第二章控制系统的数学模型
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自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】
Z2
减速器
J Lc fL
负载
r
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
W1
W2 位置随动系统结构图绘制
r (s)
U(rs)
m (s)
1 r
操纵手柄
k
Ut (s)
1
i
kW1
Urr (s)
U(s)
c
(s)
uε
E
ur uε
ut
cc (s) k Uc (s) Ur (s) Uc(s) U
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
Kt U(s)
ut (t)
Kt
d (t)
dt
Ut (s) Ks(s)
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
s
(s)
U (s)
Kts
典型元部件的传递函数
直流电动机：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2Mc (t)
Tm
dm (t)
dt
m
(t)
K1ua
(t)
Tm
X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)
G4(s)
N(s) G3(s)
R(s)
E(s) X1(s) G1(s) X2(s)
X3(s) G2(s) X4(s) C(s)
C(s)
H(s) X4(s)
)
C(s)
C(s)
T2
X1(s) N(s) C(s) sX2(s) k1R(s) T2C(s)
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。
I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。
（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。
●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。
—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。
数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例 用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
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i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
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ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
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m
f (t) 此模型是以作用
c
在机器上的力F(t)
为激励，机器的
m
d2y dt 2
C
dy dt
ky
f
振动位移小x(t)作 为响应。
..
.
m x(t) c x(t) kx(t) F(t)
试分析地基振动对机器运动的影响 解 即y(t)为激励，x(t)为响应
c
y(t
)
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出 精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后 的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有 条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确 定出合理的物理模型。
电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 通讯卫星 看成 质点 。
实验法－基于系统辨识的建模方法
y1(t) y2(t)
f(t)
K1
k2
m1
m2
对 m1 对 m2
m1
d 2 y1 dt2
k1 y1 k2 ( y1
y2 )
f (t)
m2
d 2 y2 dt2
k2 ( y1
y2 )
(1)
解方程（1），消除y2得
[m1m2 p4 (m1k2 m2k1 m1k2 ) p2 k1k2 ]y1 (m2 p k2 ) f
• 分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，
物理规律、化学规律。
• 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本
输出响应。
分析法建立系统数学模型的几个步骤：
(1) 建立物理模型。 (2) 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛
顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒 定律等）
(3) 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适 当的输入输出模型或状态空间模型。
M1
J1
d1dtM Nhomakorabea' 1
此外，注意线性化的概念
重点内容： 1.线性系统数学模型的建立 利用达伦贝尔动力平衡原理建模 利用基尔霍夫定律建模 2.考虑系统元件之间的负载效应，建立正确的数学模
型。
作业：
C
LC
ui i R1 R2 uo
ui
i
R uo
x
x0
x0
.
.
x0
x0
f (0,0) k
记 x
f (0,0) c .
x
.
..
.
N kx c x m x(t) c x(t) kx(t) F(t) 静态模型
此即为动态模型。如系统运动很慢即 x 0 x 0
x(t) F(t) k
k
y(t)
如果不考虑m2对m1的影响，则会得到错误的结果
负载效应—由多个元件组成的系统，若后一个元件的存在会影响到
前一个元件的输出，就认为后者给前者增加了负载。这种现象称为
负载效应。
y1(t)
y2(t) f(t)
m1
d 2 y1 dt2
k1 y1
f (t)
K1
k2 m1
m2
注意，当存在负载效应时，绝不能孤立地分别列出前后两个元件的 微分方程式，而应该把前后两个元件作为一个整体分析
x(t
)
k
y
(t
)
x(t
)
m
x(t
)
m x(t) c x(t) kx(t) c y(t) ky(t)
参数的归一化
见书P19例4
2
l
z2 z1
z4 z3
xo
J
d 2
dt 2
c' d
dt
K
K xi
下图表示一台机器放在隔振垫上。将机器简化为一刚性质块，质 量为m，在垂直方向的位移为x(t)，从静态平衡位置开始计算质块 的位移。
解
..
m x(t) F(t) N (t)
.
N(t) f (x, x)
.
.
N f (0,0) f (x, x)
x f (x, x)
.
x
x
1
L
(ui
uo )dt
ui
uo R
c duo dt
0
c d 2uo 1 duo uo 1 dui ui dt R dt L R dt L
系统元件间的负载效应
外反馈 内反馈
数控 装置
比较器
放大器
伺服 机构
检测 装置
工作台
内反馈：许多机械系统或过程中，往往存在内在的相互耦合作 用构成非人为的内在反馈，从而形成一个闭环系统。
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 （1-1）
m2x2 k2x2 k2x1
（1-2）
两自由度机械系统
信息传递关系
系统元件间的负载效应
再看下面的例子: 图示为由两个质量为m1、m2和弹簧k1、k2串联起来的系统
设输入量为外力f (t),输出量为位移y1(t), y2(t).试求系统的数学模型
输入（已知） 黑匣子
输出（已知）
• 已知知识和辨识目的 • 实验设计--选择实验条件 • 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 • 参数估计--最小二乘法 • 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，
系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
例:下图为平面铣削示意图. 分析动力滑台水平运动情况
输出量的表达式=输入量的表达式
根据达朗贝尔原理建模 M为输入量,转角θ为输出量
K
J
Mθ C
J C K M
J
d 2
dt 2
C
d
dt
K
M
利用基尔霍夫定律建模
R
C
ui
C uo ui
R
(a)
(b)
uo ui
L
C
uo
(c)
解（a）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程
Ri uo ui
其中
uo
1 c
idt
i c duo dt
RC
duo dt
uo
ui
同学练习解（b）
解（b）题，依照基尔霍夫定律得
1
c
idt uo ui
uo Ri
1
RC
uodt uo ui
R
duo uo dui dt RC dt C
ui
C
u ui o
Ru o
(a)
(b)
定义：控制系统在工作状态时的运动方程称 为数学模型。它反映输出量与输入量之间的 关系—系统的动态特性。揭示系统的结构参 数与其动态特性之间的关系。 格式: 输出量的表达式 = 输入量的表达式
表达式通常有微分方程、传递函数、传递函数 方框图、频率特性、差分方程、状态方程等。 本课程只讲前三种。
建立控制系统数学模型的方法有 ：
第二章 系统的数学模型
本章主要讲怎样建立系统的数学模 型—微分方程
数学模型
广义上是指表达自然界或社会现象某 些本质特征的数学表达式或称为数学 方程。 —比较宽泛
具体一点，数学模型是用数学方法描述的 抽象的理论模型，用来表达系统内部各部 分之间或系统与其外部环境之间的关系
本课程中，数学模型的定义、格式及其表达
电路相同，输入或者输出不同，微分方程不同
求图示电子网络节点1的电流动态方程式
L iL
节点1
iR
Ui
R
U0
C
iR
u i —输入电压
u 0 —输出电压
对节点1的电流有：iL iR ic 0
其中：iL
1 L
uLdt
iR uR / R
i
c
c
duc dt
uL ui uo
所以节点1的电流动态方程为
y(t)
工件
动力滑台
f (t)
铣刀
k
y(t)
m
f (t)
c
ma cv ky f
m
d2 dt
y
2
C
dy dt
ky
f
建立数学模型的步骤
1. 根据系统的工作原理得到物理模型 2. 确定输出量和输入量 3. 以已知的物理、化学、机械等定律或统计 规律，列出尽可能存在的方程式。 4. 消除中间变量。最后整理成：