
cos(2cos x x +π
)
4
cos()
4cos()4sin(2x x x +++=
ππ
π=)4sin(2x +π 下同解法1。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ
=++-x x 及)4
(222x x -=-π
π ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
练习：设cos(α2
β-
)=91-
，sin(βα-2)=3
2
,且2
0,2
πβπαπ<<<<，求cos(α+β)
解：cos(
2
β
α+)=cos[(α2
β
-
)-(
βα
-2
)]┉=
27
57 ∴cos(α+β)=
1
2
cos
22
-+β
α=┉=729
239
-
〈对角的范围要讨论〉 例4、若),0(,πβα∈，31
tan ,50
7
cos -=-
=βα，求α+2β。
解：∵),0(,πβα∈，50
7cos -
=α
∴),0,33(71tan -∈-=α),0,3
3
(31tan -∈-=β ∴),65(
,ππβα∈，α+2β)3,2
5(ππ
∈, 又tan2β=
43tan 1tan 22
-=-β
β,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβ
αβα, ∴α+2β=
4
11π
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。
在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。
练习:已知α，β为锐角，tan α=1/7 sin β=
10
10
,求2α+β的值 解：由已知0<2α+β<
23π, 求得cos(2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β=4
π
例5、已知3
1
)sin(,21)sin(=-=
+βαβα，求tan α:tan β的值。
解：由已知，sin αcos β+cos αsin β=1/2......(1), sin αcos β-cos αsin β=1/3 (2)
()()()()
得2121-+tan α:tan β=5:1
[点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。
练习: 已知sin α+sin β= m 已知cos α+cos β= n(mn ≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)
解：⑴两式平方相加得：2+2(cos αcos β+sin αsin β)=m 2+n 2
12
)cos(2
2-+=
-⇒n m βα. ⑵
=
++β
αβ
αcos cos sin sin n m =+=-+-+2tan 2
cos
2cos 22cos
2sin
2βαβαβαβ
αβ
α. 由万能公式：sin(α+β)=222212
m n mn n m n m
+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+ ⑶tan(α+β)=222212
m n mn n m n m
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
（四）巩固练习：
1．若cos130a =，则tan 50=
（
）
()
A a
()B a
±
()C
()D a
-
2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=
（ B ）
()A 2
()B 4
()C 8
()D 16
四、小结：
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形
三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
五、作业：。