投影基础理论2直线的投影
机械工程图学-投影理论的基础知识(2)
Wang chenggang
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.2 正等轴测图的画法
图2-41 圆角正等轴测图的画法
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.2 正等轴测图的画法
【例2-19】根据支架的投影图，画出其正等轴测图。
图2-43 支架正等轴测图的画法
轴间角 ∠X1O1Z1=∠X1O1Y1=∠Y 1O1Z1=120º
图2-36 轴测图的形成
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.1 轴测图的基本概念
1. 轴间角和轴向伸缩系数
（1）轴间角
测轴之间的夹角 轴间角。
称为轴测轴。
称为
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.1 轴测图的基本概念
；
图2-44
轴向伸缩系数 p1 = r1 = 1， q1 = 0.5。
斜二等轴测图的轴间角、轴向伸缩系数和画法
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.3 斜二等轴测图的画法
2. 斜二等轴测图的画法 使形体上形状复杂的一面平行于X1O1Z1面（V面）。 沿O1Y1轴方向的长度应取形体上相应长度的一半。
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2.4 轴测图及其他投影图简介—2.4.1 轴测图的基本概念
2.4.1 轴测图的基本概念
将物体连同其参考直角坐标系、沿不平行于任一坐标面的方向，用 平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的具有立体感的图形。
空间中的线相对三个基本投影面的位置关系
一、概述空间中的线与三个基本投影面的位置关系，在几何学中是一个重要的研究课题。
通过对线与基本投影面的位置关系进行分析，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
本文将从理论和实例两个方面对此问题进行探讨，旨在为读者提供更清晰、全面的认识。
二、线与基本投影面的概念我们需要了解线与基本投影面的基本概念。
在空间几何学中，基本投影面通常指平行于投影平面的三个相互垂直的面，即水平投影面、左斜投影面和右斜投影面。
而线是空间中一维的几何图形，由无数个点组成，是空间中的一种基本要素。
三、线与不同基本投影面的位置关系1. 线与水平投影面的位置关系首先来看线与水平投影面的位置关系。
当一条线与水平投影面平行时，它在该投影面上的投影长度为0；当线与水平投影面相交时，其投影长度大于0；当线与水平投影面垂直时，它在该投影面上的投影长度最大。
2. 线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系接下来，我们来分析线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系。
当一条线与左斜投影面或右斜投影面平行时，其在该投影面上的投影长度也为0；当线与左斜投影面或右斜投影面相交时，其投影长度大于0；当线与左斜投影面或右斜投影面垂直时，其在该投影面上的投影长度最大。
四、线与基本投影面位置关系的应用实例1. 实例一：平行线与水平投影面的位置关系假设有两条平行线AB和CD，它们与水平投影面的位置关系如何呢？根据前面的分析可知，当AB和CD与水平投影面平行时，它们在该投影面上的投影长度为0；当AB和CD与水平投影面相交时，其投影长度大于0。
通过实例分析可以进一步加深对线与基本投影面位置关系的理解。
2. 实例二：交叉线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系假设有两条交叉线EF和GH，它们与左斜投影面和右斜投影面的位置关系如何呢？根据前面的分析可知，当EF和GH与左斜投影面或右斜投影面平行时，它们在该投影面上的投影长度为0；当EF和GH与左斜投影面或右斜投影面相交时，其投影长度大于0。
第3章 投影基础
例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 投影。 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
b
O
YW
YH
§3.2.2
一、直线
b′
直线的投影
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-18 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个 投影面平行线：
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
O
d
d k l2 l1
k
c
图2-26 求直线上点的投影
c
例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
[例3] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问 M点是否在直线上？
Z
解：分析：AB为侧 平线，M在直线上 ，必在直线AB的同 面投影上，并满足 定比规律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
1.平面内取点
Z
b′ e′ a′ c′
X
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
图2-39 平面内取点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
2.平面内取线
Z
a′ c′ m′ 1′ b′ c n 2 a 1 b
YH
a″ n′ 2′
a′
(a′)b′
机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个 投影面的平面。
必然同时垂 直于另外两个投 影面！
图2-26 投影面平行面的立体图
投影的基本知识
投影的基本知识在绪论中我们已经讲了，工程图样是根据投影理论绘制出来的。
那么，什么是投影呢？物体在灯光或日光的照射下产生影子，这是生活中常见的现象，请大家看图。
一、投影的概念如图a，三角板在灯光的照射下在桌面上产生影子，可以看出，影子与物体本身的形状有一定的几何关系，人们将这种自然现象加以科学的抽象得出投影法。
如图b,将光源抽象为一点S，称为投影中心，投影中心与物体上各点（A、B、C）的投影连线（SAa、SBb、SCc）称为投影线，接受投影的面,称为投影面。
过物体上各点（A、B、C）的投影线与投影面的交点称为这些点的投影。
投影分为中心投影和平行投影两大类。
对于这个图，所有投射线都交于投影中心点S，这样的投影称为中心投影。
当把投影中心移到无穷远处时，所有的投影线都互相平行，请大家看图，这样的投影称为平行投影。
根据投影线与投影面是否垂直，平行投影又分为斜投影和正投影两种。
当投影线倾斜与投影面时，称斜投影；投影线垂直与投影面时，称正投影。
工程图样一般都是采用正投影法绘制的，正投影法是本课程的研究重点。
今后若不特殊说明，都是指正投影。
请大家看图：这是空间点A，与投影面H，要作出空间点A在H面上的正投影，就要过空间点A作H面的垂线，垂线与H面的交点就是空间点A在H面上的投影。
要作直线在H面上的投影，只要分别作出直线两端点在H面上的投影，连线即可。
同理可作出平面图形的投影。
二、正投影的基本性质1．真实性当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。
当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。
由此我们可得出：平行与投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。
2．积聚性当直线垂直于投影面时，过直线上所有点的投影线都与直线本身重合，因此与投影面只有一个交点，即直线的投影积聚成一点。
第章投影理论基础
Z
ab
ab
z a
b
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y b
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
四川农业大学农机系
工程制图（侧机械垂方向线）— 垂直于侧面投影面的直第线2章 投影基础
Z
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
X
O
a
a
bY
b YH
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
两个投影面都倾斜。 投影面垂直线 垂直于某一投影面，对另外
两个投影面都平行。
四川农业大学农机系
工程制图（直机线械方的向）投影（续）
第2章 投影基础
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
Y
X
O
b
b A
a
a
Y
a
Y
空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某 一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
四川农业大学农机系
b
c a
X
c a
O
b
四川农业大学农机系
工程例制6图（已机知械点方向C在）线段AB上，求点C的正面投影。 第2章 投影基础
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c
正投影法的基本概念与基本理论
请你带着一个重要的问题来学习本章
投射中心 (即光源)
物体
投影面
一、中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大
小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
二、平行投影法
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行
1. 斜角投影 法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
2.直角（正）投影法
即:正投影法
正投影法广泛应用是由于：
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
正投影法的投影特性:
C
A
cB
a b
E C
A
F
B
a
c
e（f）
b
实形性
积聚性
C A
B
b ac
类似形
1.直线、平面平行于投影面，投影反映实长或实形， 称为实形性。
2.直线、平面垂直于投影面，投影成为一点或一直线， 称为积聚性。
①画各图的基准线
③②按按V尺型寸槽画的原尺形寸体画的“轮V”廓型线槽的投 影 ④检查，擦去多余的线 ⑤按图线的规格加深和加粗
例题2
在投影图中标注立体模型图中指定的平面和直线的投影，并回答相应问题
1.直线AB在H面的投影反映了正投影法的
积投聚影性特性；
2.直线AB在V、W面的投影反映了正投影法的 实形性投影特性；
左左
下右右
后后
前前 下
X 不下下按规长定位置配置的投O影下要下标W注宽
按规定长位置配置O投O 影不标注
后
宽
左后后
右
YW YYWW
《机械制图》教案——第二章-1 正投影理论基础
第二章正投影理论基础教学目的要求：1平行投影的性质.2正投影图的概念.本节教学目标：了解投影法的基本概念，正确理解正投影法的投影特性，能绘制简单体的三视图。
重点：投影法的基本概念，理解投影特征。
平行投影的性质.难点：绘制简单体三视图。
引入：空间想象能力的培养是学好本篇内容的关键所在，同学们在学习本篇内容的时候一定要多思多想，探讨三视图的形成原理，总结出三视图绘图的基本方法，一定要不断培养自己的空间想象能力，将空间分析贯穿于本篇的学习之中，贯穿于整个机械制图课程的学习之中。
学时：0.5§1投影法1.1中心投影法一、投影法的基本概念投影：光线通过物体产生影子的现象。
（举例）投影法：就是一组射线通过物体蛇向指定平面上而得到图形的方法。
三要素：投影中心、投影线、投影面。
二、投影法的种类和特征1.中心投影法：投射线汇交于一点的投影方法。
（P30图2-2）特点：投影比实物大，立体感强。
（教师板书）适用：外观图、美术图、照相等。
2.平行投影法：投射线相互平行的投影方法。
（P30图2-3、2-4）（1）斜投影法：在平行投影法中，投射线与投影面倾斜时的投影。
（2）正投影法：在平行投影法中，投射线与投影面垂直时的投影。
3.平行投影的基本特征同素性、从属性不变、等比性、平行性、类似性、实形性、集聚性。
特点：①当空间直线或平面平行于投影面时，投影面上得到的右影反映直线的实长或平面的实形，具有真实性。
②当空间直线或平面垂直于投影面时，在投影面上得到的投影是：直线积聚为一点，平面积聚为一直线，即具有积聚性。
③作图方便、度量性好。
适用：广泛应用于机械制图中。
三、三视图的形成及投影规律1.三投影面的形成建立三面投影体系：为了表达物体的总体形状，通常采用互相垂直的三个投影面，建立一个三投影面体系；正投影面，用 V 表示；水平投影面，用 H表示；侧投影面，用 W表示。
三个投影面的交线 OX 、OY 、OZ称为投影轴（简称 X 、Y、Z轴）。