2016-2017年海南省海口市龙华区海南中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2016-2017学年海南省海口市龙华区海南中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2，1） B．（3，2，1）C．（﹣3，2，﹣1） D．（﹣3，2，1）3．（5分）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（）A． B．C．D．4．（5分）已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．命题“若∥且∥，则∥”B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．7．（5分）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，7），则在基底下的坐标是（）A．（4，﹣2，7）B．（4，﹣1，7）C．（3，﹣1，7）D．（3，﹣2，7）8．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜19．（5分）设直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．C．D．10．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知△ABC的三顶点分别为A（1，4，1），B（1，2，3），C（2，3，1）．则AB边上的高等于（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量与向量分别是直线l与直线m的方向向量，则直线l与直线m所成角的余弦值为．14．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（2，6，3）在平面α内，则点D（﹣1，6，2）到平面α的距离等于．15．（5分）已知过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点，则k的值等于．16．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A 1C上且CM=2MA，A1N=2ND．记向量，用表示．18．（12分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0；条件q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0．若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点．M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=AB=2．（1）求证：MN∥平面ADD1A1；（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．（1）求证：PA⊥DE；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，），且离心率为，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围．22．（12分）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，直线l1交轨迹Q于A、B两点，直线l2交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD 的中点分别是M、N．若k1+k2=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年海南省海口市龙华区海南中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．2．（5分）空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2，1） B．（3，2，1）C．（﹣3，2，﹣1） D．（﹣3，2，1）【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，﹣2，1）关于xOz坐标平面对称的点的坐标是（3，2，1）．故选：B．3．（5分）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，若P∈平面ABC，则存在实数α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；据此分析选项：对于A：中，+（﹣）+=0≠1，不满足题意；对于B：中，++（﹣1）≠1，满足题意；对于C：=++中，1+1+1=3≠1，不满足题意；对于D：=﹣﹣中，1+（﹣1）+（﹣1）=﹣1≠1，不满足题意；故选：B．4．（5分）已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由a＞b＞0，椭圆a2x2+b2y2=1，即=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选：D．5．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．命题“若∥且∥，则∥”B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题【解答】解：对于A：零向量和和非零向量都平行，故若∥且∥，则∥”为假命题，对于B：命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题为“若x＞0，则x＞2015”显然为假命题，对于C：命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“则若xy≠0，则x≠0且y≠0”为真命题，对于D：命题“若x2≥1，则x≥1”为假命题，则逆否命题也为假命题，故选：C．6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意得=，∴e===2，故选：C．7．（5分）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，7），则在基底下的坐标是（）A．（4，﹣2，7）B．（4，﹣1，7）C．（3，﹣1，7）D．（3，﹣2，7）【解答】解：由题意，=3+5+7=4（+）﹣（﹣）+7∴在基底下的坐标为（4，﹣1，7）．故选：B．8．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1【解答】解：圆方程整理得：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0），半径r=1，∵直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点，∴直线与圆相交，即d＜r，∴＜1，即|m+1|＜，解得：﹣﹣1＜m＜﹣1，则直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1，故选：A．9．（5分）设直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为45°，∴直线l过点F（，0），斜率k=tan45°=1，∴直线l的方程为，联立，得5x2﹣8+8=0，﹣160=32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==．故选：D．10．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，∴||=||==，||=a，=a，，∴cos＜＞===，=||•||•cos＜＞==．故选：C．11．（5分）已知△ABC的三顶点分别为A（1，4，1），B（1，2，3），C（2，3，1）．则AB边上的高等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：设=λ，又=（0，﹣2，2）．则=（0，﹣2λ，2λ）．=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣2λ+1，2λ），由•=0，得λ=，∴=（﹣1，，），∴||=．故选：A．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量与向量分别是直线l与直线m的方向向量，则直线l与直线m所成角的余弦值为．【解答】解：∵向量与向量分别是直线l与直线m 的方向向量，∴直线l与直线m所成角的余弦值为：|cos＜＞|===．故答案为：．14．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（2，6，3）在平面α内，则点D（﹣1，6，2）到平面α的距离等于．【解答】解：∵平面α的一个法向量为，点A（2，6，3）在平面α内，点D（﹣1，6，2），∴=（﹣3，0，﹣1），∴点D（﹣1，6，2）到平面α的距离d==．故答案为：．15．（5分）已知过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=x有且只有一个交点，则k的值等于0或或．【解答】解：当直线不存在斜率时，不符合题意；当直线存在斜率时，设直线方程为：y﹣1=k（x+1），代入抛物线y2=x，可得k2x2+（2k﹣1+2k2）x+k2+2k+1=0，当k=0时，方程为：﹣x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；当k≠0时，令△=（2k﹣1+2k2）2﹣4k2（k2+2k+1）=0，解得k=或，综上，k的值等于0或或，故答案为：0或或．16．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．【解答】解：由题意可得c=2，b=1，故a=．设P（m，n ），则=1，m≥．=（m，n ）•（m+2，n）=m2+2m+n2==m2+2m﹣1 关于m=﹣对称，故在[，+∞）上是增函数，当m=时有最小值为3+2，无最大值，故的取值范围为，故答案为：．三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在面对角线AC，A 1C上且CM=2MA，A1N=2ND．记向量，用表示．【解答】解：∵18．（12分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0；条件q：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0．若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：设A={x|2x2﹣3x+1≤0}，B={x|（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0}，化简得A={x|}，B={x|a≤x≤a+1}．由于¬p是¬q的必要不充分条件，故p是q的充分不必要条件，即A⊊B，∴，解得，故所求实数a的取值范围是．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点．M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=AB=2．（1）求证：MN∥平面ADD1A1；（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．因为E、P分别是BC、A1D1的中点，所以．因为M、N分别是AE、CD1的中点，所以．．因为y轴⊥平面ADD 1A1，所以是平面ADD1A1的一个法向量．由于，故．又MN⊄平面ADD1A1，故MN∥平面ADD1A1．（2）解：．设平面PAE的一个法向量为，则，即x=4y=2z．取y=1，得．设直线MN与平面PAE所成的角为θ，则因此直线MN与平面PAE所成角的正弦值为．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．（1）求证：PA⊥DE；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分12分）几何法：证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性质定理），∴PA⊥CD（线面垂直的定义），又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD（线面垂直的判定定理）∴PA⊥DE（线面垂直的定义）．解：（2）如图，取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理）．∴PO⊥CO，PO⊥BD（线面垂直的定义）由题意知四边形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（线面垂直的判定定理），∴BD⊥EF（线面垂直的定义），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，∴，∴，由题意知PO=1，，∴注意到直角△POC中，，∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，∴，∴，即．故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．向量法：证明：（1）取AD的中点O，连接PO，OB∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理），由题意知四边形BCDO是正方形，OA⊥OB∴可如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（﹣1，1，0），A（1，0，0），D=（﹣1，0，0），，，，∵E为棱PC上的一点，∴可设．∴∴，∴，即PA⊥DE．解：（2）平面BDA的一个法向量为，设平面BDE的法向量为，由（1），∴⇒⇒，令x0=1，则y0=﹣1，，即面BDE的一个法向量，∴，整理得3λ2﹣4λ+1=0，解得或λ=1．∵λ∈（0，1），∴．故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．21．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，），且离心率为，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：由椭圆的离心率e===，则=①，由点M（，）在椭圆上，②，解得：a2=6，b2=4，∴椭圆C的方程为：；（4分）（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=3与椭圆无交点．故直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：（3k2+2）x2﹣18k2x+27k2﹣12=0，∵△=（18k2）2﹣4（3k2+2）（27k2﹣12）＞0，解得：k2＜，x1+x2=，x1x2=，（6分）∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2）∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣3）（x2﹣3），=（k2+1）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]=（k2+1）（﹣+9）==2+，（10分）∵0≤k2≤，∴＜≤，∴＜2+≤3，∴•∈（，3]．（12分）22．（12分）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，直线l1交轨迹Q于A、B两点，直线l2交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD 的中点分别是M、N．若k1+k2=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点．由题意，得|O1P|=|O1S|．当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点．∴|O1S|=．又|O 1P |=，∴=，化简得y 2=4x （x ≠0）．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为（0，0）也满足方程y 2=4x ． ∴动圆圆心的轨迹Q 的方程为y 2=4x ． （2）证明：由，得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则．因为AB 中点，所以．同理，点．∴∴直线MN ：，即y=k 1k 2（x ﹣m ）+2∴直线MN 恒过定点（m ，2）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。