指数与对数运算及大小比较教案
数学指数函数与对数函数的运算教案
数学指数函数与对数函数的运算教案本教案的目标是帮助学生理解并掌握数学指数函数和对数函数的运算规则。
通过本教案的学习，学生将能够正确地进行指数函数和对数函数之间的运算，提高数学运算的能力。
以下是本教案的教学内容：一、引言在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念和工具。
指数函数描述了指数增长的数学规律，而对数函数则是指数函数的逆运算。
理解和掌握指数函数和对数函数的运算规则对于解决实际问题和进一步深入学习数学都非常重要。
二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义：指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数，x为自变量。
2. 对数函数的定义：对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数，x为正实数。
三、指数函数与对数函数的基本性质1. 指数函数的性质：- a^0 = 1，任何实数的零次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，指数之间的乘法等于底数不变的加法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
- a^(-n) = 1/(a^n)，负指数等于倒数。
2. 对数函数的性质：- logₐ1 = 0，任何底数为正实数的对数1等于0。
- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
- logₐ(a^n) = n*logₐa，对数的乘方等于指数乘以对数底数。
- logₐ(1/a) = -logₐa，底数的倒数的对数等于对数的相反数。
四、指数函数与对数函数的运算规则1. 指数函数的运算规则：- a^m * a^n = a^(m+n)，指数相加等于底数不变的乘法。
- (a^m)/(a^n) = a^(m-n)，指数相减等于底数不变的除法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
2. 对数函数的运算规则：- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
高中数学教案 拓展视野6 指数、对数、幂大小比较的方法
指数、对数、幂大小比较的方法利用图象与性质比较大小比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用.例1若a＝(15)－0.3，b＝log52，c＝e－12，则()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.c＜b＜a解析：C结合指数函数y＝(15)x的图象易知a＝(15)－0.3＞1；结合对数函数y ＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52＜log55＝12；又c＝e－12＝1e∈(12，1)，所以b＜c＜a.故选C.尝试训练1设a＝5－0.7，b＝log2312，c＝lg34，则这三个数之间的大小关系是()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.b＞a＞c解析：D结合函数y＝5x，y＝log23x，y＝lg x的图象(图略)易知0＜a＝5－0.7＜50＝1，b＝log2312＞log2323＝1，c＝lg34＜lg1＝0，所以b＞a＞c.故选D.三元变量的比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解.例2设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系不可能是()A.x2＜y3＜z5B.y3＜x2＜z5C.x 2＝y3＝z5D.z5＜y3＜x2解析：B法一：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，此时选项C正确.取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，此时选项A正确.取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，此时选项D正确.综上，利用排除法可知本题应选B.法二：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以x2＝2k－1，y3＝3k－1，z5＝5k－1.又易知k＞0，接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k＝1，则x2＝1，y3＝1，z5＝1，所以x2＝y3＝z5，所以选项C有可能正确.若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以z5＜y3＜x2，所以选项D有可能正确.若k＞1，则根据函数f(t)＝t k－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以x2＜y3＜z5，所以选项A有可能正确.综上，利用排除法可知应选B.尝试训练2设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.3y＜2x＜5zB.2x＜3y＜5zC.3y＜5z＜2xD.5z＜2x＜3y解析：A法一：中间值法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1，则x＝lg klg2，y＝lg klg3，z＝lg klg5.所以3y＝lg klg33，2x＝lg klg2，5z＝lg klg55.因为33＝69＞68＝2，2＝1032＞1025＝55，所以lg 33＞lg2＞lg55＞0.又k＞1，所以lg k＞0，所以3y＜2x＜5z.法二：特值法取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大.取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.。
指数与对数的计算教案
指数与对数的计算教案一、教学目标1. 理解指数的概念，能够计算指数运算；2. 理解对数的概念，能够计算对数运算；3. 能够应用指数和对数的计算方法解决实际问题。
二、教学内容1. 指数的定义和性质；2. 指数计算的基本规则；3. 对数的定义和性质；4. 对数计算的基本规则；5. 应用题训练。
三、教学过程第一节指数的定义和性质指数是数学中常用的一种运算符号，表示一个数自乘若干次。
例如，2³表示2自乘3次，即2×2×2=8。
1. 引入指数的概念指数运算可以用来表示重复乘法的简化形式，如何理解指数运算对求解问题的帮助？2. 指数的定义与性质指数的定义：aⁿ=a×a×a× ... ×a（n个a相乘）指数的性质：幂的乘法、幂的除法、幂的幂第二节指数计算的基本规则1. 同底数幂相乘和幂相除的规则2. 指数为零和指数为一的特殊情况第三节对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，它可以简化指数运算的计算过程。
1. 引入对数的概念对数运算可以帮助我们解决指数运算中的问题，如何理解对数运算对求解问题的帮助？2. 对数的定义与性质定义：例如，log₃9=2，表示3的几次方等于9。
性质：对数运算的乘法、对数运算的除法第四节对数计算的基本规则1. 换底公式2. 对数的乘法和除法规则第五节应用题训练将指数和对数的计算方法应用到实际问题中，例如：1. 求解指数方程2. 计算复利问题3. 解决科学计数法问题四、教学评价1. 在教学过程中，要通过合作学习的形式，让学生互相讨论解题思路，提高学生的合作与交流能力；2. 在教学结束前，可以布置一些练习题，检验学生对指数和对数计算的掌握程度；3. 在课后，搜集一些实际应用问题，让学生自主解决，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
五、教学反思本教案通过引入指数和对数的概念，系统地介绍了其定义、性质和计算规则，并结合应用题进行训练。
高中数学必修1基本初等函数——指数对数计算与比较大(教案)
指数对数计算与比较大小一、考法解法指数与对数的计算以及比较大小题目，可以和集合函数的性质以及不等式的集合等知识点出题，也可以单独作为小题出现。
计算需要学生对公式的记忆及应用有很好的考核，比较大小需要的对公式及图像均有较好的理解才可以做出。
此处综合的知识点比较多，在计算的过程中容易出错。
解题方法荟萃在解决指数与对数比较大小的题目时，经常结合函数的性质以及选取中间变量来解决，有时结合函数的图像利用数形结合的思想解决问题。
因此，要熟练掌握基本初等函数的性质以及函数图像是解题的关键。
在做化简题目时，要牢记公式并熟练地利用公式解题。
二、真题剖析【例题1】662log 2log 9+=_____．【答案】原式=662log 2log 9+=2+2=2=2【例题2】满足122x >的x 的取值范围是_____． 【答案】{}|1x x >- 由题意可知：,∴1x >-,得出答案【例题3】已知2log 3a =，32b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 【答案】c b a <<由题意知：2log 31,a =>()3log 20,1,b =∈21log 03c =<故得出答案。
【例题4】已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.【答案】(1)a =2a ≥由题意可知：（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞.因为1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数.所以()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.依题意，得log 31(log 21)a a -=--，解得a =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数.在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-，所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -.依题意，得(0)log 210a f =-≤，解得 2a ≥.三、考试圈题【题1】设10.52,e ,a b c -===e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>【答案】C由题可知:a=0.5,<b<,c<=0.5,因此得出答案C【题2】右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是( )A. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<C. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<【答案】C由题意可得0<a<1 ,b>c>1 ,d>2故得答案C四、分层训练（10题）【题1】三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A .60.70.70.7log 66<< B .60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D .60.70.7log 60.76<<【答案】D 600.700.70.70.766log 60<><=1，=1，当,a b 范围一致时，log 0a b >；当,a b 范围不一致时，log 0a b <注意比较的方法，先和0比较，再和1比较.【题2】计算：(log )log log 2222545415-++=。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义，了解幂函数的基本形式f(x) = x^a。
探讨幂函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 幂函数的图像与性质绘制常见幂函数的图像，观察图像的特点。
分析幂函数的单调区间、极值等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义，了解指数函数的基本形式f(x) = a^x。
探讨指数函数的性质，包括单调性、稳定性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与性质绘制常见指数函数的图像，观察图像的特点。
分析指数函数的单调性、渐近线等性质。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义，了解对数函数的基本形式f(x) = log_a(x)。
探讨对数函数的性质，包括单调性、反函数关系、对数规则等。
3.2 对数函数的图像与性质绘制常见对数函数的图像，观察图像的特点。
分析对数函数的单调性、渐近线等性质。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等基本运算法则。
探讨对数运算的性质，如对数的中项定律、对数的换底公式等。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的复合运算，如对数的乘方、对数的开方等。
探讨复合运算的性质，如对数的乘方公式、对数的开方公式等。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在求解方程中的应用学习使用对数函数求解指数方程、对数方程等。
探讨对数函数在求解方程时的性质，如对数函数的单调性、对数函数的零点等。
5.2 对数函数在解决实际问题中的应用学习使用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
探讨对数函数在解决实际问题时的应用方法和对数函数的近似计算等。
第六章：幂函数的应用6.1 幂函数在几何中的应用学习幂函数在几何中的作用，如计算体积、面积等。
探讨幂函数在几何问题中的解题方法。
6.2 幂函数在物理中的应用学习幂函数在物理中的作用，如温度、速度等。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。
2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。
3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。
过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。
2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。
2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。
二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
难点：1. 对数函数的图像和应用。
2. 对数的幂法则的理解和应用。
四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。
3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。
教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。
2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。
1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
指数与对数教案
指数与对数教案教案标题：指数与对数教案概述：本教案旨在帮助学生理解指数与对数的概念、性质和应用。
通过多种教学方法和活动，学生将能够掌握指数与对数的基本操作、计算规则以及在实际问题中的应用。
此外，教案还将培养学生的逻辑思维、问题解决和团队合作能力。
教学目标：1. 理解指数与对数的基本概念；2. 掌握指数与对数的基本运算规则；3. 能够在实际问题中应用指数与对数的知识；4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力。
教学重点：1. 指数与对数的基本概念；2. 指数与对数的基本运算规则；3. 实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：a. 了解学生对指数与对数的基本了解程度；b. 准备相关教学资源，如教科书、练习册等；c. 设计教学活动和案例，以帮助学生理解和应用指数与对数的知识。
2. 学生准备：a. 提前预习指数与对数的基本概念；b. 准备相关学习材料和工具，如笔记本、计算器等。
教学过程：1. 导入（5分钟）：a. 引入指数与对数的概念，与学生一起回顾他们对这些概念的了解；b. 提出一个实际问题，引发学生思考指数与对数的应用场景。
2. 知识讲解与示范（15分钟）：a. 通过教师讲解和示范，介绍指数与对数的基本概念和符号表示；b. 讲解指数与对数的基本运算规则，并通过例题演示如何进行计算。
3. 合作探究（20分钟）：a. 将学生分为小组，每组选择一个实际问题，应用指数与对数的知识进行解决；b. 学生通过合作讨论、实际计算和推理，解决问题并展示解决过程。
4. 拓展应用（15分钟）：a. 提供更复杂的问题和案例，让学生进一步应用指数与对数的知识进行解决；b. 引导学生思考指数与对数在科学、工程等领域的应用，并展示相关案例。
5. 总结归纳（10分钟）：a. 与学生一起总结指数与对数的基本概念和运算规则；b. 强调指数与对数在实际问题中的重要性和应用。
6. 作业布置（5分钟）：a. 布置相关练习题，巩固学生对指数与对数的理解和运用能力；b. 鼓励学生自主学习和探索更多指数与对数的知识。
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指数、对数及其运算
知识点：
1．根式的概念
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。
a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。
2．分数指数幂
规定： (1)零指数幂)0(10≠=a a
(2)负整数指数幂()10,n n a a n N a
-*=≠∈
(3)正分数指数幂)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>；
(4)负分数指数幂)1
0,,,1m n
m
n a a m n N n a
-*
==>∈> (5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3．有理指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；
（2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(
),0,0(Q r b a ∈>>．
（4） a a n n =)( （5） 当n 是奇数时，a a n n =
当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()0(||a a a a a a n n
4. 无理指数幂
一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
5．对数的概念
一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）
，记作：N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式
两个重要对数：
○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；
○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．
6. 对数式与指数式的互化
x N a =log ⇔ N a x =
对数式 ⇔ 指数式
对数底数 ← a → 幂底数
对数 ← x → 指数
真数 ← N → 幂
7. 对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：01log =a ；
（3）底数的对数是1：1log =a a ；
（4）对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ；
（5）n a n a =log ．
8. 对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N M a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 9. 换底公式
a
b b
c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式可推导下面的结论
（1）对数的降幂公式 ： b m
n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log = “六法”比较指数幂大小
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．
1．转化法
例1 比较1
2(322)-+与2
3
(21)-的大小． 解：∵22322(21)(21)-+=+=-，
∴11222(322)
[(21)]21---+=-=-． 又∵0211<-<，
∴函数(21)x y =-在定义域R 上是减函数．
∴2
321(21)-<-，即2
1
3
2(322)(21)-+<-． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．
２．图象法
例2 比较0.7a 与0.8a
的大小．
解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．
当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．
评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3．媒介法
例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵13
1
3004215.6 5.61 4.1 4.1
03-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭， ∴13
134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭
． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
４．作商法
例４ 比较a b a b 与b a
a b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b
>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b
>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．
5．作差法
例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a
-+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-
(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．
（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a
-->． 又∵1n a >，1m a
-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．
（2）当01a <<时，∵1m n a
-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a
->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．
综上所述，m m n n a a a a --+>+．
评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．
6．分类讨论法
例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．
分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．
解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．
①当1a >时，由22212x x +>+，
从而有22212x x a a ++>；
②当01a <<时，22212x x a
a ++<． （2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x a
a ++=． （3）令22212x x +<+，得11x -<<．
①当1a >时，由22212x x +<+，
从而有22212x x a a ++<；
②当01a <<时，22212x x a a ++>．
评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。