北京市房山区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
房山区2019--2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.椭圆1的离心率是（ ）2243x y +=C. D. 1312【答案】D 【解析】【分析】由椭圆方程可知、、 的值，由离心率求出结果．22143x y +=a b c c e a =【详解】解：由椭圆可知，，，，22143x y +=2a =b =1c =离心率，∴12c e a ==故选：．D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、 的值是解题a c 的关键，属于基础题．2.在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．故选：．B 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．3.双曲线的渐近线方程为 2214y x -=()A. B. C.D.2y x=±y =12y x=±y x =【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲线的渐近线22221x y a b -=b y x a =±方程即可．【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：．2214y x -=2y x =±故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4.已知向量与向量垂直，则实数x 的值为（ ）()2,3,5a =-()4,,1b x =-A. ﹣1B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．x 【详解】解：向量，与向量垂直，则，()2,3,5a =-()4,,1b x =-0a b =由数量积的坐标公式可得：，24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=解得，1x =故选：．B 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．5.已知双曲线1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点226436x y -=P 到F 2的距离是（ ）A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或31【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线的焦点为，，为其上一点．2216436x y -=1F 2F P 所以，12216PF PF a -==若点到的距离为，P 1F 115PF =，21516PF ∴-=解得或（舍去），231PF =21PF =-所以点到的距离是：．P 2F 31故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-l α位置关系是 ()A. B. C. D. //l αl α⊥l α⊂l α∈【答案】B 【解析】【分析】由已知可求，判断与共线，即可得解．2b a = b al a ⊥【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-，∴2b a = 则与共线，可得：．∴b al a ⊥故选：．B 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量与向量的夹角是（ ）AB11C A A. 150° B. 135°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角．AB11C A 【详解】解：如图，正方体中，，，1111ABCD A B C D -11//AB A B 11//AC A C 的补角即为向量与向量 的夹角．111C A B ∴∠AB11C A 为等腰直角三角形，111C A B ∆，11145C A B ∴∠=︒量与向量的夹角为，∴AB11C A 18045135︒-︒=︒故选：．B 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等216y x =P 10m =P y d 于（ ）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的P P y 距离．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的4x =-P 0x 性质可得，所以，所以到轴的距离为6，0410x +=06x =P y 故选：．C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题．9.已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是 2214x y k +=2e <k ()A. 或B.C.D.k 0<3k >30k -<<120k -<<83k -<<【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．【详解】解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：2214x y k +=k 0<2a=c =，e =，12e << ，∴12<<解得，综上．120k -<<120k -<<故选：．C【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．10.如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么24y x =F M (1,0)A -的最大值是 ||||MF MA ()A.D. 112【答案】D 【解析】【分析】由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到A 准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结||||MF MN MA AM =||||MF MA A M F 果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在(1,0)F 1x =-(1,0)A -准线上，作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，MN ⊥N |||MF MN =||||||||MF MN MA MA =在三角形中，，所以的最大值时，最小，AMN cos MNMAFMA =∠||||MF MA FAM ∠当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，A M F FAM ∠||||MF MA 故选：．D【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题．11.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是 221mx ny +=y ()A. B. C. D.0m n >>0n m >>0mn >0mn <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论．【详解】解：若方程表示椭圆，则，，m 0n ≠则方程等价为，22111x y m n +=若方程表示焦点在轴上椭圆，y 则等价为，11n m >>解得：，0m n >>故选：．A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 1AB Q G 的轨迹．Q 【详解】解：如图，在正方体中，有平面，则，1111ABCD A B C D -11A D ⊥11AA B B 111A D AB ⊥又，，平面，平面，11AB A B ⊥1111A B A D A = 1A B ⊂11A BCD 11A D ⊂11A BCD 平面，1AB ∴⊥11A BCD 设，连接，则，垂直为，11A B AB G = QG 1QG AB ⊥G 而与在平面 内，且，G BC 11A BCD G BC ∉又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，Q 1AB BC Q G BC 由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分．Q 故选：．D 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.【答案】[0，].2π【解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值θθ，由此能求出角的取值范围．2πθ【详解】解：是直线与平面所成的角，θ当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，θ当直线与平面垂直时，取最大值，θ2π角的取值范围是．∴θ0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.双曲线1的实轴长为_____.22169y x -=【答案】8.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线的实轴长为：．221169y x -=2248a =⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．15.抛物线的准线方程是_____，焦点坐标是_____.28x y =-【答案】 (1). y ＝2 (2). （0，﹣2）.【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果．p 【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，28x y =-28p =4p =y 所以焦点即：，准线，0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2-22p y ==故答案分别为：；．2y =()0,2-【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；A B k ||||PA PB k -=P ②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；22520x x -+=③双曲线与椭圆有相同的焦点．221259x y -=22135x y +=其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.【答案】②③.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点1F 2F 12(||)k k F F <的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，①不0||k AB <<||k AB =∴正确；②方程的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22520x x -+=1212率，②正确；③双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，③正确；221259x y-=22135x y +=()故答案为：②③．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．17.在长方体中，，则二面角的大小为_____.1111ABCD A B C D -13AB A A ==1A BC A --【答案】45°.【解析】【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，AD a =D DA x DC y 1DD z 利用向量法能求出二面角的大小．1A BC A --【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空AD a =D DA x DC y 1DD z 间直角坐标系，则平面的法向量，ABC ()0,0,1m =，， ，()1,0,3A a (),3,0B a ()0,3,0C ，0，，，，，(BC a =- 0)1(0BA =3-3)设平面的法向量，1A BC (),,n x y z =则，取，得，1，，1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1y =(0n = 1)设二面角的大小为，1A BC A --θ则，||cos ||||m n m n θ==．45θ∴=︒二面角的大小为．∴1A BC A --45︒故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知椭圆E ：，的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于22221x y a b +=0a b >>()3,0F A 、B 两点．若AB 的中点坐标为，则E 的方程为__________.()1,1-【答案】221189x y +=【解析】【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，()11,A x y ()22,B x y 212212y y b x x a -=-()3,0F 和AB 的中点坐标，得，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得，()1,1-121212y y x x -=-29b =，即可得E 的方程.218a =【详解】已知，设，，则①，②，3c =()11,A x y ()22,B x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=已知AB 的中点坐标为，，()121,1 2x x -+=，则122y y +=-①－②得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=∴， ()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a -+=-⋅=-⨯-=-+∵，∴，即，1212011312y y x x -+==--2212b a =222a b =又，22229a b c b =+=+∴，，即E 的方程为.29b =218a =221189x y +=【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分.19.如图，在直三棱柱中，，，，，点111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =是的中点．D AB （1）求异面直线与所成的角；AC 1BC （2）求证：平面．1//AC 1CDB【答案】（1）（2）证明见解析2π【解析】【分析】（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，3AC =4BC =5AB =ABC ∆．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直AC BC ⊥111ABC A B C -1C C ⊥ABC 角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．【详解】解：（1）因为，，，3AC =4BC =5AB =所以，所以是直角三角形，222AC BC AB +=ABC ∆所以，所以2ACB π=AC BC⊥因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，111ABC A B C -1C C ⊥ABC 所以，1C C AC ⊥1C C BC⊥以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，C CA CB 1CC x y z 则，0，，，0，，，4，，，0，(0C 0)(3A 0)(0B 0)1(0C 4)所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，AC (3,0,0)CA =1BC 1(0,4,4)BC =-设异面直线与所成的角为，AC 1BC θ因为，10CA BC = 所以，cos 0θ=所以异面直线与所成的角为．AC 1BC 2π（2）由（1）可知，，4，，则，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(0B 4)3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1(0,4,4)CB =设平面的法向量为，则，所以1CDB (,,)n x y z = 1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，，所以4x =3y =-3z =(4,3,3)n =-直线的方向向量为，1AC 1(3,0,4)AC =-因为，平面， 所以平面．10AC n =1AC ⊄1CDB 1//AC 1CDB 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右xOy 1F 2F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交B (0,)b 2||BF =41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E 2CF 椭圆于点．A （1）求椭圆的方程；E（2）求的面积．ABC ∆【答案】（1）（2）2212x y +=43【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；C b （2）由（1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，2CF A ||AB 即可求得的面积．ABC ∆【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，，B (0,)b 2||BF =所以，2||BF a ===因为点在椭圆上，所以，解得，41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭22161991a b +=21b =故所求椭圆的方程为.2212x y +=（2）因为点的坐标为，点的坐标为，C 41,33⎛⎫⎪⎝⎭2F (1,0)所以直线的斜率，所以直线的方程为，2CF 131413k ==-2CF 1y x =-由得，，所以或，221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩2340x x -=01x y =⎧⎨=-⎩4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为，所以，A (0,1)-||2AB =所以．1442233ABC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，F 2:2(0)C y px p =>F A B为坐标原点．O （1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；C (1,2)M -C （2）证明：是定值．OA OB【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；M p （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理l 及向量的坐标运算，即可证明是定值．OA OB【详解】解：（1）因为抛物线过点，2:2(0)C y px p =>(1,2)M -所以，，42p =2p =所以抛物线的方程；C 24y x =（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则l (,0)2p F l ()2py k x =-，2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩将（1）代入（2）得，，化简得，222kp kx px⎛⎫-= ⎪⎝⎭222(2)04k p kx k p p x -++=设，的坐标分别为，，则，A B ()11,x y ()22,x y 2124p x x =因为点，都在抛物线上，所以，，A B 22y px =2112y px =2222y px =所以，所以，22212122y y p x x =22412y y p =因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=-当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则l (,0)2p F A B 1(x 1)y 2(x 2)y ，代入抛物线方程得，，，122px x ==22y px =221y p =222y p =所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，22412y y p =A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=- 综上，，是定值．234p OA OB =-【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，ADF是PB 中点，E 为BC 上一点.=（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】（1）证明见解析（2）BE=【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向A AD x AB y AP z 量法能证明平面．AF ⊥PBC （2）设，，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量BE a =(),1,0E a PDE PCE 法能求出当为．BE =C PED --45︒【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间A AD x AB y AP z直角坐标系，，，是中点，1AB PA ==AD =F PB ，0，，，0，，，1，，1，，，(0A ∴0)(0P 1)(0B 0)C 0))D，，，，，(0,1,1)PB =- 1)PC =- (0F 1212，，，(0AF = 121)2，，0AF PB = 0AF PC =，，AF PB ∴⊥AF PC ⊥平面．AF ∴⊥PBC （2）设，，1，，，，BE a =(E a ∴0)(DE a =1)PD =-设平面的法向量，PDE (,,)n x y z =则，·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩取，得，1x =(1n =a -平面的法向量为，PCE 11(0,,22AF = 二面角为，C PED --45︒，cos ,n AF ∴<解得a =当为．∴BE =C PED --45︒【点睛】45本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。
房山2020高三数学期末答案
房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案高三数学一、选择题（每小题5分，共40分）（11）22(1)(1)2x y -+-= （12）3 （13）11(1)()2n --⋅或1n-（答案不唯一） （14）π；6π （15）(,1]-∞；(1,1]- （16）0；217三、解答题（共6小题，共80分）（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）∵33sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠< ∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅331133431421427=+⋅=（Ⅱ）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BDDBC C =∠333=解得7BD = ∵2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBCDADACBB∴cos ABD ∠3314=在△ABD 中，33AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =（18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则11411()==2020100P A ⨯ （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,22016422060(0)==95C C P X C =，1116422032(1)==95C C P X C =，021642203(2)==95C C P X C =，∴X 的分布列为X 0 1 2P12193295 395∴期望()0121995955E X =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）如果选择A ，可以从A 的亩产数据的中位数或平均值比B 高等方面叙述理由．如果选择B ，可以从B 的亩产数据比A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AE ⊂平面PAD所以CD AD ⊥，CD AE ⊥．又因为△PAD 为等边三角形，E 为PD 的中点， 所以PD AE ⊥．所以AE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,OP OB ，则易知 // OB CD ，OB ⊥AD ，OB ⊥OP ．因为△PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥．以O 为原点，以OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴如图建系，133(1,0,0),((0,2,0)2A E F B -33(2u u u r AE =-，1(,1,0)2u u u r EF =设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r，则：00r u u u r r u u ur n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令2x =，得平面AEF 的一个法向量(2,1,3)rn =-易知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =u u u r17cos ,1724112u u u r ru u u r r u u u r r OB n OB n OB n ⋅<>===-++ 所以平面AEF 与平面PAD 17． （Ⅲ）假设棱PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，且设[],0,1PGPCλλ=∈，则PG PC λ=u u u r u u u r ， (0,03),(1,2,0),(1,0,0)P C D --，(1,2,3)PC =-u u u r，则(,233)G λλλ-(1,233)DG λλλ=-u u u r要使得 //DG 平面AEF ，则222660u u u r r DG n λλλ⋅=--+-=，得45λ=，所以线段PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，45PG PC =． （20）（本小题14分）（Ⅰ）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=椭圆E 的方程为22184x y += z yxO A B DEF P离心率为22c e a == （Ⅱ）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥证明：设直线方程为y kx m =+代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222(21)4280k x kmx m +++-= 由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，22821km kx k m--==+设00(,)P x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==，则84(,)k P m m- 设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+001(2,)(2,)u u u r u u u u rMP MQ x y y ⋅=+⋅-0012(2)x y y =-++842(2)(4)k k m m m -=-++-+1644(4)0k k m m m=-+-+= 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥．解法二：由椭圆的对称性不妨设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x ．22184x y +=得2218=-x y 得002x k y =-．切线方程为0000()2x y y x x y -=--，令4x =-得22000001000004224(4)22x x x y x y x y y y y --++=--+==，002(2)(4,)y x Q +-． 所以，0001002(2)(2,)(2,)2(2)0u u u r u u u u r x MP MQ x y y x y y +⋅=+⋅-=-++=． 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥． （21）（本小题13分）（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1'()2ln 3f x x x=-+(1)2(1)0f f '∴==，则切线方程为22y x =-. （Ⅱ）证法1：1'()2ln 3,(0,)f x x x x=-+∈+∞， 令1()2ln 3,(0,)h x x x x=-+∈+∞， 222121'()0x h x x x x+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增.又1(1)20,()1ln 4ln 024eh h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，01(,1)2x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0f x =，∴0012ln 30x x -+=.（*） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下：x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞'()f x -+ ()f x↘极小值↗∴min 0000()()(21)ln 1f x f x x x x ==-+-.由（*）式得0013ln 22x x =-，代入上式得 min 0000001313()()(21)()122222f x f x x x x x x ==--+-=--+.令131()2,(,1)222t x x x x =--+∈，221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1(,1)2上单调递减.()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，.即0()1f x >-()1f x ∴>-.证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞， 令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞，'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1x e=.'(),()h x h x 随x 的变化情况如下：x1(0,)e 1e 1(,)e+∞ '()h x -+()h x↘极小值↗min ()()h x h e e∴==-，即2ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号.1'()x t x x-=，令'()0t x =得1x =.'(),()t x t x 随x 的变化情况如下：x(0,1) 1 (1,)+∞'()t x -+()t x↘极小值↗min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号.22ln (ln 1)1x x x x e∴+-+->->-.即()1f x >-. （22）（本小题13分）（Ⅰ）集合A 不是，因为1233813+=++，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等； 集合B 是，因为集合B 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （Ⅱ）由集合P 是“差异集合”知：123{,,,,}k a a a a L 的21k -个非空子集元素和为互不相等的21k -个正整数，于是1221kk a a a +++≥-L ，所以0111212(2)(2)(2)()(21)0k k k kk D a a a a a a -=-+-++-=+++--≥L L（Ⅲ））不妨设123n a a a a <<<<L ，考虑11231111111(1)()()()242--+-+-++-L n na a a a131211234212242------=++++L n n n na a a a a a a a 3211211123242-----=++++L n n n nD D D D D D D a a a a 1212211122311111111()()()222222-----=-+-++-+L n n n n n n n nD D D D a a a a a a a 0≥而111111122422--++++=-L n n ，所以112111122L n n a a a -+++≤- 当1{1,2,4,,2}n P -=L 时，112111122n n a a a -+++=-L ；综上，12111n a a a +++L 的最大值为1122n --.。
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数21i i=+ A ．1i - B ．1i --C ．1i +D ．1i -+【答案】C 【详解】21i i =+2i(1i)1i 2-=+ ,选C. 2．双曲线221416x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．14y x =±【答案】A【分析】双曲线的焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±；焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±.故首先要判断双曲线的焦点位置，再求解. 【详解】双曲线221416x y -=的焦点在x 轴上，故渐近线方程为b y x a =±,其中2,4a b ==，所以渐近线方程为2y x =±.故选：A【点睛】对于椭圆和双曲线，焦点位置有两种情况，所以首先要判断焦点位置，再用相关知识求解.3．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[)[)[]0,5,5,10,35,40...,，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用直方图计算出各不同锻炼时间的学生人数分布，结合各选项确定符合人数分布的茎叶图即可.【详解】由直方图知：⨯⨯=人；[0,5):200.0151⨯⨯=人；[5,10):200.0151⨯⨯=人；[10,15):200.0454⨯⨯=人；[15,20):200.0252⨯⨯=人；[20,25):200.0454⨯⨯=人；[25,30):200.0353⨯⨯=人；[30,35):200.0353⨯⨯=人.[35,40):200.0252∴结合各选项的茎叶图知：只有B符合.故选：B.4．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ） A ．37B ．45C ．67D ．1213【答案】D【分析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B ，分别求得P （AB ）和P （A ）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．【详解】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B ，则P （A ）＝12628C C -=115132828-=，P （AB ）1126281228C C C ==， 则P （B |A ）()()1213P AB P A ==； 故选D ．【点睛】本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题．5．在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．112- B ．112 C ．1120- D ．1120【答案】B【分析】由二项式系数最大为第5项，根据二项式系数的对称性可知n 值，进而由二项式展开项通项公式确定常数项对应的r 值，求常数项即可. 【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为4n C 最大， ∴由对称性知：8n =，而展开式通项884331882()(2)r rr r r rr T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅，∴2r时，常数项为2238(2)112T C =-⋅=.故选：B.6．双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．1+ C．1D．2+【答案】B【详解】试题分析：∵2y 4x =，∴焦点为(1,0)，即1c =，∵212212A A pAF F F x x ===+=+，∴1A x =， 即(1,2)A ，∴1AF =，则22a =，即1a =，∴21c ea．【解析】抛物线的标准方程及几何性质．7．直线():110l mx m y +--=（m 为常数），圆()22:14C x y -+=，则下列说法中：①当m 变化时，直线l 恒过定点()1,1-；②直线l 与圆C 有可能无公共点；③对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点；④若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】由直线系方程可确定①定点，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断②，根据特殊情况1m =判断③，当圆心到直线的距离最大时，MN 的长最小求长度判断④.【详解】①：由直线方程得()10m x y y +--=，当01x y y +=⎧⎨=-⎩时方程恒成立，即过定点(1,1)-，错误；②：由题设，圆心为(1,0)，半径为2，而圆心到直线的距离：12d =≤<，错误；③：由②知：当1m =时，直线l 为1x =过圆心，显然此时圆上存在关于直线l 对称的点，错误；④：由②知：当1d =，即0m =时，MN 的长最小，此时直线l ：1y=-代入圆的方程得1x =±MN =正确.∴只有④正确. 故选：A.8．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A ．50种 B ．51种 C ．140种 D ．141种【答案】D【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C =种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C =种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C =种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C =种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D 正确. 【解析】排列组合，考查分类讨论思想.二、双空题9．复数12z i -=-，则z 的虚部是______，z =_________.【答案】2【分析】根据共轭复数的概念，结合已知z -可写出z 的代数形式，进而可得其虚部、模. 【详解】由已知，根据共轭复数得：12z i =+，∴z 的虚部是2，||z ==故答案为：2三、填空题10．随机变量()2~500,X N σ，且()490510=0.95P X ≤≤，则()510P X >=____.【答案】0.025【分析】利用正态分布的对称性，有1(490510)(510)2P x P X -≤≤>=即可求概率.【详解】由题设知：正态分布曲线关于500X =对称， ∴1(490510)(510)0.0252P x P X -≤≤>==.故答案为：0.025.11．若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.【答案】4或8【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.【详解】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或8【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.12．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为_______（用数字作答） 【答案】80.【分析】分甲、乙排在丙左侧或右侧两种情况：先将甲、乙排在丙左侧排好，应用插空法依次将丁、戊插入队列中，最后根据对称性得到甲、乙排在丙右侧的排法，两种情况的排法加总.【详解】1、将甲、乙排在丙左侧有22A 种排法，即3人形成4个空， 2、将丁在4个空中插入有14C 种，即4人形成5个空， 3、将戊在5个空中插入有15C 种. ∴共有21124540A C C =种；将甲、乙排在丙右侧时，根据对称性也有40种，所以一共有80种排法. 故答案为：80.13．盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，则恰好第四次停止的概率为__________. 【答案】44125【分析】先求出两次停止和三次停止的概率，再利用对立事件求出恰好第四次停止的概率.【详解】盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回， 每次抽出红球的概率为：35， 直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，包括两次停止，三次停止和四次停止.两次停止的概率为：13395525P =⨯=’ 三次停止的概率为：223332336555555125P =⨯⨯+⨯⨯=， ∴恰好四次停止的概率为：12936441125125125P P --=--=. 故答案为：44125. 【点睛】概率的计算：①古典概型、几何概型直接套公式计算；②互斥事件同时发生的概率用概率加法、相互独立事件同时发生的概率用概率的乘法.③正面计算情况比较多的可以求其对立事件的概率.14．点()1,1A 为圆224x y +=内一点，,P Q 为圆上的动点，且=90PAQ ∠︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为_______.【答案】2210x y x y +---=.【分析】由题设，设线段PQ 中点为00(,)B x y ，则||||||BP BQ BA ==且222||||||OP OB BA =+，即可写出中点B 的轨迹方程.【详解】由题设，若线段PQ 中点为00(,)B x y ，由=90PAQ ∠︒，∴||||||BP BQ BA ==，而22222||||||||||4OP OB BP OB BA =+=+=， ∴22220000(1)(1)4x y x y ++-+-=，整理得22000010x y x y +---=， ∴线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 故答案为：2210x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质，根据动点到定点距离的平方和为定值求轨迹.四、解答题15．某校组织知识竞赛。
2019北京市房山区高二(上)期末数学试卷
2019北京市房山区高二（上）期末数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．复数的共轭复数是（ ）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i3．已知双曲线＝1的离心率为，则m＝（ ）A．4 B．2 C．D．14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（﹣）等于（ ）A．B．C．D．5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．相交但不垂直6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是（0，）C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P8．设F是椭圆＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P i（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ ，b＝ ．10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 ．11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则满足条件的一个双曲线的方程为 ．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则等于 ．13．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为 ．14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．①请写出曲线W的一条对称轴方程 ；②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 ．三、解答题共6题，共80分。
2019-2020学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年房山区高二上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．椭圆2243x y +=1的离心率是（）A ．32B ．22C ．13D ．122．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为()A ．2y x=±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知向量()2,3,5a =- 与向量()4,,1b x =-垂直，则实数x 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．65．已知双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是（）A ．31B ．1C ．﹣1D ．﹣1或316．已知直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()2,4,2b =-，则直线l 与平面α的位置关系是()A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∈7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB与向量11C A 的夹角是（）A ．150°B ．135°C ．45°D ．30°8．已知抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的距离10m =，则点P 到y 轴的距离d 等于（）A ．12B ．9C ．6D ．39．已知双曲线2214x y k+=的离心率2e <，则实数k 的取值范围是()A ．k 0<或3k >B ．30k -<<C ．120k -<<D ．83k -<<10．如果抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是()A ．12B ．2C ．2D ．111．“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是()A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分二、填空题13．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.14．双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.15．抛物线28x y =-的准线方程是_____，焦点坐标是_____.16．以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为_____.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________.三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角；（2）求证：1//AC 平面1CDB ．20．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||BF =，点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求ABC ∆的面积．21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程；（2）证明：OA OB是定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°.数学试题参考答案1-10.DBABA BBCCD11-12.AD 13.[0，2π]14.815.y ＝2（0，﹣2）16.②③17.45°18.221189x y +=19.解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形，所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =- ，设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ，因为10CA BC = ，所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π．（2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB = 设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =-直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ．20.解：（1）因为顶点B 的坐标为(0,)b ，2||2BF =，所以222||2BF b c a =+==，因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)，所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =，所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．21.解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -，所以42p =，2p =，所以抛物线C 的方程24y x =；（2）证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为(2py k x =-，则2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩，将（1）代入（2）得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=，设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2pF ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则122px x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．综上，234p OA OB =- ，是定值．22.解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA == ，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =- ，1)PC =- ，(0F ，12，12，(0AF = ，12，1)2，0AF PB = ，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥，AF ∴⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(E a ∴，1，0)，(DE a =- ，1)PD =-，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取1x =，得(1n =a -，平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF = ，二面角C PE D --为45︒，cos ,n AF ∴<>=，解得536a =，∴当6BE =时，二面角C PE D --为45︒．。
房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷高二数学
（16）能够说明“设 x, y, z 是任意实数．若 x > y > z ，则 x > y+z ”是假命题的一组整数
x, y, z 的值依次为______.
（17）某小区有居民1000 户，去年12 月份总用水量为 8000 吨.今年开展节约用水活动，
有 800 户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水 x 吨，使得今年1月份该小
（5）已知函
（A） 3 （C） x （6）已知 a
（A） a
（7）已知 m （A）1
（8）已知函
（A）充 （C）充
（9）函数 y
（A）
π 3
（10）已知函
（A）{ （C）{
（11）观察 的函数
（A） （12）若函数
（A）
学校________________
高二数学试卷第 1 页（共 4 页）
卷
上，在试卷 个选项中，
用铁皮做一个体积为 50cm3 ，高为 2 cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽 各为多少 cm 时，用料最省？
班级________________ 姓名_________________
房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷 高二数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
（B）{x | −2 ≤ x ≤ 2}
（C）{x | −2 ≤ x ≤ 1}
（D）{x | −1 ≤ x ≤ 2}
（11）观察 (x2 )′ = 2x ， (x4 )′ = 4x3 ， cos′ x = − sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上
北京市房山区19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
北京市房山区19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.椭圆x225+y216=1的离心率为()A. 35B. 45C. 34D. 16252.到点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为()A. x2=−4y+4B. x2=−8y+8C. y2=−4x+4D. y2=−8x+83.双曲线x2−y24=1的渐近线方程为()A. y=12x B. y=±2x C. y=2x D. y=−2x4.已知向量a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，则a⃗⋅b⃗ 的值是()A. 5B. 6C. 7D. 85.双曲线x216−y29=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是172，则P到F2的距离是()A. 332B. 12C. 12或332D. 12或3726.设a⃗=(3,−2,−1)是直线l的方向向量，n⃗=(−1,−2,1)是平面α的法向量，则直线l与平面α()A. 垂直B. 平行或在平面α内C. 平行D. 在平面α内7.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.设抛物线y2=4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 69.方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A. −3<m<2B. −1<m<3C. −3<m<4D. −3<m<010.已知点A(3,4)，F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，则|MA|+|MF|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 611.“”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12.正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为()A. 圆B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.直线PQ与平面a所成的角为θ，则θ的取值范围为______ ．14.双曲线x22−y22=1的实轴长为______ ．15.已知抛物线x2=8y的准线方程为______；焦点坐标为______．16.设点A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0).直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是______(1)当k=b2a2时，点M的轨迹是双曲线．(其中a，b∈R+)(2)当k=−b2a2时，点M的轨迹是部分椭圆．(其中a，b∈R+)(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(−√a2+b2,0)，F2(√a2+b2,0)，且|PF1|=1 4|PF2|，则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53](4)在(2)的条件下，过点F1(−√a2−b2,0)，F2(√a2−b2,0).满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(√22,1)．17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−A1B−D的余弦值为________．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)，且点(−3,3√22)在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，∠ACB=90∘，M是A1B1的中点．(1)求证C1M⊥平面ABB1A1；(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．20.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(−2,0)，且点(−1,32)在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．21.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．当∠OFA=120°时，|AF|=4．(1)求抛物线E的方程；(2)若|AC|=4|BC|，求直线l的方程．22.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．(1)求证：SC⊥平面AMN；(2)求二面角D−AC−M的余弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由椭圆x225+y216=1的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率e=ca=35，故选：A．由椭圆x225+y216=1的方程可知，a，b，c的值，由离心率e=ca求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．2.答案：D解析：解：由题意设动点P(x,y)，因为动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，所以√(x+1)2+y2=|3−x|⇒两边平方化简为：y2=−8x+8故选D由题意动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，利用直接法，设出动点为P的坐标(x,y)，利用条件建立方程并化简即可．此题重点考查了利用直接法求动点的轨迹方程，还考查了根式的化简方法，及学生对于轨迹方程的定义的准确理解和计算能力．3.答案：B解析：解：因为双曲线x2−y24=1，所以双曲线x2−y24=1的渐近线方程为x2−y24=0，即y=±2x．故选B．直接利用双曲线的渐近线方程的求法，求出双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力．4.答案：B解析：解：∵a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，∴a⃗⋅b⃗ =1×(−1)+1×1+3×2=6．故选B．利用向量的坐标表示出两个向量的数量积．本题考查了空间向量的数量积的坐标表示，属于基础题．5.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=√16+9=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，若P为左支上一点，即有|PF1|≥c−a，即m≥1，若P为右支上一点，即有|PF1|≥c+a，即m≥9，双曲线上一点P到F1的距离是172，可得P为左支上一点，由双曲线的定义可得n−m=2a=8，则n=8+m=332，故选：A．求得双曲线的a，b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n，讨论可得P在双曲线的左支上，再由双曲线的定义，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及定义法的运用、运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查了空间向量在立体几何中的应用．属于基础题．根据a⃗·n⃗=0可知a⃗⊥n⃗，从而得出结论．解：∵a⃗·n⃗=3×(−1)+(−2)×(−2)+(−1)×1=0．∴a⃗⊥n⃗．∴l//α或l⊂α．故选B．7.答案：D解析：本题主要考查了向量的夹角，考查学生的计算能力，属于基础题．利用夹角公式直接求解．解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，，∴﹤a⃗,b⃗ ﹥=90∘，故选D．8.答案：C解析：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．再由抛物线y2=4x的准线为x=−1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4−(−1)=5，故选：C．由题意可得点P的横坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=−1的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，可得(m−2)(m+3)<0，解得m∈(−3,2)．故选：A．直接利用双曲线的简单性质，考查不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，属于简单题．求出焦点坐标和准线方程，设点P是点M在准线上的投影，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，则当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．解：由题意得抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x=−2，设点M到准线的距离为d=|PM|，其中点P是点M在准线上的投影，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值，最小值为|AP|=3−(−2)=5．故选C．11.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3，所以{m<5m>−3m≠1,即−3<m<5且m≠1，所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．12.答案：D解析：解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离的2倍，即离心率为12，所以点P的轨迹是椭圆．故选：D．由直线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．本题考查椭圆定义及线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：[0,π2]解析：解：直线PQ与平面a所成的角为θ，当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．∴θ的取值范围为[0,π2].故答案为：[0,π2].当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．本题考查直线与平面所成角的大小的取值范围的求法，解题时要认真审题，是基础题．14.答案：2√2解析：解：双曲线x22−y22=1，所以a=√2，双曲线x22−y22=1的实轴长为：2√2．故答案为：2√2．直接利用双曲线的性质即可．本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．15.答案：y=−2；(0,2)解析：解：抛物线x2=8y中p=4，则抛物线的准线方程为y=−2，焦点坐标为(0,2)，故答案为：y=−2，(0,2)根据抛物线的简单性质即可求出．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题16.答案：(2)(3)解析：解：设M(x,y)，由A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0)，则k AM=yx+a (x≠−a)，k BM=yx−a(x≠a)，由k AM⋅k BM=k，得：yx+a ⋅yx−a=k，即kx2−y2=ka2①.(1)若k=b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2−y2b2=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，∴命题(1)不正确；(2)若k=−b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2+y2b2=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，∴命题(2)正确；(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点，说明点P在双曲线x2a2−y2b2=1的左支上，F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=14|PF2|及|PF2|−|PF1|=2a求得|PF1|=23a,|PF2|=83a，又|PF1|+|PF2|=23a+83a≥2c，∴ca≤53，又e>1，∴(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53].∴命题(3)正确；(4)在(2)的条件下，由满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2>4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|= a，∴2a2>4c2，则ca <√22.∴命题(4)错误．∴正确的命题是(2)(3)．故答案为：(2)(3)．设出动点M的坐标，写出直线AM，BM的斜率，由斜率之积等于k求出轨迹方程，若k=b2a2时，得到M的轨迹是除去两个顶点的双曲线；若k=−b2a2时，得到M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点；是双曲线时，由题目给出的|PF1|=14|PF2|，集合双曲线定义求出|PF1|和|PF2|的长度，由两边之和大于第三边列式求离心率范围；是椭圆时，根据与两焦点连线互相垂直的点总在椭圆内部，取椭圆短轴上的一个端点，由该点到两个焦点距离的平方和大于焦距的平方求得椭圆的离心率小于√22，按以上分析可以判断出正确命题的个数．本题考查了命题的真假判断及简单应用，考查了椭圆和双曲线的简单几何性质，涉及求圆锥曲线的离心率范围问题，关键是根据题目给出的条件得到关于a 和c 的不等式，此题是中档题．17.答案：√33解析：此题考查利用空间向量求二面角的余弦值，关键是求出两平面的法向量所成角的余弦． 解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 1为原点，以A 1B 1、A 1D 1、A 1A 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则平面ABA 1的法向量为A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面A 1BD 的法向量为n⃗ =(x,y,z )， 又A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以{n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{x +z =0y +z =0，令z =−1， 所以n⃗ =(1,1,−1)，则，由图可知二面角A−A1B−D的夹角为锐角，所以二面角A−A1B−D的余弦值为√33．18.答案：x218+y29=1解析：解：根据椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，∵椭圆的右焦点坐标为(3,0)，∴椭圆的两个焦点坐标分别为(−3,0)，(3,0)，并且经过点点(−3,3√22)，∴2a=(3√22(3√22=6√2∴a=3√2∵椭圆两个焦点的坐标分别是(−3,0)，(3,0)，∴c2=9，∴b2=a2−c2=9，∴椭圆的方程为x218+y29=1．故答案为：x218+y29=1．设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可．求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b2=a2−c2 19.答案：解：(1)∵直三棱柱ABC−A1B1C1，∴AA1⊥面A1B1C1，C1M⊂面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵AC=BC=1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又AA1∩A1B1=A1，AA1,A1B1⊂平面ABB1A1,∴ C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ， 连接MN ，∴MN//A 1B ， 连接RN ，∴RN//B 1C ，∴∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角； 设点P 是AB 的中点，连接MP 、MR ，PR ，在Rt △MPR 中，MR =√22+(12)2=√172，在△MNR 中，MN =12A 1B =√62，RN =12B 1C =√52，∴cos∠MNR =MN 2+RN 2−MR 22·MN ·RN=(√62)2+(√52)2−(√172)22×√62×√52=−√3010， ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为√3010.解析：本题主要考查线面垂直、异面直线所成角的知识，属于中档题．(1)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AA 1⊥面A 1B 1C 1，C 1M ⊂面A 1B 1C 1，C 1M ⊥AA 1，又M 是A 1B 1的中点，故C 1M ⊥A 1B 1 ，即可求证C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ，连接MN ，MN//A 1B ，连接RN ，RN//B 1C ，∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角，利用余弦定理即可求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．20.答案：解：(1)由题意得a =2，将(−1,32)代入椭圆方程14+94b 2=1，解得：b =√3，∴椭圆E 的标准方程：x 24+y 23=1；(2)由△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0，则点C 在x 轴下方， 若丨F 1C 丨=丨F 2C 丨，则C(0,−√3)；若丨F 1F 2丨=丨CF 2丨，则丨CF 2丨=2，C(0,−√3)；若丨F 1C 丨=丨F 1F 2丨，则丨CF 1丨=2，C(0,−√3)； ∴C(0,−√3)；∴直线BC 的方程y =√3(x −1)，由{y =√3(x −1)x 24+y 23=1，得{x =0y =−√3或{x =85y =3√35， ∴B(85,3√35)； (3)设直线AB 的方程l AB ：y =k(x +2)，由{y =k(x +2)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0，∴x A ⋅x B =−2x B =16k 2−123+4k 2，x B =−8k 2+63+4k 2，y B =k(x B +2)=12k3+4k ，B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2)若k =12，则B(1,32)，C(1,−32)，由F 1(−1,0)，则k CF 1=−34，F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，由F 2(1,0)，k BF 1=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，∴直线BF 2的方程l BF 2：y =4k1−4k (x −1)，直线CF 1的方程：l CF 1：y =−1k (x +1) 由{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)，解得{x =8k 2−1y =−8k ， ∴C(8k 2−1,−8k)又点C 在椭圆上得(8k 2−1)24+(−8k)23=1，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0，即k 2=124，∵k >0，∴k =√612．解析：(1)将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； (2)分类讨论，求得C 点坐标，设直线BC 的方程，即可求得点B 的坐标；(3)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，即可求得B 点坐标，分别求得BF 2及CF 1方程，联立，求得C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得k 的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查分类讨论，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由已知可得F(p2,0)，因为∠OFA=120°，所以x A=p2+|AF|cos60°=p2+2，又由抛物线定义可知，|AF|=x A+p2=p+2=4，解得：p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x．(2)由(1)可知，F(1,0)，由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由{y2=4xy=k(x−1),整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，(k∈R且k≠0)，可知：Δ=(2k2+4)2−4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k2+4k2，①x1x2=1，②由|AC|=4|BC|得，x1=4x2③由①②③联立解得，k=±2√2，满足Δ>0，所以直线l的方程为2√2x+y−2√2=0或2√2x−y−2√2=0．解析：本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据题意，可得|AF|=x A+p2=p+2=4，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；(2)设出直线l的方程，将直线l与抛物线E联立，求得k的值，即可求得直线l的方程．22.答案：证明：(1)∵在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA =AB ，设AB =AD =AS =1，则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，S(0,0，1)，M(12,0，12)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CS ⃗⃗⃗⃗ ，∴SC ⊥⊥AM ，又SC ⊥AN ，且AN ∩AM =A ， ∴SC ⊥平面AMN ．解：(2)∵SA ⊥底面ABCD ，∴AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量，且AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACM 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x +12z =0，取x =−1，得n ⃗ =(−1,1，1)， cos <AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， 由图形知二面角D −AC −M 为锐二面角， ∴二面角D −AC −M 的余弦值为√33．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．(2)求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D−AC−M的余弦值．。
2019-2020学年北京市房山区高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京市房山区高二（上）期中数学试卷1. 求值：√3tan10°+4sin10°=______．2. 已知tanα=13，tanβ=−17，且α，β∈(0,π)，则2α−β=______． 3. 已知点O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos∠BAC =______． 4. 若sin(π6−α)=13，则cos(2π3+α)=______．5. 如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，点P 是边BC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )( ) A. 为定值10 B. 为定值6 C. 最大值为18 D. 与P 的位置有关6. 如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos∠ADE 的最小值为______．7. △ABC 中，已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,A =π3，则△ABC 面积的最大值为______．8. 如图，在△ABC 中，若A =2π3，BC =3，D 是BC 的右端三等分点，则AD 的最小值为______．9. 若π6<α<2π3,cos(α+π3)=m ，则tan(2π3−α)=______．10. 如图，半圆的直径AB =2，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______．11. 设向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=1,a ⃗ ⋅b ⃗ =−12,<a ⃗ −c ⃗ ,b ⃗ −c ⃗ >=60°，则|c ⃗ |的最大值等于______ ．12. 在直角梯形ABCD 中，已知AB//CD ，∠DAB =90°，AB =4，AD =CD =2，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且满足OM ⊥BD ． (1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．13. 已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，那么复数z 的虚部为( )A. −iB. iC. 1D. −114. 把3封信投入4个邮筒，共有不同的投法数为( )A. A 43B. C 43C. 34D. 4315. 函数y =(2x +1)2在x =0处的导数是( )A. 0B. 1C. 3D. 416. 函数f(x)=x −lnx 的单调递减区间是( )A. (0,1)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)17. 设曲线y =x+1x−2在点(1,−2)处的切线与直线ax −by +c =0垂直，则ab 的值为( )A. 13B. −13C. 3D. −318. 已知函数f(x)为偶函数，且x ≥0时，f(x)=x +12sinx ，则关于x 的不等式f(x)<f(2x −1)的解集为( )A. {x|1<x <3}B. {x|x <1}C. {x|x <13或x >1}D. {x|13<x <1}19. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种20. 已知函数y =f(x)的导函数为y =f′(x)，满足∀x ∈R ，f′(x)>f(x)且f(1)=e ，则不等式f(lnx)<x 的解集为( )A. (e,+∞)B. (1,+∞)C. (0,e)D. (0,1)21. 若函数y =e x (x 2−6x +a)有极值，则a 的可能取值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1122. 已知z 1，z 2为复数，下列命题不正确的是( )A. 若z 1=z 2，则|z 1|=|z 2|B. 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2C. 若z 1>z 2则|z 1|>|z 2|D. 若|z 1|>|z 2|，则z 1>z 223. 已知f(x)=x(x −1)(x −2)…(x −20)，下列结论正确的是( )A. f′(0)=20!B. f′(1)=19!C. f′(19)=−19!D. f′(20)=−20!24. 已知(3x −1)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，下列结论正确的是( )A. a 0=−1B. a 1=27C. a 2=−324D. a 1+a 2+⋯+a 9=51225. −3的平方根是______．26. 函数y =x 3+2x 2+mx +1是R 上的单调函数，则m 的范围是______．27. 已知A n 2=7A n−42，那么n =______．28.若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的“F点”.已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)−g(x2)|≥2，则a的取值范围是______．29.已知复数z=(m2+3m−18)+(m2−3m)i，m∈R，其中i为虚数单位．(1)若复数z是实数，求实数m的值；(2)若复数z是纯虚数，求实数m的值．x2+3．30.已知函数f(x)=lnx−12(1)求函数f(x)的单调区间；,e]上的最大值和最小值．(2)求函数f(x)在区间[1e31.一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课．(1)语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？(用数字作答)(2)数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？(用数字作答)(3)体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？(用数字作答)32. 求值：(1)C 43+C 53+C 63+⋅⋅⋅+C 303； (2)C 301+2C 302+3C 303+⋅⋅⋅+30C 3030．33. 设函数f(x,y)=(1+my)x (m >0,y >0)．(1)当m =3时，求f(9,y)的展开式中二项式系数最大的项；(2)已知f(2n,y)的展开式中各项的二项式系数和比f(n,y)的展开式中各项的二项式系数和大4032，若f(n,y)=a 0+a 1y +⋅⋅⋅+a n y n ，且a 2=135，求∑a i n i=1．34. 设函数f(x)=x 3+12ax 2−2a 2x +1，g(x)=12ax 2−2x +1其中a ∈R 且a ≠0．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当函数y =f(x)与y =g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最大值时，求a 的取值范围；(3)若f(x)与g(x)在区间(a,a +2)内均为增函数，求a 的取值范围．35.红星中学2019年对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于90分，文化课总分y高于375分，体育成绩z超过35分，用不等式组表示为()A. {x≥90y≥375z>35B. {x≥90y≥375z≥35C. {x≥90y>375z>35D. {x≥90y>375z>3536.命题“∃a，b∈R，a2+b2<2ab”的否定形式是()A. ∀a，b∈R，使a2+b2>2abB. ∀a，b∈R，使a2+b2<2abC. ∀a，b∈R，使a2+b2≥2abD. ∀a，b∈R，使a2+b2≤2ab37.已知数列{a n}满足a1=3，且a n=a n+1+3(n∈N∗)，则下列说法正确的是()A. 数列{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列B. 数列{a n}是以3为首项，−3为公差的等差数列C. 数列{a n}是以−3为首项，3为公差的等差数列D. 数列{a n}是以−3为首项，−3为公差的等差数列38.数列{a n}满足a n+1=a n1+3a n，a1=2，则a4的值为()A. 165B. 85C. 87D. 21939.已知实数m>0，n>0，且1m +2n=3，则()A. mn有最大值98B. mn有最小值98C. mn有最大值89D. mn有最小值8940.已知条件p：x=±1，条件q：x3=x，则p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件41.已知a>0，−1<b<0，则a、ab、ab2之间的大小关系是()A. a>ab2>abB. a<ab<ab2C. ab>a>ab2D. ab>ab2>a42.已知关于x的不等式x+1x−a>0的解集{x|x<−1或x>2}，则实数a取值的集合为()A. {a|a≤2}B. {a|a≥2}C. {a|a=2}D. {a|a>2}43.在复平面内，复数i1+i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限44.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n(万件)近似地满足关系式S n=n90(21n−n2−5)(n=1,2,…,12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A. 5、6月B. 6、7月C. 7、8月D. 8、9月45.复数34+12i的共轭复数为______．46.不等式1x−1+1<0的解集是______．47.在等比数列{a n}中，若a1=2，a5=18，则公比q=______．48.类比等比数列的定义，我们可以得到等积数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的乘积等于同一个常数，那么这个数列叫等积数列，这个常数叫等积数列的公积．首项为3，公积为6的等积数列的前4项分别是______，该数列前n 项和公式为______．49.已知三个不等式：①c≠0，②a>b，③ac2>bc2，以其中两个作条件，余下的一个作为结论，则可以组成______个真命题．50.已知f(n+1)=f(n)−14(n∈N∗)，且f(2)=2，则f(2019)=______．51.已知x∈R，试比较代数式x3与代数式x2−x+1的大小．52.某高校校园要规划一块长方形绿地，且长方形绿地的长与宽的差为30米，若长方形绿地的面积不少于4000平方米，则这块绿地的长与宽至少应为多少米？−2(1−i)(m∈R)．53.已知复数z=(2+i)m2−6m1−i(Ⅰ)当实数m取什么值时，复数z是纯虚数？(Ⅱ)当实数m取什么值时，复数z在复平面内对应的点位于第二、四象限角平分线上？54.设数列{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，S15=75．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式与前n项和公式；}的前n项和，求T n．(Ⅱ)设T n为数列{S nn55.给定两个命题p：对任意实数x，函数y=ax2+2x+1的值大于零恒成立；q：关于x的方程x2−x+a=0有实根，如果p与q中有且只有一个命题为真命题，求实数a的取值范围．56.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a(a≠3)，a n+1=S n+3n，n∈N∗．(Ⅰ)设b n=S n−3n，求b1，b2，b3的值，并求出数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)若a n+1≥a n，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】1【解析】解：∵√3tan10°+4sin10°=√3sin10°+4sin10°cos10°cos10°=√3sin(30°−20°)+2sin20°cos10°=√3⋅12cos20°−√3⋅√32sin20°+2sin20°cos10°=√32cos20°+12sin20°cos10°=sin(20°+60°)cos10∘=sin80°sin80∘=1，故答案为：1．将正切化为正余弦，通分，由二倍角公式及两角和与差的三角函数及诱导公式求出代数式的值．本题考查二倍角公式及两角和与差的三角函数及诱导公式，属于基础题．2.【答案】−34π【解析】解：因为α∈(0,π)，tanα=13>0，所以α∈(0,π2)，2α∈(0,π)，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−19=34>0，所以2α∈(0,π2)，因为β∈(0,π)，tanβ=−17<0，所以β∈(π2,π)，则tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1，因为2α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，所以2α−β∈(−π,0)，则2α−β=−34π．故答案为：−34π．根据条件判断出2α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，求出tan2α，进而根据两角和的正切函数公式代入求值即可．本题考查两角和与差的三角函数，主要涉及正切函数的求值、二倍角公式的应用，属于中档题．3.【答案】18【解析】解：由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则四边形ADOE 为平行四边形， 因为点O 是ABC 的内心， 所以∠OAD =∠OAE ， 所以四边形ADOE 为菱形， 设该菱形的边长为a ， 则AB =94a,AC =9a ，因为OD//AC ，∠BDO =∠BAC ，所以△ABC 的内切圆的半径r =asin∠BAC ， 所以S △ABC =12AB ⋅ACsin∠BAC ==12(AB +AC +BC)r ，所以9a4×9a ⋅sin∠BAC =(94a ×9a +BC)⋅asin∠BAC ， 解得BC =9a ．所以△ABC 为等腰三角形， 所以cos∠BAC =12AB AC=18．故答案为：18．根据题意由向量的应用再结合三角形的面积公式，得出正弦值，再求余弦值即可．本题考查平面向量的应用，属于中档题．4.【答案】16±√63【解析】解：因为sin(π6−α)=cos(π2−π6+α)=cos(π3+α)=13， 所以sin(π3+α)=±√1−cos 2(π3+α)=±2√23， 所以cos(2π3+α)=cos[π3+(π3+α)]=cos π3cos(π3+α)−sin π3sin(π3+α)=12cos(π3+α)−√32sin(π3+α)=12×13−√32×(±2√23)=16±√63． 故答案为：16±√63．由已知利用诱导公式可求cos(π3+α)的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解cos(2π3+α)的值．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：由题意可设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴原式=[x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ .① 又因为在等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，∴cos∠BAC =32+32−422×3×3=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×3×19=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，代入①式化简得： 9x +(1−x)×9+1=10． 故选：A ．先利用向量共线的条件把向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，然后代入结论化简即可． 本题考查平面向量的性质及其应用，利用基底思想和三点共线的推论切入是解决本题的关键．属于中档题．6.【答案】47【解析】 【分析】考查平面向量的数量积的运算及其性质，属于中档题．由D ，E 为三等分点可得相等的向量，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，分别写出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用与∠ADE 的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值． 【解答】解：由D ，E 是BC 上的两个三等分点可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图形可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即(−DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理可得：7DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即7|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠ADE =|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 由基本不等式可得cos∠ADE =|DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |27|DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2√|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2·4|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |27|DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=47，(当且仅当|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |时，取等号)故cos∠ADE 的最小值为：47． 故答案为：47．7.【答案】3√32【解析】解：设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ∵BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴cacosB +bacosC =√6a ， 由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ，∴asinCcosB +asinBcosC =√6sinA ，即asin(B +C)=√6sinA ， ∴asinA =√6sinA ， ∵sinA ≠0，∴a =√6，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即6=b 2+c 2−2bc ×12， ∴6=b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ，∴bc≤6，当且仅当b=c=√6时，等号成立，∴△ABC面积S=12bcsinA≤12×6×√32=3√32，∴△ABC面积的最大值为3√32．故答案为：3√32．根据平面向量数量积定义化简等式，再利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，可推出a=√6，然后利用余弦定理和基本不等式，得解．本题考查平面向量与解三角形的综合，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握平面向量数量积的定义，正弦定理，余弦定理等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】√3−1【解析】解：设△ABC外接圆圆心O，外接圆半径R，由正弦定理得R=a2sinA=√3，因为OA=OB=OC=√3，由余弦定理得cos∠BOC=OB 2+OC2−BC22OB⋅OC=3+3−92×√3×√3=−12，因为0<∠BOC<π，所以∠BOC=2π3，∠OBC=π6，由BD=23BC=2，由余弦定理得OD2=OB2+BD2−2OB⋅BDcos∠OBC=3+4−2×√3×2×√32=1，所以OD=1，由于三角形两边之和大于第三边，AD≥OA−OD，故当O，A，D三点共线时，AD最短为√3−1，.故答案为：√3−1．结合正弦定理求出三角形外接圆半径，定出外接圆圆心，利用O，A，D三点共线时AD最短可求．本题主要考查了三角形中线长度的求解，结合外接圆性质及三点共线求解是解答问题的关键，考查数形结合，属于中档题．9.【答案】−√1−m 2m【解析】解：由π6<α<2π3，可得α+π3∈(π2,π)， 又cos(α+π3)=m <0，∴sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√1−m 2， ∴tan(α+π3)=√1−m 2m，∴tan(2π3−α)=tan[π−(α+π3)]=−tan(α+π3)=−√1−m 2m，故答案为：−√1−m 2m．由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan(α+π3)的值，再利用诱导公式求得tan(2π3−α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．10.【答案】−12【解析】 【分析】本题考查数量积的运算，关键是根据O 是AB 的中点，得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将求(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值转化为一元二次函数的最小值问题． 由向量的加法，可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将其代入(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 中，变形可得(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |−12)2−12，由二次函数的性质，计算可得答案．【解答】解：根据题意，O 为圆心，即O 是AB 的中点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则=−2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(1−|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=2(|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |−12)2−12，又0≤|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1，所以−12≤(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0， 即(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是−12． 故答案为−12．11.【答案】2【解析】解：c ⃗ ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，a⃗ ⋅b ⃗ =−12 ∴a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，设OA =a ⃗ ，OB =b ⃗ ，OC =c ⃗ 则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ；CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ⃗ 如图所示则∠AOB =120°；∠ACB =60° ∴∠AOB +∠AOC =180° ∴A ，O ，B ，C 四点共圆 ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ 2=3∴AB =√3，由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R =ABsin∠ACB =2 当OC 为直径时，|c ⃗ |最大，最大为2 故答案为：2．利用向量的数量积求出a ⃗ ，b ⃗ 的夹角；利用向量的运算法则作出图形；结合图形利用四点共圆；通过正弦定理求出外接圆的直径，求出|c⃗ |最大值． 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．12.【答案】解：方法一(1)在梯形ABCD 中，因为AB//CD ，AB =2CD ， 所以AO =2OC ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(4−2×4)=−83；(2)令AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−16λ=−83则λ=16，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos45°=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16×|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos45°=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−√23|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 令|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，则0≤t ≤2√2，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2−√23t =(t −√26)2−118， 所以当|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√26时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118． 方法二(1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系； 则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)；则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)， 由相似三角形易得O(43,43)． 设M(λ,0)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−43,−43)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−43)×(−4)+(−43)×2=−4λ+83=0． 得λ=23.则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×(−4)+0×2=−83． (2)设N(a,a)，显然0≤a ≤2，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a)⋅(a −23,a)=2a 2−23a =2(a −16)2−118， 所以当a =16时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118．【解析】方法一(1)根据AB//CD ，AB =2CD ，得到AO =2OC ；再把AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进一步整理即可得到结论； (2)令AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合第一问的结论求出λ的值；再把所求问题转化为关于|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 2−√23t =(t −√26)2−118的二次函数，结合二次函数的性质即可求解；方法二以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系； (1)直接求出两个向量的坐标代入求解即可；(2)设N(a,a)，把AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a 的二次函数，结合二次函数的性质即可求解． 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示以及二次函数性质的应用，考查计算能力13.【答案】D【解析】解：∵z =1−i ， ∴复数z 的虚部为−1． 故选：D ．直接由复数的代数形式得复数z 的虚部．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的会考题型．14.【答案】D【解析】解：3封信投入4个邮筒，为分步问题，第1封信有4种投法，第2封信有4种投法，第3第1封信有4种投法， 共有4×4×4=43， 故选：D ．利用分步计数原理进行计算即可．本题主要考查简单计数问题，利用分步计数原理是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】D【解析】解：由于函数y =(2x +1)2的导数为2⋅(2x +1)⋅2=8x +4，故函数y =(2x +1)2在x =0处的导数是8×0+4=4， 故选：D ．根据函数y =(2x +1)2的导数为2⋅(2x +1)⋅2=8x +4，可得函数y =(2x +1)2在x =0处的导数值．本题主要考查求函数在某一点的导数的方法，属于中档题．16.【答案】A【解析】解：函数y =x −lnx 的导数为y =1−1x ， 令y′=1−1x <0，得x <1∴结合函数的定义域，得当x ∈(0,1)时，函数为单调减函数． 因此，函数y =x −lnx 的单调递减区间是(0,1) 故选：A ．求出函数的导数为y′，再解y′<0得x 的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．本题给出含有对数的基本函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．17.【答案】A【解析】解：由y =x+1x−2，得y′=x−2−x−1(x−2)2=−3(x−2)2，则y′|x=1=−3，∵直线ax −by +c =0的斜率为k =ab ，且曲线y =x+1x−2在点(1,−2)处的切线与直线ax −by +c =0垂直， ∴ab =13． 故选：A ．求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再由两直线垂直与斜率的关系即可求得ab 的值．本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．18.【答案】C【解析】解：根据题意，当x≥0时，f(x)=x+12sinx，其导数f′(x)=1+12cosx>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)<f(2x−1)⇒f(|x|)<f(|2x−1|)⇒|x|<|2x−1|，解可得x<13或x>1，即不等式的解集为{x|x<13或x>1}．故选：C．利用导数可得f(x)在[0,+∞)上为增函数，结合函数的奇偶性可得f(x)<f(2x−1)⇒f(|x|)<f(|2x−1|)⇒|x|<|2x−1|，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析f(x)的单调性，属于基础题．19.【答案】D【解析】解：由题意知4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，并且全部分完，∴需要从4个元素中选出2个元素，和另外2个元素一起全排列，共有C42A33=36种方法，故选：D．每人至少一本，并且全部分完，需要从4个元素中选出2个元素，和另外2个元素一起全排列即可．本题考查排列组合及简单计数问题，求解本题关键是正确理解每个人至少一本且要全部分完这个条件，本题是一个中档题．20.【答案】C【解析】解：令g(x)=f(x)e x，因为∀x∈R，f′(x)>f(x)，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x>0，所以g(x)在R上单调递增，又f(1)=e，所以不等式f(lnx)<x⇔ f(lnx)e lnx <f(1)e，即g(lnx)<g(1)⇔lnx<1⇔0<x<e，故选：C．令g(x)=f(x)e x，，求导分析可得函数g(x)的单调性，又f(1)=e，不等式f(lnx)<x⇔ f(lnx) e lnx <f(1)e，即g(lnx)<g(1)，利用g(x)的单调性脱“g”可得答案．本题考查利用导数法研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】AB【解析】解：函数y=e x(x2−6x+a)，则y′=e x(x2−6x+a)+e x(2x−6)=e x(x2−4x+a−6)，因为函数y=e x(x2−6x+a)有极值，所以y′=e x(x2−4x+a−6)有零点，所以△=16−4(a−6)>0，解得a<10，结合选项可知，a的可能取值为8，9．故选：AB．将问题转化为导函数有零点，利用二次函数的性质分析求解即可．本题考查了利用导数研究函数极值的应用，函数零点的理解与应用，二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．22.【答案】BCD【解析】解：若z1=z2，则|z1|=|z2|，反之不成立，故A正确，B错误，对于C，令z1=−1，z2=−2，满足z1>z2，但|z1|<|z2|，故C错误，对于D，令z1=−2，z2=−1，满足|z1|>|z2|，但z1<z2，故D错误．故选：BCD．根据已知条件，结合复数模的计算公式，即可求解．本题主要考查复数模的计算，属于基础题．23.【答案】AC【解析】解：因为f(x)=x(x−1)(x−2)…(x−20)，所以f′(x)=(x−1)(x−2)⋅⋅(x−20)+x(x−2)(x−3)…(x−20)+x(x−1)(x−3)…(x−20)+⋯+x(x−1)(x−2)…(x−19)，所以f′(0)=(−1)×(−2)×…×(−20)=20！，故选项A正确；f′(1)=1×(−1)×(−2)×…×(−19)=−19!，故选项B错误；f′(19)=19×18×…×1×(−1)=−19！，故选项C正确；f′(20)=20×19×…×1=20!，故选项D错误．故选：AC．利用导数的求导公式对函数f(x)求导，然后分别代入求解即可判断得到答案．本题主要考查了导数的运算，熟练掌握导数的乘法运算法则是解题的关键，考查了化简运算能力，属于中档题．24.【答案】ABC【解析】解：令x=0，则a0=−1，故A正确；(3x−1)9的展开式的通项公式为T r+1=(−1)r C9r39−r x9−r，当9−r=1时，即r=8时，a1=C9831=27，故B正确；当9−r=2时，即r=7时，a2=−C9732=−324，故C正确；令x=1，则a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9=29=512，∴a1+a2+⋅⋅⋅+a9=513，故D错误．故选：ABC．求出展开式的通项公式即可判断．本题考查了二项式定理的应用，关键求出通项公式，属于基础题．25.【答案】±√3i【解析】解：设(a+bi)2=−3，其中a，b∈R．化为a2−b2+2abi=−3，∴{a2−b2=−3，解得a=0，b=±√3．2ab=0∴−3的平方根为：±√3i.故答案为：±√3i．设(a+bi)2=−3，其中a，b∈R.展开利用复数相等即可得出．本题考查了复数的平方根、复数的运算法则、复数相等，属于基础题．26.【答案】[43,+∞)【解析】解：∵函数y =x 3+2x 2+mx +1是R 上的单调函数，∴只需y′=3x 2+4x +m ≥0恒成立，即16−12m ≤0，∴m ≥43，故答案为：[43,+∞)．函数y =x 3+2x 2+mx +1是R 上的单调函数，则y′=3x 2+4x +m ≥0恒成立⇒16−12m ≤0，解之即可．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查运算求解能力，属于中档题．27.【答案】7【解析】解：∵A n 2=7A n−42，∴n(n−1)2=7×(n−4)(n−5)2，n >5．化为：(3n −10)(n −7)=0，解得n =7．故答案为：7．利用组合数的计算公式即可得出．本题考查了排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．28.【答案】[−12,0)【解析】解：因为函数g(x)=ax 3+bx 2+cx(a,b,c ∈R,a ≠0)，所以g′(x)=3ax 2+2bx +c(a ≠0)，又因为函数g(x)存在两个不相等的“F 点”x 1，x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程3ax 2+2bx +c =0(a ≠0)的两个不相等的实数根， 则{△=4b 2−12ac >0x 1+x 2=−2b 3a x 1x 2=c 3a，又g(x 1)=ax 13+bx 12+cx 1=x 1，g(x 2)=ax 23+bx 22+cx 2=x 2， 所以g(x 1)−g(x 2)=x 1−x 2，即(ax13+bx12+cx1)−(ax23+bx22+cx2)=x1−x2，从而(x1−x2)[a(x12+x1x2+x22)+b(x1+x2)+c]=x1−x2，因为x1≠x2，所以a[(x1+x2)2−x1x2]+b(x1+x2)+c=1，即a[(−2b3a )2−c3a]+b(−2b3a)+c=1，整理可得，2(3ac−b2)=9a，因为|g(x1)−g(x2)|≥2，所以|g(x1)−g(x2)|=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−2b3a )2−4c3a=√4(b2−3ac)9a2=√−2a≥2，解得−12≤a<0，所以实数a的取值范围为[−12,0)．故答案为：[−12,0)．求出g′(x)，由极值的定义得到x1，x2是关于x的方程3ax2+2bx+c=0(a≠0)的两个不相等的实数根，得到根与系数的关系，然后表示出g(x1)−g(x2)，结合|g(x1)−g(x2)|≥2，利用韦达定理进行化简整理，列出关于a的不等式，求解即可．本题考查了利用导数研究函数极值的应用，函数与方程的综合应用，函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．29.【答案】解：(1)∵复数z=(m2+3m−18)+(m2−3m)i是实数，∴m2−3m=0，解得m=0或m=3，故实数m的值为0或3．(2)∵复数z是纯虚数，∴{m2+3m−18=0m2−3m≠0，解得m=−6，故实数m的值为−6．【解析】(1)根据已知条件，结合实数的概念，即可求解．(2)根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．本题主要考查实数与纯虚数的概念，属于基础题．30.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx −12x 2+3，定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=1x −x =1−x 2x ，令f′(x)>0，则0<x <1，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)；令f′(x)<0，则x >1，∴函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞)．(2)f(x)，f′(x)在区间[1e ,e]上随x 的变化情况如下表：∴f(x)max =52，f(x)min =4−12e 2．【解析】(1)求导，并分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，得解；(2)结合(1)中结论，写出f(x)，f′(x)在区间[1e ,e]上随x 的变化情况，即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．31.【答案】解：(1)语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有A 66=720种；(2)数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，其余6节课全排，利用分步计数原理得6A 66=4320种；(3)当体育课排在第7节课时有A 66种排法，当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，其余五节课全排列，有25A 55种排法，之后应用分类加法计数原理，有A 66+25A 55=3720种．【解析】(1)语文课排第一节，相当于其余六节课全排列即可得结果；(2)数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，其余6节课全排，利用分步计数原理求得结果；(3)当体育课排在第7节课时有A 66种排法，当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，其余五节课全排列，有25A 55种排法，之后应用分类加法计数原理求得结果．本题考查的是有关排列的综合题，涉及到的知识点有具有特殊元素的排列数的求解，分步计数原理，分类计数原理，属于简单题目．32.【答案】解：(1)∵C nm +C n m−1=C n+1m ， ∴C 43+C 53+C 63+⋅⋅⋅+C 303=C 44+C 43+C 53+C 63+⋅⋅⋅+C 303−1=C 314−1=31464，(2)∵mC n m =nC n−1m−1， ∴C 301+2C 302+3C 303+⋅⋅⋅+30C 3030=30(C 290+C 291+C 292+⋅⋅⋅+C 2929)=30⋅229．【解析】(1)直接根据组合数的性质求解即可，(2)直接根据组合数的性质求解即可．本题主要考查组合数性质的应用，属于基础题目．33.【答案】解：(1)f(9,y)=(1+3y)9，二项式系数最大项为第5、第6项，且T 5=C 94(3y)4=11206y 4，T 6=C 95(3y)5=33618y 5，(2)由题意：22n −2n =4032，所以(2n −64)(2n +63)=0，所以n =6，f(6,y)=(1+my)6=a 0+a 1y +a 2y 2+⋅⋅⋅+a 6y 6，则a 2=C 62m 2=135，m 2=9，m >0，所以m =3，所以∑a i n i=1=∑a i 6i=1=a 1+a 2+⋅⋅⋅a 6=a 0+a 1+a 2+⋅⋅⋅a 6−a 0=46−1=4095．【解析】(1)将m 代入，利用二项式定理展开式的通项求指定项；(2)由题意，分别求出二项式系数，得到n 的方程求出n ，然后利用赋值法解答．本题考查了二项式定理的运用；明确展开式的通项，展开式的二项式系数以及项的系数；属于中档题．34.【答案】(1)f′(x)=3x 2+ax −2a 2即f′(x)=(x +a)(3x −2a)又a ≠0，当a >0令f′(x)>0，所以x >23a 或x <−a ，增区间是(−∞,−a)和(23a,+∞)，减区间是(−a,23a)，当a<0，令f′(x)>0，所以x<23a或x>−a，增区间是(−∞,23a)和(−a,+∞)，减区间是(23a,−a)，(2)由题得：x3+12ax2−2a2x+1=12ax2−2x+1，化简得x[x2−(2a2−2)]=0，则2a2−2≤0，∴a2≤1，即−1≤a<0或0<a≤1，又g(x)存在最大值，所以a<0，所以−1≤a<0，(3)当a>0，f(x)增区间是(−∞,−a)和(23a,+∞)，g(x)增区间是(2a,+∞)，所以所以a≥√2，当a<0，f(x)增区间是(−a,+∞)和(−∞,23a)，g(x)增区间是(−∞,2a)，所以所以a≤−6，综上：a的取值范围是a≥√2或a≤−6．【解析】(1)对a进行分类讨论求函数的单调区间即可，(2)函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点，则令两函数相等得出关于a的不等式，再求解即可，(3)结合f(x)与g(x)的增区间再求交集即可．本题考查导数的单调性和最值，考查学生的运算能力，属于难题．35.【答案】D【解析】解：专业成绩x不低于90分，即x≥90，文化课总分y高于375分，即y>375，体育成绩z超过35分，即z>35，所以用不等式组表示为{x≥90 y>375 z>35．用x，y，z的不等关系表示，即可得到答案．本题考查了不等关系的应用，二元一次方程组的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．36.【答案】C【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∃a，b∈R，a2+b2<2ab”的否定形式是“∀a，b∈R，使a2+b2≥2ab”．故选：C．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．37.【答案】B【解析】解：因为数列{a n}满足a1=3，且a n=a n+1+3(n∈N∗)，即a n+1−a n=−3(n∈N∗)，所以数列{a n}是以3为首项，−3为公差的等差数列．故选：B．由等差数列的定义即可求得结论．本题主要考查等差数列的定义，属于基础题．38.【答案】D【解析】解：由a n+1=a n1+3a1，a1=2，得a2=a11+3a1=27，a3=a21+3a2=271+3×27=213，a4=a31+3a3=2131+3×213=219．故选：D．由已知结合数列递推式即可求得a4的值．本题考查数列递推式，考查计算能力，是基础题．【解析】解：根据题意，有1m +2n=3≥2√1m⋅2n=2√2mn，则94≥2mn，即mn≥89，当且仅当1m =2n，即m=23，n=43时等号成立，所以mn有最小值89，.故选：D．根据题意有1m +2n=3≥2√1m⋅2n=2√2mn，则94≥2mn，从而即可求出结果．本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．40.【答案】A【解析】解：条件q：x3=x，解得x=0或x=±1，又条件p：x=±1，∴p⇒q，反之不成立．则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．条件q：x3=x，解得x=0或x=±1，可得p⇒q，反之不成立．即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．41.【答案】A【解析】解：∵a>0，−1<b<0，∴ab<0，ab2>0，∵a−ab2=a(1−b2)>0，∴a>ab2>0，∴a>ab2>ab，故选：A．由a>0，−1<b<0可得ab<0，ab2>0，再作差比较a与ab2的大小即可．本题考查了不等式的性质及作差法的应用，是基础题．42.【答案】C【解析】解：因为关于x 的不等式x+1x−a >0的解集{x|x <−1或x >2}，所以a =2，故选：C ．结合分式不等式解集的特点即可直接求解a 的值．本题主要考查了分式不等式解集的应用，属于基础题．43.【答案】A【解析】解：∵i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ，∴复数i 1+i 对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A ．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．44.【答案】C【解析】解：由S n 解出a n =130(−n 2+15n −9)，再解不等式130(−n 2+15n −9)>1.5，得6<n <9．故选：C ．本题考查了数列的前n 项和知识和二次不等式的求解问题．既可以直接求解二次不等式得到n 的范围，再根据n ∈Z 找到满足题意的n ；即可得到答案．本题考查了数列前n 项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．45.【答案】34−12i【解析】解：设z =34+12i ，则z −=34−12i ．故答案为：34−12i ．根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．46.【答案】{x|0<x <1}【解析】由1x−1+1=x x−1<0，解得0<x <1.∖故答案为：{x|0<x <1}．利用移项，通分，转化不等式求解即可．本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查．47.【答案】±12【解析】解：根据题意，由a 5=a 1q 4，得18=2q 4，即q 4=116，解得q =±12． 故答案为：±12．根据题意可得a 5=a 1q 4，即18=2q 4，从而求解出q 值即可．本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．48.【答案】3，2，3，2 s n ={5n 2,n 为偶数5n 2+12,n 为奇数【解析】解：根据题意，设该数列为{a n }，其前n 项为s n ，{a n }的首项为3，公积为6，则其第二项a 2=63=2，第三项a 3==62=3，第四项a 4=63=2， 即其前4项为3，2，3，2；故数列的通项公式为a n ={3,n 为奇数2,n 为偶数， 当n 为偶数时，s n =3+2+3+2+⋯…+2=5n 2，当n 为奇数时，s n =3+2+3+2+⋯…+2+3=5(n−1)2+3=5n 2+12，。
2019-2020学年北京房山中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年北京房山中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则中奇数个数为…（）A.2B.3C.4D.5参考答案：A2. 对变量x, y 由观测数据（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v由观测数据（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断,（）A.x 与y 正相关，u 与v 正相关B. x与y 正相关，u 与v 负相关C.x与y 负相关，u 与v 正相关D.x 与y 负相关，u 与v 负相关参考答案：C略3. 现有男生3人，女生5人，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有1人参加，每名学生只参加一科竞赛，则不同的参赛方法共有（）种．A． 15 B．30 C．90 D．180参考答案：C4. 若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数），可化为，则，∵θ∈（0，π），∴，故选：B．5. 等比数列中，，，则等于（ )A. B. C. D.参考答案：A略6. 已知f（x）为定义在R行的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底数，则下面正确的是（）A．f（1）＞ef（0），f（2016）＞e2016f（0）B．f（1）＜ef（0），f（2016）＞e2016f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2016）＜e2016f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2016）＞e2016f（0）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据选项的特点，令g（x）=，对其进行求导，根据已知条件f（x）＜f′（x），可以判断g（x）的单调性，从而可判定选项的正确与否．【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，令g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴g（x）是R上的增函数，∴g（1）＞g（0），g（2016）＞g（0），即＞，＞，则f（1）＞ef（0），f（2016）＞e2016f（0），故选：A．【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g（x），是一道好题．另外我们的一般规律是看到f（x）＜f′（x）时，就应该想到构造函数g（x）=．7. 已知全集，集合，，则等于（）．A．B．C．D．参考答案：B∵，，∴，∴．故选．8. 在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A．0.5 B．1 C．2D．4参考答案：C略9. 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．参考答案：C略10. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点满足=(++),则点一定为三角形ABC的 ( ) A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点 (非重心）C．重心 D．AB边的中点参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且这个焦点到椭圆上的点的最短距离为4(-1)，则椭圆的方程为_________.参考答案：＋=112. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=参考答案：8略13. 把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表．第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（8，17）=参考答案：【考点】归纳推理．【专题】简易逻辑．【分析】跟据第k行有2k﹣1个数知每行数的个数成等比数列，要求A（t，s），先求A （t，1），就必须求出前t﹣1行一共出现了多少个数，根据等比数列求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求A（t，s），令t=8，s=17，可求A （8，17）【解答】解：由第k行有2k﹣1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2，前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1个数，∴第t行第一个数是A（t，1）==，∴A（t，s）=，令t=8，s=17，∴A（8，17）=．故答案为：【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数表的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题14. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是．参考答案：（，1）【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC ＜0，即，从而可求λ的取值范围．【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）∴=（1，1，﹣1），∴=（λ，λ，﹣λ），∴=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0∴∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1因此，λ的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．15. 若曲线表示椭圆，则的取值范围是参考答案：k>0略16. 在△ABC中，B=，且,则△ABC的面积是___.参考答案：617. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .参考答案：192三、解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市房山区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知抛物线的方程为y 2=2x ，则其焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k=﹙）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2﹣4y+3=0的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．如图，在四面体ABCD 中，设G 是CD 的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．“直线α与平面M 没有公共点”是“直线α与平面M 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（1，+∞）7．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β8．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．29．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是．12．已知向量，，则= ．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= ，该双曲线的渐近线方程为．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．15．已知点A（﹣1，3），F是抛物线x2=4y的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为；点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值为．16．在平面直角坐标系中，动点P到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点P的轨迹为曲线C，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C的轨迹是抛物线．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．20．已知抛物线C：y2=8x，过点（0，﹣2）且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求AB的长度．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60°，求PE的长．22．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．北京市房山区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知抛物线的方程为y2=2x，则其焦点坐标为（）A．B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线方程y2=2x中p=1，焦点在x轴上，∴抛物线焦点坐标为（，0）．故选：B．2．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k=﹙）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】平面的法向量．【分析】设平面α的法向量为，平面β的法向量为．由于α∥β，可得∥，因此∃实数λ使得=λ．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．【解答】解：设平面α的法向量=（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量=（﹣1，2，k）．∵α∥β，∴∥，∴∃实数λ使得=λ．∴，得k=1．故选：C．3．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4y+3=0化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=1，圆心坐标为（0，2），半径为R=1，圆x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为r=2∵圆心之间的距离d=2，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．4．如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则等于（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】先求出则（+）=，根据向量的加法运算法则计算即可．【解答】解：∵G是CD的中点，∴=+=，故选：D．5．“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定．【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【解答】解：根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行所以“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的充要条件故选C6．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得0＜4m＜4，解不等式可得所求范围．【解答】解：方程即为+=1，由题意可得4＞4m＞0，解得0＜m＜1，故选：A．7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l ∥α，l ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；若α⊥β，l ∥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故B 错误；若α⊥β，l ∥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误；若l ⊥α，l ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D 正确．故选：D ．8．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，并连接DC 1，DB ，从而得到△C 1BD 为等边三角形，从而可得出向量与的夹角为60°，并且可求得，这样即可根据向量数量积的计算公式求出的值． 【解答】解：如图，连接DC 1，DB ，则△C 1BD 为等边三角形，且AB 1∥DC 1；∴与的夹角为60°，且；∴=．故选：B ．9．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程求得P 的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程，解得y P =±b=±， 在直角三角形F 1PF 2中，tan60°==，即有b 2=2ac ，即为a 2﹣2ac ﹣c 2=0，由e=，可得e 2+2e ﹣=0， 解得e=（负的舍去）．故选：B ．10．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=1，AD=3，CD=2．若点E 是线段AD 上的动点，则满足∠SEC=90°的点E 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，连接BE ，由于SB ⊥底面ABCD ，∠SEC=90°，可得：CE ⊥BE ．设E （0，t ）（0≤t ≤3），由=0，解出即可判断出结论．【解答】解：如图所示，连接BE ，∵SB ⊥底面ABCD ，∠SEC=90°，∴CE ⊥BE ．设E （0，t ）（0≤t ≤3），B （﹣1，3），C （﹣2，0），则=（2，t ）•（1，t ﹣3）=2+t （t ﹣3）=0， 解得t=1或2．∴E （0，1），或（0，2）．∴满足∠SEC=90°的点E 的个数是2．故选：C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是∃x∈R，e x≤0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．故答案为：∃x∈R，e x≤0．12．已知向量，，则= ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据空间向量线性运算与数量积运算，求出模长即可．【解答】解：∵向量，，∴+=（﹣1，3，0）；∴==．故答案为：．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= 3 ，该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b=3，即有双曲线的方程为﹣=1，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：3，y=±x．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD是正方形，对角线AC=2，侧棱PA⊥平面ABCD，PA=1，∴四棱锥的底面边长AB=，PB=PD==，PC==．∴三棱锥最长棱为．故答案为：．15．已知点A（﹣1，3），F是抛物线x2=4y的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为 4 ；点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MA|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，答案可得，利用点到直线的距离公式，结合配方法求出点M到直线x﹣y﹣2=0的距离的最小值【解答】解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．点M到直线x﹣y﹣2=0的距离为=，∴x=2时，取得最小值．故答案为：4；16．在平面直角坐标系中，动点P到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点P的轨迹为曲线C，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C的轨迹是抛物线．其中，所有正确结论的序号是①②．【考点】曲线与方程．【分析】设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程，即可判断结论．【解答】解：设动点M的坐标为（x，y），由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，∴=|x|+1；化简得y2=4x（x≥0）或y=0（x≤0），∴①曲线C过坐标原点，正确；②曲线C关于x轴对称，正确；③曲线C的轨迹是抛物线，不正确．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程．【分析】（I）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直线l与直线2x﹣y+4=0平行可知l的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线l过点A（1，﹣3），则直线l的方程为y+3=2（x﹣1），即2x﹣y﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由直线m与直线l垂直可知m的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线m在y轴上的截距为3，则直线m的方程为即x+2y﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，可得圆心C到直线y=kx+1的距离为，利用点到直线的距离公式求k的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C的半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圆心为点C（﹣2，1），所以圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）圆心为点C（﹣2，1），半径为，，所以圆心C到直线y=kx+1的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k2=1，k=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AB∥CD，结合AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，AB∥平面PCD，又由AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，即可证明EF∥AB．（Ⅱ）易证BD⊥AC，设AC交BD于点O，连接PO，由等腰三角形的性质可得PO⊥BD，从而可得BD⊥平面PAC．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥平面PCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴EF∥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设AC交BD于点O，连接PO，∵PB=PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC∩PO=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴BD⊥平面PAC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知抛物线C：y2=8x，过点（0，﹣2）且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求AB的长度．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线C的方程y2=8x，得p=4，即可求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，分类讨论求实数k的取值范围；（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求出k，利用弦长公式求AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y2=8x，得p=4，所以抛物线C的准线方程为x=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，得方程组﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣消y，整理得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，则有△=（4k+8）2﹣16k2＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k＞﹣1当k=0时，直线l与抛物线C只有一个交点，所以k的取值范围是k＞﹣1且k≠0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅱ）中的①式得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k=2或k=﹣1（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）E为线段PC上一点，若直线DE与直线PM所成的角为60°，求PE的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由AB∥CD，AM∥PD可知平面MAB∥平面PDC，故而MB∥平面PDC；（2）以D为坐标原点建立空间坐标系，出平面PCD和平面PCM的法向量，则法向量的夹角即为二面角的大小；（3）设，求出的坐标，代入夹角公式解出λ，从而得出PE的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=DAB⊂平面ABM，MA⊂平面ABMCD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，∴平面ABM∥平面PDC，∵MB⊂平面ABM，∴MB∥平面PDC，（Ⅱ）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD，又AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），是平面PCD的一个法向量．设平面MPC的法向量为，则，即．令z=1，得，则=．设二面角M﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为锐角，所以二面角M﹣PC﹣D的余弦值为．（Ⅲ）设（λ∈[0，1]），，又，，解得或λ=2（舍），∴PE=．22．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点A（x0，y）（x＞0，y＞0），则y=kx，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由右焦点为，得，由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，即则b2=a2﹣c2=9所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设点A（x0，y）（x＞0，y＞0），则y=kx，设AB交x轴于点D，由对称性知：，由得得，所以，当且仅当，时取等号，所以△OAB面积的最大值．。