15平行四边形解析版

15平行四边形解析版1．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）A．12 B．13 C．14 D．151解：根据题意，得（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为142)37(7=-⨯故答案：C．2如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若ABD＝48 CFD＝40°，则E为（）A．102° B．112° C．122° D．92°2解：设∠A＝∠E＝x，∠ABD＝∠DBE＝48°，∠BFE＝∠DFC＝40°，∠FBD＝180°－x－48°＝132°－x，则∠EBF＝x－84°，又∠E＋∠BFE＋∠EBF＝180°，得x＝112°．3如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．243解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝6，∴▱ABCD的周长＝2×6＝12；故答案：B．4如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB的中点，EC 交BD 于点F ，则△BEF与△DCB的面积比为（）A.13B.14C.15D.16∠∠∠AEBDCF4解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∵E 是AB 的中点，∴BE=12AB=12CD ；∵BE ∥CD ，∴△BEF ∽△DCF ，EF CF =BE CD =12∴S △BEF S △CDF =(BE CD )2= 14，S △BEF S △CBF =EF CF =12，∴S △BEF S △CBD = 16故答案：D ． 5如图，的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，，AC=2，BD=4，则AE 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．C5解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=AC=1，BO=BD=2，∵AB=，∴，∴∠BAC=90°，∵在Rt △BAC中，,=×AB ×AC=×BC ×AE ， ∴，∴，故答案：D ．6如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB ＝BF ，添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（） A．AD ＝BCB ．CD ＝BFC ．∠A ＝∠CD ．∠F ＝∠CDFABCD AB 2323721721221213222BO AO AB =+72)3(2222=+=+=AC AB BC ABC S ∆21212=7212=AE6证明：在△DCE 和△FBE 中，∵E 是BC 边的中点，∴DE ＝FE ．又∵∠DEC ＝∠FEB ，∴在△DCE 和△FBE 中，满足了一边一角对应相等，∴可以添加∠F ＝∠CDE ，△DCE ≌△FBE （ASA ），∴CD ＝BE ．又∵∠F ＝∠CDE ，∴CD ∥BF ，即AB ∥CD ，又已知AB ＝BF ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．故可以选择添加∠F ＝∠CDE ，即D 正确．二、填空题7如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE 的长为 ．7解：过点C 作CG ⊥AB 的延长线于点G ，在▱ABCD 中，∠D=∠EBC ，AD=BC ，∠A=∠DCB ，由于▱ABCD 沿EF 对折，∴∠D ′=∠D=∠EBC ，∠D ′CE=∠A=∠DCB ，D ′C=AD=BC ，∴∠D ′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB ，∴∠D ′CF=∠ECB ，在△D ′CF 与△ECB 中，∴△D ′CF ≌△ECB （ASA ）∴D ′F=EB ，CF=CE ，∵DF=D ′F ，∴DF=EB ，AE=CF ，设AE=x ，则EB=8﹣x ，CF=x ，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x ，在△CEG 中，由勾股定理可知：，解得：x=AE=⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECB CF D BCC D EBC D ///2132222)32()10(x x =+-5288如图，点O 是□ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF ＝AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH ＝BC ．若S 1、S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是 ．8解：连接OA 、OB 、OC ，由题意可知：，，由于点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，则有，所以故答案：， 9如图，平面直角坐标系中O 是原点， ▱ABCO 的顶点A ，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点D ，E 把线段OB 三等分，延长CD 、CE 分别交OA 、AB 于点F ，G ，连接FG ．则下列结论： ①F 是OA 的中点；②△OFD 与△BEG 相似；③四边形DEGF 的面积是；④OD ＝．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．9解：①∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC ＝OA ，∴△CDB ∽△FDO ，∴，∵D 、E 为OB 的三等分点，∴，∴，∴BC ＝2OF ， ∴OA ＝2OF ，∴F 是OA 的中点；所以①结论正确；②如图，延长BC 交y 轴于H ，由C （3，4）知：OH ＝4，CH ＝3，∴OC ＝5，∴AB ＝OC ＝5，∵A （8，0），∴OA ＝8，∴OA ≠AB ，∴∠AOB ≠∠EBG ，∴△OFD ∽△BEG 不成立，所以②结论不1213DB12OEFOABSS =13OGHOBCSS =OBCOABSS=1232SS =1232S S =320354ODBD OF BC =212==OD BD 2=OFBC正确；③由①知：F 为OA 的中点，同理得；G 是AB 的中点，∴FG 是△OAB 的中位线，∴FG ＝OB ，FG ∥OB ，∵OB ＝3DE ，∴FG ＝DE ，∴，过C 作CQ ⊥AB 于Q ， S ▱ABCO ＝OA ·OH ＝AB ·CQ ，∴4×8＝5CQ ，∴CQ ＝，S △OCF ＝OF ·OH ＝×4×4＝8，S △CGB＝BG•CQ＝，S △AFG ＝×4×2＝4， ∴S △CFG ＝S ▱OABC －S △OFC －S △OBG －S △AFG ＝8×4－8－8×4＝12，∵DE ∥FG ，∴△CDE ∽△CFG ，∴， ∴， ∴，∴S 四边形DEGF ＝；所以③结论正确；④在Rt △OHB 中，由勾股定理得：OB2＝BH2＋OH2， ∴OB ＝，∴OD ＝，所以④结论不正确； 故本题结论正确的有：②③；故答案：②③．10如图，在平行四边形ABCD 的边AB ，CD ．上截取AF ，CE 使得AF＝CE ，连接EF ，点M ，N 是线段上的两点，且EM ＝FN ，连接AN ，CM .（1）求证：△AFN ≌△CEM .（2）若∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°，求∠NAF 的度数.212323=DE FG 53221212185322521=⨯⨯2194)(2==∆∆FG DE S S CFG CDE 95=∆CFG DEGF S S 9512=DEGFS 203137)83(422=++3137MDBN FE CA10（1）证明：由于四边形ABCD ．是平行四边形，所以AB ∥CD ，在平行四边形ABCD 的边AB ，CD ．上截取AF ，CE 使得AF ＝CE ，连接EF ，则EM ＝EN ＋MN ＝FM ＋MN ＝FN ，∠CEM ＝∠AFN ，而AF ＝CE ，所以△AFN ≌△CEM .（2）若∠CMF ＝107°，∠CEM ＝72°，而∠CMF ＝∠CEM ＋∠ECM ，所以∠ECM ＝∠CMF －∠CEM ＝107°－72°＝35°.△AFN ≌△CEM ，所以∠NAF ＝∠ECM ＝35°.因此∠NAF 的度数是35°. 11如图，菱形ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，点P 是边CD 上任一点，四边形AEPD 和四边形A’EPD’关于直线EP 轴对称，点A’在线段CE 上． （1）求证：△ECP 是等腰直角三角形； （2）如果点A’是CE 的中点，求的值； （3）延长线段D’P 和BA 延长线相交于F ，求证：四边形ECPF 是正方形．11.∵∠CEF=90° ∴∠AEP=∠CEP=45°,菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCE=90°∴△ECP 是等腰直角三角形；（2）设，∴∴ ∴， ∴∵CD ∥AB ，∠AEP=∠CEP=45°∴∠DPE =135°∴∠D’PE=135°∴∠DP D’=360°-135°-135°=90°,∴∠CPF=90°,∵∠AEC=∠ECP=90°,∴四边形ECPF 是矩形, ∵△ECP 是等腰直角三角形，EC=PC., ∴四边形ECPF 是正方形．12如图，B ，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ，连接AD .求证：四边形ABED 是平行四边形.DPCPC''AE A E CA x ===AB CB CD y ===222()4y y x x =-+52y x =2CP x =12DP x =14DP CP =【解答】证明：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴.在和中，，∴,∴，∵，∴四边形是平行四边形.13 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于F 。

（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是25cm ，AC 的长为5cm ，求线段AB 的长度.【解答】证明1）证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点∴DE ∥CF 又∵EF ∥CD ∴四边形CDEF 是平行四边形.（2）∵在Rt ΔABC 中D 是AB 的中点∴AB ＝2CD ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点∴BC ＝2DE ∵2CD ＋2DE ＝25∴AB ＋BC ＝25在Rt △ABC 中AB 2＝AC 2＋BC 2∴AB 2＝52＋(25－AB )2解得AB ＝13 14如图，▱ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ． （1）求证：四边形DAD /E 是菱形是菱形；（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．//AB DE B DEF ∠=∠//AC DF ACB F ∠=∠BE CF =BE CE CF CE +=+BC EF =ABC ∆DEF ∆B DEF BC EF ACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DEF ASA ∆≅∆AB DE =//AB DEABED ADFB14解：（1）证明：将▱ABCD 沿过A 点的直线折叠，使D 落在AB 边上的D /处，∴∠DAE=∠D /AE, ∠DEA=∠D /EA, ∠D=∠AD /E, ∵DE ∥A D /,∴∠DEA=∠D /AE=∠DEA=∠D /EA, ∴∠DAD /=∠DED /,∴四边形DAD /E 是平行四边形，∴DE=AD /,AB=DC,AB ∥DC ，∴CE=D /B,CE ∥D /B, ∴四边形BCED /是平行四边形，∵AD=AD /,∴▱DAD /E 是菱形（2）∵四边形DAD ′E 是菱形， ∴D 与D /关于AE 对称，连BD 交AE 于P ，则BD 的长即为PD /+PB 的最小值，过D 作DG ⊥BA 于G ，∥AB, ∴∠DAG=∠CDA=60°, ∵AD=1, ∴∴PD /+PB的最小值为15如图①，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，AB ＝AC ＝BD ，点M 为BC 中点，N 为线段AM上的点，且MB ＝MN ．（1）求证：BN 平分∠ABE ；（2）若BD ＝1，连结DN ，当四边形DNBC 为平行四边形时，求线段BC 的长； （3）如图②，若点F 为AB 的中点，连结FN 、FM ，求证：△MFN ∽△BD C ．15（1）∵AB ＝AC ，M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，∠CAM ＝∠BAM ，又∵AC ⊥BD ，∴∠CAM ＝∠CBE ．∵MN ＝MN ，∴∠MNB ＝∠MBN ，∵∠MNB ＝∠MAB ＋∠NBA ，∠MBN ＝∠CBD ＋∠DBN ，∴∠DBN ＝∠DBC ，即BN 平分∠ABE ．CD 7,25,23,2122=+=∴=∴==BG DG BD BG DG AG 7（2）在△ABN 与△DBN 中，，∴△ABN ≌△DBN ，∴DN ＝AN ，∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BC ＝DN ，∴AN ＝B C ．在直角△AMB 中，设BM ＝x ，则MN ＝x ，AN ＝2x ，则x 2＋(3x )2＝12解得：x ＝（负值舍去），∴BC ＝．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性质可以得到∠CAM ＝∠BAM ，AM ⊥BC ，由MN ＝MB 可得∠MNB ＝∠MBN ，再根据三角形内角和及外角性质即可证得．（2）利用（1）结论可证得AN ＝DN ，再依据平行四边形性质，等量代换可得BC ＝AN ，在△AMB 中用勾股定理可求得BM 的长，即可求得BC 的长．（3）根据中位线的性质及线段的比例关系可以证得＝，再依据中位线的平行关系和已知垂直关系，证明∠NMF ＝∠CBD ，从而证明△MFN ∽△BD CAB DB ABN DBN BN BN =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠FM BD NMBC。