吉林大学线性代数全集PPT精选文档
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线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
吉林大学《线性代数》线性代数1-7.ppt
424 8
D1 3
3
9
36 27
3 4 16 64
13 1 1
14 4 8
D2 1 3
18 9 27
1 3 16 64
11 3 1
12 4 8
D3 1 3
3
24 27
1 4 3 64
11 1 3
12 4 4
D4 1 3 9
6 3
1 4 16 3
D 12
y 3 3 x 2x2 1 x3
6x 4y 24
❖ 无解3x 2y 12
6x 4y 25
3 2
D
0
21
3 2
D
0
6 4
3 2
D
0
6 4
x2
y
3
x
4
2 3
t
,
(t
R)
y t
3x 2y 12
0 1
齐次方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 4 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
1 4 7 0
D 27, x1 3, x2 4, x3 1, x4 1
求曲线方程系数
y a0 a1x a2 x2 a3 x3
0 7 5 13
1 3 D
0
6 r1 2r2 1 3
吉林大学_陈殿友--线性代数(第3章)
(4)
3
4
－2 3 + 4
（5）
于是得
⎧ x1 ⎪ ⎨ x2 ⎪x ⎩ 4
= x3 = x3 =
+ 4 + 3 − 3
其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方 程组可记为：
⎛1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ c + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ c + 3 ⎟ x = ⎜ ⎟=⎜ 即 x = c⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ x3 c 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ − 3⎠
如在例1中，我们已经计算
⎛1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 −5 ⎟ ⎜4 7 1 ⎟ ⎝ ⎠
的秩为2，将A施行初等变换得
3 ⎞ ⎛1 2 ⎜ ⎟ A ⎜ 0 −1 −11⎟ ⎜ 0 −1 −11⎟ ⎝ ⎠
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一.引例
求解线性方程组
⎧ 2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 ⎪ x + x − 2x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 ⎪ ⎩3x1 + 6 x2 − 9x3 + 7 x4 = 9
⎧ 2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 ⎪ x + x − 2x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ 4 x − 6 x + 2 x − 2 x = 4 1 2 3 4 ⎪ ⎪ ⎩3x1 + 6x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9
线性代数全套课件
a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数知识点全面总结PPT课件
量 组 的
维 向 量 线性相关
判定 概念 判定
充要条件
线
概念
充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件 充分条件
关 性
概念
向
极大无关组 求法
量
概念
空
向量空间的基
间
线 Ax = b
解
有解判定R(A)≠R(B)无解 的
性 方 程 组
初行变换等阶梯形
R(A)=R(B)有解 结
构
R(A)=n仅有零解 基
Ax = 0
2、矩阵的乘法
(1)(AB)C = A ( BC ) ;
(2) A ( B + C ) =
(3) (kA)(lB) = (kl)AB;
(4) AO =OA = O.
3、矩阵的转置
(1)(AT)T = A; (3)(kA)T =kAT;
(2) (A+B)T = AT+BT; (4) (AB)T = BTAT.
A
A12
A22
An1
An2
A1n A2n
Ann
概 如果AB=BA=E,则A可逆， 念 B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩求
用伴随矩阵 A1 1 A
A
阵
法
分块对 A
角矩阵
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
|A| ≠ 0 , A
证 法
可|A逆| =.0 , A不可 逆AB .= E , A与B互逆.
总 有 解R(A)<n有非零解
A+B = ( aij + biAj与) B同型
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
.
13
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
线性代数（第五版）
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
.
13
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
线性代数（第五版）
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数教案ppt课件
推论：如果行列式有两行（列）的元对应成比例，则行列式为零.
返回
如果行列式的某一行（列）的元都是两 项的和，则可以把这个行列式化为两个
行列式的和
对比：行列式的加法与矩阵的加法有什么不同的地方？ 不同：矩阵加法只要求矩阵为同型矩阵，结果所有行对应元相加；
行列式加法不光要求为同型行列式，还需要其余n-1行（列） 的元完全相同，并且结果只有对应一行（列）相加.
为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进 行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是 化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也 不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点 选择方法与技巧。
例题5 计算行列式
解1 解2
例题6 计算行列式 解1
解2
例题7 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式
1 2 5 2
1 2 5 2
02 4 1
1 0 1 3
321 1
0 2 4 8
r2 r3 1 0 1 r4 r3 0 1 3
02 4
3
1 0 1 3
2 r3 2r2 0 1 3 2
1
0 0 2 3
0 0 0 9
11 (2) (9) 18
0 0 0 9
计算行列式
练习
行列式的计算与化简
子式乘积的和.即
上式为n阶行列式按第一列的展开式.
例题1 计算行列式 解：
例题2 计算行列式 解：
行列式的性质
※1. 行列式可以按任意一行（列）展开； ※2. 行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的 代数余子式的乘积之和为零.
※3. 行列式转置后，其值不变； ※4. 行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提 到行列式符号外； ※5. 如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则 可以把这个行列式化为两个行列式的和； ※6. 设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|；
返回
如果行列式的某一行（列）的元都是两 项的和，则可以把这个行列式化为两个
行列式的和
对比：行列式的加法与矩阵的加法有什么不同的地方？ 不同：矩阵加法只要求矩阵为同型矩阵，结果所有行对应元相加；
行列式加法不光要求为同型行列式，还需要其余n-1行（列） 的元完全相同，并且结果只有对应一行（列）相加.
为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进 行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是 化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也 不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点 选择方法与技巧。
例题5 计算行列式
解1 解2
例题6 计算行列式 解1
解2
例题7 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式
1 2 5 2
1 2 5 2
02 4 1
1 0 1 3
321 1
0 2 4 8
r2 r3 1 0 1 r4 r3 0 1 3
02 4
3
1 0 1 3
2 r3 2r2 0 1 3 2
1
0 0 2 3
0 0 0 9
11 (2) (9) 18
0 0 0 9
计算行列式
练习
行列式的计算与化简
子式乘积的和.即
上式为n阶行列式按第一列的展开式.
例题1 计算行列式 解：
例题2 计算行列式 解：
行列式的性质
※1. 行列式可以按任意一行（列）展开； ※2. 行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的 代数余子式的乘积之和为零.
※3. 行列式转置后，其值不变； ※4. 行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提 到行列式符号外； ※5. 如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则 可以把这个行列式化为两个行列式的和； ※6. 设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|；
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4
第一章 行列式
本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉
默（Cramer）法则。
5
§1 阶行列式的定义
一、n阶行列式的引出
1、 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
6
用消元法求解，得：
(a1a 122a1a 221 )x1b1a22a1b 22 (a1a 122a1a 221 )x2a1b 12b1a21
3
x2
D2 D
1
x3
D3 D
1
21
3. n元线性方程组
a11x1a12x2
a21
x
1
a22
x2
an1x1 an2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
annxn bn
22
构造：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
n
tt1t2tn ti
i1
28
例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：
t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于 把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对 换（将一个排列中任意两个元素对调， 其余的元素不动，这种作出新排列的手 续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
9
方程组的解可以写成：
x1
x
2
D1
D D2
D
10
二阶行列式的计算 例如
5 2 534(2)23
43
11
例 解二元线性方程组
2xx11
3x2 4x2
1 5
12
求解方程
13
D
10
2 4
13
D1 5
19 4
11
D2 2
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
18
例如 三阶行列式的计算
123 4 5 6159348267 7 8 9 -3×5×7-2×4×9-1×6×
27
3. 逆序数的计算方法
不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小
到大为标准次序，设 P1P2
的一个n级排列，考虑元素
P i(Pin 为1 这,2 个, 自然n)数，
如果比p i 大的，且排在p i 前面的元素有t i 个，
说这个元素的逆序是 t i 个，全体元素逆序之和
即是 P1P2 Pn的逆序数，
Dj
a21
b2
a2n
an1 bn ann
j 1 ,2 , ,n
23
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？ （2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？ （3）若D≠0 时，方程组有唯一解，解的 形式是否是
xj
Dj D
j1,2, ,n
24
二、全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三
15
三元线性方程组有唯一解：
x1
x
2
D1
D D2
D
x3
D3 D
16
其中：
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
17
三阶行列式的定义
既有一定的理论推导、又有大量的繁 杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、 分析问题和动手解决问题的能力。
3
用途与特点
线性代数理论不仅为学习后续课程 奠定必要的数学基础，而且在工农业生 产如国防技术中有着广泛的应用，是理 工科大学生的一门重要的数学基础课。 该课程的特点是：公式多，式子大，符 号繁，但规律性强，课程内容比较抽象， 需要学生具备一定的抽象思维能力，逻 辑推理能力，分析问题能力和动手解决 实际问题的能力。
3 5
x1
D1 D
19 10
x2
D2 D
3 10
13
2. 三元线性方程组
a11x1a12x2 a13x3 b1 a21x1a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
14
用消元法可求得，当
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0 时，
a31 a32 a33
7
当 a1a 122 a1a 221 0 时，
求得方程组有唯一解：
x1
b1a 22 a11 a 22
a12b2 a12 a21
x2
a11b2 a11 a 22
b1a 21 a12 a21
8
引入二阶行列式
Da11a22a12a21aa1211
a12 a22
D1
b1a22
a12b2
b1 b2
位数即： 123，231，312，132，213，321
25
一般地，把n个不同的元素排成一列，共 有几种不同的排法？
这是一个全排列问题。从n个元素中任取 一个放在第一个位置上，有n种取法；
在从剩下的n-1个元素中任取一个元素， 放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类 推，直到最后剩下一个元素放在最后位 置上，只有一种取法；
于是：
P n n (n 1 ) 3 2 1 n !
26
2. 逆序数
对于n个不同的元素，可规定各元素之间 有一个标准次序（例如，n个不同的自然 数，规定由小到大为标准次序）。于是， 在这n个元素的任意排列中，当某两个元 素的前后次序与标准次序不同时，就说 产生了一个逆序，一个排列中所有逆序 的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是 奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数 的排列叫做偶排列。
t=1+2+0+1+0=4
线性代数
（第三版） 同济大学数学教研室 编
1
课程的性质
线性代数是数学的一个分支， 是数学的基础理论课之一。它既是 学习数学的必修课，也是学习其他 专业课的必修课。
2
内容与任务
线性代数是研究有限维线性空间及其 线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵 及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组 的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。
0
19
例 解 三元线性方程组
x1 x1
x2 5x3 5x2 x3
1 1x1 x2 2x3 来自0201 15 D 1 5 1 6
1 1 2
1 15 D1 1 5 1 18
0 1 2
1 15 D2 1 1 1 6
1 02
111 D3 1 5 1 6
1 1 0
x1
D1 D
第一章 行列式
本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉
默（Cramer）法则。
5
§1 阶行列式的定义
一、n阶行列式的引出
1、 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
6
用消元法求解，得：
(a1a 122a1a 221 )x1b1a22a1b 22 (a1a 122a1a 221 )x2a1b 12b1a21
3
x2
D2 D
1
x3
D3 D
1
21
3. n元线性方程组
a11x1a12x2
a21
x
1
a22
x2
an1x1 an2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
annxn bn
22
构造：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
n
tt1t2tn ti
i1
28
例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：
t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于 把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对 换（将一个排列中任意两个元素对调， 其余的元素不动，这种作出新排列的手 续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
9
方程组的解可以写成：
x1
x
2
D1
D D2
D
10
二阶行列式的计算 例如
5 2 534(2)23
43
11
例 解二元线性方程组
2xx11
3x2 4x2
1 5
12
求解方程
13
D
10
2 4
13
D1 5
19 4
11
D2 2
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
18
例如 三阶行列式的计算
123 4 5 6159348267 7 8 9 -3×5×7-2×4×9-1×6×
27
3. 逆序数的计算方法
不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小
到大为标准次序，设 P1P2
的一个n级排列，考虑元素
P i(Pin 为1 这,2 个, 自然n)数，
如果比p i 大的，且排在p i 前面的元素有t i 个，
说这个元素的逆序是 t i 个，全体元素逆序之和
即是 P1P2 Pn的逆序数，
Dj
a21
b2
a2n
an1 bn ann
j 1 ,2 , ,n
23
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？ （2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？ （3）若D≠0 时，方程组有唯一解，解的 形式是否是
xj
Dj D
j1,2, ,n
24
二、全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三
15
三元线性方程组有唯一解：
x1
x
2
D1
D D2
D
x3
D3 D
16
其中：
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
17
三阶行列式的定义
既有一定的理论推导、又有大量的繁 杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、 分析问题和动手解决问题的能力。
3
用途与特点
线性代数理论不仅为学习后续课程 奠定必要的数学基础，而且在工农业生 产如国防技术中有着广泛的应用，是理 工科大学生的一门重要的数学基础课。 该课程的特点是：公式多，式子大，符 号繁，但规律性强，课程内容比较抽象， 需要学生具备一定的抽象思维能力，逻 辑推理能力，分析问题能力和动手解决 实际问题的能力。
3 5
x1
D1 D
19 10
x2
D2 D
3 10
13
2. 三元线性方程组
a11x1a12x2 a13x3 b1 a21x1a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
14
用消元法可求得，当
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0 时，
a31 a32 a33
7
当 a1a 122 a1a 221 0 时，
求得方程组有唯一解：
x1
b1a 22 a11 a 22
a12b2 a12 a21
x2
a11b2 a11 a 22
b1a 21 a12 a21
8
引入二阶行列式
Da11a22a12a21aa1211
a12 a22
D1
b1a22
a12b2
b1 b2
位数即： 123，231，312，132，213，321
25
一般地，把n个不同的元素排成一列，共 有几种不同的排法？
这是一个全排列问题。从n个元素中任取 一个放在第一个位置上，有n种取法；
在从剩下的n-1个元素中任取一个元素， 放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类 推，直到最后剩下一个元素放在最后位 置上，只有一种取法；
于是：
P n n (n 1 ) 3 2 1 n !
26
2. 逆序数
对于n个不同的元素，可规定各元素之间 有一个标准次序（例如，n个不同的自然 数，规定由小到大为标准次序）。于是， 在这n个元素的任意排列中，当某两个元 素的前后次序与标准次序不同时，就说 产生了一个逆序，一个排列中所有逆序 的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是 奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数 的排列叫做偶排列。
t=1+2+0+1+0=4
线性代数
（第三版） 同济大学数学教研室 编
1
课程的性质
线性代数是数学的一个分支， 是数学的基础理论课之一。它既是 学习数学的必修课，也是学习其他 专业课的必修课。
2
内容与任务
线性代数是研究有限维线性空间及其 线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵 及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组 的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。
0
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例 解 三元线性方程组
x1 x1
x2 5x3 5x2 x3
1 1x1 x2 2x3 来自0201 15 D 1 5 1 6
1 1 2
1 15 D1 1 5 1 18
0 1 2
1 15 D2 1 1 1 6
1 02
111 D3 1 5 1 6
1 1 0
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