2015年高考数学总复习教案：8.3直线与平面的位置关系(2)

第八章 立体几何初步第3课时 直线与平面的位置关系(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎫对应学生用书（文）102～104页 （理）104～106页1. (必修2P40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．答案：无数解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．答案：平行解析：因为直线m 垂直于直线AB和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m ∥n.3. ( 必修2P40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC ，△ACB 是直角三角形；由PA ⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA ⊥平面ABC ，且BC Ì平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P42习题11、16改编)P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．(1) 若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；(2) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．答案：(1) 内(2) 垂(3) 外解析：(1) P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O 是△ABC的内心；(2) 由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB ＝OC，所以O是△ABC的外心．1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．[备课札记]题型1直线与平面垂直的判定例1(2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：(1) MN∥平面PCD；(2) 四边形MNCD是直角梯形；(3) DN⊥平面PCB.证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CDÌ平面PCD，MNË平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2) 因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥PD.因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.因为MDÌ平面PAD，所以CD⊥MD.又MN∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3) 因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝ 2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.备选变式（教师专享）(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A1A 、C1B 的中点．(1) 证明：EF ∥平面ABC ；(2) 证明：C1E ⊥平面BDE.证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG.因为F 为C1B 的中点，所以FG ∥=12C1C.在三棱柱ABC －A1B1C1中，A1A ∥=C1C ，且E 为A1A 的中点，所以FG ∥=EA.所以四边形AEFG 是平行四边形. 所以EF ∥AG.因为EF Ë平面ABC ，AG Ì平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABC －A1B1C1中，A1A ⊥平面ABC ，BD Ì平面ABC ，所以A1A ⊥BD. 因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC.因为A1A ∩AC ＝A ，A1A Ì平面A1ACC1，AC Ì平面A1ACC1，所以BD ⊥平面A1ACC1. 因为C1E Ì平面A1ACC1，所以BD ⊥C1E.根据题意，可得EB ＝C1E ＝62AB ，C1B ＝3AB ，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB ＝90°，即C1E ⊥EB.因为BD ∩EB ＝B ，BD Ì平面BDE, EB Ì平面BDE ，所以C1E ⊥平面BDE.题型2 直线与平面垂直性质的应用例2 已知如图①所示，矩形纸片AA ′A1′A1，点B 、C 、B1、C1分别为AA ′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C ⊥AB1.(图①)(图②)证明：作AD ∥BC ，BD ∥AC 交于D ，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，∵ A1C1B1D1为菱形，∴ A1B1⊥D1C1.又AA1⊥平面A1D1B1C1，∴ AA1⊥D1C1.又D1C1⊥平面ABB1A1，∴ D1C1⊥AB1.又AB1⊥BC1，∴ AB1⊥平面BC1D1，∴ AB1⊥BD1.又BD1∥CA1，∴ AB1⊥A1C.变式训练(2013·泰州期末)在三棱锥SABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS.证明：(1) ∵ AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ， ⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥平面ABC BC 平面ABC Þ⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥BC AD ∩SA ＝A Þ⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥平面SAD AM 平面SAD ÞBC ⊥AM.(2) ∵ AM ⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝233，∵ SA ⊥AD ，AM⊥SD ，AD2＝MD·SD ，故MD ＝36，SM ＝32，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì平面，故EM ∥平面ABS.题型3 直线与平面垂直的探索题例3 在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB1.(1) 若P 是CC1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC1B1垂直；(2) 试在棱CC1上找一点M ，使MB ⊥AB1.(1) 证明：反证法．假设AP ⊥平面BCC1B1，因为BC Ì平面BCC1B1，所以AP ⊥BC.又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC ，AP ∩CC1＝P ，AP Ì平面ACC1A1，CC1Ì平面ACC1A1，所以BC ⊥平面ACC1A1.而AC Ì平面ACC1A1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾．故AP 不可能与平面BCC1B1垂直．(2) M 为CC1的中点．证明：∵ 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC ＝BB1，∴ 四边形BCC1B1是正方形．∵ M 为CC1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB1D ＝∠CBM ，∠BDB1＝∠CMB.∵ ∠BB1D ＋∠BDB1＝π2，∠CBM ＋∠BDB1＝π2，∴ BM ⊥B1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC.∵ 平面ABC ⊥平面BB1C1C ，平面ABC ∩平面BB1C1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ，∴ AD ⊥平面BB1C1C.∵ BM Ì平面BB1C1C ，∴ AD ⊥BM.∵ AD ∩B1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB1D.∵ AB1Ì平面AB1D ，∴ MB ⊥AB1.备选变式（教师专享）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是CD 、A1D1中点．(1) 求证：AB1⊥BF ；(2) 求证：AE ⊥BF ；(3) 棱CC1上是否存在点F ，使BF ⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．(1) 证明：连结A1B ，CD1，∵ AB1⊥A1B ，AB1⊥BC ，A1B ∩BC ＝B ，∴ AB1⊥平面A1BCD1，又BF Ì平面A1BCD1，所以AB1⊥BF.(2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，又 ∵ FM ⊥AE ，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF.(3) 解：存在，P是CC1的中点．易证PE∥AB1，故A、B1、E、P四点共面．由(1)(2)知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB1，即BF⊥平面AEP.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：OP⊥α.学生错解：证明：因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.审题引导：要记OP⊥α，需记OP垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于△ABC的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径．规范解答：证明：取BC的中点D，连结PD、OD，∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)又PDÌ平面POD，OD平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)∵POÌ平面POD，∴BC⊥PO.同理AB⊥PO.(12分)又AB、BC是α内的两条相交直线，∴PO⊥α.(14分)错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．1. (2013·苏锡常镇调研)已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确的命题是________．(填序号)答案：②解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．答案：直角三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥平面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案：②解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB ＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1Ë平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C. 的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MN(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)答案：①②④解析：①AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.现给出三个条件：① PB＝3；② PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；解：(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝ 2.又∵ PA＝AC，∴PA＝ 2. ∴在△PAB中，AB＝1，PA＝ 2.又∵ PB＝3，∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.又∵ PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC真包含于平面ABC，∴PA⊥平面ABC.(解法2) 选取条件②，∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.又∵ PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(解法3)选取条件③，若平面PAB⊥平面ABC，∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC真包含于平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB. ∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.3. 在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD, AD⊥BC, 求证：AB⊥CD.证明：过A点作AO垂直平面BCD于O，连结BO, CO, DO.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD.又AC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴CO⊥BD.同理，DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴BO⊥CD.又AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，∴CD⊥平面ABO，∴AB⊥CD.4. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：(1) EF∥平面PAD；(2) EF⊥平面PDC.证明：(1) 连结AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PAÌ平面PAD，EFË平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2) ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA .又PA＝PD＝22AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD，而CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PDC.又EF∥PA，∴EF⊥平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）. [备课札记]。