投影理论基础

3.两直线交叉
交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线 的规律。 [例2-6] 判断两直线AB和CD的相对位置。 [例2-7] 判断两直线ⅠⅡ和ⅢⅣ的相对位置。 4.两直线垂直 直角投影定理： 若两直线垂直且其一直线平行于某投影面，则它
们在该投影面上的投影仍然垂直。（证明略）
O
图2-27 平行两直线
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ
O
图2-38
两平面平行
O
图2-39
两平面相交
O
图2-40
两平面垂直
§2-3 回转立体的构形及投影表示
一、概述 二 、圆柱的构形命令及投影 三、圆锥的构形命令及投影 四、圆球的构形命令及投影
一、概述
（一）回转体（面）的形成 （二）有关术语 （三）回转体的构形方法（转AutoCAD） （四）回转面的构形方法（转AutoCAD)
（五）表面上定点
1.纬圆法 2.素线法
（二）圆锥的形成
Ⅰ Ⅱ
图2-44
圆锥的投影
已知圆锥表面上点M及N的 正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
m
(n ) (n )
m
n m
图2-45
在圆锥表面上定点
四、圆球的构形命令及投影
（一）圆球的形成 （二）圆球的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 三投影均为圆，且直径等于球的直径。
O
图2-37
直线与平面垂直
(五）两平面的相对位置
两平面间的基本位置关系有平行及相交，而垂直则是相交关系 的特殊情况。 1.两平面平行
两平面平行的几何条件为：一平面上的相交两直线分别平行于 另一平面上的相交两直线。如果两平行平面垂直于某一投影面，则 它们在该投影面上的积聚投影也平行。
2.两平面相交 核心问题为求交线。 3.两平面垂直 两平面垂直的几何条件为：一平面过另一平面的垂线。如果两 平面垂直且同时垂直于某投影面，那么，它们在该投影面上的积聚 投影也垂直。
图2-7
积聚性
图2-8 保真性
图2-9 类似性
二、投影与制图
(一)概述 1. 物体的单面视图
2. 物体的三视图
（1）建立三面投影体系 （2）形成物体的三视图
（3）展开投影体系
（4）三视图的规范形式 (二)三视图的投影特点
[例2-1] 物体三视图的画法
投 影 方 向
结论:利用单面视图无法确定物体的空间形状
３.作锥顶的各投影。
４.添加各棱线的投影。
（a） 投影特点 图2-23 棱柱的投影图
（b） 绘图过程
（a） 投影特点 图2-24 棱锥的投影图
（b） 绘图过程
四、平面立体的投影分析
无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常 密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何要素的投影是为了更好地解决 立体的投影问题。以下将讨论几何要素间的相对投影特性。
2.直线与平面相交 核心问题为求交点。 3.直线与平面垂直 直线垂直于平面的几何条件为：直线同时垂直于平面内相交两 直线。如果直线与投影面的垂直面垂直，那么，在相应的投影面上， 两者的投影也垂直；而在其它投影面上，该直线的投影应平行于相 关的投影轴。
O
图2-35
直线与平面平行
O
图2-36
直线与平面相交
图2-11(e) 三视图的投影规律
图2-12
物体三视图的画法
三、点的投影
(一)点的三面投影的形成 (二）点的投影分析 (三）由点的二投影求第三投影 . [例2-2]“二求三”的方法 (四）空间点的重建方法
(五）相对坐标
. 相对坐标的定义 . [例2-3]利用相对坐标作图
(六）无轴投影
. 无轴投影的定义 . 无轴投影作图
① 侧 平 面
具有保真性
② 具有积聚性， 且 ⊥OX ③ 具有积聚性， 且 ⊥OX
§2-2 平面立体的构形及投影表示
一、AutoCAD2000的空间设计环境 (转AutoCAD)
二 、平面立体的构形
三、平面立体的投影
(转AutoCAD)
四、平面立体的投影分析
三、平面立体的投影
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为 主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图 中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
一般位置平面
平面 投影面的垂直面 投影面的平行面 特殊位置直线
正垂面
投影面的垂直面 铅垂面 侧垂面 投影面的平行面
正平面
水平面 侧垂面
O
O
O
O
O
图2-21 平面的投影表示
O
S
图2-22 一般位置平面的投影
表2-3 名称
投影面垂直面的投影特性
实
例
投
影
图
特
性
正 垂
① 具有积聚性， 且为一斜线。 ② 及 为缩小
Z V a′ y X ax H az x O ay a′ a″W X az O ax a
Z a″ YW
A z a
ay W ay YH
H
Y
(a)
图2-13 点的三面投影的形成
(b)
(二) 点的投影分析
1. 点的投影与坐标的关系 设空间点A的坐标为（x,y,z), 则有： a a′ a″ (x,y) (x,z) (y,z)
(二)投影法的分类
1. 中心投影法 2. 平行投影法
（1）斜投影法
（2）正投影法
S
投影线 空间点
投影中心
B
A
投影面
b
投影
a
图2-2 投影法的概念
S
A
D B C
d
a
b
c
图2-3
中心投影法
A
D
B
a d
C
A
D
B
d
C
b
c
a
b
c
斜投影法 图2-4 平行投影法
正投影法
Ⅱ Ⅰ
图2-5
从属性
图2-6 平行性
（a） 图2-25 直线上点的投影
（b）
结论：
点K不属于AB直线
图2-26
判断点是否属于直线
(二）两直线的相对位置
两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉（异面），而垂直则是内含于基 本关系中的一种特殊情况。 1.两直线平行 平行两直线的同面投影均相互平行。 2.两直线相交 相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规 律。
(一)棱柱的投影 棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复 合矩形。 绘图步骤： １.画投影图的对称线和中心线（如果有的话）。 ２.画底面的各投影。 ３.添加棱线的各投影。 ( 二)棱锥的投影 棱锥具有这样的投影特点：一个投影为复合多边形，而其余两投影则为三角形或 复合三角形。 绘图步骤： １.画投影图的对称线及中心线。 ２.画锥底的各投影。
（一）圆柱的形成
Ⅱ
Ⅰ
图2-42
圆柱的投影
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。
图2-43 在圆柱表面上定点
三、圆锥的构形命令及投影
（一）圆锥的形成 （二）圆锥的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 一个投影为圆，其余二投影均为等腰三角形。
（四）投影绘制
一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆 投影，最后再绘制其它投影。
线示出）实质上并未起作用，若将其删除，即成无轴投影：
图2-18
无轴投影
试求出A、B、C各点的第三投影。
图2-19 无轴投影作图
四、直线的投影
（一）直线投影的确定 一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而 只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其 同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。 （二）直线的分类及其投影特性 一般位置直线 直线 投影面的平行线 投影面的垂直线 正平线 投影面的平行线 水平线 侧平线 投影面的垂直线 正垂线 铅垂线 侧垂线 特殊位置直线
图2-10 物体的单面视图
V W
H
V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面
图2-11(a)
建立三面投影体系
V
W
H
图2-11(b)
形成物体的三视图
V
W
注:投影面无限大,
H
应删除其边线
图2-11(c)
展开投影体系
图2-11(d)
物体的三视图
左 上
右 高
后
前 上 下
下 长
宽
后
宽 前 左 右
2. 点的投影规律 a′a″ ⊥ a a′ ⊥ OZ OX
aax ＝
aza″
(三) 由点的二投影求第三投影
1. 点的三投影之间的坐标关系
a′(x,z)
a″(y,z)
a(x,y)
2. “二求三”方法
(1) 坐标法 (2) 45°辅助线法
O
O
(a) 坐标法
图2-14 “二求三”的方法
(b) 45°辅助线法
O
图2-33
平面上的直线和点
已知直线MN属于平 面ABC，求MN的正面 投影m′n′；判断点 K是否属于平面ABC。
O
K ∈ AB
图2-34
平面上的点、线的作图及判断
(四）直线与平面的相对位置
直线与平面间的基本位置关系有平行和相交，而垂直又是相交 的特殊情况。 1.直线与平面平行
直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如 果直线与投影面的垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的 投影也平行。