方程的近似解
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
二分法求方程近似解
(2)若f(a)f(b) < 0 ，则令b=0（此零点 x0 (a,c)）; (3)若f(c)f(b) < 0，则令a=0（此时零点x0 (c,b)）.
4．判断是否达到精确度 ε ：即若a - b < ε ，则得
到零点 近似值a(或b)；否则重复步骤2-4．
取x=-0.875，计算f(-0.875)≈0.39>0 取x=-0.9375，计算f(-0.9375)≈-0.28<0
此时 | (0.9375) (0.875) | 0.0625 0.1
∴ 原方程的近似解取为-0.9375
课堂小结
1.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
二分法的实质就是将函数零点所在的区间 不断地一分为二，使新得到的区间不断变小， 两个端点逐步逼近零点．
同理可得
x0 (2.5, 2.625), x0 (2.5625, 2.625) x0 (2.5625, 2.59375), x0 (2.578125, 2.59375) x0 (2.5859375, 2.59375).由于 2.5859375 - 2.59375 = 0.0078125 < 0.01.
从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点. 现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故 障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多 少__2_次．
1
2
3
4
5
第2章方程的近似解法
第二章 方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。
当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。
对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
法、迭代法、牛顿法及割线法。
这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。
也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定 的一个初始步长h 来增值。
令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。
在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方 程的根*x 。
(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。
这说明区间［n x , 1n x +］内无根。
(3) f(n x )和f(1n x +)异号，f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］ 一定有根。
也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。
下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)n x ，作为*x 更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。
此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。
n x 或1n x +就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.2—1例1 用增值寻根法求方程f(x)=324x x +-10=0的有根区间。
第五章-§1-方程解的存在性及方程的近似解高中数学必修第一册北师大版
B.1
)
C.2
D.3
【解析】 = − 1 + 1 ，令 − 1 ( + 1) = 0，解得 = 0或 = 1或
= −1,即函数的零点为−1,0,1，共3个.
例1-3 (2024·北京市顺义区期末)“ < 1”是“函数 = 2 + + 有零点”的( C
)
知识点2 函数的零点存在定理
例2-4 若函数 的图象在上连续不断，且满足 0 < 0， 1 > 0， 2 > 0，
则下列说法正确的是( C
)
A. 在区间 0,1 内一定有零点，在区间 1,2 内一定没有零点
B. 在区间 0,1 内一定没有零点，在区间 1,2 内一定有零点
则−0 一定是下列哪个函数的零点?( C
A. = − e − 1
)
B. = e− + 1
C. = e − 1
D. = e + 1
【解析】由题可得 0 + e0 = 0 ①，即 0 = −e0 ,
又 是奇函数，则由①可得− −0 + e0 = 0,
要使精确度为0.1，
1
则
2
≤ 0.1，即2 ≥ 10，
∴ ≥ 4，且 ∈ + ，
故对区间 1,2 至少二等分的次数为4.
方法帮|关键能力构建
题型1 求函数的零点
例9 已知函数 = 2 + + 的零点是−3和1,则函数 = log 2 + 的零点
2
是___.
可少的要素）
所以函数 只有一个零点0 ,又
1
2
方程的近似解
方程的近似解大家好，我今天要谈论的是“方程的近似解”。
令()为有限多元函数，求解()=0的根，称为求解方程。
求解方程的方法很多，但它们能够准确求得根却不多。
在实际工作中，很多时候我们需要寻找近似解。
近似解指的是某个方程的接近解，但不完全等于0。
近似解的意义在于它们比根更容易求得，但仍可以用于算法的一些计算和应用。
通常来说，要找到近似解，就需要定义某个误差量来度量它们之间的差异。
在具体应用中，我们可以将误差量作为近似解的公式来计算。
以下是一些常用的近似解求取方式：（1）平方根法：平方根法是其中一种最古老的方法，可以用来计算一个方程的近似解。
它使用迭代法求出方程的近似解，直到解收敛为偶函数为止。
（2）牛顿法：牛顿法是另一种比较古老的方法，它使用多项式近似函数和偏导数来对方程求解。
它最初是由牛顿发明的，后来被改进。
牛顿法可用来计算一个特定方程的近似解，但它也有其缺点，即在特定情况下，它可能无法收敛到解。
（3）梯度下降法：梯度下降法是一种非常流行的数值方法，它可以用来求解一个多变量函数的极小值。
它使用步长来移动步长，以便在每个步骤上求出一个近似解。
该方法也有一定的局限性，它有可能陷入局部最小值。
（4）拟牛顿法：拟牛顿法是一种近似求解方程的近似方法，它使用迭代法更新解，直到解收敛到某个精度为止。
它的优点在于它的执行速度很快，而且可以在高精度下求得一个近似解。
以上就是关于求取方程的近似解的介绍。
有了这些算法，我们可以更容易地求出近似解，让方程更容易求解。
它们可以帮助我们更快地解决一些复杂的数值问题。
在实际应用中，我们还可以组合使用这些方法，在一定精度范围内，以更快的速度解决一些复杂的数值问题。
总之，方程的近似解对于许多数值计算问题来说是非常有用的，近似解的求取方法也有很多，比如平方根法、牛顿法、梯度下降法和拟牛顿法等。
我们可以根据实际应用情况，灵活选择这些方法，帮助我们更快地解决这些问题。
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
THANKS
感谢观看
多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
迭代法求方程近似解
迭代法求方程近似解迭代法是一种求解方程近似解的方法，其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近方程的解。
在实际应用中，迭代法常常被用于求解非线性方程、微积分方程等问题。
迭代法的具体步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.根据某种迭代公式，计算出x1，x2，x3，...，xn；3.当满足一定的停止准则时，停止迭代，输出近似解xn。
其中，迭代公式是迭代法的核心，不同的迭代公式会对迭代的速度和精度产生不同的影响。
常见的迭代公式有牛顿迭代法、割线法、弦截法等。
以牛顿迭代法为例，其迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)其中，f(x)是方程的函数形式，f'(x)是f(x)的导数。
牛顿迭代法的基本思想是，通过不断用切线逼近曲线，找到曲线与x轴的交点，从而求得方程的解。
下面以求解方程x^2 - 2 = 0为例，演示牛顿迭代法的具体步骤：1.选取初始值x0 = 1；2.根据牛顿迭代公式，计算出x1，x2，x3，...，xn：x1 = x0 - (x0^2 - 2) / (2 * x0) = (x0 + 2 / x0) / 2 = 1.5x2 = x1 - (x1^2 - 2) / (2 * x1) = (x1 + 2 / x1) / 2 = 1.4167x3 = x2 - (x2^2 - 2) / (2 * x2) = (x2 + 2 / x2) / 2 = 1.4142...xn = 1.414213563.当满足一定的停止准则时，停止迭代，输出近似解xn。
在实际应用中，迭代法的停止准则通常有两种：一是设定迭代次数的上限，当迭代次数达到上限时，停止迭代；二是设定一个误差范围，当迭代过程中的误差小于该范围时，停止迭代。
总之，迭代法是一种简单而有效的求解方程近似解的方法，其优点是可以适用于各种类型的方程，并且可以通过调整迭代公式和停止准则来提高求解的精度和效率。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的迭代公式和停止准则，以达到最优的求解效果。
二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解
二分法是一种求解方程近似解的数值方法。
它的思路是将待求解
区间分成两个子区间，通过比较子区间端点函数值的符号确定新的待
求解区间，重复这个过程直到达到指定的精度要求。
二分法的优点是
收敛速度较快，但需要满足一定的前提条件，如函数在待求解区间内
单调、连续等。
具体实现时，可以先确定一个初始区间[a,b]，计算出函数在两
个端点的值f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则表示该区间
内没有实根，需要选择另一个区间；否则，可以将区间的中点
c=(a+b)/2计算出来，计算f(c)的符号，如果与f(a)的符号相同，则
舍弃前一半区间，否则舍弃后一半区间，将c作为新的端点继续迭代，直到满足精度要求为止。
二分法求解方程的近似解，在数学、物理等领域广泛应用，它不
仅在理论上有严格的证明，而且在计算机实现中也十分方便。
在实际
问题中，我们可以通过对待求解区间的缩减和符号比较来快速确定解
的位置，从而实现高效的计算。
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则区间 [a jh， a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
设 f ( x) C [a, b] ， f (a) f (b) 0， 且方程 f ( x) 0 只有
a b ， 取中点 一个根 (a , b)， 1 2
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法 若用一常数代替 f ( xn1 ) , 即用平行 线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式.
O
a
例如用 f ( x0 ) 代替 f ( xn1 ) , 得
f ( xn1 ) xn xn1 f ( x0 )
缺点: 逼近根的速度慢一些.
x0 x
[a , b] [ a1 , b1 ] [ an , bn ] 1n 作为 的近似根 ,
n 1 (b a ) 1 (b a ) 则误差满足 n 1 0 n 2 n 2 n 1
例1. 用二分法求方程
x 1.1x 0.9 x 1.4 0 的近似
3
2
实根时, 要使误差不超过 103 , 至少应对分区间多少次 ?
解: 设 f ( x) x 3 1.1x 2 0.9 x 1.4 ,则 f ( x) C (, )
( 5.67 0) f ( x) 3x 2 2.2 x 0.9 0 f ( x) 在 (, ) 单调递增, 又 f (0) 1.4 0 , f (1) 1.6 0
方程的近似解
一、根的隔离与二分法
二、牛顿切线法及其变形
三、一般迭代法 (补充)
一、根的隔离与二分法
则称[a, b]为 若方程 f ( x) 0 在[a, b] 内只有一个根 ， 其隔根区间. f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0 , [a, b] 为隔根区间 且 f ( x) 在 （a, b） 内严格单调 y y f ( x)
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn1 ) (n 1, 2 ,) xn xn1 f ( xn1 ) 称为牛顿迭代公式
a
牛顿法的误差估计:
y
由微分中值定理得
f ( xn ) f ( ) f ( )( xn )
f ( xn ) f ( ) 0 , xn f ( )
Oa b x 由 y f ( x)的草图估计隔根区间 ; y y ( x) y ( x) 将 f ( x) 0 转化为等价方程 ( x) ( x) 由 y ( x) , y ( x) 的草图估计隔根区间 . O a b x
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
a
x O
a
f0 f 0
bx
Oa
f0 f 0
b
x
牛顿切线法的基本思想:
用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 . 记纵坐标与 f ( x) 同号的端点为
y
( x0 , f ( x0 )) , 在此点作切线 , 其方程为 O x2 x1 x b 0 x y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
例如, 方程 x3 x 1 0 可转化为 x3 x 1 由图可见只有一个实根 (1, 1.5) ,
y
(1, 1.5)即为其隔根区间 .
(2) 逐步收索法
y x 1 O 1 2 x
yx
3
从区间[a , b] 的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0 , 1,; a ( j 1)h b)
2. 二分法
a 1 b 若 f (1 ) 0， 则 1 即为所求根 . a1 a b b1 1 1 则根 (a , 1 ) , 令 a1 a , b1 1 ; 若 f (a) f (1 ) 0， 否则 (1 , b) ,令 a1 1 , b1 b , 对新的隔根区间[ a1 , b1 ]重复以上步骤, 反复进行,得
(n 1, 2 ,)
优点: 避免每次计算 f ( xn1 )， 因而节省计算量.
(2) 割线法
y
为避免求导运算 , 用割线代替切线, x2 x3 f ( xn1 ) f ( xn2 ) 即用差商 代替 O x0 x1 x xn1 xn2
a
O
x2 x1 x b0 x
f ( xn1 ) xn xn1 f ( xn1 )
f ( xn ) 记 m min f ( x) 0 , 则得 xn [ a ,b ] m
说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与 f ( x) 异号的端点作
切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 [a , b]内.
f ( x) 满足 :
1) 在 [a, b] 上连续, f (a) f (b) 0 2) 在 [a, b] 上 f ( x) 及 f ( x) 不变号 方程 f ( x) 0 在 (a, b) 内有唯一的实根 .
有如下四种情况:
y
y
y
b
y
bx Oa O f0 f0 f 0 f 0
故该方程只有一个实根 , [0 , 1] 为其一个隔根区间 , 欲使
n1
必需 2 n 1 1000 , 即 n log 2 1000 1 8.96
2
3 ( 1 0 ) 10 n 1
1
可见只要对分区间9次 , 即可得满足要求的实根近似值 10
二、牛顿切线法及其变形