数与式的运算
数与式的运算知识点高一
数与式的运算知识点高一作为数学学科的基础，数与式的运算是高中数学学习的重点之一，也是后续学习的基础。
掌握好数与式的运算知识点，对于理解和应用高中数学知识具有重要意义。
本文将介绍高一数与式的运算知识点，帮助学生更好地掌握数学知识。
一、四则运算四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
在高一阶段，我们需要巩固和深化对四则运算的掌握和应用。
1. 加法加法是指两个或多个数相加的运算，可以通过竖式或横式进行计算。
在进行加法运算时，需要注意数字的对齐，进位和进位法则等。
2. 减法减法是指两个数中较大的数减去较小的数，得到差的运算。
减法运算中，需要注意借位和退位的方法，特别是在减法竖式中的借位运算。
3. 乘法乘法是指两个或多个数相乘的运算。
在乘法运算中，可以使用竖式、横式或分配律等方法进行计算。
需要掌握好乘法口诀和快速计算技巧。
4. 除法除法是指一个数被另一个数整除的运算。
在除法运算中，需要注意除数、被除数和商之间的关系，以及余数的处理方法。
掌握好除法的基本原理和计算方法对于解决实际问题非常重要。
二、整数的运算整数是正整数、负整数和零的统称，是数学中的重要概念。
在高一数学学习中，我们需要掌握整数的加法、减法和乘法等运算。
1. 整数加法整数加法是指两个或多个整数相加的运算。
在整数加法中，需要注意正数加负数和负数加正数的情况，以及整数加法的运算法则。
2. 整数减法整数减法是指一个整数减去另一个整数，得到差的运算。
与整数加法类似，整数减法中也需要注意正数减负数和负数减正数的情况，以及整数减法的运算法则。
3. 整数乘法整数乘法是指两个整数相乘的运算。
整数乘法的运算法则和正数乘法类似，但需注意乘积的正负关系。
特别是两个负数相乘的结果为正数。
三、代数式的展开与因式分解代数式是由字母和数字按照一定规则组成的式子，是高中数学学习的重点之一。
在高一阶段，我们需要对代数式进行展开和因式分解等运算。
1. 代数式的展开代数式的展开是指将一个由字母和数字组成的式子，按照运算法则展开成一个多项式的过程。
数与式的运算
解法一：原式=
解法二：原式=
你能评价一下解法一、二的差异吗？
第一讲 习题 A 组 1．二次根式 a 2 a 成立的条件是( ) A． a 0 B． a 0 D． a 是任意实数 2．若 x 3 ，则 9 6 x x 2 | x 6 | 的值是( A．－３ D．９ 3．计算： (1) ( x 3 y 4 z ) 2 (2a 1 b) 2 (a b)(a 2b) B．３ ) C．－９ C． a 0
a a( a b) a a( a b) 1 a b 1 a b
( a b) ( a b) ( a b )( a b )
2 a ab
试对本例的解题技巧做一评价： 【例6】设 x
2 3 2 3 ,y 2 3 2 3
，求 x3 y 3 的值．
思考：此题中让你眼前一亮的技巧是？
3abc 3 abc
引申：同学可以探求并证明： a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 二、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下： 第一讲
2 (1) ( a ) a (a 0)
原式= a
bc ac ab b c bc ac ab
①
a ( a ) b(b) c(c) a2 b2 c2 bc ac ab abc
a 3 b 3 (a b)[(a b) 2 3ab] c(c 2 3ab) c 3 3abc a 3 b 3 c 3 3abc ②，把②代入①得原式=
(2)
(3) (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)3
初高衔接第一课时数与式的运算
Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化：1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解：
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行，运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法
与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式：
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
初升高衔接课程 数与式的运算因式分解一元二次方程
第一讲数与式的运算第二讲因式分解知识篇数与式的运算1、实数；2、代数式；3、乘法公式；4、分式；5、二次根式因式分解1、提取公因式；2、运用公因式；3、分组分解法；4、十字相乘法；5、配方法笔记:归纳小结:数与式的运算1 、已知 的公式表示试写出用21121,,111R ，R R R R R R R ≠+=2、设X=,3232-+ Y=,3232+- 求33Y X +的值3、化简下列各式1）221-32-3）（）（+ 2）22x -2x -1）（）（+ （X ≥1）4、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值。
分解因式1、提公因式法，运用公因式法（1）3a3b-81b4（2）a7-ab62、分组分解法（3）2ax-10ay+5by-bx （4）ab(c2-d2)-(a2-b2)cd （5）x2-y2+ax+ay （6）2x2+4xy+2y2-8z23、十字相乘（7）x2-7x+6 （8）x2+13x+36（9）x2+xy-6y2（10）(x2+x)2-8(x2+x)+12 （11）12x2-5x-2 （12）5x2+6xy-8y24、配方法（13）x2+12x+16 （14）a4+a2b2+b45、其他方法添项、拆项法、分解因式（15）x 3-3x 2+4 （16）(x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8二、因式分解的应用 1、已知a+b=32，ab=2，求代数式 a 2b+2a 2b 2+ab 2的值2、计算12345678921234567890-123456789112345678902）（ab o作业篇一选择1、二次根式，a -=2a 成立的条件是 （ ）A 、a ＞0，B 、a ＜0，C 、a ≤0，D 、a 是任意实数2、若x ＜3，则6x 6x -92--+x 的值是 （ ） A 、-3， B 、3， C 、-9， D 、93、数轴上有两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则线段AB 的长度是 （ ） A 、a-b ， B 、a+b ， C 、b -a ，D 、b +a4、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A 、a+b ＞a ＞b ＞a-b ， B 、a ＞a+b ＞b ＞a-b C 、a-b ＞a ＞b ＞a+b ， D 、a-b ＞a ＞a+b ＞b5、若等于，则yy x y x322x =+- （ ） A 、1， B 、45， C 、54， D 、56二化简1、19183-232）（）（+ 2、313-1+3、1-32-23121++4、38a -5、aa 1-⨯三、已知x+y=1，求x 3+y 3+3xy四、若2)1()1(22=++-a a ，求a 的取值范围。
中考知识点数与式的运算法则
中考知识点数与式的运算法则数与式的运算法则是中考重要的数学知识点之一。
掌握这些法则不仅可以帮助我们正确地进行数与式的运算，还可以提高我们的计算速度与准确性。
本文将介绍中考常见的数与式的运算法则，以帮助同学们更好地备考。
一、数与数的运算法则1. 加法法则加法法则是指将两个数相加时的运算法则。
具体的运算法则如下：（1）正数与正数相加：把两个正数的绝对值相加，并保持原来的正号。
例如：3 + 4 = 7（2）负数与负数相加：把两个负数的绝对值相加，并保持原来的负号。
例如：-2 + (-5) = -7（3）正数与负数相加：将两个数的绝对值相减，并保持绝对值大的数的符号。
例如：7 + (-3) = 42. 减法法则减法法则是指将两个数相减时的运算法则。
具体的运算法则如下：（1）正数减去正数：用较大的数减去较小的数，并保持原来的符号。
例如：5 - 3 = 2（2）负数减去负数：用较小的数减去较大的数，并保持原来的符号。
例如：-7 - (-4) = -3（3）正数减去负数：将两个数的绝对值相加，并保持较大的数的符号。
例如：8 - (-2) = 103. 乘法法则乘法法则是指将两个数相乘时的运算法则。
具体的运算法则如下：（1）正数乘以正数：两个正数相乘，积为正数。
例如：3 × 4 = 12（2）负数乘以负数：两个负数相乘，积为正数。
例如：-2 × (-5) = 10（3）正数乘以负数：两个数的绝对值相乘，积的符号为负。
例如：7 × (-3) = -214. 除法法则除法法则是指将两个数相除时的运算法则。
具体的运算法则如下：（1）正数除以正数：两个正数相除，商为正数。
例如：10 ÷ 5 = 2（2）负数除以负数：两个负数相除，商为正数。
例如：-6 ÷ (-2) = 3（3）正数除以负数：两个数的绝对值相除，商的符号为负。
例如：15 ÷ (-3) = -5二、数与式的运算法则1. 数与单项式的运算法则（1）正数与单项式相乘：将单项式中的每一项与正数相乘，并保持原来的符号。
数与式的运算
数与式的运算数与式的运算是数学中的基础内容之一，它涉及到数的运算和式的运算。
数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法，而式的运算则是对含有未知数的表达式进行计算和化简。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数与式的运算问题，因此掌握这方面的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。
一、数的运算数的运算是数学的基础，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
这些运算符号和规则在我们的日常生活中随处可见，我们经常会用到它们来解决各种实际问题。
1. 加法加法是最简单的数的运算之一，它的运算符号是“+”。
当我们需要将两个或多个数进行相加时，可以使用加法。
例如，计算2 + 3的结果为5，表示两个数相加的和是5。
在加法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a + b = b + a。
2. 减法减法是数的运算中常用的一种，它的运算符号是“-”。
减法是加法的逆运算，它表示从一个数中减去另一个数。
例如，计算5 - 3的结果为2，表示从5中减去3的差是2。
3. 乘法乘法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“×”或“*”。
乘法表示将两个或多个数相乘的结果。
例如，计算2 ×3的结果为6，表示两个数相乘的积是6。
在乘法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a × b = b × a。
4. 除法除法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“÷”或“/”。
除法表示将一个数分成若干等份的运算。
例如，计算6 ÷ 2的结果为3，表示将6分成2等份，每份的值是3。
在除法中，被除数除以除数得到商，商可以是整数或小数。
二、式的运算式的运算是对含有未知数的表达式进行计算和化简的过程。
式是数学中的一种基本表达形式，它由数和运算符号组成，可以用来表示数与数之间的关系。
1. 合并同类项合并同类项是对式进行化简的一种常用方法。
同类项是指具有相同的字母部分和相同的指数的项。
例如，对于表达式3x + 2x - 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和-5x合并得到x，即3x + 2x - 5x = x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1节数与式的运算
（第1课时总第1导学案）【学习目标】
1．掌握绝对值的代数和几何意义，会解绝对值等式。
2．掌握几个乘法公式，并会运用
【教学过程】
：正数的绝对值是它的_______，负数的绝对值是它的_________，零的绝对值仍是______．即
_________________
2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到______的距离．3．两个数的差的绝对值的几何意义：b
a-表示在数轴上，数a和数b之间的_______．
4．（1）立方和公式2233
()()
a b a ab b a b
+-+=+；
（2）立方差公式2233
()()
a b a ab b a b
-++=-；
（3）三数和平方公式2222
()2()
a b c a b c ab bc ac
++=+++++；
（4）两数和立方公式33223
()33
a b a a b ab b
+=+++；
（5）两数差立方公式33223
()33
a b a a b ab b
-=-+-．
1．解不等式：13
x x
-+-＞4．
2．计算：22
(1)(1)(1)(1)
x x x x x x
+--+++．
3．已知4
a b c
++=，4
ab bc ac
++=，求222
a b c
++的值．
|2x－13|＞5
，b为何实数，22248
a b a b
+--+的值恒为_____________
1．评价：
2．小结：绝对值的代数和几何意义,记住几个乘法公式
1．填空：
（1）若5
=
x，则x=_________；若4
-
=
x，则x=_________.
（2）如果5
=
+b
a，且1
-
=
a，则b＝________；若2
1=
-c，则c＝________. 2．填空：
（1）22
1111
()
9423
a b b a
-=+（）；
（2）(4m+22
)164(
m m
=++)；
(3 )2222
(2)4(
a b c a b c
+-=+++)．
3．若2
1
2
x mx k
++是一个完全平方式，则k等于_________________
【预习指导】
1.分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．
2.
（第2课时总第2导学案）
【学习目标】
1．理解二次根式的意义，并会转化
2．掌握分母（子）有理化的方法
3. 会运用根式，分式进行简单的运算
【教学过程】
_____________-的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为__________.例如32
a b等是________
21
2
x
++，22
x y
++_________式
2．把分母（子）中的根号化去，叫做________________．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有_____________，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
一般地，_____________，b与__________互为有理化因式．
3a
==________________
4. 形如
A
B
的式子，若B中含有字母，且0
B≠，则称
A
B
为__________．当M≠0时，分式
A
B
具有下列性质：
A A M
B B M
⨯
=
⨯
；
A A M
B B M
÷
=
÷
．
上述性质被称为分式的基本性质．
1．试比较下列各组数的大小：
（1（2
2．化简：（1；（21)
x
<<．
3．若
54(2)2
x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．
4. （1）试证：
111(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯L ；
1
．化简：20042005+
⋅．
2．设c e a =
，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．
3.证明：对任意大于1的正整数n ， 有
11112334(1)2n n +++<⨯⨯+L ．
1．评价：
2．小结：二次根式的意义，并会转化,分母（子）有理化的方法
1(3-．
2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；
3．对任意的正整数n ，
1(2)n n =+ (112
n n -+)；
【预习指导】
1. 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
2. 一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），根与系数的关系（韦达定理）
【课后作业】
1．下列叙述正确的是 _______（填序号） ①若a b =，则a b = ②若a b >，则a b >
③若a b <，则a b < ④若a b =，则a b =±
2. 比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．
3. 1819(2(2＝________；
42=，则a 的取值范围是________；
5. 计算_________
6.
=________． 7. 12a =，13
b =，则2223352a ab a ab b -=+-_____________- 8. 若2220x xy y +-=，则22
223x xy y x y ++=+__ __； 9. 解不等式：
(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．
10. 已知：11,23x y =
=的值．
11. 解方程22112()3()10x x x x +
-+-=．。