指数式和对数式比较大小

合集下载

指对数比较大小8种常考题型总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)

第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法．（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可（2）利用指数对数函数图象关系比较大小（2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<，12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<=（3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与21的大小等（4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；．（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ，e a 2log 12ln ==，3log 12log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a >（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小题型二：比较与1,0的大小关系题型三：取中间值比较大小题型四：利用换底公式比较大小题型五：分离常数再比较大小题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小题型八：构造函数比大小【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵2log y x =在定义域上单调递增， ∵222log 0.6log 0.8log 1.2<<，即c b a >>. 故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a 、b 、c 的大小顺序为（） A ．a b c <>，2log y x =单调递增，所以c b a <<. 故选：C 【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（） A ．22log 5.3log 4.7D ．log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为2=log y x 是单调递增函数，所以22log 5.3log 4.7>，故A 错误；对于B ，因为0.2=log y x 是单调递减函数，所以0.20.2log 7log 9>，故B 错误；对于C ，因为33ππ3=1,1log πlog log 3log π><=，所以3πlog πlog 3>，故C 正确；对于D ，当01a <<时，=log a y x 是单调递减函数，当1a >时，=log a y x 是单调递增函数，所以当01a <<时，log 3.1log 5.2>a a ，当1a >时，log 3.1log 5.2<a a ，故D 错误. 故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，ln 2b =，2log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为()2log f x x =为单调递增函数，所以22log πlog 31>>. 因为ln 21<，所以c a b >>．故选:B ．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知1ln 3a=，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：2ln 3ln 3c ==，21ln e ln 3ln e 2=<<=，即12c <<，又1ln 3a =，所以31ln elog e ln 3ln 3a ===，所以112a <<， 3335log 5log 2log 2b =-=，33315log 3log log 3122=<<=，即112b <<，又5e 2>，所以335log e log 2>，即a b >，综上可得c a b >>；故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知0.919x =，2log 0.1y =，2log 0.2z =，则（） A ．x y z >> B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为9x y =在R 上为增函数，且0.910>，所以0.910991>=，即1x >，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.10.21<<，所以222log 0.1log 0.2log 10<<=，即0y z <<，所以x z y >> 故选：B.题型二：比较与1,0的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】分别根据23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =、0.6x y =的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可比较【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上是减函数，12220133a ⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭< ； ln y x =在()0,+∞上是增函数，1lnln102b =<=； 0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，0.200.60.61c -=>=，故c a b >>，故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出0a <，1b >，01c <<，即可得到正确答案. 【详解】因为13log y x=为减函数，所以1133log 2log 10a =<=，即0a <；因为2log y x =为增函数，所以22log 321log b =>=，即1b >；因为2x y =为增函数，所以0.300221c -<=<=，即01c <<；所以b c a >>. 故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若0.110a =，lg0.8b =，5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>，由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<，0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=，a cb ∴>>，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=<=<=，所以a c b <<. 故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知32log 3a =，2log 3b =，139c =，则（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为332log log 103a =<=，2221log 2log 3log 42b =<=<=，1133982c =>=，因此，c b a >>. 故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知6log 2a =，0.5log 0.2b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <=，即2b >，66610log 1log 2log 62=<<=，即102a <<，00.30.31110.60.60.50.52=>>>=，即112c <<，所以b c a >>；故选：A 【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可. 【详解】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>. 故选：D.高二期末（理））设0.632log 8c =A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为533223log 8log 20.60.615c ====<，所以c a <，因为0.6y x =在(0,)+∞上为增函数，且910<，所以0.60.6910<，因为lg y x =在(0,)+∞上为增函数，所以0.60.6lg9lg100.6<=，所以b c <，综上b c a <<，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知52log 4a =，31log 72b =，4log 52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b c a <，所以b a c <<. 故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设x ，y ，z 为正数，且345x y z ==，则（） A ．x y z <，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较作答. 【详解】因x ，y ，z 为正数，令345x y z k ===，则1k >，因此有：31log log 3k x k ==，41log log 4k y k ==，51log log 5k z k ==，又函数()log k f t t =在(0,)+∞上单调递增，而1345<<<，则0log 3log 4log 5k k k <<<，于是得111log 3log 4log 5k k k >>，所以z y x <<. 故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D .【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a =log 32，b =ln2，c 125=，则a ､b ､c 三个数的大小关系是（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∵log 32ln 2ln 3=<ln2， ∵a 50=1， ∵c >b >a ，故选：D . 【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设0.1log 4a =，50log 4b =，则（） A ．()22ab a b ab <+，从而0ab <，由对数换底公式和对数运算法则计算得1112a b<+<，再由不等式性质可得结论．【详解】因为0.1log 4a =，50log 4b =，所以0,0a b <>，所以0ab <， ()44411log 0.1log 50log 51,2a b +=+=∈，即1112a b<+<，所以2ab a b ab <+<. 故选：D ．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设2log a π=，6log b π=，则（）A ．0a b ab -<0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项. 【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<，故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设0.20.3a =，20.3b =，则（） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由0.20.20.3log 0.3aa =⇒=，因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，所以01a <<，由220.3log 0.3bb =⇒=，因为22log 0.3log 0.51<=-，所以1b <-，因此0ab <，0a b +< 由0.20.31log 0.3log 0.2a a =⇒=，20.31log 0.3log 2b b=⇒=，于是有：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b+=+=，因为0.30.3log 0.4log 0.31<=，所以1111b aa b ab++<⇒<，因为0ab <，所以b a ab +>，即0ab a b <+<，故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合,a b 两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x ，y ，z 满足346x y z ==，则下列说法中正确的是（） A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．22xy z > D ．32x y z +>⎝【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x ，y ，z 满足346x y z ==，设()3461x y zt t ===>，则3log x t =，4log y t =，6log z t =．对于A ，1111log 3log 4log 622t t t x y z+=+==，故A 正确；对于B ，333log x t =，444log y t =，666log z t =， ∵33433log 3log 4144log 4x t y t ==<，∵34x y <， ∵44644log 2log 6166log 3y t z t ==<，∵46y z <，∵346x y z <<，故B 错误；对于C ，由1111222z x y xy=+>（2x y ≠），两边平方，可得22xy z >，故C 正确；对于D ，由22xy z >，可得232222222x y xy z z z ⎛⎫+>>=>+ ⎪ ⎪⎝⎭（x y ≠），故D 正确．故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（）． A ．b a c << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【详解】由题意得， 666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-， 888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-， 1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>，所以a b c <<. 故选：D ．【题型专练】1.设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 【答案】D【详解】由题意得，()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>故选：D ．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末）73a =，4log 20b =，33log 2log 6c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【详解】74133a ==+，4444log 20log 4log 51log 5b ==+=+，333log 2log 61log 4c =+=+，因为433333334log 3log 81log 64log 43==>=，所以a c >，因为2423lg3lg5log 5lg5lg32log 4lg 4lg 4(lg 4)+⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅<222222lg15lg162lg 42221(lg 4)(lg 4)(lg 4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<==，43log 51,log 41>>，所以43log 5log 4<，所以c b >，综上a c b >>，故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，再作差可判断,c b 大小.【详解】()2lg 2lg51lg 2lg544a +=⋅<=，2ln 2ln 41444b ==>，9ln ln 3ln 22ln 33ln 2803266c b --=-==>，则c b >.所以a b c <<. 故选：A ．【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知log 5a =0.62b =，0.2log 6c =-，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据换底公式可得,1a c >，再根据换底公式与基本不等式可得c a <，再根据5532b ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得b a >，进而求得大小关系【详解】24log 5log 51a =>=，0.25log 6log 61c =-=>，则()25224lg 4lg 6log 6lg 4lg 62log 5(lg 5)lg 5c a +⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==<()()2222lg 24lg 25221lg 5lg 5⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=，所以c a <； 243log 5log 52a ==<，()5550.63282b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以32b >，则b a >.所以b a c >> 故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【题型专练】1.已知3log 2=a ，4log 3=b ，5log 4=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【详解】()5,427log 3log 3322∈==a ，()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > 又因()6,5256log 4log 4433∈==b ，()5,4625log 5log 4444∈==c ，所以c b 44>，所以c b > 所以c b a >>，故选B 题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设0a >，0b >，则下列叙述正确的是（） A ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b > B ．若ln 2ln 2a b b a ->-，则a b < C ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b > D ．若ln 2ln 2a a b b ->-，则a b < 【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为ln y x =和2y x =在(0,)+∞上均为增函数，所以()ln 2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，所以()()f a f b >时，得0a b >>，反之也成立，即ln 2ln 2a a b b +>+时，0a b >>，反之也成立，所以ln 2ln 2a b b a ->-时，0a b >>，反之也成立，故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若2e 2e x x y y ---<-，则（） A ．()ln 10y x -+C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【答案】B【分析】先构造函数()2e x xf x -=-，通过导函数得到单调性，从而得到x y <，故可通过函数单调性判断出()ln 1ln10y x -+>=，而x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故CD 均错误.【详解】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x xf x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若1a b >>，且x y x y a a b b --->-，则（） A ．()ln 10x y -+> B ．()ln 10x y -+< C ．ln 0x y -> D ．ln 0x y -<【答案】A【分析】根据题意，构造函数()x xf x a b -=-，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为x y x y a a b b --->-，即x x y y a b a b --->-，故令()x xf x a b -=-，则上式等价于()()f x f y >因为1a b >>，,x x y a y b -==-都是R 上的单调增函数，故()f x 为R 上的单调增函数，则由()()f x f y >，可得x y >，即0x y ->；则11x y -+>，故()ln 10x y -+>，则A 正确；B 错误；因为0x y ->，故无法判断ln x y -的正负，故C ，D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数()x xf x a b -=-，并利用其单调性判断,x y 的大小关系.2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数x ，y 满足21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．11x y D ．122x y -<【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.【详解】方法一（筛选法）由题意，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当x y >，即1x y >时，2log 0x y >，而1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立．当x y =时，2log 0x y =，11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不成立，故0x y <<，所以11x y >，33x y <，故A 错误，B 正确．0y x ->，则11y x -+>，()ln 10y x -+>，故C 正确．0221x y -<=，故D 不一定正确．故选：BC ．方法二（构造函数法）由题意，2211log log 22x y x y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故由()()f x f y <，得0x y <<，故11x y>，故A 错误．33x y <，B 正确；由x y <，得11y x -+>，故()ln 1ln10y x -+>=，C 正确；0221x y -<=，故D 不一定正确，故选：BC ．。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

高三一轮复习难点突破(3)——幂指对大小比较

2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<．方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法．方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则A ． b a c <>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A ．a b c <>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21>；（3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（）A ．log log a b c c 类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（） A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（） A ．b a c <>b a ，10<<c ，则（） A ．c c b a 0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b类型8：综合法例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z巩固练习题1．已知a =21．3，b =40．7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知156a =，23b =，32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b3．设实数a 、b 、c 满足0.20.3a -=，3log 2b =，0.5log 3c =，则实数a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>5．若a b c 、、均为正数，且3545a b c ==，则（）A ．112a b c-=B ．112b c a-=C ．112c a b-=D ．112c b a-=6．已知函数()f x 在R上是增函数，设111,ln 3,3e a e bc ππ===，则下列不等式成立的是（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f c f b >>7．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>8．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x，13y ，15z 中最小的是（）A ．12xB ．13yC ．15zD ．三个数相等12．设a ，b ，c 都是正数，且4a =6b =9c ，那么A ．111c a b=+ B ．221c a b =+ C ．121c b a =- D ．212c a b =+2021届高三一轮复习难点突破（3）——幂指对大小比较【方法点拨】方法1：单调性法：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．方法2：中间值法：既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小．（1）比较形如ma 与nb 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且m c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m n a b >．（2）常用到的特殊值有0和1．(0log 1a =，1log a a =，01a =)（3）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（4）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 l og 0.41<，0.3log 0.21>；（5）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30<．方法3：特值代入法：对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论，使得问题能够获解．方法4：估值计算法：估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案方法5：数形结合法：画出函数图像，利用直观的图像往往能得到更简捷的解法．方法6：构造新函数法类型1：单调性法（化成同底、同指）例1（2016·新课标Ⅲ，理6文7）已知4213332,3,25a b c ===，则 A ． b a c <>．变式1．（2013·新课标Ⅱ，理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a ．故选D ．变式2．（2013·新课标Ⅱ，文8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>解析：因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．变式3．（多选题）已知a b c === ）A ．a b >B ．c b >C ．b c >D ．b a >【解析】a b c ===()()()7577035577570142722322128,5525a b ========， ()57010257749c ===，,a c a b ∴>>，又()()2270147270105255(78125),77(16807)b c ======，b c ∴>，a b c ∴>>．故选：AC ．类型2：中间值法例2 (2019·全国卷Ⅰ，文理3)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（） A ．a b c <，0.300.21c <=<，得a c b <<，选B ．【总结】当发现指数式和对数式没有任何共同部分时，可以引入中间值进行比较，常见的指数式引入中间量1，对数式引入中间量1，0．【一些常用的小结论】（1）若 1a b >>，则0log 1a b <<，log 1b a >，如：5 0log 41<<，4log 51>；（2）若 01a b <<<，则0log log 1a a b a <<=，log log 1b b a b >=，如：0.3 0log 0.41<<，0.3log 0.21> （3）若 10a b >>>，则l og 0a b <， l og 0b a <，如：3 l og 0.20<，0.2log 30< 变式1：（2018·新课标Ⅲ，理12）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<，0b <，∴0ab a b <+<，故选B ．类型3：单调性法+中间值法例3 (2019·全国卷Ⅲ，理11文12))设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【答案】C解析：因为()f x 是偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =，因为23323221log 4--<<<，且()f x 在(0,)+∞递减，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>类型4：特殊值法例4 (2016·新课标Ⅰ，文8)若0a b >>，01c <<，则（）A ．log log a b c c 【解析】方法1：作为选择题，本题可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可得答案B ．方法2：由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．方法3：对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <．又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断．对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误．类型5：估值比较法理5 (2020·全国卷Ⅲ，文10)设a =log 32，b =log 53，c =23，则（） A ．a <c ==，所以a c b <<．变式1．设3log a e =， 1.5b e =，131log 4c =，则（） A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b << 【解析】因为，所以，选D ．类型6：构造新函数，利用单调性求解例6 已知45a =，3log 4b =，1.52c =，则（）A ．a <c <bB ．a ，则22ln ln(1)ln (1)ln(1)1()0ln (1)ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++'==<+，所以ln(1)()log (1)ln x x f x x x+=+=在(1,)+∞上为减函数，所以43(4)log 5log 4(3)a f f b ==<==，因为34b =，1.52c =，所以2.254c =，因为1.52c =，所以 1.533log 222log 2log 4c b =>===，综上所述，a b c <<，选B ．方法2：因为4log 50a =>，3log 40b =>，222422223lg 5lg 5lg 3lg16()()log 5lg 5lg 3(lg 4)lg 4221lg 4log 4(lg 4)(lg 4)(lg 4)(lg 4)lg 3a b +⋅===<<==，所以1a b<，所以a b <，以下同方法1，略．变式1．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（）A ．c c b a >⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确；要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．类型7：利用函数图象来比较大小例7．已知a ，b ，c >0且132log aa =，131()log 2b b =，31()log 2cc =，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b【解析】∵a ，b ，c >0，且132log aa =，131log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴0<a <1，01．分别画出函数y =2x ，y =12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，y =13log x 的图象，则0<a <b <1．综上可得a <b <c ．故选C ．类型8：综合法例8 （2017·新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解题思路】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小．【解析】方法1：令235x y zk ===（1k >），则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，所以325y x z <<，故选D ．方法2：令2351x y z k ===>，求得2log x k =，3log y k =，5log z k =，则122222log logx k k ==，133333log log y k k ==，155555log log z k k ==，由于1k >，只用比较底数122，133，155的大小即可，因为116632(2)8(3)9=<=，11101052(2)32(5)25=<=，所以111532523<<，所以325y x z <<，故选D ．方法3：2351log log 212351log log 31log log 5m x y zm m x m m y m z m ⎧==⎪⎪⎪⎪===>⇒==⎨⎪⎪==⎪⎪⎩求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m m m m m x y z ======，分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==，故可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩，选D 。

指数函数对数函数幂函数比较大小

指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。

相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。

因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。

2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。

但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。

相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。

因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。

综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。

2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（）,,a b c A. B. C. D. a c b <=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. a c b<=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。

指数函数幂函数对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

指对数比较大小的基本策略

问题背景指对数比较大小的基本策略近年来,指对数比较大小的题目风靡全国,不仅带火了泰勒展开,帕德逼近等所谓的大招,但是泰勒也好,帕德逼近也好,终究不是万能的,有的题目他用不上,有的题目用不起,所以泰勒展开,帕德逼近对于指对数比较大小或许是个好方法,但他不是通法,那么我们今天尝试从构造函数的角度来阐述指对数比较大小的一般方法(比较大小常见的有作差法,作商法等这些基础方法不在本文讨论范围).典型例题构造相同函数及中间量比较大小1.(1)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =ln2.1,b =log 3e ,c =log 7.54,则( )A.a b >aB.b >c >aC.c >a >bD.a >b >c(3)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =log 20.3,b =12 0.3,c =15,则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b思路剖析分析问题探究思路指对数比较大小的问题中,一般解决问题的思路是考查对应函数的单调性结合自变量的大小比较,但由于实际问题往往指对数混合,二是底数不一致,故一般来讲先考虑统一底数,指对混合考虑“0”与“1”的构造.1.对数同步升(降)幂法：nm log a b =log a m b n 可知log 23=log 49=log 827=log 1213;注意：在比较大小题型中出现底数与真数均可视为同幂指数的指数式,此时可由对数同步升降幂转化.2.由于指对数混合或者指对数底数不一致,此时无法直接比较,可以考虑“0”与“1”构造中间量比较大小：log a a =1；log a 1=0；a 0=1.解题过程真题剖析还原本质例题解析步步为赢(1)a =ln2.1>ln2,c =log 7.54=ln4ln7.5=2ln2ln7.5,e 2≈7.39,ln2-2ln2ln7.5=ln21-2ln7.5 =ln2⋅ln7.5-2ln7.5=ln2⋅ln7.5-ln e 2ln7.5>0,即ln2>2ln2ln7.5,所以a >c ,换底公式统一底数,再借助于中间量ln2比较a ,c 大小；又e 3≈20.09,2.14≈19.45,所以34=ln e 34=ln 4e 3>ln 42.14=ln2.1,所以a <34,又e 4≈54.3,所以b =log 3e =log 34e 4>log 3433=34,所以b >a ,所以b >a >c ,故选：C .借“34”构造同底对数比较大小.(2)因为lg0.3<lg1=0,所以a <0；因为log 32>log 31=0,log 54>log 51=0,所以b >0,c >0,借助于中间量“0”得a ,b ,c 正负;1c =log 45=12log 25=log 25,1b =log 23,而log 23>log 25,所以1b>1c,即b <c .故选：A .构造分式转化b ,c 为同底对数比较大小.(3)函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增,0<0.3<1,则a =log 20.3<借“log 21=0”得a 正负；log21=0,函数y=12 x在R上单调递减,0.3<1,b=12 0.3>12,而0<c=55 <2.55=12,所以a<c<b.故选：D.由指数函数的单调性借“1”比较大小,进而得三者关系.方法解读归纳总结理清思路对于对数不同底的比较,除了对数同步升降幂,还可以利用换底公式统一底数,本例(1)中的难点在于中间量的选取,a,c的比较突破口是2与4的构造,所以采取ln2作为中间量,而“34”这个中间量是a,b 比较中在利用对数运算法则统一形式后判断出来的.典型例题构造不同函数,比较相同函数值2.(1)(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b(2)(2021·河南·高三阶段练习(理))设a=ln1.1,b=0.21,c=e0.1-1,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a思路剖析分析问题探究思路此类问题虽然几个数的形式不一致,但是它们的特别之处在于可以视为不同函数取的同一函数值,因此问题的实质是在比较不同函数的差值或商值,本例(1)中a的结构我们可以构造y=xe x,此处自变量为0.1,显然后面两数均可以以0.1为自变量来构造出函数y=x1-x ,y=-ln(1-x),这样就将问题转化不同函数的差值比较,当然这种情况下由于自变量取值靠近麦克劳林公式的取值点,利用泰勒展开也是一种好方法.本例(2)中,a与c比较好看出来可以以0.1作为自变量构造,b比较难观察出来,显然如果是1.21就会出现1.1的平方,故直接作差来统一自变量构造不同函数的同一函数值比较.解题过程真题剖析还原本质例题解析步步为赢(1)(法1:构造不同函数)设a=xe x,b=x1-x ,c=-ln(1-x),先比较a,b大小,转化为比较ln a-ln b=ln xe x-ln x1-x=ln x+x-ln x+ln(1-x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],(ln a-ln b)'=-x1-x <0,ln a-ln b<0,∴b>a;观察式子特征以0.1为自变量构造函数,作差判断单调性比较大小；设g(x)=xe x+ln(1-x)(0<x<1),则g (x)=x+1e x+1x-1=x2-1e x+1x-1,令h(x)=e x(x2-1)+1,h (x)=e x(x2+2x-1),当0<x< 2-1时,h (x)<0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递减,当2-1<x< 1时,h (x)>0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递增,又h(0)=0,所以当0 <x<2-1时,h(x)<0,所以当0<x<2-1时,g (x)>0,函数g(x) =xe x+ln(1-x)单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1>-ln0.9,所以a>c.故选：C.比较a,c大小,此时结合两个式子自变量0.1与0.9特征,构造函数g(x) =xe x+ln(1-x)判断单调性,需二阶导,再比较大小.(法2:泰勒展开估值)构造函数f(x)=xe x,g(x)=x1-x ,h(x)=-ln(1-x),a=f(0.1);b≈0.1111;c=h(0.1);观察式子特征以0.1为自变量构造函数;由于0.1比较小,故依托泰勒三阶展开,f(x)=x+x2+x32+o(x2),g(x)=-[-x-x22+o(x2)].在x=0.1处显然b=0.1111>a=f(0.1)≈0.1105>c=h(0.1)≈0.105.由麦克劳林公式展开三阶,代入比较.(2)b-c=0.21-e0.1+1=1.21-e0.1=(1+0.1)2-e0.1,设m(x)=(1+观察式子特征,显然均可以以0.1为自变量构造函x )2-e x (x >0),所以m (x )=2x +2-e x =n (x ),所以n (x )=2-e x ,所以(0,ln2)单调递增,所以n (x )≤n (ln2)=2ln2,当x →0时,n (x )>0,所以m (x )=2x +2-e x >0在(0,ln2)上恒成立,所以函数m (x )在(0,ln2)单调递增,所以m (0.1)>m (0),∴(1+0.1)2-e 0.1>(1+0.1)0-e 0=0,所以(1+0.1)2>e 0.1.所以b >c .数,需要注意的是b 与c 之间比较直接作差构造,目的是自变量统一;(法1)a -c =ln1.1-e 0.1+1=ln (1+0.1)-e 0.1+1,设g (x )=ln (1+x )-e x +1(x >0),所以g (x )=1x +1-e x =1-xe x-e xx +1,设h (x )=1-xe x -e x,∴h (x )=-2e x -xe x <0,所以h (x )在0,+∞ 上单调递减,所以h (x )<h(0)=1-0-1=0,所以g (x )<0,所以函数g (x )在0,+∞ 上单调递减,所以g (x )<0,所以ln (1+x )<e x -1,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .故a <c 0),g (x )=-(x -ln (1+x )+e x -x -1)≤0,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .依然是以0.1为自变量构造函数,作差求导分析单调性得大小关系,或者直接构造切线放缩表达式判断正负.方法解读归纳总结理清思路1.观察所给式子的特征,找出共性,即自变量统一;2.部分式子需要结合作差(商)再进行构造；3.求导分析单调性判断大小.典型例题不等式放缩比较大小3.(1)(2022·福建·莆田一中高二期末)设a =ln1.01,b =1.0130e ,c =1101,则( )A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b (2)(2022·山东菏泽·高二期末)已知a =910,b =e -19,c =1+ln 1011,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b (3)(2022·云南昆明·高二期末)设a =e 2,b =32e,c =21-ln2 ,则( )A.b <c <aB.c <b <aC.a <b <cD.c <a <b思路剖析分析问题探究思路对于这一类问题我们可以理解为本质是构造不同函数比较不同函数值,这类问题不等式放缩就是首选了。

指数对数幂函数对比

指数函数概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义.指数函数的图像与性质：规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2。

当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减"。

即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4。

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法:1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。

2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。

据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 21x ，y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

指数式和对数式比较大
小
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法
方法一：利用函数单调性
同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较.
核心解读：
1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x
y a =的单调性.
2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.
3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.
例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3
（2）2log 0.8,2log 8.8
（3）0.30.3,0.33
[解]（1）利用函数0.3x y =的单调性.
因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3.
（2）利用函数2log y x =的单调性.
因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8.
（3）利用函数0.3y x
=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33.
方法二：中间桥梁法
既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.
（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)
（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.
例2：比较下列各组数的大小
（1）0.41.9, 2.40.9
（2）124()5,139()10
[解]（1）取中间值1.
因为0.4
01.9
1.91>=,
2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.
（2）取中间值1
29()10
. 利用函数910
x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1
24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
方法三：特值代入法
对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.
例3：（2008年全国卷理4文5）若1
(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.
A.a<b<<a<<a<<a<c [解]在区间1(,1)e -上取1
2x e -=,通过计算知：
1
21ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28
c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法
估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.
例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.
2(ln 2)ln(ln
2)ln ln 2解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343
e =
≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<
,1ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.
[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.
方法五：数形结合法
画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=
,2log b =
3log c =则（）.
A.a>b>>c>>a>>c>a
[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c,故选A.
[点评]本题也可以利用比较法求解.
因为32
2log log log <<所以b>c,
因为2233log log 21log 3log π<==<,所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。