指数与对数运算及大小比较教案

指数、对数及其运算

知识点：

1．根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。

2．分数指数幂

规定： (1)零指数幂)0(10≠=a a

(2)负整数指数幂()10,n n a a n N a

-*=≠∈

(3)正分数指数幂)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>；

(4)负分数指数幂)1

0,,,1m n

m

n a a m n N n a

-*

==>∈> (5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

3．有理指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；

（2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

（4） a a n n =)( （5） 当n 是奇数时，a a n n =

当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)

0()0(||a a a a a a n n

4. 无理指数幂

一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

5．对数的概念

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）

，记作：N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式

两个重要对数：

○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；

○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

6. 对数式与指数式的互化

x N a =log ⇔ N a x =

对数式 ⇔ 指数式

对数底数 ← a → 幂底数

对数 ← x → 指数

真数 ← N → 幂

7. 对数的性质

（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零：01log =a ；

（3）底数的对数是1：1log =a a ；

（4）对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ；

（5）n a n a =log ．

8. 对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N M a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 9. 换底公式

a

b b

c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式可推导下面的结论

（1）对数的降幂公式 ： b m

n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log = “六法”比较指数幂大小

对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．

1．转化法

例1 比较1

2(322)-+与2

3

(21)-的大小． 解：∵22322(21)(21)-+=+=-，

∴11222(322)

[(21)]21---+=-=-． 又∵0211<-<，

∴函数(21)x y =-在定义域R 上是减函数．

∴2

321(21)-<-，即2

1

3

2(322)(21)-+<-． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．

２．图象法

例2 比较0.7a 与0.8a

的大小．

解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．

当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．

评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

3．媒介法

例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵13

1

3004215.6 5.61 4.1 4.1

03-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭， ∴13

134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭

． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．

４．作商法

例４ 比较a b a b 与b a

a b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b

>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b

>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．

5．作差法

例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a

-+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-

(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．

（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a

-->． 又∵1n a >，1m a

-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．

（2）当01a <<时，∵1m n a

-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a

->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．

综上所述，m m n n a a a a --+>+．

评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．

6．分类讨论法

例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．