场论与张量-作业
张量习题参考答案
张量习题参考答案张量习题参考答案张量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
在学习张量的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面，我将为大家提供一些张量习题的参考答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握张量的概念和运算。
1. 习题一：给定一个二阶张量A，其分量为A_ij = 2i + 3j，求A的迹和行列式。
解答：首先，二阶张量的迹定义为主对角线上各分量的和。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到A的迹为Tr(A) = A_11 + A_22 = 2(1) + 3(1) + 2(2) +3(2) = 14。
其次，二阶张量的行列式定义为主对角线上各分量的乘积减去副对角线上各分量的乘积。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到A的行列式为det(A) =A_11A_22 - A_12A_21 = (2(1) + 3(1))(2(2) + 3(2)) - (2(1) + 3(2))(2(2) + 3(1)) = -5。
因此，该二阶张量A的迹为14，行列式为-5。
2. 习题二：给定一个三阶张量B，其分量为B_ijk = i^2 + j^2 + k^2，求B的迹和行列式。
解答：对于三阶张量，迹的定义和二阶张量类似，即主对角线上各分量的和。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到B的迹为Tr(B) = B_111 + B_222 +B_333 = (1^2 + 1^2 + 1^2) + (2^2 + 2^2 + 2^2) + (3^2 + 3^2 + 3^2) = 36。
对于三阶张量的行列式，其定义稍有不同。
行列式的计算需要利用Levi-Civita符号进行求解。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到B的行列式为det(B) = ε_ijkB_ijk = ε_111B_111 + ε_222B_222 + ε_333B_333 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14。
因此，该三阶张量B的迹为36，行列式为14。
10高等流体力学练习题
高等流体力学练习题第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：34q E r rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++为M 点的矢径，r r = 。
求电场强度的矢量线。
2、（RX22）求矢量场22()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。
第二节 梯度1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：rgradr r=。
2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k=+- 方向的方向导数。
3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk=++为M 点的矢径，r r =。
求电位v 的梯度。
4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅，则a 必为grad ϕ。
5、（BW8）若a＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分0La dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a沿任一封闭曲线L 的线积分0La dr ⋅=⎰，则矢量a必为某一标量函数ϕ的梯度。
第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。
试求矢量场从S 内穿出S 的通量。
2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为34q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r=。
设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。
3、 （RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有0divA ≠ ，而在其他点上都有0divA =，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
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前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
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三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量考试试卷
张量考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 张量是多维数组的推广，它在数学中通常用来描述什么？A. 向量场B. 线性变换C. 标量场D. 矩阵2. 以下哪个不是张量的属性？A. 阶数B. 维度C. 线性D. 可微性3. 在张量代数中，两个张量的乘积被称为什么？A. 张量积B. 外积C. 内积D. 张量和4. 张量场在物理学中通常用来描述什么？A. 力B. 温度C. 位移D. 速度5. 张量的阶数是指什么？A. 张量中元素的数量B. 张量可以展开的维度数C. 张量在空间中的自由度D. 张量中非零元素的个数6. 张量分析中，哪种操作可以改变张量的阶数？A. 张量积B. 张量和C. 张量外积D. 张量内积7. 在连续介质力学中，应力张量是如何描述的？A. 描述物体内部的力B. 描述物体的位移C. 描述物体的变形D. 描述物体的体积变化8. 张量运算中的“缩并”操作是指什么？A. 将张量简化为更低阶的张量B. 将两个张量合并为一个C. 将张量中的某些维度进行求和D. 将张量中的元素进行排序9. 在张量代数中，张量的转置操作会改变张量的什么？A. 阶数B. 维度C. 元素的值D. 元素的排列顺序10. 张量场在广义相对论中扮演什么角色？A. 描述时空的曲率B. 描述物体的质量分布C. 描述物体的动量D. 描述物体的角动量二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述张量与矩阵的区别，并给出一个张量的例子。
2. 解释什么是协变导数，并说明它在张量场中的应用。
3. 描述张量积与外积的区别，并给出一个具体的例子。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二阶张量 \( A \)，其元素为 \( A_{ij} \)，计算 \( A \) 的迹（trace）。
2. 考虑一个四维空间中的张量场 \( T^{ab}_{cd} \)，其中 \( a, b, c, d \) 都是从0到3的整数。
如果 \( T^{ab}_{cd} \) 在某一点\( P \) 处满足 \( T^{ab}_{cd} = T^{ba}_{dc} \)，计算在该点\( T \) 的对称化（symmetrized）形式。
张量与场论
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
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（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
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（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
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（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
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笛卡尔张量
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§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
场论作业
一、场的直观化【练习1】求矢量场222x y z A xy e x ye zy e =++的矢量线方程。
【练习2】通过梯度求曲面422=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。
（提示：设沿法线矢量为n ，法线上任意点的位矢为p r，则有()0p M r r n -⨯=）二、矢量场和标量场【练习3】求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量Φ= 。
（如右图所示）【练习4】已知矢量场x y z r xe ye ze =++（1） 求由内向外穿过圆锥面222x y z +=与平面z H =所围封闭曲面的通量； （2） 求矢量场的散度，并求出（1）所围区域的散度体积分。
【练习5】已知矢量x y z A ye xe ce =-++(c 是常数) 沿下列曲线的环量：（1）求沿圆周0,222==+z R y x 曲线的环量； （2）求沿圆周222(2)x y R -+=、0z =的环量； （3）求矢量的旋度，解释（1）和（2）所求环量的关系。
【练习6】 设n r z y x z y x ,= , r e e e r++=为正整数， (1) 求∇∇∇r r f r n 2,,(),(2) 证明),(∇⋅=a r a a（是常矢量）【练习7】在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为24rq D e rπ=（1）求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量； （2）试求电位移矢量D的散度。
【练习8】 利用矢量2xy e x e A y x+= 的旋度求矢量A 沿圆周222a y x =+的环流。
四、无旋场、无源场、拉普拉斯算符【练习9】对于标量场()f r 和()g r，试证明：（1） ()0=∇⨯∇f f （2） ()2222fg f g g f f g ∇=∇+∇+∇⋅∇【练习10】. 试计算（1）2ln r ∇ （2）22[()]r r∇∇⋅ ，式中0r ≠【练习11】试判断下列矢量场的类型（1）φφθφθφθsin cos cos cos sin e e e A r-+=，A 是（2）φρφφφρsin 2cos sin 22z e z e z e B z++=，B 是（3）z e x e x y e C z y x 2)23(22 ++-=，C 是。
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk