高宏Chapter 2A
高宏2014年第1次习题课
]] σ／(σ-1)
] σ／(σ-1)
所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL：Y／AL=[ (K／AL)(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) 取 k=K／AL,y=Y／AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式 ： a) f(k)= [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) c）对(1)式两边对 k 求导数： f′(k)= [σ／(σ-1)] [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1)-1[(σ-1)／σ] k[(σ-1)／
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现在假定 人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费 将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。 答： a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假 设 经 济 在 初 始 时 处 于 平 衡 增 长 路 径 上 ， 即 满 足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时，经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻，当人口增长率由 n 下降到 nnew 后，实际投资线不变， 持平投资线发生偏转。此时，k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资， 每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动（由于没有技术进步，相当于 每人）实际投资等处持平投资 。在 t0 时刻到 t1 时刻之间，由于 k˙>0，所以 每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定，所以每个人平均产出伴随 每个人平均资本的增加而增加，每个人平均消费也将随之逐步增加 （c=(1-s)f(k) ） 。
《高等代数2》教学大纲
《高等代数Ⅱ》教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握多项式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等数学科
学的基础理论知识和基本计算技巧，学会严密的逻辑推理方法，大力加强学生的归纳、演绎、类比、抽象等能力，为学生学习后继有关课程如近世代数、离散数学、数论等奠定坚实的基础。
三、理论教学内容与要求
四、考核方式
本课程为考试课。
采用期末考试、平时考核相结合的考核方式。
总成绩为100分，其中期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩（包括作业、出勤、课堂表现等）占总成绩的30%。
罗默《高级宏观经济学》课件
罗默的《高级宏观经济学》课件一、引言罗默的《高级宏观经济学》是一本在学术界广受推崇的经济学教材，深入浅出地介绍了宏观经济学的基本理论和分析方法。
本书共分为两个部分，第一部分主要讨论宏观经济学的微观基础，包括消费者行为、生产者行为、市场均衡和一般均衡等；第二部分则重点介绍宏观经济学的核心议题，如经济增长、失业、通货膨胀、经济周期等。
本课件旨在帮助读者更好地理解和掌握罗默的《高级宏观经济学》的内容，为宏观经济学的学习和研究提供有益的参考。
二、微观基础1.消费者行为罗默认为，消费者行为是宏观经济学微观基础的重要组成部分。
消费者的目标是实现效用最大化，即在预算约束下，选择一组商品和服务，使得总效用达到最大。
为此，罗默介绍了无差异曲线、预算线等概念，以及如何通过求解拉格朗日函数来找到消费者最优消费组合的方法。
2.生产者行为生产者行为是宏观经济学微观基础的另一个重要组成部分。
罗默认为，生产者的目标是实现利润最大化，即在生产技术、要素价格和市场价格的约束下，选择一组生产要素和产量，使得总利润达到最大。
罗默详细介绍了生产函数、成本函数、利润函数等概念，以及如何通过求解拉格朗日函数来找到生产者最优生产组合的方法。
3.市场均衡和一般均衡罗默认为，市场均衡是宏观经济学的核心概念之一。
市场均衡指的是在某一市场价格下，市场需求等于市场供给。
罗默介绍了如何通过供求曲线来分析市场均衡，以及市场均衡的稳定性条件。
罗默还介绍了一般均衡理论，即在一个包含多个市场和多种商品的体系中，各个市场之间相互影响，形成一个稳定的均衡状态。
三、核心议题1.经济增长罗默认为，经济增长是宏观经济学研究的核心议题之一。
经济增长指的是一个国家或地区在一定时期内，实际产出水平持续提高的过程。
罗默详细介绍了经济增长的源泉，包括技术进步、资本积累、劳动力增长等，并分析了不同增长模型的特点和适用条件。
2.失业罗默认为，失业是宏观经济学的另一个核心议题。
失业指的是劳动力市场上，愿意工作但未能找到工作的人口。
上财罗大庆高宏课件 (9)
• Since all periods are identical, the competitive equilibrium prices and consumption allocation are
∞ {r t }∞ t=1 = {0.01}t=1 , ∞ {c 1 t , c 2 t }∞ t=1 = {2.2, 2}t=1 .
• Optimization problem solved by an individual born in period t is to maximize u(c1t , c2t+1 ) subject to the Present Value budget constraint. • Logarithmic utility example: – Maximize u(c1t , c2t+1 ) = ln c1t + β ln c2t+1 subject to c 1t + c2t+1 y2t+1 = y 1t + . 1 + rt 1 + rt
(II) Heterogeneity within Cohorts
• Heterogeneity creates incentives for trade. • Assume there are two types of agents born in each period. • Type 1 (group 1) – Nt individuals of type 1 are born in period t – they have utility function u(c1t , c2t+1 ) – and an endowment stream {y1t , y2t+1 }. • Type 2 (group 2) – Nt∗ individuals of type 2 are born in period t
高等代数第三章2
§3.3 向量组的秩三个辅助概念定义 设12,,,ns K ααα∈"，12,,,r i i i αα"αi 是其一个部分组。
若12,,,r i i αα"α线性无关，且对任意(,j k j i α≠1,2,,;1)k r j =≤"s ≤均有12,,,,r j i i i αααα"线性相关，则称12,,,r i i i αα"α是一个极大线性无关组，简称极大无关组。
显然，若12,,,s ααα"线性无关，则极大无关组就是其自身。
例 向量组的任何一个线性无关的部分组均可扩充为一个极大无关组。
定义 设 12,,,s ααα"与 12,,,t ββ"β)是两组n 元 向量，若每个均可由(1,2,,i i s α="12,,,t ββ"β线性 12,,,s ααα"12,,,t 可由向量组βββ" 表出，则称向量组线性表出。
若向量组12,,,s αα"α与向量组12,,,t βββ"可相互线性表出，则称向量组12,,,s ααα"12,,,t 与向量组βββ"12,,,等价，记为{s ααα"}{12,,,t βββ"}≅例 讨论下列向量之间的关系：(1) )1,0(),0,1(21==εε与 )0,0(),0,1(21==αα(2) )1,0(),0,1(21==εε与 )1,2(),2,1(21==ββ性质 向量组的等价具有(1)自反性：{m ααα,...,,21}≅{m ααα,...,,21}；(2)对称性：{s ααα,...,,21}≅{t βββ,...,,21}⇒{t βββ,...,,21}≅{s ααα,...,,21}；(3)传递性：12121212{,,...,}{,,...,}{,,...,}{,,...,}s t t r αααββββββγγγ≅⎫⎬≅⎭⇒{12,,...,s ααα}≅{12,,...,m γγγ}。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高等代数教案
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
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二、课时教学内容第页
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a的代数余子式.称为元素
ij
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高宏第三章 最优控制
第三章 最优控制（上）-变分法第一节 动态优化简介一、静态优化问题如果一个企业要确定一个最优产出水平x *以最大利润()F x ：0max ()x F x ≥ （1）这样的问题的解通常将是一数，即确定选择变量的单个最优值。
最优值常可由一阶条件()0F x *'=确定。
动态问题是多期（multiperiod ）的，但是并不是有多期的时间就是动态问题．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考虑企业的多期决策问题：1max (,)Tt t F t x =∑ （2）(0,1)t x t T = 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。
显而易见，总利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的t x ）。
但由于t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可，即这一个问题的解是一个有T 个数的集合，1{,}T x x ** 。
所以由于任一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的．．．．静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。
问题（2）有类似的T 个一阶条件，各期的一阶条件之间没有联系。
在Ramsey 模型的竞争性均衡结构中，生产者问题就具有这样的性质。
二、动态问题具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．的利润。
更为一般地来说，当前决策影响未来决策。
11max (,,).. 0,1Tt t t t F t x x s t x t T-=≥=∑0x 给定或0(0)x x = （3）在问题（3）中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t 期选择的产量t x 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。
注意，上述问题中已指定了0x 。
0x 影响到了以后各期的利润（从而也影响到总利润）。
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T 个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径。
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The lifetime utility function
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C(t): consumption of each member of the household at time t L(t): total population of the economy L(t)/H:the number of members of the household u(·): each member’s utility at a given date uL/H: household’s total utility
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There is no uncertainty in this model, risk aversion is irrelevant θ determines the househould’s willingness to shift consumption between different periods
Chapter 2 Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Model
周泳宏 tzhouyhjnu@
Introduction
This chapter investigates two models
Ramsey-Cass-Koopmans Model Diamond Model
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Each household supplies one unit of labor at each point in time. Capital does not depreciate
K 0
The initial stock of capital
K 0 H
☆ prove: Discount factor
U
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t 0
e
t
Lt u C t dt H
ρ:discount rate The e t acts to discount the future The greater is the discount rate, the less the household values future consumption relative to current consumption.
If this condition does not hold, the household can attain infinite lifetime utility, and its maximization problem does not have a well-defined solution
模型假设
完全竞争市场结构 长生不老的不断扩展的家庭 家庭和个人完全同质 忽略资本的折旧
2.1 Assumptions
1）Firms
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The economy is viewed as consisting of a large number of identical firms. With perfectly competitive markets, factor returns are equal to the marginal products Firms take A as given
each household initially owns and rents to firms
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The household chooses the consumption/saving plan that maximises their discounted ‘lifetime’ utility. The lifetime utility function for the household is
instantaneous utility function
C t u C t ， n (1 ) g 0 1
1
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This function form is needed for the economy to convergence to BGP. The utility function is known as constant relative risk aversion (CRRA) utility.
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The production side (firm) of the economy is identical to that used in the Solow model. The household side consists of a ‘representative agent’ who owns the capital, supplies the labor used by firms, and consumes or saves the resulting output.
Given the parameters,the representative agent chooses the consumption/saving plan that maximises their (expected) discounted lifetime utility.
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Both the models continue to treat the growth rates of labor and knowledge as exogenous But derive the evolution of the capital stock from the interaction of maximizing households and firms in competitive markets
2.2 The Behavior of Households and Firms
1）Firms
Markets are competitive, with no depreciation, the real interest rate (real rate of return) on capital is
The smaller isθ, the more slowly marginal utility falls as consumption rises, and so the more willing the household is to allow its consumption to vary over time to take advantage of differences between its discount rate and the rate of return it gets on its saving
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Ramsey: there is a fixed number of infinitely lived households Diamond:there is turnover in the population
New individuals are continually being born, and old individuals are continually dying
A grows exogenously at rate g
Y t F K t , At Lt
2）Household
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There is a large and fixed number of infinitely lived identical households. The size of each household grows at rate n The number of households, H, remains fixed.
Part A
Ramsey-Cass-Koopmans model
Introduction
The Ramsey model is a general equilibrium model in which households and firms interact in competitive markets.
The Ramsey-Cass-Koopmans model The Overlapping Generations or Diamond model
The central difference between the Diamond model and the Ramsey-CassKoopmans model is that
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Firms pay rent and wages to the households who decide how much to spend on consumption (revenue for the firms) and how much to save (invest in new capital). The heart of the model is the consumption/saving decision and this is based on micro-optimising behaviour.