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高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习解三角形
一、知识点总结
1( 内角和定理:
,ABCABC，，,sinC,cosC在中，;;; ,sin()AB，,cos()AB，,
ABCABCABC，，，. sincoscossintancot,,,;;222222
1112(面积公式: = SabC,,bcAsincaBsinsin,ABC222
3(正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abcabcABC::sin:sin:sin,形式一:或变形: (解三角形的重要工
具) ,,,2RsinAsinBsinC
a,2RsinA,
,形式二: (边角转化的重要工具) b,2RsinB,
,c,2RsinC,
4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的两
倍..
222形式一:abcbcA,，,2cos
222bcacaB,，,2cos (解三角形的重要工具)
222cababC,，,2cos
222222222bcacababc，,，,，,cosA,cosB,形式二: ; ; cosC= 2bc2ca2ab5((1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6(判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7( 已知条件定理应用一般解法
一边和两角正弦定理由A+B+C=180?，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
(如a、B、C) 有一解。
两边和夹角余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
(如a、b、c) 由A+B+C=180?求出另一角，在有解时有一解。
三边余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180?，求出角C (如a、b、c) 在有解时只有一解。
解三角形巩固练习
一、选择题
1、ΔABC中,a=1,b=, ?A=30?,则?B等于 ( ) 3
A(60? B(60?或120? C(30?或150? D(120?
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( )
A(a=1,b=2 ,c=3 B(a=1,b= ,?A=30? 2
C(a=1,b=2,?A=100? C(b=c=1, ?B=45?
3、在锐角三角形ABC中，有 ( )
A(cosA>sinB且cosB>sinA B(cosA C(cosA>sinB且cosB 经典例题讲解 1 在?ABC中，，则等于( ) A B C D 00c,b2. 在?ABC中，若，则等于( ) C,90,a,6,B,30 ,1,23123A B C D ,ABCbCa,2bcosCAB3.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是( ) ac A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 4.在?ABC中，A,60?，B,75?，a,10，则c等于_________. 5.在?ABC中，a,3，b,1，c,2，则A等于________( 3ABC中，若?B=30?,AB=26.?,AC=2,则?ABC的面积为___ _. abc,,7.根据所给条件，判断?ABC的形状. ( cosAcosBcosC ABCc,2A,B,Ca,b,c8(已知?的内角的对边分别为，其中， ,(1,cosC),(cosC,1)又向量m?n=1 nm，，( A,:45a(1)若，求的值; a，b,4ABC(2)若，求?的面积( 9(根据所给条件，判断?ABC的形状. acosA=bcosB; 1C,ABCb10.已知cosBcosC,sinBsinC,、、为的三内角，且其对边分别为、、，若( ABac2 (?)求; A ,ABC (?)若，求的面积( a,23,b，c,4 1 必修 5 第一章小结与复习 1 第 7 课时 一、学习目标 1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状； 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 二、课前预习 （一） 三角形中的定理 1.正弦定理： ，其中R 为 . 正弦定理的作用： ⑴ ⑵ 正弦定理的变形： ①2sin a R A =， ， ； ②sin 2a A R =， ， ； ③::a b c = . 2.余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-， 余弦定理的作用： ⑴ ⑵ ⑶ . ⑷ . 余弦定理的变形： ①cos A = 等； ②222 a b c +-= 等. 3.三角形面积公式： 1 sin 2 S ab C ?= = = 4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论. (1)若Ａ≥９０°，则有 ①a>b 时有 解； ②a ≤b 时 解. （2）若Ａ＜９０°时，则有 ①若a ＜bsinA ，则 解； ②若a ＝bsinA ，则 解； ③若bsinA ＜a ＜b ，则有 解；④若a ≥b ，则有 解. 预习题： 2 1.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若 a c ==75A ∠=o ，则 b = _______ 0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304 A ==+=+= a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2 B = 由正弦定理得1 sin 2sin 2a b B A = ?== 2.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 3.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b = c =B = ．答案 6 5π 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ，若//p q ，则角C 的大小为_____3π 三、数学运用 例1.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、 c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b 【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件 (1)22 2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理 高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习解三角形 一、知识点总结 1( 内角和定理: ,ABCABC，，,sinC,cosC在中，;;; ,sin()AB，,cos()AB，, ABCABCABC，，，. sincoscossintancot,,,;;222222 1112(面积公式: = SabC,,bcAsincaBsinsin,ABC222 3(正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. abcabcABC::sin:sin:sin,形式一:或变形: (解三角形的重要工 具) ,,,2RsinAsinBsinC a,2RsinA, ,形式二: (边角转化的重要工具) b,2RsinB, ,c,2RsinC, 4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两 倍.. 222形式一:abcbcA,，,2cos 222bcacaB,，,2cos (解三角形的重要工具) 222cababC,，,2cos 222222222bcacababc，,，,，,cosA,cosB,形式二: ; ; cosC= 2bc2ca2ab5((1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6(判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7( 已知条件定理应用一般解法 一边和两角正弦定理由A+B+C=180?，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 (如a、B、C) 有一解。 两边和夹角余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 (如a、b、c) 由A+B+C=180?求出另一角，在有解时有一解。 三边余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180?，求出角C (如a、b、c) 在有解时只有一解。 解三角形巩固练习 一、选择题 1、ΔABC中,a=1,b=, ?A=30?,则?B等于 ( ) 3 A(60? B(60?或120? C(30?或150? D(120? 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( ) A(a=1,b=2 ,c=3 B(a=1,b= ,?A=30? 2 C(a=1,b=2,?A=100? C(b=c=1, ?B=45? 3、在锐角三角形ABC中，有 ( ) A(cosA>sinB且cosB>sinA B(cosA 第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在 ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== = 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广． 高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详 细) 第一部分必修五三角函数知识点整理 第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22 A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sin B ........................... A ＞ B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B ③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.(2R 为ABC ?外接圆的直径) 2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = sin 2a A R = 、 sin 2b B R =、 sin 2c C R = 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+- 222 cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++= - ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 第二部分必修五练习题含答案解析 第一章解三角形 1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形 解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320 B>C B ．B>A> 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 解三角形的实际应用 【知识概述】 1.利用解三角形的知识和方法解决生活中的实际测量问题，是正弦定理和余弦定理的 重要应用，主要涉及距离、高度和角度的测量，这类问题综合性较强，需要我们从实际生活 背景中抽象出三角形的相关知识和条件，然后借助解三角形的方法给出解决方案。 2.测量问题就是解三角形问题，一般有两种位置状态，一种是被测量的图形在水平平面 内，另一种是被测量的图形在竖直平面内，尽管实际问题的位置状态不同，但问题的实质都 是利用有关三角公式解三角形，对不同的状态，要准确理解相关的名词的意义，如在水平面 内的方向角、方位角等，以及在竖直平面内的仰角、俯角等. 3.有关角的概念 方向角：从东西南北的某方向转到目标方向线的水平角，如南45°东、东45°北等； 方位角：地图上从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角； 俯角和仰角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在 水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时，称为俯角. 坡度：斜坡所在的平面和水平面夹角正切值. 【学前诊断】 1．[难度] 易 已知两灯塔A ，B 与观测点C 的距离都等于a km ．灯塔A 在观测点C 的北偏东20°．灯 塔B 在观测点C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为 km. 2．[难度] 易 设A ，B 两点在河的两岸．一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸 边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB =105° 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( ) A ．250 m B ．350 m C ．225m D ． 22 25 m 3．[难度] 中 在200m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°．则塔高为 ( ) A ．3400m B ．33400m C ．33200m D ．3 200m 高中数学必修5 复习要点 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ?? ?+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用 ABC ?中 A B C π ++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形 一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b= 2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ） A ．cosA>sin B 且cosB>sinA B ．cosA 数学人教B 必修5第一章解三角形 知识建构 综合应用 专题一 判断三角形的形状 正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 把角的余弦化边，或利用sin A ＝a 2R 把角的正弦化 边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简， 从而得出结论． 常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边， ①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°； ②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°； ④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2 . 应用1在△ABC 中， 若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形． 提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可． 应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断． 专题二 恒等式的证明 证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决． 应用1在△ABC 中，求证： (1)a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ； 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 高中数学必修5 第一章 解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R = =2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ） R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪ +-⎪=⎨⎪ ⎪+-= ⎪⎩ . 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin ()2 2 2 a S ah a b C r a b c ===++= R abc 4=2R 2 sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(2 1 c b a p ++= ,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式) 【三角形中的常见结论】 （1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 2cos 2sin C B A =+,2 sin 2cos C B A =+; （3）若⇒>> C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B . (7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总 题型1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 必修五数学解三角形知识点 必修五数学解三角形知识点 判断解法 已知条件：一边和两角 一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。 已知条件：两边和夹角 一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。 已知条件：三边 一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。 已知条件：两边和其中一边的对角 一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C) ①若ab，则AB有唯一解; ②若ba，且babsinA有两解; ③若absina则无解。 p= 常用定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。 变形公式 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式) 余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cosC=(a²+b²-c²)/2ab cosB=(a²+c²-b²)/2ac cosA=(c²+b²-a²)/2bc 必修五：解三角形 知识点一：正弦定理和余弦定理 1.正弦定理 a b c :si nA sin B si nC J' 或变形： a: b:c s ir i A:sin B:sin C cosA b 2 2 c 2 a 2bc 2 2 2 2 a 2 2 b c 2bccos A cosB a c b 2ac b 2 2 2 a c 2accos B cosC b 2 2 a 2 c 2 c 2 2 b a 2 •余弦定理： 2ba cosC 或 2ab 3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2 、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 （2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角• 2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B) A B C AB C AB C sin cos ,cos sin ,ta n cot — 2 2 2 2 2 2 5 •解题中利用 ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的 cosC, tan(A B) tanC, 1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( ) A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角 形• 2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a 2 b=2 , sinB+cosB= 、 2 , 则角A的大小为( )A - B. _ C - D.— 2 3 46 3 .在厶ABC中， a 7, b 4、.3,c .13 , 则最小角为 A—B、一 C 、— D 、36412 4 .已知 ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC () A. 13 B. 13 C.5 D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（） b A. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,2 6.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （） 23 A. 2 B.4 C.3 D.4 7.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则c A 10、6 B、75C、55 D 、4 9 8.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则A A 30o B、60o C、120o D、150o 9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则 ABC的面积为 cosB b 10.在ABC 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为 11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是 A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x5 必修 5 第一章解三角形 一、正弦定理 1.定理 a b c 2R. sinA s inB s inC 其中 a， b， c 为一个三角形的三边，A， B，C 为其对角， R 为外接圆半径. 变式： a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC 二、余弦定理 1.定理 a2=b2+c2-2bc cosA、 b2=a2+c2-2ac cosB、 c2=a2+b2-2ab cosC b2c2 a 2 a 2c2b2a2b2c2变形： cosA2bc、 cosB2ac、 cosC2ab 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边. 三、三角形面积公式 1 ah a 11 （1）S bh b ch c. 222 其中 h a，h b， h c为 a， b， c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数 列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （ 4）一个重要公式：对任何数列，总有 a1S1 , a n S n S n 1(n2). 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 .这个常数叫做数列的公差 . （2）递推公式：a n+1=a n＋d. （3）通项公式：a n=a1+(n-1)d. （ 4）求和公式： n(a1 a n )n( n1) S n na1 d. 22 （ 5）性质： ①若 m+n=p+q，则 a m+a n=a p+a q； ②若 m+n=2p，则 a m+a n=2a p； ③a n=a m +(n-m)d. （ 6）等差中项： ①若 m+n=p+q，则 a m a n=a p a q； 2 ③a n=a m q n-m. （ 6）等比中项： a， b 的等比中项G ab. a， b， c 成等比数列(a,b,c 0)b2ac. 注：① a1和 q 叫做等比数列的基本元素，把S n和a n都用a1和q表示往往能使问题简化. ②注意方程思想的应用，在a1， q，n， S n， a n五个数中，知道三个可求剩下的两个.③使用求和公式时，要注意q≠1的条件 . 四、数列求和 主要求和方法有： （ 1）公式法：主要用于等差数列与等比数列，这是首先应该考虑的方法. （2）分组求和法：将数列的每一项拆分成几项，然后重新组合成几组，使每一组都 能求和 .如数列{ n+2n}. （3）并项求和法：将相邻几项合并，使合并后有规律，便于求和.如12－22＋32－42＋⋯＋(－ 1)n－ 1n2. 01第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 课时过关·能力提升 基础巩固 1在△ABC中,下列关系一定成立的是(). A.a>b sin A B.a≤b sin A C.asin B,则角A与角B的大小关系是(). A.A>B B.A 5在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为. 解析:C=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理得a sinA =c sinC ,即20 sin45° =c sin60° , 故c=20sin60° sin45°=20× √3 2 √2 2 =10√6. 答案:10√6 6在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√3,b=1,A=π 3 ,则B=. 解析:由正弦定理得 a sinA =b sinB , 所以√3 sinπ3=1 sinB , 解得sin B=1 2,所以B=5π 6 或B=π 6 , 又因为a=√3,b=1,所以B 高中数学必修五知识点公式总结 必修五数学公式概念 第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 abc1、正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即. ,,sinsinsinABC abc 正弦定理推论:?(为三角形外接圆的半径) ,,,2RRsinsinsinABC aAbBaAsinsinsin ? ? ,,,,,aRAbRBcRC,,,2sin,2sin,2sinbBcCcCsinsinsin abcabc，，abcABC::sin:sin:sin,,,, ? ? sinsinsinsinsinsinABCABC，，2、解三角形的概念:一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。 任何一个三角形都有六个元素:三条边和三个内角.在三角形中，已知三 (a,b,c)(A,B,C)角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 、正弦定理确定三角形解的情况 3 图形关系式解的个数 abA,sin? 一解 ? ab, A 为两解 bAabsin,, 锐 角 无解 abA,sin A 为一解 a,b 钝角 或 直无解 a,b 角 4、任意三角形面积公式为: 1 必修五数学 111abcSbcAacBabC,,,,sinsinsin ABC2224R r2,,,,,，，,ppapbpcabcRABC()()()()2sinsinsin2 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 222222222 ，，cababC,，,2cos. abcbcA,，,2cosbaccaB,，,2cos 222222222abc，,bca，,acb，,cosA,cosB,cosC, 余弦定理推论:，， 2bc2ac2ab6、不常用的三角函数值 人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习 知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理： （1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 2 22-+=，（角到边的 转换） 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R ab c 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A …… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ， 再求b 、c. (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B b sin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B b sin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 a 高中数学必修 5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b高中数学 第一章解三角形 第一章小结与复习(教师版)导学案 苏教版必修5
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