场论张量坐标
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量与场论
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
29
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
教材张量分析与场论
一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能与其它指标的名称相同。如线性变换 这个表达式中有三项 ， ， ，其中第二项有哑指标j，可以换成k，或l，但不能换成i，因为这一项中i为自由指标。在这三项中都有自由指标i，要换必须同时换，如换成k，即可写为 ，但不能换成j，因为第二项中j为哑指标。
标量
矢量分量
张量分量
这里所说的张量可以称为二阶张量，因为有两个自由指标。矢量有一个自由指标，类似地可以称为一阶张量。类似地，标量可以称为零阶张量。
张量的定义还可以推广到高阶的情况，可以定义一般的n阶张量，一般张量的定义：在每一个坐标系下都有3n个量，它们按关系
从一个坐标系变换到另一个坐标系，这样的量称为n阶张量。
对点积运算可以按如下形式进行
其中用到了上边的推导的结果，即 。这与前边点积可写为 = 的结果一致。由此可以看出， 的作用是使该式中的指标j变为指标i， 也称为换标符号。
利用 的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导
利用 及约定求和使得推导变得很方便了。
1.2记号 、矢积（叉乘）、 关系
在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号 ，
由ε的定义可知 ； 。
可以用ε来表示三阶行列式
=
=
或=
也可以写成
在直角坐标系中基矢量{ }的矢积（叉乘）定义如下：设（ ）构成右手系，则定义
； ；
；
例如
例如
容易把矢积推广到一般矢量的情况，设 ； ； 叉乘 仍为一个矢量
的分量为 ，例如 中不为零的项只有 和 ，因此
一般的情况下由 推不出 。只有在任意的 上成立时，才能推得出该式。
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
10.01.2021
26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
《大学物理教学资料》张量的定义
§1 张量的定义在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1,u2,u3，缩写记为u i，i=1, 2, 3。
对于坐标x,y, z可以表示为x i。
对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。
例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表示为σij和εij，其中σ11, σ22分别表示σx, σxy（就是τxy)；ε11 , ε22分别表示εx, εxy(）等。
同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。
为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。
在坐标系Ox1x2x3中。
矢量OP的三个分量ζ 1， ζ 2，ζ3可以缩写作ζ i，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作ζ '1，ζ '2，ζ '3，缩写为ζ'i。
设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示方向余弦n i'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。
则矢量在新老坐标系中的关系为或者上式可以缩写为或者。
a2, a3)和OP(ζ1, ζ2, ζ3)，作它们的标量积，则考察矢量A(a1,显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则反之，如ζ ' 为已知矢量，而a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。
根据矢量定义，则a i 也是矢量。
推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。
设(ζ 1, ζ 2, ζ3)和(η 1, η 2, η3)是矢量，a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合a ij为二阶张量。