条件概率的三种求解方法
计算条件概率的常用方法
计算条件概率的常用方法一．基本内容1.根据件概率的定义,也就是条件概率的计算公式,先求()(()0)P A P A >和()P AB ,再由定义()(|)()P AB P B A P A =,即可求解(|)P B A .2.根据条件概率的定义,也就是条件概率的计算公式,先求()(()0)P A P A >和()P AB ,再由定义()(|)()n AB P B A n A =,即可求解(|)P B A .3.由条件概率和对立事件的定义,可得条件概率的性质:(|)1(|)P B A P B A =-,利用该性质可以解决一些证明相对复杂的条件概率问题.4.条件概率的性质二．例题分析类型一.概率公式例1．已知3(|)10P B A =，1()5P A =，则()P AB =A．12B．32C．23D．350【解析】由条件概率的公式()(|)()P AB P B A P A =得133()()(|),51050P AB P A P B A =⨯=⨯=故选D.类型二.基本事件数法例2．为响应“援疆援藏万名教师支教计划”，珠海市教育局计划从某学校数学科组的4名男教师（含一名珠海市骨干教师）和英语科组的3名女教师（含一名珠海市骨干教师）中分别选派2名男教师和2名女教师，则在有一名珠海市骨干教师被选派的条件下，两名珠海市骨干教师都被选派的概率为（）A．13B．12C．25D．34【解析】记至少有一名骨干教师被选派的事件为A，两名骨干教师被选派的事件为B，则1221113232322243C C C C C C 5()C C 6P A ++==，11322243C C 1()C C 3P AB ==，于是得()2(|)()5P AB P B A P A ==，所以所求概率为25.故选：C 类型三．条件概率的性质例3．已知A ，B 分别为随机事件A，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（）A．()()()P B A P B A P A +=B．若()()1P A P B +=，则A，B 对立C．若A，B 独立，则()()P A B P A =D．若A，B 互斥，则()()1P A B P B A +=【解析】对A，()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===，故A 错误；对B，若A，B 对立，则()()1P A P B +=，反之不成立，故B 错误；对C，根据独立事件定义，故C 正确；对D，若A，B 互斥，则()()0P A B P B A +=，故D 错误；故选：C例4．已知随机事件A ，B ，若()13P A =，()3|5P B A =，()4|7P A B =，则()P B =_________.【解析】由题意可得，()()()3|5P AB P B A P A ==，且()13P A =，则()15P AB =，又因为()4|7P A B =，则()()3|1|7P A B P A B =-=，且()()()|P AB P A B P B =，所以()()()1753157P AB P B P A B ===.故答案为:715.类型四.正难反易例5．三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中有9个数()1,2,3,1,2,3ij a i j ==，从中任取三个数，已知取到22a 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是_____________．【解析】记事件A ={任取的三个数中有22a }，事件B ={三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ={三个数互不同行且不同列}，依题意得()28C 28n A ==，()2n A B ⋂=，故()()()212814n A B P B A n A ⋂===，则()()113111414P B A P B A =-=-=．即已知取到22a 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314．故答案为：1314.类型五.综合问题例6．如果{}n a 不是等差数列，但若k *∃∈N ，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，其中{}1,2,3,4,5n x ∈，1n =，2，3，4，记事件A：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆；事件B：{}n x 为“局部等差”数列，则()P B A =（）A．215B．730C．15D．110【解析】由题意知，事件A 共有4454C A 120⋅=个基本事件，对于事件B ，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；含5，3，1的同理也有4个，所以事件B 共有24个基本事件，所以()2411205P B A ==．故选：C.三．习题练习1．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（）A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9【解析】设发生中度雾霾为事件A ，刮四级以上大风为事件B ，由题意知：()0.25P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()()()0.20.80.25P AB P B A P A ===.故选：C.2．已知事件,A B ,()13P B =,()3|4P B A =，()1|2P B A =，则()P A =（）A．14B．13C．23D．12【解析】由条件概率公式可知()()()3|4P AB P B A P A ==,即()()34P AB P A =①,()()()1|2P AB P B A P A ==,即()()12P AB P A =②,而()()1P A P A +=，所以()()1P A P A =-③，又已知()()()()213P AB P AB P B P B +==-=④,②③④联立可得()23P A =.故选：C 3．定义：设X，Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()()()11,|n n i i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑，其中{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A 表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B 表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则()4E A B ==______．【解析】由4B =可得1A =或2A =或3A =，由题意可得()()()()11,44|44n n i i i i i i P A x B E A B x P A x B x P B ======⋅===⋅=∑∑()()()()()()1,42,43,4123444P A B P A B P A B P B P B P B =======⨯+⨯+⨯===2222222233315151151516666666666232511511511C C C 666666666⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：24．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。
条件概率及其三大公式
摘要摘要条件概率在概率论中占有相当重要的地位，是概率论基础知识中的一个基本概念.在条件概率定义的基础上，进一步探讨条件概率的性质、计算及其重要公式，有助于解决各种条件概率方面的问题.关键词：条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式AbstractConditional probability in probability theory occupies a very important position, basic knowledge of probability theory is a basic concept in the.In terms of probability on the basis of the definition of conditional probability, to further explore the nature, calculation and formula, contribute to the solution of various conditional probability problems.Keywords:Conditional probability Multiplication formula Total probability formula Bayes formula引言引言条件概率是在解决各种实际问题的实践过程中发展起来的，具有丰富的实际背景.条件概率作为概率论的重要内容，在高中教材中已经作了一定的介绍，现在理解条件概率的基础上，进一步探讨了条件概率的性质、三大公式及其应用，解决更多复杂的条件概率问题.因此深刻理解条件概率，熟练掌握其计算方法并在实践中灵活运用，是学生学好《概率论与数理统计》这门课程的关键.广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式1. 条件概率的定义1．1什么是条件概率所谓条件概率，它是指在某事件B 发生的条件下，求另一事件A 的概率，记为()B A P ，它与()A P 是不同的两类概率.下面用一个例子说明之.例1:抛掷一颗骰子，其样本空间为{}6,5,4,3,2,1=Ω，在Ω中4个样本点等可能的情况下，现来讨论如下一些事情的概率.（1）事件A=“出现的点数是奇数”发生的概率为：()21=A P . （2）若已知事件B=“出现的点数不超过3”发生，再求事件A 发生的概率为：()32=B A P . 这是因为事件B 的发生，排出了4、5、6发生的可能性，这时样本空间Ω也随之改为{}3,2,1=ΩB ,而在B Ω中事件A 只含2个样本点，故()32=B A P .这就是条件概率，它与（无条件）概率()A P 是不同的概念.（3）若对上述条件概率的分子分母各除以6，则可得()()()B P AB P B A P ==6/36/2，其中交事件AB=“不大于3的奇数”.这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率之商，这就是条件概率的定义.计算()B A P 时，这个前提条件未变，只是加上“事件B 已发生”这个新的条件.1．2条件概率的定义定义：设A 与B 是样本空间Ω中的两事件，若()0>B P ，则称()()()B P AB P B A P =为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率.例2：判断下题是否为条件概率，如果是，求出其概率.箱子里有3个红球，2个白球，从中不返回的摸取两次，若已知第一次摸到的是红球，求第二次摸到的是白球的概率.解析：记B=“第一次摸到的是红球”，A=“第二次摸到的是白球”，所求概率是在B 发生的情况下A 发生的概率，即条件概率()B A P .现有的工具只有定义，根据条件概率条件概率的定义的定义，()()()B P AB P B A P =，计算()B P 、()AB P 既可用列举法，也可用概率的计算方法直接计算. ()5314151413==C C C C B P ，103)(14151213==C C C C AB P ，所以()()()2153103===B P AB P B A P .广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式2. 条件概率的性质2．1条件概率的基本性质条件概率是概率: 即若设()0>B P ，则：（1）非负性：对于任一事件A ，有()10≤≤B A P ； （2）规范性：对于必然事件S ，有()1=B S P ；（3） 可列可加性：若1A ，2A ，…，n A ，…两两互不相容，则有()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n n n B A P B A P .证明：（1）由概率的定义可知()0≥B A P ，而B AB ⊆,所以()()B P AB P ≤, 所以()()1≤B P AB P ，即()10≤≤B A P .（2）由条件概率的定义且S B ⊆，可得：()()()()()1===B P B P B P SB P B S P . （3）因为1A ，2A ，…，n A ，…两两互不相容，所以B A 1,B A 2,…,B A n ,…也互不相容，由条件概率的定义可知：()()()()()()∑∑∞=∞=∞=∞=∞===⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111n n n n n n n n n n B A P B P B A P B P B A P B P B A P B A P . 例3：设()0>B P ，且B A ⊂，则下列必然成立的是（ ） A 、()()B A P A P < B 、()()B A P A P ≤ C 、()()B A P A P > D 、()()B A P A P ≥ 解析：因为()1≤B P ，而AB A ⊂，则有()()AB P A P ≤,比较()1A P 与()()B P AB P 大小可知，()()()B P AB P A P ≤1，即()()B A P A P ≤，故选B.2．2条件概率也具有无条件概率类似的性质如：①()0=A P φ； ②()()B A P B A P -=1条件概率的性质③()()()()C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃；④若A 与B 互不相容，则()()()C B P C A P C B A P +=⋃. 注意点：1)|(=ΩB P ，1)|(≠ΩB P ；()A P A P =Ω)|(，1)|(=A A P .例4：()6.0=A P ，()84.0=⋃B A P ，()4.0=-ΩA B P ，则()()=B P . 解析：因为()()()()()()84.06.0=-+=-+=⋃AB P B P AB P B P A P B A P ， 所以()()()AB P AB P B P +=+-=24.06.084.0. 而()()()()()()4.06.0111=-=-=-==-ΩAB P A P AB P A B P A B P A B P ，则()36.0=AB P . 所以()6.036.024.0=+=B P .广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式3. 条件概率的计算3．1用定义计算：条件概率的定义公式是： ()()()B P AB P B A P =，其中()0>B P . 例5：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解析：设A=“两件产品中有一件是不合格品”，1A =“两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品”，2A =“两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品”，则21A A A +=，11A AA =，φ=21A A ，且()152210241==C C A P ,()158********==C C C A P , ()()()()3215102121==+=+=A P A P A A P A P .又因()()15211==A P AA P ， 故所求概率为()()()()()51111===A P A P A P AA P A A P . 注意：将已发生的事件分解成若干个事件之和，其中含所求（条件）概率的事件，这是求条件概率常用的处理方法.当明显看出已发生的事件包含所求概率的事件时，常这样处理，这时所求的条件概率就是有关分事件的概率与和事件的概率之比.3．2缩减样本空间法考虑到事件A 的发生，对事件B 的原样本空间所产生的影响，可确定缩减样本空间A Ω ，并在A Ω中推求事件B 发生的概率，从而求出()A B P .当事件A B ⊂时，常用事件A 在原样本空间Ω中所包含的样本总数组成缩减样本空间A Ω.在缩减后的样本空间A Ω计算事件B 出现的概率()A B P 的方法称为缩减样本空间法.例6：抛掷一颗骰子两次，已知第一次掷的是偶数点，试求第二次掷的是2点的概率.解析：抛掷一颗骰子，其样本空间为{}6,5,4,3,2,1=Ω，记A=“掷出偶数点”， B=“掷出2点”.事件A 是在事件B 发生的情况下发生的，事件A 发生后，样本空间缩减为{}6,4,2=ΩA ，所以()31=A B P .条件概率的计算3．3利用条件概率的性质求之如果0)(>A P ，条件概率的具有如下性质： （1） 对任何事件B ，有0)(≥A B P ； （2） 1)(=A S P ，0)(=A P φ；（3） 对任意可列个两两互不相同事件1A ，2A ，…，n A ，…，有()∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i A A P A A P ；（4） ()[]()()()A A A P A A P A A P A A A P 212121-+=+；特别当A A 1，A A 2是互不相容的事件时，有()[]()()A A P A A P A A A P 2121+=+；（5） ()()1=+A B P A B P .注意：下面两个等式一般不成立：()()1=+A B P A A P ，()()1=+A B P A B P . 例7：已知()4.0=B P ，()5.0=+B A P ，求()B A P . 解析：由条件概率的性质可知：()()()()BP B A P B A P B A P ==-=11 而()()()5.05.011=-=⋃-=⋃=B A P B A P B A P ，()()6.04.011=-=-=B P B P , 所以()616.05.01=-=B A P .广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式4. 条件概率的三大公式4．1乘法公式4.1.1乘法公式的定义（1）若()0>B P ，则()()()B A P B P AB P =. （2）若()0...121>-n A A A P ，则()()()()()132121312121.........-=n n n A A A A A P A A A P A A P A P A A A P .证明：由条件概率的定义，移项得()()()B A P B P AB P =.下证：()()()()()132121312121.........-=n n n A A A A A P A A A P A A P A P A A A P . 因为()()()0......1211>≥≥≥n A A P A A P A P ，所以按条件概率的定义，()()()()()()()()()()()()n n n n n A A P A A P A A P A A P A A A P A P A A P A P A A A P A A A P A A P A P ...............111121321121111213121=⋅⋅⋅⋅⋅=--等式成立.如果1A ，2A ，…, n A 相互独立，由独立性可得：()()()()n n A P A P A P A A A P ......2121=.4.1.2乘法公式的应用乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.解题步骤可归纳为：先用恰当的字母表示题中有关事件；根据题设条件，分析事件间的关系，把需要计算概率的时间表为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，最后利用乘法公式计算.例8：批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．解析：记A 为“取到的产品是一等品”，B 为“取出的产品是合格品”， 这里要注意蕴含的条件：A 是在B 发生的条件下发生的 ，所以()%45=B A P ,而B A ⊂，则有()()AB P A P =，又因为()()%96%411=-=-=B P B P ,因此，由乘法公式得：()()()()%2.43%45%96=⨯===B A P B P AB P A P .4．2全概率公式4.2.1样本空间的分割若1A ，2A ，…, n A 有：（1）i A 互不相容；（2）Ω=⋃⋃⋃n A A A ...21， 则称1A ，2A ，…，n A 为Ω的一组分割. 如图1中的1A ，2A ，…，n A 为Ω的一组分条件概率的三大公式图 14.2.2全概率公式的定义若事件1A ，2A ，…，n A 为样本空间Ω的一组分割，且()0>i A P ， 则()()()()i ni i ni i A B P A P B A P B P ∑∑====11.（如图2）图 2证明：因为() ni i n i i B A A B B B 11-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ω=,且B A 1，B A 2，…，B A n 互不相容，所以由可加性得()()()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i n i i B A P B A P B P 11 ，再将()()()i i i A B P A P B A P =，n i ,...,2,1=，代入上式即得()()()()i ni i ni i A B P A P B A P B P ∑∑====11，证毕.全概率公式得直观意义是：某事件B 的发生有各种可能的原因i A （n i ,...,2,1=），并且这些原因两两不能同时发生，如果B 是由原因i A 所引起的，则B 发生时，i BA 必同时发生，因而()B P 与()i BA P 有关，且等于其总和()()()i ni i ni i A B P A P BA P ∑∑===11.通俗地说，事件B 发生的可能性，就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和.注意点：（1）全概率公式用于求复杂事件的概率；（2）使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间； （3）全概率公式最简单的形式：假如()10<<A P ，ΩΩ广东石油化工学院本科学年论文：浅析条件概率及其三大公式则()()()()()A B P A P A B P A P B P +=；（4）若事件1A ，2A ，…，n A 是互不相容的，且()0>i A P ， 则由i ni A B 1=⊂ ，可得()()()()i ni i ni i A B P A P B A P B P ∑∑====114.2.3运用全概率公式的关键运用公式的关键是寻找其中的完备事件组1A , 2A ,…, n A . 分割{}n A 是为了计算()B P 而人为地引入的, 选择适当可以使计算大为简化; 选择不适当,则不利于问题的解决.4.2.4全概率公式的应用1) 找出样本空间Ω的一组分割； 2) 求()i A P ； 3) 求()i A B P ；4) 求目标事件的概率()B P .例9：某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解析：记B 为“该小组在比赛中射中目标”， iA 为“选i 级射手参加比赛”， ()4,3,2,1=i因为φ=⋂j A i A ，且Ω=+++4321A A A A ，所以由全概率公式有:()()()i i i A B P A P B P ∑==41=32.020345.020964.020685.0202⨯+⨯+⨯+⨯=0.53724．3贝叶斯公式4.3.1贝叶斯公式的定义在理论研究和实际中还会遇到另一类问题，这就是需要根据试验发生的结果找其原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用.解决这类问题的方法就是下面的贝叶斯公式.设1A , 2A ,…, n A 是样本空间Ω的一个分割，即1A , 2A ,…, n A 互不相容，且条件概率的三大公式Ω== ni i A 1，如果()0>B P ，()0>i A P ，n i ,...,2,1=，则()()()()().,...,2,1,1n i A B P A P A B P A P B A P nj jji i i ==∑=此式称为贝叶斯公式.证明：由条件概率的定义()()()B P B A P B A P i i =,对此式的分子用乘法公式、分母用全概率公式：()()()i i i A B P A P B A P =，()()()∑==nj j j A B P A P B P 1，即得()()()()()∑==nj jji i i A B P A P A B P A P B A P 1，结论得证.贝叶斯公式的等号左边的条件概率中，复合事件B A i 是由B 和i A 复合而成，其中B 为必然事件，i A 为随机事件；而等号右边的复合事件i A B 中，i A 却是必然事件，而B 成了随机事件，事件B 和i A 所处的地位发生了相对变化，这一点正是贝叶斯公式中所含有的事件特点.注意点：（1）1B ,2B ,…,n B 可以看作是导致A 发生的原因；（2）)|(A B P j 是在事件A 发生的条件下，某个原因j B 发生的概率，称为“后验概率”，贝叶斯公式是用于专门计算后验概率的；（3）贝叶斯公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”； （4）称)(j B P 为“先验概率”.4.3.2贝叶斯公式的应用由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆在应用的.例10：某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。
条件概率公式推导
条件概率公式推导
条件概率是指在已知某一事件的前提下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算需要用到条件概率公式。
下面就来推导一下条件概率公式。
假设有两个事件A和B，且B的概率不为0。
则，在已知B发生的前提下，A发生的概率为：
P(A|B) = P(AB) / P(B)
其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，即交集的概率。
P(B)表示事件B发生的概率，即B的概率。
由乘法公式可得：
P(AB) = P(A) * P(B|A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
即，B在A发生的条件下的概率。
将P(AB)代入条件概率公式中得：
P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)
这就是条件概率公式的推导过程。
通过条件概率公式，我们可以计算在已知某事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
这对于概率论和统计学都有着重要的应用。
- 1 -。
例析条件概率问题的四种解法
,
选择题”
则下列结论中正确的是(
A.
P(
A)
=
3
5
C.
P(
B|A )
=
1
2
)
。
3
B.
P(
AB)
=
1
0
1
)
D.
P(
B|A
=
2
解析:
对于 A,
由题意知 不 放 回 地 依 次 随
机抽取 2 道 题 作 答,样 本 空 间 有 5×4=2
0
(
个)等 可 能 的 样 本 点,
n(
A )=3×4=1
青 团”和 2 个 肉 松 馅
。
的“
青团”
(
,求 这 2
1)若 从 甲 箱 中 任 取 2 个 “青 团”
个“
青团”
馅不同的概率;
(
若 先 从 甲 箱 中 任 取 2 个 “青 团 ”放 入
2)
,
乙箱中,
然后再从乙箱 中 任 取 1 个 “青 团”
求
取出的这个“
青团”
是肉松馅的概率。
4
2
0
(
参考答案:
一、定义法
根据条件 概 率 的 定 义,也 就 是 条 件 概 率
的 计 算 公 式,先 求 P (
A )(
P(
A )>0)和
P(
AB)
,
,即 可
再由定义 P (
P(
AB)
B|A )=
(
P A)
。
求解 P (
B|A )
甲、
乙、
丙、
丁 4 名同学报 名 参 加
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件的概率性质以及它们之间的关系。
条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理，它们在解决实际问题中具有广泛应用。
本文将对这些概念进行详细解释和讨论。
一、条件概率公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)≠0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生”。
条件概率公式的形式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，又称为A与B的交集的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知的条件概率来计算其他事件的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的核心定理之一，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率如何更新。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，那么贝叶斯定理的表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理的主要应用在于通过已知的先验概率和条件概率来计算后验概率。
它在统计学、生物信息学、机器学习等领域有着广泛的应用。
三、条件期望条件期望是在已知某一事件发生的条件下，随机变量的期望值。
设X和Y是两个随机变量，且P(Y=y)≠0，那么在事件Y=y已经发生的条件下，随机变量X的条件期望记作E(X|Y=y)。
条件期望的计算公式为：E(X|Y=y) = Σx(x * P(X=x|Y=y))其中，Σ表示对所有可能的取值进行求和。
通过条件期望，我们可以得到在给定条件下随机变量的平均值，从而更好地理解和分析随机事件的分布特性。
综上所述，条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理。
它们可以帮助我们计算和预测事件的概率，以及根据已知条件更新概率。
条件概率的三种求解方法
条件概率的三种求解方法作者：张瑜来源：《启迪与智慧·中旬刊》2020年第07期【摘要】本文归纳了求解条件概率的三种方法，并通过一个简单例子验证三种解题的方法，说明每一种的方法的优劣。
【关键字】古典概率;条件概率;样本空间;样本点条件概率在概率论中是一个很重要的概念，因为由条件概率得到概率论中的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
因此何如求解条件概率也是很重要的内容。
在教学中求解条件概率是一个重点，也是一个难点。
比如在教学中，學生往往分不清楚这样的两个问题：（1）求两次都取到正品的概率。
（2）已知第一次取到正品的条件下，求第二次也取到正品的概率。
于是对学生强调把问题符号化后，就可以看出第二个问题是一个条件概率的问题，这时就可以区分了。
在浙江大学盛骤、谢式千等人编写的教材《概率与数理统计》一书中提供了两种解题方法，一种是定义法：，先计算P（A）、P（AB），再根据定义式求出条件概率。
另外一种是对于一般的古典概率问题，先计算P（B|A），在事件A发生的条件下，把A作为样本空间，用古典概率的方法来计算条件概率，其中m表示事件A的样本点数，k表示事件AB的样本点数。
在吴赣昌主编的教材《概率论与数理统计》一书中，明确提到也是这两种方法。
实际上分得细点可以说有三种方法求解条件概率：定义法，A作为样本空间条件下求概率P（B），还有一种是在A发生的条件下，在剩余的样本空间里考虑概率P（B）。
一、基础知识定义：若试验E满足下列条件：（1）试验的样本空间只包含有限个样本点，即 ={e1，e2，…en};（2）每个样本点的发生时等可能的，即，则称次试验为等可能概型（古典概型）。
在古典概型中，若样本空间只包含n个样本点，即有限个样本点（基本事件），事件A 是中事件，并且事件A中含有k个样本点，则事件A发生的概率为，称P（A）为古典概率，这个式子也称为古典概型中事件A的概率计算公式。
定义，设A、B是两个事件，且P（A）>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
谈条件概率常见问题解题方法
谈条件概率常见问题解题法摘要：条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用 问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。
关键词:条件概率，事件、样本空间 1. 条件概率的概念一般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A) 巴型 为在事件 P(A)A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
关于条件概率，有下面的定理：定理1:设事件A 的概率P(A) 0，贝U 在事件A 已经发生的条件下事件B 的 条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商：P(B| A) 巴也P(A) 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积： P(AB) P(A)P(B| A) P(B)P(A|B)性质：1. P( B A)=1- P(B | A)2. 条件概率P(B I A)与积事件P(AB)概率的区别P(B| A)与P(AB)这是两个截然不同的事件概率.设 A, B 是随机试验对应 的样本空间 中的两个事件，P(AB)是事件A, B 同时发生的概率，而P(B| A)是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。
从样本空间的角度看，这两种事件所 对应的样本空间发生了改变,求P(AB)时，仍在原来的随机试验中所对应的样本 空间 中进行讨论；而求P(B|A)时，所考虑的样本空间就不是 了，这是因 为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范 围必然缩小了 ,当然乘法公式P(AB) P(B | A) P(A) (P(A) 0)给出了它们之间 的联系3. 条件概率的解题方法:解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概 率问题。
如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的， 那么这一事件 的概率，必须按条件概率来处理。
求解简单条件概率问题，有五种基本方法 ：(1) 化为古典概型解决(4) 缩减样本空间法：P(B|A)呪BP( A)n(AB )n(A)事件A B 包括的基本事件(样本点)数 事件A 包括的基本事件(样本点)数(2) 化为几何概型解决P(B2)狀(AB ) 区域AB 的几何度量(长度，面积，体积等) (A) 区域A 的几何度量(长度，面积，体积等)(3) 条件概率公式法如果P(A) 0 ,则先在原样本空间 中计算P(AB)和P(A)，再按公式P(B| A)P(AB) P(A)计算在事件A发生的前提下，确定事件B的缩减样本空间A A，并在A中计算事件B 发生的概率，从而得到P(B|A)(5) 利用条件概率的性质_ 性质n(BA)P(B A) 1 P( B A)=1 -n(A)4. 条件概率常见应用问题类型类型1:掷骰子子问题例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A为“至少出现一个正面“，记事件B为“至少出现两个反面”，求P(B| A),P(A|B).解法1 :化为古典概型解决：AB表示“恰有一个正面两个反面，={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}A={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,T TH,}, B ={ HTT,THT,TTH}P(A) 7, P(B) - -, P(AB) 3, P(B| A) 巴^色2, P(A|B)-8 8 2 8 P(A) 7 4解法2:缩减样本空间法：在缩减样本空间A A中看，A共有7个元素，3 3其中只有3个属于B，故有P(B| A) -，P(A|B)—7 4类型2:摸球问题例2:袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。
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条件概率的三种求解方法作者：张瑜
来源：《启迪与智慧·中旬刊》2020年第07期
【摘要】本文归纳了求解条件概率的三种方法，并通过一个简单例子验证三种解题的方法，说明每一种的方法的优劣。
【关键字】古典概率;条件概率;样本空间;样本点
条件概率在概率论中是一个很重要的概念，因为由条件概率得到概率论中的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
因此何如求解条件概率也是很重要的内容。
在教学中求解条件概率是一个重点，也是一个难点。
比如在教学中，學生往往分不清楚这样的两个问题：（1）求两次都取到正品的概率。
（2）已知第一次取到正品的条件下，求第二次也取到正品的概率。
于是对学生强调把问题符号化后，就可以看出第二个问题是一个条件概率的问题，这时就可以区分了。
在浙江大学盛骤、谢式千等人编写的教材《概率与数理统计》一书中提供了两种解题方法，一种是定义法：，先计算P（A）、P（AB），再根据定义式求出条件概率。
另外一种是对于一般的古典概率问题，先计算P（B|A），在事件A发生的条件下，把A作为样本空间，用古典概率的方法来计算条件概率，
其中m表示事件A的样本点数，k表示事件AB的样本点数。
在吴赣昌主编的教材《概率论与数理统计》一书中，明确提到也是这两种方法。
实际上分得细点可以说有三种方法求解条件概率：定义法，A作为样本空间条件下求概率P（B），还有一种是在A发生的条件下，在剩余的样本空间里考虑概率P（B）。
一、基础知识
定义：若试验E满足下列条件：
（1）试验的样本空间只包含有限个样本点，即 ={e1，e2，…en};
（2）每个样本点的发生时等可能的，即，
则称次试验为等可能概型（古典概型）。
在古典概型中，若样本空间只包含n个样本点，即有限个样本点（基本事件），事件A 是中事件，并且事件A中含有k个样本点，则事件A发生的概率为，
称P（A）为古典概率，这个式子也称为古典概型中事件A的概率计算公式。
定义，设A、B是两个事件，且P（A）>0，称
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
二、求解条件概率的方法
如果是一般古典概型的题，求解条件概率的方法有三种：
（1）定义法。
在整个样本空间中先计算P（A）、P（AB），再由条件概率定义计算得。
（2）事件A作为新的样本空间来考虑样本点数，即在事件A发生的条件下，A作为新的样本空间来考虑样本点数，用古典概率的方法求条件概率P（B|A）。
（3）把剩余部分作为新的样本空间来考虑样本点数，即在事件A发生的条件下，这里把A发生之后的部分看作是剩余的样本空间，而把剩余样本空间作为新的样本空间，用古典概率的方法求条件概率P（B|A）。
下面针对这个三个方法来举例。
例1一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，不放回抽样。
设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。
试求条件概率P（B|A）。
解：方法1：定义法，由条件概率定义知，
先求P（A）、P（AB），而由于本题是任取产品问题，可以看成是古典概型的题，由题意知4只产品中任取两只，每次取一只的整个样本空间的样本点数为C14·C13，第一次取到一等品的取法为C13·C12+C13·C11（因为第二次还没取，有可能取到一等品，也有可能取到二等品）或C13C13（第一个C13表示的是第一次从一等品3只中任取一只，第二个C13表示的是第一次取了一只后从总的剩余的3只中任取一只），故或
，第一次取到一等品，第二次一等品取法为C13C12，故，于是由条件概率的定义。
方法2：在条件概率P（B|A）中，在事件A发生的条件下，将A作为新的样本空间考虑样本点数，即第一次取到一等品的取法为C13C13（第一个C13表示的是第一次从一等品3只中任取一只，第二个C13表示的是第一次取了一只后从总的剩余的3只中任取一只），第二次取到一等品的取法为C13C12 ，故。
方法3：在条件概率P（B|A）中，在剩余的样本空间中考虑样本点数，即第一次取到一等品一只（第一次取了结束了就不考虑了），第二次取的时候样本空间就从总的剩余的3只中任取一只的取法为C13，第二次取到一等品的取法为C12，故。
对比条件概率的三种方法，方法3是最简单的，用的是古典概率的方法，并且在计算分母的样本空间时，第一次取了结束了，第二次取的时候就不考虑了。
其实方法1中计算
（分母样本空间的样本点数为：从总的4只产品中任取一只的取法C14，分子事件A的样本点数为：第一次取到一等品的取法C13，即第一次取时，第二次还没发生，没发生就不考虑）;而方法1是用定义，明确、好理解的;方法2是条件作为新的样本空间来考虑样本点数，比较难理解，但也是一个解题方法。
【参考文献】
[1]盛骤，谢式千，潘承毅编.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社，2008：15-16.
[2]吴赣昌主编.概率论与数理统计[M].中国人民大学出版社，2011：18-20.
[3]杨七九主编.概率论与数理统计[M].上海交通大学出版社，2018：14.
【项目编号：2019J0245，云南省教育厅项目，教师类项目，名称：基于探究式學习的数学教学研究】
（1984～），女（白族），云南丽江人，云南大学旅游文化学院信息学院，讲师，研究生硕士学位，计算数学专业，研究方向：信息安全，网络计算。