高等数学D 空间直角坐标系
高等数学(解析几何)图形
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
.
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
.
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
高等数学解析几何
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2=|MB| 2，
即
(04) 2(01) 2(z7) 2=(30) 2(50) 2(2z) 2．
解之得
z = 14 ， 9
所以，所求的点为M(0, 0, 14 )． 9
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的方程、研究曲面的两个基本问题 球面的方程
作一个以M 1和M 2为对角线
z
顶点的长方体，使其三个相邻
M2
的面分别平行于三个坐标面． 与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，
M1
P
O y1
Qy
y2
x
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
都不满足方程F(x，y，z)=0， 那么，方程F(x，y，z)=0就叫做 曲面S的方程，而曲面S就叫做方 x 程F(x，y，z)=0的图形．
z F(x，y，z )=0
M(x，y，z ) S
O
y
例1 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么
条可以确定一个平面，这样
z
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
O
y
x
坐标面：
三条坐标轴中的任意两
条可以确定一个平面，这样
z
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标
面是 yOz 面和zOx面.
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
大学高等数学知识点框架
大学高等数学知识点框架
一、微积分
1.导数与微分
2.积分与不定积分
3.定积分与曲线下面积
4.微分方程
二、级数
1.数列与级数的概念
2.收敛与发散
3.数项级数
4.幂级数
三、微分方程
1.一阶微分方程
2.二阶线性齐次微分方程
3.二阶线性非齐次微分方程
4.变量分离法与齐次微分方程
四、空间解析几何
1.三维空间直角坐标系
2.平面与直线的方程
3.空间曲面与二次曲线
4.空间直线与平面的位置关系
五、多元函数微分学
1.多元函数的极限
2.偏导数与全微分
3.多元复合函数的求导法则
4.隐函数与参数方程的求导
六、重积分与曲线曲面积分
1.重积分的概念与性质
2.二重积分的计算
3.三重积分的计算
4.曲线曲面积分的计算
七、常微分方程
1.一阶常微分方程
2.二阶常微分方程
3.高阶常微分方程
4.常微分方程的解析解与数值解
八、线性代数
1.线性方程组与矩阵
2.矩阵的运算与性质
3.矩阵的秩与逆
4.特征值与特征向量
九、概率论与数理统计
1.基本概念与概率空间
2.随机变量及其分布律
3.多维随机变量与联合分布
4.参数估计与假设检验
以上是大学高等数学的主要知识点框架，涵盖了微积分、级数、微分方程、空间解析几何、多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、常微分方程、线性代数以及概率论与数理统计等内容。
通过深入学习这些知识点，可以建立起扎实的数学基础，为进一步学习相关学科打下坚实的基础。
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大学数学的一门基础课程，主要研究几何对象在空间中的性质和相互关系。
以下是大一空间解析几何的一些主要知识点总结，供参考学习：1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
空间中的点可以由它们在三个坐标轴上的坐标表示。
2. 点的坐标计算：在空间直角坐标系中，给定一个点P，可以通过测量与三个坐标轴的距离，计算出点P的坐标。
例如，点P在x轴上的坐标为x，点P在y轴上的坐标为y，点P在z轴上的坐标为z。
3. 点、线、面的方程：通过坐标计算，可以得到点、线、面的方程。
例如，对于点P(x, y, z)，点P的坐标就可以通过方程x = x，y = y，z = z来表示。
对于直线l，可以通过两点的坐标计算直线的方程。
对于平面，可以通过三点的坐标计算平面的方程。
4. 空间中的距离：空间中两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设点P(x1, y1, z1)和点Q(x2, y2, z2)为两点，它们之间的距离为d，表示为d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]。
5. 点、线的位置关系：在空间解析几何中，点和线的位置关系有几种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上等。
可以通过点和线的坐标来判断它们的位置关系。
6. 直线的方向向量和参数方程：在空间直角坐标系中，直线可以用方程式表示，其中的参数t表示直线上的任意一点P的位置。
直线的方向向量可以用一个行向量表示，例如，直线l可以表示为l：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中，(x0, y0, z0)表示直线上一点，(a, b, c)表示直线的方向向量。
7. 平面的法向量和一般方程：在空间直角坐标系中，平面可以用方程式表示。
平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为平面的法向量，D为常数。
第一节 空间直角坐标系
2.射线的方向叫做正向,其相 反方向则叫做负向.
z
5
4 3
2
1350 1 o
y
21131502 3 4 5
3 4
x5
3.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单 位长度为y轴（或z轴）的单位长度的
9
1、空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z， 那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
z (3)关于原点对称的点
M M/ (－1,2,－3)
3
o
1 2
x
y
M/
23
练 习3、 点 P (2，3 , 4) 关 于 坐 标 平 面xoy 的 对 称 点 是_________； 关 于 坐 标 平 面yoz 的 对 称 点 是_________； 关 于 坐 标 平 面zox 的 对 称 点 是_________， 关 于 坐 标x 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于 坐 标y 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于坐 标z 轴 的 对 称 点 是_____________； 关 于 坐 标 原 点O的 对 称 点 是___________。
24
例3、求点 M1 (4,1, 9) 到点 M2 (10, 1, 6) 的距离．
解： | M1M2 |
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(4 10)2 (1 1)2 (9 6)2
62 22 32 7.
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4）突变现象与突变数学—辉煌的第四乐章
a、突变现象 b、突变理论解释了所有不连续的、突变的现象 c、突变以奇点理论为其数学基础，运用拓扑学、结构稳定 性等数学工具，以形象而生动的模型来把握事物的量质 互变过程。
总结：精确数学主要应用在自然科学领域；
随机数学开始向社会科学渗透； 模糊数学则将成为思维科学中的数学工具； 突变理论则向各个领域渗透（经济、胚胎学）；
常用的实数集
R N Z Q
全体实数的集合； 全体自然数的集合； 全体整数的集合； 全体有理数的集合；
区间（常用的实数集）： 闭区间、开区间、半开区间和无穷区间；
x0 附近的所有点构成的集合（常用的实数集）： U ( x0 ) , U ( x0 , ) , ( x0 , x0 ) ; 点 x0 的邻域：
合奏出壮美的交响乐
10
第一章 实数系与几何学
一、实数系
自然数 N
减法
实数的绝对值
整数 Z 有理数 Q
实数系 R
除法
2
a a0 a a a 0
无理数
基本运算
勾股定理
1)
a 0;
a a ;
a a2 .
2) a a a .
N Z Q R
数学发展史研究
1、数学发展的进程； 2、数学规律的发展。
• 与数学的结合产生的边缘学科
5
6
1
数学发展纵横谈
数学发展的交响曲
数学这部交响曲有四个乐章组成：精确数学、随机数学、 模糊数学、突变数学。 数学按质分类：必然现象、或然现象、模糊现象、突变现 象。
2）或然现象（随机现象）与随机数学—第二乐章
a、随机现象是指事物的变化发展具有几种不同的可能性， 究竟何种结果，有随机性、偶然性。 b、随机数学主要包括概率论、随机过程理论、数理统计学。 c、随机数学与经典数学、自然科学、社会科学相互作用产 生出许多新的学科：平稳随机过程论、马尔科夫过程论、 多元统计分析、试验分析、统计生物学、统计医学等。
15
3
数学文化与数学教育
高等数学
朱慧敏
数学发展史 数学发展的应用和趋势 数学的社会需要 数学家的创新精神 数学科学的思想体系 数学的美学价值
1
2
科学大师在解决问题的过程中有如下共同点：
1）善于将一个实际问题经过合理简化，抽象成一个（数学） 模型； 2）在研究这个（数学）模型中，能将获得的理论结果来阐明 实际现象和实际意义； 3）能通过实践来检验和匡正理论模型，以便进一步改进和完 善之。
点 x0 的空心邻域： ( x0 , x0 ) \ { x0 } ;
( x0 , x0 ) , ( x0 , x0 ) .
13 14
二、数学归纳法
数学归纳法原理： 假设 P ( n) 是一个与自然数n 有关的数学命题，它满足下 面两个条件： 1）当n=1 时 P(n) 为真； 2）如 P(n) 对n=k 时为真，即可推出 P(n) 对n=k+1 也为真。 则 P(n) 对所有的自然数 n 都为真。
实数 R 的组成 实数系 R 的连续性
3)
ab a b .
4)
5)
a b ab . a a ab a b ; . b b
11
12
2
集合 一一对应： 如果对 A 中的任何一个元素都有 B 中的一 个确定的元素与之对应，并且 A 中的不同元素在 B 中的对应元素也不同；反之， B 中的任何一个元素都 有 A 中的元素与之对应，那么这种对应称为一一对应。 集合的表示 枚举法 描述法
1）必然现象与精确数学—激昂的第一乐章
①没有微积分就没有万有引力定律 ②早期具有代表性的数学模型 ③数学思想的两次重大转折： a、从算术到代数 b、从常量数学到变量数学
7 8
3）模糊现象与模糊数学—第三乐章
a、模糊现象是指客观事物界限不分明的量和性质，即不分 明现象。 b、模糊数学是用数量表示一个事物属于某个模糊概念的程 度，即隶属度，以此说明该事物能否包含在那个模糊概 念的论域中。 c、现在模糊数学应用领域相当广泛，产生了许多学科： 模糊信息、模糊控制、模糊规划与决策、模糊语言、 模糊逻辑等； d、模糊数学未来最重要的应用领域，在计算机模拟识别和 人工智能方面： 模糊智能家电，模糊控制地洗衣机、以模糊规则为基础 的照相机、模糊感应的空调等；模糊技术将红绿灯改造 得更灵活；航天航空中的火星探测器离不开模糊技术等 机器人足球赛中，模糊数学更是大显身手。
非数学专业的学生的学习数学的目的
合理
实际问题
数学模型
简化 理 论 阐明 研 究
实 际
检 验
实际解答
实际
理论结果
解决实际问题的途径
3
4
• 高等数学学习的重要性 • 谈
数学发展史告诉
1、数学家是普通人； 2、先人数学创造的思想、发现的能力。
• 数学研究的对象
现实世界的数量关系和空间关系