乐课力七年级数学秋季班 第6讲因式分解(四)
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乐课力七年级数学秋季班 第6讲因式分解(四)
例题52求一个关于x的二次多项式它的二次项系数为1它被x3除余1且它被除x1和x2被除所得的余数相axbx例题62已知mn均为整数既是多项式的因式又是多项式的因式求12194245对于整系数多项式
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
七年级l上册数学第六章知识点
七年级l上册数学第六章知识点七年级数学第六章知识点随着学期的推进，七年级学生即将进入到数学第六章的学习中。
本章内容主要是以方程式为核心，介绍线性方程的具体内容。
下面，我将对第六章的知识点进行详细的阐述和解释，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、方程方程是用于描述数学关系的一种方法。
一般而言，方程式是由两个数学表达式或一个表达式和一个数值之间以等号相连的。
我们可以将方程式简单地归纳为以下几种：1.一元一次方程式：形如ax+b= 0 的式子，其中x为未知数，a和b为已知数。
2.一元二次方程式：形如ax²+bx+c= 0 的式子，其中x为未知数，a、b和c为已知数。
3.二元一次方程式：形如ax+by=c 和 dx+ey=f的式子，其中x和y 都为未知数，a、b、c、d、e和f为已知数。
二、一元一次方程式的解法1.移项法：移项法是解决一元一次方程的最主要方法之一。
它的核心思想是将一个未知数的项移至等号的另一边，以便求解未知数的值。
2.因式分解法：当一元一次方程式中未知数项无法直接移项时，我们可以考虑通过因式分解把未知数的项和常数项分开，进而解方程。
三、一元二次方程式的解法1.配方法：设ax²+bx+c=(ax+m)(x+n)，通过比较系数，解出m和n的值，从而求得方程的根。
2.公式法：通过b²-4ac来计算根的情况。
4.两个二元一次方程式的解法通过消元法，将多个方程式中未知数的系数进行调整，从而求出未知数的值。
以上便是七年级数学第六章的主要知识点。
希望同学们能够认真学习，掌握方程的解法和具体应用。
在未来的学习和生活中，方程会是我们必不可少的工具之一。
数学人教版《因式分解》上课课件
十字相乘法
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
浙教版七下第六章《因式分解》教案
浙教版七下第六章《因式分解》教案一、教学内容本节课选自浙教版七年级下册第六章《因式分解》的第一课时。
主要内容包括：因式分解的意义，提取公因式法，以及应用举例。
具体涉及的教材章节为6.1节。
二、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法进行因式分解的方法。
2. 能够运用因式分解解决一些实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学重点：提取公因式法进行因式分解。
教学难点：理解因式分解的意义，以及如何找出多项式中的公因式。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何求解一个多项式的值。
如：计算长方形的面积和周长，引导学生将面积和周长公式中的多项式进行因式分解。
2. 知识讲解（1）因式分解的意义：将一个多项式表示成几个整式的乘积的形式。
（2）提取公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
3. 例题讲解讲解两道例题，一道为提取公因式的简单例子，另一道为稍微复杂的多项式因式分解。
4. 随堂练习让学生独立完成两道练习题，巩固因式分解的方法。
5. 答疑解惑针对学生在练习中遇到的问题，进行解答和讲解。
六、板书设计1. 因式分解的概念及意义。
2. 提取公因式法进行因式分解的步骤。
3. 两道例题的解答过程。
4. 练习题目及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）分解因式：6x^2 9x。
（2）分解因式：5a^2 + 10a。
2. 答案：（1）3x(2x 3)。
（2）5a(a + 2)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了因式分解的基本方法，但部分学生在提取公因式时仍存在困难，需要在今后的教学中加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考，除了提取公因式法，还有哪些方法可以进行因式分解？为学生学习下一节课的内容做好准备。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的明确。
数学浙教版七下-第六章因式分解 课件1
2020/4/24
1.隧道的横截面如图,用关于h,r的多项式表示 隧道横截面的面积.这个多项式能分解因式吗?
若r=7米,h=2 米,计算这个隧道的横截面积.
r h
2020/4/24
探究学习
2. 已知一块纸板形状如图，要把它 剪拼成一个面积与之相等的长方形纸板， 这个长方形纸板的长与宽是多少？
2020/4/24
2b
45°
2a
2020/4/24
4.将4x2 1再加上一项,使它成为完全平方式,
你有几种方法?
5.如图,现有正方形纸片3张,长方形纸片3张, 请你将它们拼成一个长方形,并运用面积之
间的关系,将多项式 2a23a bb2因式分解.
a
2020/4/24
b
b
b
a
b
a
a
a
6.利用因式分解的方法,试说明 913324
2020/4/24
4.因式分解的方法:
(1)提取公因式法. am+an=a(m+n)
(2)公式法: a 2 b 2 a b a b
a 2 2 a b b 2 a b 2
5.因式分解的应用:
(1)利用因式分解进行简单的多项式除以多项式 的运算.
(2)利用因式分解解方程:若A×B=0,则
A=0 或 B=0 .
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 叫做因式分解，也叫分解因式。2、因式分解与整式乘法Fra bibliotek关系： 因式分解
结合： a2 b2 ========（a+b）（a-b）
整式乘法
因式分解和整式乘法具有 互逆 的关 系.
2020/4/24
1.下列等式从左边到右边的变形,哪些是因式 分解?
1.隧道的横截面如图,用关于h,r的多项式表示 隧道横截面的面积.这个多项式能分解因式吗?
若r=7米,h=2 米,计算这个隧道的横截面积.
r h
2020/4/24
探究学习
2. 已知一块纸板形状如图，要把它 剪拼成一个面积与之相等的长方形纸板， 这个长方形纸板的长与宽是多少？
2020/4/24
2b
45°
2a
2020/4/24
4.将4x2 1再加上一项,使它成为完全平方式,
你有几种方法?
5.如图,现有正方形纸片3张,长方形纸片3张, 请你将它们拼成一个长方形,并运用面积之
间的关系,将多项式 2a23a bb2因式分解.
a
2020/4/24
b
b
b
a
b
a
a
a
6.利用因式分解的方法,试说明 913324
2020/4/24
4.因式分解的方法:
(1)提取公因式法. am+an=a(m+n)
(2)公式法: a 2 b 2 a b a b
a 2 2 a b b 2 a b 2
5.因式分解的应用:
(1)利用因式分解进行简单的多项式除以多项式 的运算.
(2)利用因式分解解方程:若A×B=0,则
A=0 或 B=0 .
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 叫做因式分解，也叫分解因式。2、因式分解与整式乘法Fra bibliotek关系： 因式分解
结合： a2 b2 ========（a+b）（a-b）
整式乘法
因式分解和整式乘法具有 互逆 的关 系.
2020/4/24
1.下列等式从左边到右边的变形,哪些是因式 分解?
七年级下册因式分解
即：ma + mb + mc = m（a+b+c）
（2）、运用公式法
①a2－b2＝（a＋b）（a－b）[平方差公式]
②a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2[完全平方和公式]
a2－2ab－b2＝（a－b）2[完全平方差公式]
3、因式分解பைடு நூலகம்一般步骤
①先看有无公因式，对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。（提）
②再看能否套公式，考虑应用平方差公式或完全平方公式分解。（套）
③因式分解要彻底！（查）
课堂练习
1、把下列各式分解因式：
（3）- 2xy - y2- x2（4）-1 + p4
（5）x2- 2xy + y2+ 2x - 2y + 1（6）( a - b)2n- (b - a)2n+1
2、已知x +mx+n = (x-1)(x+2),求m和n的值。
3、把a2- 4ab +3 b2+ 2bc - c2因式分解
4、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0求代数式xy3+ x3y的值。
5、若5 x2－4xy＋y2－2x＋1=0，求x、y的值。
完成情况：好良好差
巨人用心教育教学课件日期2019年9月7日星期六
授课老师：学生姓名：专用
教学内容：因式分解
1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式
即：一个多项式→几个整式的积
2、因式分解的方法
（1）、提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。
（2）、运用公式法
①a2－b2＝（a＋b）（a－b）[平方差公式]
②a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2[完全平方和公式]
a2－2ab－b2＝（a－b）2[完全平方差公式]
3、因式分解பைடு நூலகம்一般步骤
①先看有无公因式，对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。（提）
②再看能否套公式，考虑应用平方差公式或完全平方公式分解。（套）
③因式分解要彻底！（查）
课堂练习
1、把下列各式分解因式：
（3）- 2xy - y2- x2（4）-1 + p4
（5）x2- 2xy + y2+ 2x - 2y + 1（6）( a - b)2n- (b - a)2n+1
2、已知x +mx+n = (x-1)(x+2),求m和n的值。
3、把a2- 4ab +3 b2+ 2bc - c2因式分解
4、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0求代数式xy3+ x3y的值。
5、若5 x2－4xy＋y2－2x＋1=0，求x、y的值。
完成情况：好良好差
巨人用心教育教学课件日期2019年9月7日星期六
授课老师：学生姓名：专用
教学内容：因式分解
1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式
即：一个多项式→几个整式的积
2、因式分解的方法
（1）、提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。
6.1因式分解
2
2－992= (1)101 2+87×13= (2)87 × 2－2×51+1= (3)51 × 2－1= (4)50
（1） ） x
+ m x n能分解成 ( x 2 )( x 5) 则 m = ______, n = ______.
2
（2） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， ） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，
他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ 他们的宽都是８㎝，长分别是５５． ㎝，２ 长分别是５５ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积 ㎝，２０． ㎝，那么这些绿化带的面积 ２０ 之和是__________ 之和是
8 55.5 24.4 20.1
你知道因式分解的定义吗? 你知道因式分解的定义吗 你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你会验证因式分解是否正确吗? 你会验证因式分解是否正确吗 你会利用因式分解快速解决某些问题吗? 你会利用因式分解快速解决某些问题吗
整式乘法
因式分解
一般地， 一般地，把一个多项式转化成几个 整式的积的形式，叫做因式分解 因式分解， 整式的积的形式，叫做因式分解，有时 我们也把这一过程叫做分解因式。 我们也把这一过程叫做分解因式 分解因式。
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
+ a = a ( a + 1) 2 （2）( a + 3)( a 3) = a 9 ） （3） 4 x 2 4 x + 1 = (2 x + 1) 2 ）
浙教版七(下)第六章因式分解 浙教版七 下 第六章因式分解 《6.1因式分解》
8.因式分解-----公式法课件数学沪科版七年级下册
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因 式，一定要再用提公因式法 继续分解.
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36；
（1）ab2-ac2;
(2)3ax2+24axy+48ay2. 48a=3a×16
(1)解：ab2-ac2 =a(b2-c2) （提取公因式） =a(b+c)(b-c).（用平方差公式）
(2)解：3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) （提取公因式） =3a[x2+2·x·4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. （用完全平方公式）
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2.
3.分解因式： （3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
解：（3）原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
整式乘法
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
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f x g x q xL L r x， 即可写成 f x g xq x r x.
特别地，当除式g(x)为一次式(x-a)时，则余式r(x)只能为常数.此时，
余式也可以叫做余数，记作r ，则可写成 f x x a q x r
⑴余数定理：多项式除以所得的余数等于. ⑵因式定理：若多项式f(x)有一个因式(x-a) ，则f(a) =0；反之，如 果f(a) =0 ，则(x-a)必为多项式f(x)的一个因式. 可以看出，因式定理只是余数定理在r=0时的一种特殊情况.
如用f(x)表示代数式 2x2 5x 6，记作 f x 2x2 5x 6 ．
则f(3)表示当x=3时，代数式 2x2 5x 6 的值，
f 3 2 32 5 3 6 3
因式定理与余数定理
二、余数定理与因式定理： 多项式f(x)除以多项式g(x)的商式为q(x) ，余式为r(x).
例题6
（2）已知 f x x2 mx n ，（m、n均为整数） 既是 多项式 g x x4 3x3 3x2 7x 6 的因式，又是多项式 h x 4x4 12x3 19x2 42x 45的因式，求 f 2 。
试根法
利用因式定理和综合除法，可以得到因式分解的又一种方法——试
例题4
（1）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 x 1
所得的余数．
例题4
（2）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 2x 2
所得的余数．
例题4
（3）试确定m的值，使多项式f (x) x5 3x4 8x3 11x m
能够被整除 x 1 .
例题7
（9）x3 a b c x2 ab bc ca x abc
练习1
分解因式：
（1）x2 2xy 15y2 x 19y 6
a
1 2
b
2
练习1
（2） a2 3c2 2b2 3ab 4ac 5bc
a
1 2
b
2
练习1
（3） xy y2 x y 2
a
a
1 2
b
2
练习1
（8） x 1 x 2 x 3 x 4 24
a
1 2
b
2
练习1
（9） x 1 x 2 x 3 x 6 x2
a
1 2
b
2
练习1
（10）
a2 1 2
a2 5
2
4
a2 3
2
a
1 2
b
2
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
根法.
⑴对于整系数多项式： f x a0 xn a1xn1 L an1x an 性质①：若首项系数 a0 1 ，且它有因式 x q（ q为整数），则q一
定是常数项 an 的因数.
性质②：若首项系数 a0 1，且它有因式 px q（ p、q为两个互素
的整数），则p一定是首项系数 a0 的因数，q一定是常数项 an 的因 数.
例题3
用综合除法计算下列各式的商式和余式：
（1） 3x3 5x2 2 x 3
例题3
（2） 8x2 2x x4 14 x 1
例题3
（3） 3x3 10x2 23x 16 3x 2
因式定理与余数定理
一、关于的代数式： 研究关于x的代数式时常常可用记号f(x)或者g(x)等简单地表示．这 里的f表示对括号内的字母施行的一系列的运算. f(x)表示当x=a时， 代数式f(x)的值.
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题5
（1）一个关于x的二次多项式f(x)，它被(x-1)除余2，它被 (x-3) 除时余28， 它还可被(x+1)整除，求f(x).
例题5
（2）求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1， 它被(x-3)除余1，且它被除(x-1) 和(x-2)被除所得的余数相 同.
例题6
(1)试确定a与b，使 x4 ax2 bx 2 能被 x2 3x 2 整除.
例题1
（2） (3x3 4x2 5x 1) (x2 3x 1)
例题1
（3） 3x4 4x2 2x 4 x 2
例题1
（4） 3x4 5x3 7x2 2x 5 x2 1
例题1
（5） 11x4 5x2 4x 8 x2 3
例题2
已知 x3 5x 3， 求 x7 2x6 4x5 9x4 6x3 13x2 29x 13 的值.
1 2
b
2
练习1
（4） 15x2 20xy x 8y 2
a
1 2
b
2
练习1
（5）2x2 3xy 2y2 3xz yz z2
பைடு நூலகம்
a
1 2
b
2
练习1
（6） 6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 20z2
a
1 2
b
2
练习1
（7） x2 7x 6 x2 x 6 56
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
例题1
用长除法求下列各式的商式与余式：
（1） (2x3 3x 4) (x 3)
特别地，当除式g(x)为一次式(x-a)时，则余式r(x)只能为常数.此时，
余式也可以叫做余数，记作r ，则可写成 f x x a q x r
⑴余数定理：多项式除以所得的余数等于. ⑵因式定理：若多项式f(x)有一个因式(x-a) ，则f(a) =0；反之，如 果f(a) =0 ，则(x-a)必为多项式f(x)的一个因式. 可以看出，因式定理只是余数定理在r=0时的一种特殊情况.
如用f(x)表示代数式 2x2 5x 6，记作 f x 2x2 5x 6 ．
则f(3)表示当x=3时，代数式 2x2 5x 6 的值，
f 3 2 32 5 3 6 3
因式定理与余数定理
二、余数定理与因式定理： 多项式f(x)除以多项式g(x)的商式为q(x) ，余式为r(x).
例题6
（2）已知 f x x2 mx n ，（m、n均为整数） 既是 多项式 g x x4 3x3 3x2 7x 6 的因式，又是多项式 h x 4x4 12x3 19x2 42x 45的因式，求 f 2 。
试根法
利用因式定理和综合除法，可以得到因式分解的又一种方法——试
例题4
（1）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 x 1
所得的余数．
例题4
（2）求多项式 f (x) 7x5 4x4 6x2 5 除以 2x 2
所得的余数．
例题4
（3）试确定m的值，使多项式f (x) x5 3x4 8x3 11x m
能够被整除 x 1 .
例题7
（9）x3 a b c x2 ab bc ca x abc
练习1
分解因式：
（1）x2 2xy 15y2 x 19y 6
a
1 2
b
2
练习1
（2） a2 3c2 2b2 3ab 4ac 5bc
a
1 2
b
2
练习1
（3） xy y2 x y 2
a
a
1 2
b
2
练习1
（8） x 1 x 2 x 3 x 4 24
a
1 2
b
2
练习1
（9） x 1 x 2 x 3 x 6 x2
a
1 2
b
2
练习1
（10）
a2 1 2
a2 5
2
4
a2 3
2
a
1 2
b
2
例题7
（3） 2x4 x3 6x2 x 2
例题7
（4） x3 9x2 26x 24
例题7
（5）x3 3x2 3x 26
例题7
（6） x4 x3 7x2 x 6
例题7
（7） 3x3 5x2 y xy2 y3
例题7
（8） 6x3 5x2 y 3xy2 2y3
根法.
⑴对于整系数多项式： f x a0 xn a1xn1 L an1x an 性质①：若首项系数 a0 1 ，且它有因式 x q（ q为整数），则q一
定是常数项 an 的因数.
性质②：若首项系数 a0 1，且它有因式 px q（ p、q为两个互素
的整数），则p一定是首项系数 a0 的因数，q一定是常数项 an 的因 数.
例题3
用综合除法计算下列各式的商式和余式：
（1） 3x3 5x2 2 x 3
例题3
（2） 8x2 2x x4 14 x 1
例题3
（3） 3x3 10x2 23x 16 3x 2
因式定理与余数定理
一、关于的代数式： 研究关于x的代数式时常常可用记号f(x)或者g(x)等简单地表示．这 里的f表示对括号内的字母施行的一系列的运算. f(x)表示当x=a时， 代数式f(x)的值.
第六讲 因式分解（四）
知识要点：
关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单 项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算. <一>长除法的运算步骤： ⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用补齐； ⑵用竖式进行运算； ⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.
例题5
（1）一个关于x的二次多项式f(x)，它被(x-1)除余2，它被 (x-3) 除时余28， 它还可被(x+1)整除，求f(x).
例题5
（2）求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1， 它被(x-3)除余1，且它被除(x-1) 和(x-2)被除所得的余数相 同.
例题6
(1)试确定a与b，使 x4 ax2 bx 2 能被 x2 3x 2 整除.
例题1
（2） (3x3 4x2 5x 1) (x2 3x 1)
例题1
（3） 3x4 4x2 2x 4 x 2
例题1
（4） 3x4 5x3 7x2 2x 5 x2 1
例题1
（5） 11x4 5x2 4x 8 x2 3
例题2
已知 x3 5x 3， 求 x7 2x6 4x5 9x4 6x3 13x2 29x 13 的值.
1 2
b
2
练习1
（4） 15x2 20xy x 8y 2
a
1 2
b
2
练习1
（5）2x2 3xy 2y2 3xz yz z2
பைடு நூலகம்
a
1 2
b
2
练习1
（6） 6x2 5xy 6y2 2xz 23yz 20z2
a
1 2
b
2
练习1
（7） x2 7x 6 x2 x 6 56
⑵试根法：对整系数多项式f(x)进行因式分解时，根据因式定理，
若能找到方程
f
x
0的根
x
q（或 x
q ），即找到了f(x)的一个 p
因式 x q或 px q . 剩余部分可用长除法或综合除法来求得.
例题7
分解因式:（1）x3 4x2 6x 4
例题7
（2）x4 2x3 5x2 4x 12
知识要点：
<二>综合除法： 综合除法是一种简便的除法，指通过乘、加两种运算便可计算到
一元多项式除以 x a的 商式与余式.综合除法的注意事项：
⑴被除式按降幂排列，若有缺项用0补齐；
⑵综合除法仅适用于除式为 x a形 式的整式除法.
例题1
用长除法求下列各式的商式与余式：
（1） (2x3 3x 4) (x 3)