人教版高中数学必修2学案：2.3.2平面与平面垂直的判定
高中数学新人教版必修2教案2.3.2平面与平面垂直的判定(教案).doc
备课人
授课时间
课题
§2.3.2平面与平面垂直的判定
教
学
目
标
知识与技能
使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力
重点
平面与平面垂直的判定
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB的大小与点O在L上的位置无关？
教
学
小
结
（1）二面角以及平面角的有关概念
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
课后
反思
3
教师特别指出：
图2.3-3
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
难点
如何度量二面角的大小
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
高中数学人教A版必修2《2.3.2平面与平面垂直的判定》教案4
必修二2.3.2平面与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念．(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用．(3)使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用．2．过程与方法(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．(2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于现实生活周围，从而激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．●重点难点重点：平面和平面垂直的判定．难点：二面角的理解及度量．重难点突破：用FLASH课件播放人造卫星轨道和大坝面的例子，引出课题，然后通过实例说明“二面角的概念”，并通过学生的观察、思考、合作交流得出“二面角的度量方式”，难点之一得以化解，紧接着，从直二面角入手，结合实例(如教室墙面与墙面的位置关系)及多媒体教学，让学生在直观感知中得出面面垂直的判定定理，重难点顺利突破．【课前自主导学】【问题导思】观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．1．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角？【提示】二面角．2．平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？【提示】二面角的平面角．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．(3)画法：直立式平卧式图2－3－12(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q.(5)二面角的平面角：图2－3－13若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.【问题导思】建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？【提示】垂直．1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：图2－3－14记作：α⊥β.2．判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥βl⊂α⇒α⊥β【课堂互动探究】面面垂直判定定理及应用如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.【思路探究】由C是圆周上异于直径AB的点―→AC⊥BC―→由P A垂直于⊙O所在的平面―→P A⊥BC―→BC⊥平面P AC―→平面P AC⊥平面PBC.【自主解答】连接AC，BC，则BC⊥AC，又P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥面PBC.应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤如果直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】因为m⊂α，m⊥γ，所以α⊥γ.因为l⊂γ，m⊥γ，所以l⊥m，所以A正确．记α∩γ＝n，因为l∥α，l⊂γ，所以l∥n.根据以上分析可画出草图，其中平面β可绕直线l转动，所以m∥β，α∥β都是不成立的．所以B，C，D都是错误的．【答案】 A面面垂直定义的应用如图，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，求证：平面BCD⊥平面BCA.【思路探究】作出二面角D—BC—A的平面角，证明此平面角为直角即可．【自主解答】取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角A—BC—D的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝3，又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2，在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.∴平面BCD⊥平面BCA.1．利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证明此平面角是直角．(2)证明线线垂直．首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD 折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝22，所以BC＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1.【答案】 1求二面角如图，已知四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD.(1)求二面角B－P A－D平面角的度数；(2)求二面角B－P A－C平面角的度数．【思路探究】先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后指出二面角的平面角的大小．【自主解答】(1)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C平面角的度数为45°.1．求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样，步骤如下：2．作二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．在题设条件不变的情况下，若P A＝AD，求平面P AB与平面PCD所成的二面角的大小．【解】∵CD∥平面P AB，过P作CD的平行线l，如图所示，由P A⊥CD，CD⊥AD，P A∩AD＝A知CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又CD∥l，∴l⊥PD.∴∠DP A为平面P AB和平面PCD所成二面角的平面角，为45°.【思想方法技巧】转化思想在线面、面面垂直中的应用(12分)(2013·杭州高二检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．【思路点拨】解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°.【规范解答】(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2. 则PD⊥DC. 2分同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD. 4分(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 6分又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD. 8分(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角. 10分在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角. 12分【思维启迪】1．本题(1)(2)问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”．2．突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想．【课堂小结】1．面面垂直的判定方法(1)定义法．(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．2．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．3．线面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何求解的转化思想.【当堂达标检测】1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β【解析】由二面角的平面角的定义可知D选项正确．【答案】 D2．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．【答案】 C3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，其大小为45°.【答案】45°4．如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，求证：平面PDC⊥平面P AD.【证明】∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面P AD.【课后知能检测】一、选择题1．(2014·杭州高一检测)以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；直线和平面所成角θ范围是0°≤θ≤90°；二面角的平面角θ的范围是0°～180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角．【答案】 B2．如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，∴∠BAC即为二面角B－P A－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.【答案】 A3．下列说法中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的有()A．①③B．②④C．③④D．①②【解析】对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.【答案】 B4．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)．图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对【解析】∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同样BC⊥平面P AB，又易知AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD.∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．【答案】 D5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个【解析】如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．【答案】 D二、填空题6．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.【解析】③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．【答案】①②7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，二面角C1—BD—C的大小为________．【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接C 1O，∵C1D＝C1B，O为BD中点，∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD，∴∠C1OC是二面角C1—BD—C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝2，可以计算C1O＝22，∴sin∠C1OC＝C1CC1O＝12，∴∠C1OC＝30°.【答案】30°8．(2014·荆州高一检测)在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，二面角A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为________．【解析】取BD中点O，连AO，CO，由AB＝BC＝CD＝AD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角．∴∠AOC＝90°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△BAD与△BCD均为直角三角形．∴OC＝OD，∴△AOD≌△AOC，∴AD＝AC，∴△ACD为等边三角形．又∵E为CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.【答案】90°三、解答题9．如图所示，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD ⊥平面AOB .【证明】 由题意CO ⊥AO ，BO ⊥AO ，∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角．∵二面角B －AO －C 是直二面角，∴CO ⊥BO ，又∵AO ∩BO ＝O ，∴CO ⊥平面AOB ，∵CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB .10．如图，在四面体A －BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .【证明】 ∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD .在Rt △ABE 中，∵AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，∵AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴AC 2＝AE 2＋CE 2，即AE ⊥CE ，∠AEC ＝90°，即二面角A －BD －C 的平面角为90°.故平面ABD ⊥平面BCD .11．如图所示，四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，求二面角V －AB －C 的大小．【解】 如图，作VO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，则VO ⊥AB ，取AB 中点H ，连接VH ，OH ，则VH ⊥AB .∵VH ∩VO ＝V ，∴AB ⊥平面VHO ，∴AB ⊥OH ，∴∠VHO 为二面角V －AB －C 的平面角．易求VH 2＝VA 2－AH 2＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4，∴VH ＝2，而OH ＝12AB ＝1，∴∠VHO ＝60°. 故二面角V －AB －C 的大小是60°.。
人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。
必修2高二数学第二章2.3.2平面与平面垂直的判定教学课件人教新课标
二面角
从一条直线引出的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
注:面内的一条
QB
直线，把这个平面分 β
成两部分，每 一部
P
分都叫做半平面。
lα
A
二面角的记法
用面1－棱－面2表示一个二面角 下图二面角记做 二面角α-l-β，或二面角α-AB-β。
新课导入
修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成一定的角度。
砌墙时，要保证墙面与地面垂直。
A
C
B
D
教室的门打开时与墙 面成一定的角度。
书本展开时两页直面 成一定的角度。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目标
知识与能力
➢使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角 的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相 垂直”的概念。 ➢使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单 的应用。
思 考 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多 少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角 的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值 范围如何？
二面角为0°
二面角为90°
二面角的取值范围是[0, 2 ]。
两个平面互相垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
B
OA
l
二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
是二面角
A
O B
不是二面角
二面角的平面角用来度量二面角的大小，二 面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
学案11：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2 平面与平面垂直的判定知识点一二面角提出问题随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度.问题1：根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？问题2：两平面形成的角可以为0°角吗？问题3：两平面成角θ的范围是什么？导入新知二面角(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(如图)．叫做二面角的棱，叫做二面角的面．记法：，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作；当棱记为l时，可记作________或.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角α -l -β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做．②直二面角：平面角是的二面角．化解疑难对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.知识点二平面与平面垂直提出问题建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．问题1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？问题2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？导入新知1．面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：.2．两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.化解疑难对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．常考题型题型一面面垂直的判定例1如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.类题通法证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．活学活用1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.题型二二面角例2已知D，E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小．类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．活学活用2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC 于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．题型三线面、面面垂直的综合问题例3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P-BC-D是45°的二面角．类题通法本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．活学活用3.已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.随堂即时演练1．如图，已知α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，∠AEB＝45°，那么二面角α -CD-β的平面角等于()A．30°B．60°C．90°D．135°2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是______________________________________________．4．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A＝6，那么二面角P-BC-A的大小为________．5．在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.参考答案知识点一二面角问题1：【答案】可以是锐角、直角、钝角、平角．问题2：【答案】可以．问题3：【答案】0°≤θ≤180°.导入新知二面角(1)两个半平面直线AB 半平面α和βα-AB-βP-AB-Q α-l-βP-l-Q(2)①半平面α和β内二面角的平面角②直角知识点二平面与平面垂直问题1：【答案】垂直．问题2：【答案】可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．导入新知1．(1)直二面角(2) α⊥β2．(1)垂线常考题型题型一面面垂直的判定例1 证明：法一：(利用定义证明)∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a，在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，∴SA＝AB＝AC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC.又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.活学活用1.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.题型二二面角例2解：如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点．于是C1F为这两个平面的交线．因而，所求二面角即为二面角D-C1F-A1.∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，∴E，B1分别为DF和A1F的中点．∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.又∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥FC1.又∵A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，∴FC1⊥平面AA1C1C.∵DC1⊂平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角．由已知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°.故所求二面角的大小为45°.活学活用2.解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.题型三线面、面面垂直的综合问题例3证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P-BC-D的平面角．在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P-BC-D是45°的二面角．活学活用3.证明：(1)设BD＝a，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2＋DF2＝5a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝DB2＋AB2＝5a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN 12CE DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA中点，所以DM⊥AE.又EC∩AE＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.随堂即时演练1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】面面垂直的判定定理4．【答案】90°5．证明：如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝2 2a.在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，由于AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∴平面ABD⊥平面BCD.。
【高中数学必修二】2.3.2平面与平面垂直的判定
M
A
N
C
线线垂直
O
线面垂直
B
面面垂直 若AM⊥PC，N是PB上一点，
求证：平面PBC⊥平面AMN
课堂小结
1.二面角及其平面角的概念 2.二面角的范围及求二面角的步骤 3.两个平面垂直的定义 4.两个平面垂直的判定定理 5.证明两个平面垂直的方法 （1）定义法（2）判定定理
6.核心思想：
线线垂直 线面垂直 面面垂直
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.在立体几何中,如何度量"异面直线所成的角"？
2.在立体几何中,如何度量"直线和平面所成的角"？
引入课题
既然线线存在角，线面存在角，那么面面是否
也存在角呢？如果面面存在角该如何度量呢？
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
l
A
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
Q
二面角的表示
B P
二面角 l 二面角 AB 二面角P l Q 二面角P AB Q
10
求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角;
2、证明找到角就是二面角的平面角;
3、求出此平面角的大小。
一“找”二“证”三“求”
关键：确定二面角的平面角.
两个平面垂直的定义:
一般地，两个平面相交，如果它们所成二面角是直 二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
l
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
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2.3.2平面与平面垂直的判定
一、学习目标:
知识与技能：正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。
二、学习重、难点
学习重点: 平面与平面垂直的判定；
学习难点: 如何度量二面角的大小。
三、使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.
4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升
四、知识链接：
直线与平面垂直的定义：
直线与平面垂直的判定定理：
直线与平面所成的角：
五、学习过程：自主探究
一、二面角的定义
问题1:
半平面：
二面角：
二面角的表示:
二面角的平面角:
二面角的平面角∠AOB的特点：
(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。
特别指出：
180）；
①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0，0
②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；
③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的
直二面角:
规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。
例1：如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。
二、两个平面互相垂直
两个平面互相垂直：
两个互相垂直的平面画法：
平面α与β垂直，记作：
定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言: AB AB =B AB ββααβ⊥⋂⊂⇒⊥，，
图形语言:
思想:线面垂直⇒面面垂直
判断对错:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（ ）
3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 例2、已知直线PA 垂直于圆O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆O 的
直径，C 是圆周上异于A 、B 的一点。
探究1、四面体P-ABC 的四个面的形状是怎样的?
探究2、有哪些直线和平面垂直？
探究3、有哪些平面相互垂直？
求证：平面PAC ⊥平面PBC
关键:找与平面垂直的线.
例3：如图P 为ΔABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝
90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，求证：⑴平面PAB ⊥平面PBC ；⑵
平面AEF ⊥平面PBC ；⑶平面AEF ⊥平面PAC 。
六、达标检测
1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面 （ ） ()A 有且只有一个 ()B 不是一个便是两个
()C 有且仅有两个 ()D 一个或无数个
2．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则 （ ） ()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α
()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立
3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是 （ ） ()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂
()C //,,m n n m βα⊥⊄ ()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥
4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ． 其中真命题是（ ） ()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ③④
5：已知平面α∩平面β=直线a ，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b ，求证:(1) a ⊥γ；(2)b ⊥γ．
七、总结评价：
本节课我们讲了二面角的概念，二面角平面角的定义。
两个平面垂直的定义、画法及判定方法. 判定方法有两种，一是利用定义二是利用判定定理，如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键。
学后反思、自查自纠：
要求：1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。
2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。
可查阅课本和相关资料。