高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答-word文档
高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则同步测试 新人教A版选修2-2-新人教A版
基本初等函数的导数公式典题探究例1、已知函数()6f x =，则'()f x =___________例2、已知函数6()f x x =，则'()f x =___________例3、已知函数()sin f x x =，则'()f x =___________例4、已知函数()cos f x x =，则'()f x =___________演练方阵A 档（巩固专练）1．已知函数32()f x x =，则'()f x =___________2．已知函数21()f x x=，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'(4)f =___________4．已知函数()f x x =，则'()f x =___________5．已知函数()3x f x =，则'()f a =___________6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________7．已知函数()2x f x =，则'()f x =___________8．已知函数()x f x e =，则'()f x =___________9．已知函数3()log f x x =，则'()f x =___________10．已知函数()ln f x x =，则'()f x =___________B 档（提升精练）1．已知函数()8f x =，则'(8)f =___________2．已知函数1()f x x =，则'()f x =___________ 3．已知函数()f x x =，则'()f x =___________ 4．已知函数8()f x x =，则'(6)f =___________ 5．已知函数()sin f x x =，则'()f α=___________ 6．已知函数()cos f x x =，则'()f α=___________7．已知函数()2x f x =，则'(0)f =__________8．已知函数()x f x e =，则'(1)f =___________9．已知函数()lg f x x =，则'()f x =___________10．已知函数()ln f x x =，则'()f e =___________C 档（跨越导练）1．已知函数2()f x x =，求()f x 在(1(1))f ,处切线方程的斜率为___________2．已知函数()f x x =，求()f x 在(4(4))f ,处切线方程的斜率为__________ 3．已知函数1()f x x=，求()f x 在(2(2))f ,处切线方程的斜率为___________ 4．已知函数()sin f x x =，求()f x 在(0(0))f ,处切线方程的斜率为___________5．已知函数()cos f x x =，求()f x 在(())22f ππ,处切线方程的斜率为___________ 6．已知函数2()2x f x =，求()f x 在(1(1))f --,处切线方程的斜率为___________7．已知函数()x f x e =，求()f x 在(1(1))f ,处切线方程的斜率为___________8．已知函数()lg f x x =，求()f x 在(10(10))f ,处切线方程的斜率为___________9．已知函数()ln f x x =，求()f x 在(1.5(1.5))f ,处切线方程的斜率为___________10．已知函数3()f x x =，求()f x 在(1(1))f ,处的切线方程为___________基本初等函数的导数公式答案典题探究例1．0例2．56x例3．cos x例4．sin x -演练方阵A 档（巩固专练） 1．1323x - 2．32x --3．144．15．ln 33a ⋅6．sin α-7．ln 22x ⋅8．x e9．1ln 3x ⋅10．1xB 档（提升精练） 1．02．21x -3．1212x -4．786⨯5．cos α6．sin α-7．ln 28．e 9．1ln10x ⋅10．1eC 档（跨越导练） 1．22．143．14- 4．15．-1 6．ln 44 7．e8．110ln10⋅ 9．2310．32y x =-。
(完整版)导数的计算练习题
导数的计算练习题【知识点】1、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=；()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x'=． 2、导数运算法则： ()1；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦ 3、复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是：x u x y y u '''=⋅．【习题】1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．92、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 3、y 的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．12- D4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于___________________．5、若()f x =()1f '等于（ ）A ．0B ．13-C ．3D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8、已知()53sin f x x x -=+，则()f x '等于（ ）A ．653cos x x ---B ．63cos x x -+C ．653cos x x --+D ．63cos x x --9、函数()22423y x x =-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是________________________．11、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________．12、函数lg y x =在点()1,0处的切线方程是__________________________．13、函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________．15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________．16、曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于__________．17、22sin 35cos y x x =+的导数是_________________________．。
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答-word文档资料
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，y|x＝1＝4.2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝() A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析] ∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－11＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，y＝6x5＋12x2.6．(2019江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()A．0 B．－1C．－60 D．60[答案] D[解析] ∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．22cos2x－ B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4[答案] A[解析] y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.9．(2019高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.12[答案] A[解析] 由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15 B．0C.15 D．5[答案] B[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.[答案] 2sinx＋4，1＋sin2x[解析] f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.[f(x)]＝1＋sin2x.12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.[答案] 6[解析] f(x)＝－3sin(3x＋)，f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)＝2sin3x＋＋56.若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．又∵(0，)，6.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案] 32x(1＋2x2)7[解析] 令u＝1＋2x2，则y＝u8，yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x1＋x2的导数为________．[答案] (1＋2x2)1＋x21＋x2[解析] y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.[解析] (1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2 ＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosxsin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.[解析] (1)y＝[cos2(x2－x)]＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2＝2log2ex2－1.17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．[解析] ∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．[解析] (1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，。
高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数基础过关练题组一 利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二 导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。
导数的运算-高中数学专项练习
导数的运算-高中数学专项练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ． (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ．(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020·全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x ，将x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ． 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12x D ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则 知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′·cos x －sin x ·(cos x )′cos 2x ＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝ 2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ． 8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2．13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．14．f (x )＝3e x ＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x(e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x ＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3．(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．以上就是本次联系的全部内容，希望大家认真练习并有所收货完完完，以下无内容！。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
(完整版)高二数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则测试题1
选修2-21.2.2第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° 2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16 B.56 C ．－76 D.763．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝04．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.1335．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －27．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角8．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22 B ．π2 C ．2π2 D.12(2＋π)2 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______．14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x.16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.1[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2[答案] B3[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C. 8[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为 π22.9[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数． 11[答案] 0－1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0. 12[答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3. 13[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1 [解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 15[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4. ②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3. (2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数， 则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1 整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。
3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。
4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。
5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。
6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。
7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。
8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。
9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。
10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。
11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。
12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。
13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。
14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(优秀经典课时训练作业及答案详解)
[A 组 学业达标]1．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′ ＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 答案：C2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝() A．－1 B．－2C．2 D．0解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数．所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B4．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)在x＝0处的导数值为() A．－6 B．0C．6 D．1解析：∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6.答案：A5．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0 B．－1 C．1 D．2解析：∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.答案：B6．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________. 解析：∵f (x )＝e xx ， ∴f (c )＝e cc .又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.由题意，知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，解得c ＝12. 答案：127．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ， 则P 点坐标为(e ，e)． 答案：(e ，e)8．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． 解析：∵f (x )＝ax －ln x ， ∴f (1)＝a ，即切点是(1，a )． ∵f ′(x )＝a －1x ，∴f ′(1)＝a －1，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1，即l 在y 轴上的截距为1. 答案：19．求下列函数的导数． (1)f (x )＝e －x (sin x ＋cos x )； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x >0)． 解析：(1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋sin x e x ′ ＝(cos x －sin x )e x －e x (cos x ＋sin x )e 2x＝－2sin xe x ＝－2e －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e x ＋1e x －1′ ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (3)法一：y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′ ＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1) ＝3x 2＋6x ＋2.法二：因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.10．求过曲线y ＝sin x 在x ＝π4处的点且与此处切线垂直的直线方程． 解析：由于y ′＝(sin x )′＝cos x ，则y ′|x ＝π4＝cos π4＝22，从而与切线垂直的直线的斜率为－2，依点斜式得符合题意的直线方程为y －22＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －22－24π＝0.[B 组 能力提升]11．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2eD.12e解析：y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ， ∴a b ＝12e . 答案：D12．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．1 解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线y ＝12x ＋b ，得－12＝12＋b ，解得b ＝－1，故选B. 答案：B13．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率． 答案：1214．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：815．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.16．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a －1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝2a (x －1)，即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a . 所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.。
《初等函数的导数公式及导数的运算法则》 同步测试
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》金牌训练题一、选择题1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( )A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x 解析：∵y ＝x －(2x －1)2＝－4x 2＋5x －1，∴y ′＝－8x ＋5.答案：D2．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ．2x sin(1＋x 2)B ．－sin(1＋x 2)C ．－2x sin(1＋x 2)D ．2cos(1＋x 2)解析：∵y ′＝[cos(1＋x 2)]′＝－sin(1＋x 2)·(1＋x 2)′＝－2x sin(1＋x 2)．答案：C3．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝ax ax 2－1， ∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2，故选B. 答案：B 4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是( ) A.2＋x x 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2 C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1＝2cos(2x ＋3)．(2)解法一：y ′＝2(x ＋1x )(x ＋1x)′ ＝2(x ＋1x )(1－1x 2)＝2x －2x3. 解法二：∵y ＝x 2＋2＋1x2， ∴y ′＝(x 2＋2＋1x 2)′＝2x －2x3. (3)y ′＝1(x 2＋2x ＋3)ln2·(x 2＋2x ＋3)′ ＝2x ＋2(x 2＋2x ＋3)ln2.11．已知函数f (x )＝e －x (cos x ＋sin x )，将满足f ′(x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }．求证：数列{f (x n )}为等比数列．证明：f ′(x )＝－e －x (cos x ＋sin x )＋e －x (－sin x ＋cos x )＝－2e －x sin x ，由f ′(x )＝0，得－2e －x sin x ＝0，解得x ＝n π，n ∈Z .从而x n ＝n π(n ＝1,2,3……)，f (x n )＝(－1)n e －n π，所以f (x n ＋1)f (x n )＝－e －π.所以数列{f (x n )}是公比为q ＝－e －π的等比数列．12．曲线y ＝e 2x cos3x 在(0,1)处的切线与直线C 的距离为5，求直线C 的方程． 解：由曲线y ＝e 2x cos3x ，得y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2x cos3x －3e 2x sin3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设直线C 的方程为y ＝2x ＋b ，由题意得。
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高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算
法则综合测试题（附答
选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)
＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
y|x＝1＝4.
2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝() A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()
A.nn＋1
B.n＋2n＋1
C.nn－1
D.n＋1n
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，
m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：
Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，
顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
y＝6x5＋12x2.
6．(2019江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2
要善于观察，故选B.
7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()
A．0 B．－1
C．－60 D．60
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.
8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()
A．22cos2x－ B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4
[答案] A
[解析] y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.
9．(2019高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()
A．3 B．2
C．1 D.12
[答案] A
[解析] 由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()
A．－15 B．0
C.15 D．5
[答案] B
[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)
f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)
又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)
即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0
故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.
二、填空题
11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.
[答案] 2sinx＋4，1＋sin2x
[解析] f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.
[f(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.
[答案] 6
[解析] f(x)＝－3sin(3x＋)，
f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)
＝2sin3x＋＋56.
若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，
即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．
又∵(0，)，6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案] 32x(1＋2x2)7
[解析] 令u＝1＋2x2，则y＝u8，
yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
[答案] (1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析] y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
[解析] (1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)
＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.
(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .
(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－
2ex(ex－1)2 .
(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2 ＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosxsin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.
[解析] (1)y＝[cos2(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．
[解析] ∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，
又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．
g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
[解析] (1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.
解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.
(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，。