高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4
解析答案
→ (2)若 B( 3，－1)，求BA的坐标.
解 → → → BA＝OA－OB＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
解析答案
类型二 平面向量的坐标运算
例2 → → → 已知三点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点 P 满足AP＝AB＋λAC(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？ 答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
答案
思考2
根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标又如何表示？
→ → ＝105° ，OA＝a，AB＝b.四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标； 解 作AM⊥x轴于点M，
2 则 OM＝OA· cos 45° ＝4× 2 ＝2 2， 2 AM＝OA· sin 45° ＝4× 2 ＝2 2. ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2).
→ (1)求向量OA的坐标；
解 如图所示，利用三角函数的定义，可得：
y x → sin 60° ＝ ，cos 60° ＝ ，所以 y＝|OA|· sin 60° → → |OA| |OA| 3 1 → ＝4 3× 2 ＝6，x＝|OA|· cos 60° ＝4 3×2＝2 3，
→ ∴A(2 3，6)，∴OA＝(2 3，6).
达标检测
问题导学
知识点一 思考 平面向量的正交分解
新知探究 点点落实
如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相
垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.
把一个向量分解成
两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.
答案
原来向量的相应坐标
答案
→ ＝(x －x ，y －y )，即任意一 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 AB 2 1 2 1
个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1
重点难点 个个击破
如图，在直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45° ，∠OAB
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 解
已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，
10＝－2x＋3y， ∴ －4＝3x＋y，
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相
应坐标的差
向量数乘
λa＝
(λx1，λx2)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘
知识点二 思考
平面向量的坐标表示
如图，向量 i ， j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是
30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，向量a如何表示？
答 a＝2 3i＋2j.
答案
1.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i 、
j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只
第二章
§ 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
∵x
2
1
2
3
4
5
1.若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向 B.第二、三象限 D.第四象限
有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定， 我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
答案
知识点三 思考1
平面向量的坐标运算
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝
3 3 → → ，－ 3 BA＝－AB＝ 2 2 .
(3)求点B的坐标.
解
＝ 2
3 3 → → → OB＝OA＋AB＝(2 2，2 2)＋(－2，2 3) 3 3 3 2－2，2 2＋ 2 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
→ 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60° ，
4 B.3，3 2 C.3，3
D.(－2,12)
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 所以MP＝2MN，
→ 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，
故点 P 的坐标为(－2,11).
解析答案 返回
达标检测
量a对应的坐标位于( D ) A.第一、二象限 C.第三象限 解析
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
3 3 ∴C－2，2 3 3 → → 3，∴AB＝OC＝－2，2 3，
即
3 3 b＝－2，2
3 .
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标； 解
解析答案
类型三 平面向量坐标运算的应用 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
反思与感悟
解析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ案
跟踪训练 3
已知 M(2，－1)，N(0,5)，且点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝
2|PN|，则 P 点坐标为( A ) A.(－2,11)
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】 如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】 已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】 平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标 一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一 求向量的坐标【例1】 如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二 由向量共线求参数值【例2】 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三 平面向量的正交分解及坐标表示【例3】 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】 解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】 解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】 解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示aa高一数学
Image
12/9/2021
第二十三页，共二十三页。
单位向量 i =（1，0），j =（0，1） 0= (0,0)
第二十一页，共二十三页。
再见(zàijiàn)
第二十二页，共二十三页。
内容 总结 (nèiróng)
2.3.2 《平面向量的坐标表示》。（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底
No 来表达.。则n =（ ）。顶点D的坐标为( )。1、下列向量中不是(bù shi)单位向量的有（ ）。同向
|d-c|=1,求d.
第十七页，共二十三页。
附加 题: (fùjiā)
1.已知A（4， 5），B（1， 2）， C（12， 1），D(11,6),求AC与BD交 点的坐标.
第十八页，共二十三页。
2、已知点P、A （ 3， 7）、B （4， 6）， C （ 1， 2），是一个平行四边形的四个 顶点，求P的坐标.
第十六页，共二十三页。
课后作业 : (zuòyè)
1.已知[0,2),OP1(cos,sin)
OP2 (3cos,4sin),则| P1P2|的
取值范围是
2、平面内给定三个向量(xiàngliàng)a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题:
(1)求3a+b-2c; (2)求满足(mǎnzú)a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且
(2)两个向量相等的件 充是 要它 条们的 对应坐标相等。
高中数学《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算》课件新人教A版必修
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b,3a 4b 的坐标. 解：a b (2,1) (3,4) (1,5);
a b (2,1) (3,4) (5,3);
3a 4b 3(2,1) 4(3,4) (6,3) (12,16) (6,19).
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量 a ，均可 以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量 正交分解.
平面向量的坐标表示
思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),
D(5,7).设 OA i,OB j ，填空：
CD 2 i 3 j
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
a xi +y j
y
7
4 B
j o iA
y a
C
A
j o iB
D
C x
35
D
x
这样，平面内的任一向量 a 都可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.
小结：平面向量的坐标运算
Y
1. a OA xi y j （x, y）
A
y
Ox
X
且 a OA x2 y2
2. 若A (x1, y1)，B (x2 , y2 ) ，则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 AB (x2 x1, y2 y1)
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解
2.3.3 平面向量的坐标运算1.若向量a≠0，且a的起点不是原点O，则( )A.使得=a的点A不是唯一的B.不存在点B，使得-=aC.使得=-a的点C是存在的，也是唯一的D.作出=a，A与a的坐标也不一定相同【解析】选C.当O为坐标原点时，若=a，A唯一确定，且A的坐标与a的坐标相同，所以A，D都不正确.因为-=a，则=-a，故B不正确.又=-a，=a，故C正确.2.设向量a=(m，n)，b=(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b=(ms，nt).若向量p=(1，2)，p⊕q=(-3，4)，则向量q等于( )A.(-3，2)B.(3，-2)C.(-3，-2)D.(3，2)【解析】选A.设向量q=(x，y)，p⊕q=(x，2y)=(-3，4)，所以x=-3，y=2，故向量q=(-3，2).3.若a+b=(1，3)，a-b=(3，5)，则a= ，b= .【解析】由解得答案：(2，4) (-1，-1)4.已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|=4，则a的坐标为.【解析】设a=(x，y)，则x=4c os30°=2，y=4s i n30°=2，故a=(2，2).答案：(2，2)5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t，求：(1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值？若不能，请说明理由.【解析】设P(x，y)，则由=+t得，(x，y)=(1，2)+t(3，3)=(3t+1，3t+2).(1)当3t+2=0，即t=-时，点P在x轴上；当3t+1=0，即t=-时，点P在y轴上；当即-<t<-时，点P在第二象限.(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则=，即(3t+1，3t+2)=(3，3)，无解，故四边形OABP不能成为平行四边形.。
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.2 平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.3 平⾯向量的坐标运算课标要求1.理解平⾯向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平⾯向量的坐标运算,能准确运⽤向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进⾏有关的运算. 重点:(1)平⾯向量的坐标表⽰;(2)平⾯向量的坐标运算.难点:对平⾯向量的坐标表⽰的理解.想⼀想(1)实例中的⼒和速度都是既有⼤⼩,⼜有⽅向的量,类⽐⼒和速度的分解,⼀向量能否⽤两个不共线的向量表⽰?(能,依据是平⾯向量基本定理)(2)平⾯内任⼀向量能否⽤互相垂直的两向量表⽰?(能,互相垂直的两向量可以作为⼀组基底)知识探究——⾃主梳理思考辨析1.平⾯向量的正交分解把⼀个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平⾯向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中,分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平⾯内的⼀个向量a,由平⾯向量基本定理可知,有且只有⼀对实数x、y,使得a=x i+yj,我们把有序数对叫做向量a 的坐标,记作a= ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).思考1:在平⾯直⾓坐标系中,以原点为起点的向量OA的坐标与终点A的坐标⼀致吗?(⼀致,都是(x,y))3.平⾯向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=(λx1,λy1)(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于⽤这个实数乘原来向量的相应坐标.(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=OB-OA =(x 2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).即⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.思考2:若AB=CD,则这两向量的坐标相等吗?两向量的具体位置相同吗?(若AB=CD,则这两向量的坐标必相等,但它们的具体位置,即起点、终点不⼀定相同,因为向量可以平⾏移动)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量的坐标表⽰【例1】已知O是坐标原点,点A在第⼀象限,|OA,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:如图所⽰,利⽤三⾓函数的定义,可得sin 60°=yOA,cos 60°=xOA,所以y=|OA|2sin 60°=6,x=|OA |2cos 60°12∴,6),∴OA题后反思始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.⼀般可以借助三⾓函数的定义来确定点的坐标,此时需明确点所在的象限,点到原点的距离,点与原点的连线与x 轴正⽅向的夹⾓.跟踪训练11:如图所⽰,正⽅形ABCD 的中⼼为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别⽤基底i ,j 表⽰OA ,OB ,OC , CD ,BC ,并求出它们的坐标.解:由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA =-i -j =(-1,-1), OB =i -j =(1,-1), OC =i +j =(1,1),|CD|=|CB|=2且CD 、CB 分别与x 轴、y 轴平⾏, 所以CD =-2i =(-2,0),BC =2j =(0,2).题型⼆平⾯向量的坐标运算【例2】设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. 解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).题后反思向量的坐标运算的依据是加、减、数乘运算法则.向量的坐标运算可以类⽐实数的运算进⾏,也可以先化简再计算.【例1】已知向量a =(x 2+y 2,xy),b =(5,2),若a =b ,则x+y= .解析:因为a =b ,所以225,2.x y xy ?+=?=?解得1,2,x y =??=?或2,1,x y =??=?或1,2,x y =-??=-?或2,1.x y =-??=-? 所以x+y=3或x+y=-3.答案:±3【例2】如图,已知边长为12的等边△ABC 中,点D 是边AC 上靠近点A 的边AC 的⼀个三等分点,求点D 和BD 的坐标.解:依题意可得),B(-6,0),C(6,0).设点D 的坐标为(x,y),则CD =(x-6,y),CA因为CD =23CA ,所以(x-6,y)=23 所以64,x y -=-=?? 解得2,x y ==??所以,点D 的坐标为),所以BD达标检测——反馈矫正及时总结1.若向量AB =(1,2),BC =(3,4),则AC 等于( A )(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)解析:本⼩题主要考查向量加法的坐标运算,由AC =AB +BC =(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A.2.(2013年⾼考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同⽅向的单位向量为( A )(A)（35,-45） (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35）解析:AB =(3,-4),则与AB 同⽅向的单位向量为AB AB =15(3,-4)=（ 35,- 45）.故选A. 3.在平⾯直⾓坐标系中,|a |=2014,a 与x 轴⾮负半轴的夹⾓为π3,a 始点与原点重合,终点在第⼀象限.则向量a 的坐标是( C )) ,1007)解析:设a =(x,y),则x=2014cosπ3=1007,y=2014sin π3故a 故选C. 4.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= . 解析:易得AB =(2,0),由a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等得 232,340,x x x +=??--=?∴x=-1.答案:-12.3.4 平⾯向量共线的坐标表⽰课标要求1.通过实例了解如何⽤坐标表⽰两个共线向量.2.理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件.3.会根据平⾯向量的坐标判断向量是否共线.重点难点重点:(1)⽤坐标表⽰两向量共线.(2)根据平⾯向量的坐标判断向量共线.难点:根据平⾯向量的坐标判断向量共线.想⼀想 a ∥b 的充要条件是a =λb (b ≠0),该条件能否⽤坐标表⽰?(能)知识探究——⾃主梳理思考辨析平⾯向量共线的坐标表⽰设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当时,a ∥b .思考:如何记忆平⾯向量共线的坐标表⽰?(坐标交叉相乘,差为零)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量共线的判定【例1】已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB 与CD 是否共线?如果共线,它们的⽅向相同还是相反? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)3(-6)-334=0,∴AB ,CD 共线,⼜CD =-2AB ,∴AB ,CD ⽅向相反,综上,AB 与CD 共线且⽅向相反.题后反思判定两向量共线的常⽤⽅法:(1)向量共线定理,由b =λa (a ≠0)得a ∥b .(2)向量共线的坐标表⽰:对a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由x 1y 2-x 2y 1=0得a ∥b . 跟踪训练11:下列各组向量中平⾏的是 (填序号).①a =(1,2),b =(-2,-4)②c =(1,0),d =(-3,0)③e =(2,3),f =(0,1)④g =(3,5),h =(24,40)解析:①中因为b =-2a ,所以b 与a 共线;②中因为d =-3c ,所以d 与c 共线;③因为e =(2,3),f =(0,1),231-330=2≠0,所以e 与f 不共线;④因为g =(3,5),h =(24,40),所以g =18h ,所以g 与h 共线. 答案:①②④题型⼆由向量共线求参数的值【例2】若向量a =(1,2),b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,求向量b 的坐标.名师导引:先由向量坐标的线性运算求出向量u ,v 的坐标,再利⽤两向量平⾏的坐标表⽰求出x,从⽽写出向量b 的坐标.解:法⼀ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由u ∥v ,则⼀定存在λ∈R ,使u =λv ,则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)()212,43,x x λλ?+=-??=??解得4,31.2x λ?==??所以b =（12,1）. 法⼆ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由向量平⾏的坐标表⽰,得3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=12.所以b =（12,1）. 题后反思解决由向量u ,v 共线求参数问题常有两种思路:(1)表⽰出向量u 、v 的坐标,设u =λv ,由相等向量的坐标表⽰列⽅程组求出参数.(2)表⽰出向量u 、v 的坐标,利⽤向量共线的坐标表⽰求参数值.题型三三点共线问题【例3】设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),求当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线.名师导引:由A 、B 、C 三点共线可知AB ∥AC .求出AB 、AC 的坐标.由向量共线的坐标表⽰求k 值. 解:法⼀ A 、B 、C 三点共线,即AB 、AC 共线,则存在实数λ,使得AB =λAC ,∵AB =OB -OA =(4-k,-7),AC =OC -OA =(10-k,k-12).∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即,4(10),7(12)k k k λλ-=-??-=-?解得k=-2或k=11. 法⼆由题意知AB 、AC 共线,∵AB =OB -OA =(4-k,-7), AC =OC -OA =(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,∴k 2-9k-22=0, 解得k=-2或k=11.题后反思 (1)三点共线问题的实质是向量共线,因此解决三点共线问题的关键是将其转化为向量共线问题.(2)证明三点共线的解题思路.先由三点确定两个向量,然后证明这两向量共线,最后说明这两向量有⼀个公共点.跟踪训练31:已知OA =(3,4),OB =(7,12), OC =(9,16),求证:点A 、B 、C 共线.证明:AB =OB - OA =(4,8),AC =OC -OA=(6,12),∵4312-836=0,∴AB与AC共线.⼜∵AB与AC有公共点A,∴点A、B、C共线.备选例题【例1】如图所⽰,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0, ①⼜CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0, ②解①②组成的⽅程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1b,问是否存在正实数k,t,使x∥y,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:因为a=(1,2),b=(-2,1),所以x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=-1ka+1tb达标检测——反馈矫正及时总结1.下列满⾜平⾏的⼀组向量是( A)(A)a=(1,-4),b=(503,-2012)(B)a=(2,3),b=(4,-6)(C)a=(1,2),b=(-1006,2012)(D)a=(-1,4),b=(3,12)2.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( B)(A)x=-1 (B)x=3 (C)x=92(D)x=51解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),由三点P、A、B共线知PA∥PB,所以-10+5(x-1)=0,x=3.故选B.3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则2a+3b= .解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.∴b=(6,3).∴2a+3b=(8,4)+(18,9)=(26,13).答案:(26,13)4.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且⽅向相反,那么k的值为. 解析:由a∥b知k(k+1)-6=0,得k=-3或k=2.当k=-3时a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,a与b共线且⽅向相反.当k=2时,a=(2,1),b=(6,3)=3a,显然a、b共线且⽅向相同,不符合题意舍去.答案:-3课堂⼩结1.已知向量a=(x1),b=(x2,y2).若a∥b,则(1)a=λb(b≠0).(2)x1y2-x2y1=0.2.向量共线的坐标表⽰有两⽅⾯应⽤(1)由两个向量的坐标表⽰判定两向量共线或联系平⾯⼏何知识证明三点共线或直线平⾏等.(2)由两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹⽅程,要注意⽅程思想的应⽤,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列⽅程(组)的依据.。