经典高数题举例
高等数学习题
高等数学练习题一1、一平面过点(1,0,1)-，且平行于向量()2,1,1a →=和()1,1,0b →=-，试求这平面方程.2、求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z -+==的平面方程.3、求过点(3,2,5)-且与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行的直线方程。
4、求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和32y z -=的交线平行的直线方程。
5、求过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程.6、求过点(4,1,3)-且垂直于直线31215x y z --==的平面方程. 7、已知某直线过点(1,2,4)-, 且与平面2340x y z -+-=垂直, 则该直线方程8、已知某直线过点 (4,1,3)-, 且平行于直线31215x y z --==，则该直线方程 9、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。
10、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。
11、求曲线32,,x t y t z t ===在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.12、求曲线21,,1t t x y z t t t +===+在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.高等数学练习题二1、设sin u z e v =, 而u xy =, v x y =+. 求z x ∂∂和z y∂∂. 2、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂和z y∂∂. 3、设23,sin ,,x y z e x t y t -===求dz dt . 4、设22z u v =+，而,u x y v x y =+=-，求,z z x y∂∂∂∂.5、计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 由两条抛物线y =2y x =所围成闭区域.6、利用极坐标计算22xy D e dxdy --⎰⎰，其中D 是由圆周222x y a +=所围成的闭区域.7、利用极坐标计算22xy D e dxdy +⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.8、计算22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰, 其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。
高数练习题
练习题一、计算题1、根据差商与导数的关系，对于函数f (x )=x 7−x 4+3x +1，求：(1)f [20,21]（2）f [x ,20,21,…,26]（3）f [x ,20,21,…,27]。
01(1)(2)4119[2,2]115,121f f f --===--解：显然，f (7)(x )=7!,f (8)(x )=0,由性质得(7)016()[,2,2,,2]1,7!f f x ξ== (8)017()[,2,2,,2]0.8!f f x η== 2、给定四个插值点(−2,17),(0,1),(1,2),(2,19),计算N 2(0.9),N 3(0.9)。
解x 0=−2，x 1=0，x 2=1，x 3=2，通过计算可得，f [x 0,x 1]=−8，f [x 0,x 1,x 2]=3，f [x 0,x 1,x 2,x 3]=5/4，2000101012()()()[,]()()[,,]N x f x x x f x x x x x x f x x x =+-+-- 178(2)3(2).x x x =-+++320120123()()()()()[,,,]N x N x x x x x x x f x x x x =+--- 5178(2)3(2)(2)(1).4x x x x x x =-+++++- 3、解矛盾方程组：1212122+3+24+5x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩解：矛盾方程组AX=b 的法方程为：A T AX=A T b ，即为12213211211124121121115x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1265155616x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解方程组得12=0.909091=1.90909x x ，4、用对分法求()3.152.197.723-+-=x x x x f 在区间[1,2]之间的根。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
考研高数经典题目(最新)
§1 高等数学部分
第一部分 函数、极限
1．1）若
x
→
0
时，(1
−
ax2
()
由于
n
→
∞
等价于
xn
→
0,
所以
lim
n→∞
xn+1 xn
sin
1 xn 2
a 故，a (
= lim
x→0
= 0; sin x )
x
1 x2
=
e−
1 6
第二部分 导数、微分
{
17．设 f (x) =
xλ
cos
1 x
,
0,
取值范围.
x ̸= 0 x=0
, 其导函数在 x = 0 处连续, 求 λ 的
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【解】(C) 分别是：1，-1
25．设函数 f (u) 可导, y = f (x2) 当自变量 x 在 x = −1 处取得增量
∆x = −0.1 时, 相应的函数增量 ∆y 的线性主部为 0.1, 则 f ′(1) = .
(A) − 1，(B) 0.1，(C) 1，(D) 0.5
(cos
x
−
b)
=
5，则
a
=
,b=
.
【解】a = 1; b = −{4 6. 设函数 f (x) =
, 1−etan x
arcsin
高数经典习题
1：( )（A）－1；（B）1；（C）2；（D）．(2.0分)2：已知在处偏导数存在，则(A)0； (B) ； (C) ； (D) ．3：设空间区域：，，：，，，，则………………（）(A)．(B)．(C)．(D)．设向量，若则必有[ ](A) ；(B) ；(C) ；(D) .球面与平面的交线在面上的投影曲线是[ ](A) ；(B) ；(C) ；(D) .下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）（A），，；（B），，；（C），，；（D），，．空间曲线在面上的投影方程为（）(A)； (B) (C) (D)若函数及在单连通域D内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是（）．(A) 在域D内恒有；(B) 在域D内恒有；(C) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分；(D) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分．设在曲线弧L上连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分（）(A) ； (B) ；(C) ； (D)．设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分=（）（A）；（B）；（C）；（D）0 ．11. 设，有一阶连续偏导数，则． (2.0分)12. 求函数的极值。
(10.0分)13. 设，，则. (2.0分)14.设直线与平面垂直，则， .(2.0分)15.过原点且垂直于平面的直线为__________________(2.0分)16.求的偏导数。
(8.0分)17. 证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。
(8.0分)18.设，证明：(1)；(2) ．19：判别级数的敛散性.(2.0分)20.求级数的收敛域以及它们在收敛域内的和函数.(10.0分)21.计算其中为曲面的下侧。
(10.0分)22. 计算． (8.0分)23.求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程.。
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。
)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。
为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。
具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。
我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。
然后求出极限即可。
具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。
+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。
+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。
大学高数真题及答案解析
大学高数真题及答案解析大学高等数学作为大学学习的一门重要基础课程，对于培养学生的数学思维和分析能力具有举足轻重的作用。
在学习过程中，做好真题练习是提高数学水平的一个重要方法。
本文将以大学高数的真题及答案解析为主题，深入探讨一些经典的问题。
第一部分：极限与导数大学高数的第一章是极限与导数。
极限是高数的基础概念之一，在此通过练习题来讲解。
1. 求极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$解析：可以通过洛必达法则求解，即对分子和分母同时求导。
得到：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1$$2. 求极限：$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$解析：这是一个经典的极限题。
可以用数学归纳法证明$n$趋近于无穷大时这个极限是$e$，即$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$3. 求极限：$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}$$解析：这是一个关于无穷大指数的极限题。
可以用自然对数的特性来解答，即$$\lim_{x \to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x \to\infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}$$然后再用洛必达法则求解，得到：$$\lim_{x \to \infty}{e^{\frac{\ln x}{x}}}=e^0=1$$第二部分：积分与微分方程大学高数的第二章是积分与微分方程。
积分是微分的逆运算，通过各种积分方法可以解决多种复杂问题。
1. 求积分：$$\int e^x \sin x dx$$解析：通过分部积分法可以求解这个积分，得到：$$\int e^x \sin x dx = e^x\sin x - \int e^x \cos x dx$$对于$\int e^x \cos x dx$，再次使用分部积分法可得：$$\int e^x \cos x dx = e^x\cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x\cos x + \int e^x \sin x dx$$将两个方程相加消去$\int e^x \sin x dx$，得到：$$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(e^x \sin x - e^x \cosx) + C$$2. 求解微分方程：$$y''-2y'+y=0$$解析：这是一个二阶齐次线性微分方程。
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经典高数题举例
1、函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的导数和二阶导数：
解题思路：对f(x) 分别求导即可。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 （一阶导数）
f''(x) = 6x + 4 （二阶导数）
2、函数f(x) = e^x * sin(x) 的导数：
解题思路：使用乘积法则和链式法则进行求导。
f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)
3、函数f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt 的原函数：
解题思路：对被积函数进行积分，然后求出不定积分的原函数。
f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt = [(1/3)t^3 + t^2]，其中x 是上限。
4、方程组的解：
2x + 3y = 10
4x - 5y = -7
解题思路：可以使用消元法或代入法来求解方程组。
解得x = 3，y = 2。
5、函数f(x) = ln(x) 在区间[1, e] 上的定积分：
解题思路：计算定积分的值。
∫[1, e] ln(x) dx = [x ln(x) - x]，在区间[1, e] 上。
6、曲线y = x^2 + 3x + 2 在点(1, 4) 处的切线方程：
解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用点斜式得到切线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 2x + 3，在点(1, 4) 处的斜率为5。
切线方程为y - 4 = 5(x - 1)，即y = 5x - 1。
7、函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5 的极值点和极值：
解题思路：计算函数的导数，并解方程找到导数为零的点。
f'(x) = 6x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2/3。
极值点为(2/3, f(2/3))。
极小值为f(2/3) = 19/3。
8、函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) 的周期和振幅：
解题思路：观察函数的性质，根据三角函数的性质得到周期和振幅。
函数的周期为2π，振幅为1。
9、曲线y = x^3 在点(1, 1) 处的法线方程：
解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用斜率的负倒数得到法线的斜率，再利用点斜式得到法线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 3x^2，在点(1, 1) 处的斜率为3。
法线的斜率为-1/3。
法线方程为y - 1 = (-1/3)(x - 1)，即y = (-1/3)x + 4/3。
10、函数f(x) = x^2 + 2x + 1 的零点和图像的对称轴：
解题思路：求出函数的零点和对称轴。
函数的零点为x = -1。
对称轴为x = -b/2a，即x = -1。