知识要点-空间直角坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系PPT课件
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
空间直角坐标系ppt课件
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
平面直角坐标系--定义、x轴、y轴、原点、象限
1 7.1.2(1)平面直角坐标系--定义、x 轴、y 轴、原点、象限
一．【知识要点】 1.在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
二．【经典例题】
1．点Ａ（－３，０）在 轴上，点Ｂ（－２，－３）在第 象限
3.点A(－2，1)是平面直角坐标系中的一点，则点A 在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 （ ） A (3,2) B (3,-2) C (-2,3) D (2,-3)
5．若点M （a+3，a ﹣2）在y 轴上，则点M 的坐标是________。
三．【题库】
【A 】
【B 】
1.已知：02)62(2=++-y x ，则A ),(y x 的坐标为（ ）
Ａ.（３，２）Ｂ.（３，－２）Ｃ.（－２，３）Ｄ.（－３，－２）
【C 】
【D 】
１. 已知，0=xy ，则点Ｐ),(y x 在坐标平面的位置是 .。
知识要点空间直角坐标系
知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。
它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。
在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。
假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。
空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。
其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。
2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。
它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。
3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。
分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。
4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。
5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。
在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。
向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。
2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。
若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。
3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。
设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系(92)
多面体的定义
由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。
多面体的面、棱和顶点
多面体的各个平面多边形叫做多面体的面；相邻两个面的 公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶 点。
多面体的分类
多面体按照它的面数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等； 也可以按照它的顶点数进行分类。
旋转体及其性质
旋转体的定义
对称式
$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$，其中$a,b,c$为 方向数，$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点。
参数式
$left{ begin{array}{l} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{array} right.$，其中$a,b,c$为方向数，$t$为参数。
向量的叉积
两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面，符合右手定 则。叉积的坐标可以通过计算两个向量的行列式得到。叉积的模等于两个向量模 的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的平面。
03
空间直线与平面方程
空间直线方程
一般式
$frac{x-x_1}{l}=frac{y-y_1}{m}=frac{z-z_1}{n}$，其中$l,m,n$ 为方向向量，$(x_1,y_1,z_1)$为直线上一点。
空间解析几何应用举例
机械制图中应用举例
确定物体位置
在机械制图中，空间直角坐标系可用于确定物体在三维空间中的位置，通过坐标值可以精 确地表示物体的位置。
描述物体形状
利用空间直角坐标系，可以方便地描述物体的形状和大小，如圆柱、圆锥等，进而进行精 确的机械设计和制造。
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空间直角坐标系
★知识梳理★
1.右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；
②已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：
沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法：
过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标
2、在轴上的点分别可以表示为，
在坐标平面，，内的点分别可以表示为;
3、点关于轴的对称点的坐标为
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于原点的对称点。
4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为
5．空间两点间的距离公式
已知空间两点，
则两点的距离为，
特殊地,点到原点的距离为;
5．以为球心,为半径的球面方程为
特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为
★重难点突破★
重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式
难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系
重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用
1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系
问题1：点到轴的距离为
[解析]借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为
2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
问题2：对于任意实数，求的最小值
[解析]在空间直角坐标系中，表示空间点到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点之间的线段长，所以的最小值为。
3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题
(1)判断两条相交直线是否垂直
(2)判断空间三点是否共线
(3)得到一些简单的空间轨迹方程
★热点考点题型探析★
考点1: 空间直角坐标系
题型1:认识空间直角坐标系
[例1 ]（1）在空间直角坐标系中，表示（）
A．轴上的点 B．过轴的平面
C．垂直于轴的平面 D．平行于轴的直线
（2）在空间直角坐标系中，方程表示
A．在坐标平面中，1，3象限的平分线 B．平行于轴的一条直线
C．经过轴的一个平面 D．平行于轴的一个平面
【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为1的点的集合
[解析]（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面
（2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合
【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系
(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。
如：
经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为
题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题
[例2 ] 点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐标为
【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系
[解析]因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,
又因点和关于平面对称, 所以点坐标为
【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为
【新题导练】
1．已知正四棱柱的顶点坐标分别为，，则的坐标为。
[解析]正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴，
的坐标为（2，2，5）
2．平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为
[解析]由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得
，
3．已知，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则（）A． B． C． D．
[解析]借助长方体来思考, 、、分别是三条面对角线的长度。
，选C
考点2：空间两点间的距离公式
题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题
[例3 ] 如图：已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
X
A
Y
B
O
Z
P
【解题思路】转化为距离问题，即证明
[解析]设，
对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，使得恒成立，
则
即，解得：
所以存在这样的点，当点为时，恒成立
【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。
此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。
【新题导练】
4．已知，当两点间距离取得最小值时，的值为（）
A．19 B． C． D．
[解析]
当时，取得最小值
5．已知球面，与点，则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是。
[解析]球心，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和3
6．已知三点，是否存在实数，使A、B、C共线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
[解析] ，
，
，
因为，所以，若三点共线，有或，
若，整理得：，此方程无解；
若，整理得：，此方程也无解。
所以不存在实数，使A、B、C共线。
★抢分频道★
基础巩固训练
1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将轴与轴，轴与轴所成的角画成（）
A． B． C． D．
解析：选B
2. 点在平面上的投影点的坐标是（）
A． B． C． D．
解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B
3. 三棱锥中，此三棱锥的体积为（）
A．1 B．2 C．3 D． 6
[解析] 两两垂直，
4．（2007山东济宁模拟）设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点，
则|AB|等于( )
A．10 B． C． D．38
[解析] A
点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,
5．（2007年湛江模拟）点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则=
[解析] ，，
6．正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是
[解析] 不共面，为正方体的一条对角线，，正方体的棱长为4，体积为64
综合提高训练
7．空间直角坐标系中，到坐标平面，，的距离分别为2，2，3的点有A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
解析：8个。
分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、
（-3，-2，-2）
8．（2007山东昌乐模拟）三角形的三个顶点的坐标为，则的形状为（）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] C
9．(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（）
A． B． C．3 D．
[解析]因为点B在平面内的直线上，故可设点B为，
所以，
所以当时，AB取得最小值，此时点B为。
10．如图，以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。
B
X
A
C
Y
D
Z
O
Q
P
（1）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，
探究的最小值；
（2）当点在对角线上运动，点为棱的中点时，
探究的最小值；
[解析]由已知，
（1）当点为对角线的中点时，点坐标为，
设，则，
当时，取到最小值为，此时为的中点。
（2）当点为棱的中点时，点的坐标为，设，则，，，所以点的坐标为，
所以，当，即为的中点时，取到最小值。