相似基本图形复习(1)

定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角 形。 相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的 相似比。
△ABC ∽△A'B'C',如果BC=3,B'C'=1.5,那么 △A'B'C'与△ABC的相似比为_________.
三角形相似的判定方法
预备定理
A
D
E
E
D
A
B
C
B
C
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
tan∠ABC=
A
D
C(1,0) x
3 4
(1)当PQ∥AD时，△BPQ∽
△BAD
BP BQ 则 BA BD
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得：m 25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，△BPQ∽ △BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
A
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADE=45°
yA
∴∠CAD＝∠ABC
3
∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
4
B(-3,0) O
D
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3 =
4
9 4
C(1,0) x
∴OD=OC+CD=1+
9 =
13
3
tan∠ABC=
4
∴D( 13,0) 4
44
用一用
y
PP
B(-3,0) Q O Q
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
BF=4
如图:
写出其中的几个等积式
①AC2= AO×AB
②BC2= BO×AB
③OC2= AO×BO
若AC=3,AO=1. 写出A.B.C三点 的坐标.
A (-1,0)
C (0,2 2 )
O
B
(8,0)
△ ADE∽ △ ABC 对应边成比例；
AD AE AC AB
周长的比 △ ADE∽ △ ABC 等于相似比；
∠DAE= ∠CAB
面积的比等于
三边对应成比例的 相似比的平方；
两个三角形相似.
练一练
基本图形
E MΒιβλιοθήκη DNMNH
过D作DH∥EC交BC延长线于点 H (1)试找出图中的相似三角形? △ADE∽ △ABC ∽ △DBH (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=2：__3_____;
(3)若△ABC的周长为4,则△BDH的周长为__6___.
(4)若△ABC的面积为4,则△BDH的面积为___9__.
相似三角形
E
E M
D N
F
M
G
F N
H G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
相似三角形
E
E
F M
G
F
N
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
学以致用
1、过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及 中线AD分别交于点F和E，
求证：AE：ED=2AF：FB。
A
F E
G
B
D
C
学以致用
2、如图，在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=__1_:_3___，S △ADF : S △EBF =__19_:9_1__
B E
A
B
C
点
E
移 到
重 合
与A
C
点
D
B
B
∠ACB=Rt∠ CD⊥AB
B
D C D C
A D
C
拓展提高
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的
一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
相似三角形
基本图形
判定方法
DE∥BC
△ADE∽ △ABC
∠AED= ∠B ∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ABC
AD AE AC AB ∠DAE= ∠CAB
△ADE∽ △ABC
三边对应成比例的 两个三角形相似.
相似三角形
基本图形
判定方法
DE∥BC
△ADE∽ △ ABC
性质定理 对应角相等；
∠AED= ∠B ∠DAE= ∠BAC
相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角
形相似
A
D
B
CE
F
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似.
A D
B
C
E
F
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两 个三角形相似.
A
D
B
C
EF
△ABC∽△DEF
问题
给你一个锐角△ABC和一条直线MN； 你能用直线MN去截△ABC，使截得的三角形 与原三角形相似吗？
m
4
解得： m 125 36
相似的基本图形
(1)
A
D
E
E
D
(2)
A
A (3)
DE
B
C
DE∥BC
A (4)
B
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
相似三角形基本图形
A
D
E
B
C
A
D E
△ADE绕点A 旋转
E A
基本图形2
A
F
1、添加一个条件使得△△ABCCFF∽∽△△ABBACC..
B
C
2、已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交
于点E,则图中共有___2__对三角形相似.
AD
E
·
O
B
C
3. 在△ABC中，AC=4,AB=5.D是AC上一 动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与 x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，
问：是否存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵△BDA∽△BAC
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x (0＜x≤4)
A
E D
B
C
基本图形2
A AA
当∠BCF＝ ∠A 时， △BCF∽ △BAC.
F FF
.O
BB
CC
(1) 若则B△CA=C6F,A∽F△=5A,B你C能∽求△出CBBFF的长吗?
A
D
F
B
E
C
学以致用
3、如图， ABCD中，G是BC延长线上一点， AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形
共有____5__对。（全等除外）
B E
C
G
F
A
D
三、基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
旋转
∽
斜交型 .
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
.. 特 殊
基本图形2
斜交型 当∠ADE＝ ∠C 时， △ADE∽ △ACB.