群表示理论
数学中的群论与表示论
数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。
群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。
本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。
一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。
群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。
群论的基本概念就是群。
群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。
在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。
这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。
通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。
群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。
例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。
在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。
二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。
如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。
表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。
在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。
这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。
一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。
群表示论解决同调代数的例子
群表示论解决同调代数的例子同调代数是代数学中的一个重要分支，主要研究代数结构中的同调对象及其性质。
群表示论是同调代数的一个重要工具，可以帮助我们研究群的结构和性质。
在本文中，我们将列举一些群表示论解决同调代数问题的例子，以帮助读者更好地理解这个领域的研究方法。
1. 置换群的表示论：置换群是一类重要的群结构，它由有限个元素的置换构成。
通过群表示论，我们可以将置换群表示为矩阵群，从而更好地研究置换群的性质。
2. 对称群的不可约表示：对称群是置换群中最重要的一类群，它由n个元素的全排列构成。
通过群表示论，我们可以将对称群表示为一系列矩阵群，从而研究对称群的结构和性质。
3. 紧致Lie群的表示论：Lie群是具有光滑流形结构的群，紧致Lie 群是其中一类重要的子群。
通过群表示论，我们可以将紧致Lie群表示为一系列矩阵群，从而研究紧致Lie群的性质和表示。
4. 简单有限群的表示论：简单有限群是群论中非常重要的一类群，它们的结构非常复杂。
通过群表示论，我们可以将简单有限群表示为一系列矩阵群，从而更好地理解和研究这些群的性质。
5. 群环的同调代数：群环是一种特殊的环结构，它由一个群和一个环构成。
通过群表示论，我们可以将群环的同调代数表示为一系列矩阵代数，从而研究群环的同调性质。
6. 集合的对称群的表示论：集合的对称群是由集合上的所有置换构成的群。
通过群表示论，我们可以将集合的对称群表示为一系列矩阵群，从而研究集合的对称群的性质和结构。
7. 群的单位表示：群的单位表示是群的一个重要概念，它将群的元素表示为矩阵。
通过群表示论，我们可以将群的单位表示表示为一系列矩阵群，从而更好地研究群的结构和性质。
8. 有限群的不可约表示：有限群的不可约表示是群表示论中的一个重要概念，它将有限群表示为一系列不可约矩阵群。
通过群表示论，我们可以研究有限群的不可约表示及其性质。
9. 群的特征标理论：特征标是群表示论中的一个重要概念，它将群的单位表示的迹表示为一系列数值。
群论课件
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
北京大学群论-习题第二章群表示理论
第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。
当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。
2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[A t(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。
试问[A t(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：Σg∈C A(g)＝λE。
4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。
5．求三阶群的所有不等价不可约表示。
6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)⊗B(g)也是G的一个不可约表示。
7．V的所有不等价不可约表示。
8.9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。
10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。
11．设A p(g)和A r(g)是群G的两个不等价不可约表示，证明：直积表示A p(g) ⊗A r*(g)不包含恒等表示，而A p(g) ⊗ A p*(g)包含恒等表示一次且仅一次。
12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：φ1(θ)=cos2θ, φ2(θ)=sin2θ, φ3(θ)=√2cosθsinθ，并将其约化为不可约表示。
13．求正三角形对称群D3的子群{e, a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。
14. 求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。
第二章 群表示理论
群的封闭线性空间：只有当函数空间（线性空 间）在算符群中所有算符的作用下都不变时， 算符群才能给出群的表示。
11
问题：群的表示有多少种？ 设矩阵群D是G的表示， Dg 对应于群元g的矩 阵。有一个非奇异矩阵S，有 D g S 1D g S 。对 于所有 g G ， g 构成一个矩阵群，也是G的一 D 个表示。
定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示， 则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩 阵S，使 D g S 1D g S ，并且 D g D g 1 。）
13
D 证明：群G的一个矩阵表示， : A1 , A2 ,, Ai ,, Ag ， H A A ,H 对应于各个群元的表示矩阵。定义 G 是厄米阵（ H H ）。对于任一g∈G，一定存在 D g S 1D g S 成为D的等价表示。 非奇异矩阵S，使
对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化，即
V 1 HV H，H是对角化的。 V是H的特征矩阵排列构成的。 H A A V AVV AV
1 1
H
kk
A kj A
j
jk
Akj
j
2
,（k任意）
14
则H kk 0。若等于0，则A阵是奇异的，而群表示 H 矩阵是非奇异的。因此， kk 均是大于0的实数。
T 矩阵群 M A M g | g G ， A M A , M A ~ G ；
选取不同基矢组， TA有不同的矩阵群。
群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方矩阵，如果 G 与M同态 ，则称M是G的一个n维表示。
2-4分子对称性群表示理论
轴且过交点的平面内必有n个
C2
轴。进而可推得，一个
Cn
2
轴与垂直于它的
C2
轴组合，在垂直于
Cn
轴的平面内有n个 C
轴，相邻两轴的夹角为
2
2n
。
（3）
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ ˆ yz xz y 0 1 0 0 1 0 y z 0 0 1 0 0 1 z 1 0 0 x x 0 1 0 y y 0 0 1 z z
（3）
证明：（1）
ˆ ˆ yz xz
ˆ1 C 2( z )
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ 1 y 0 1 0 0 1 0 y C 2 ( z ) ˆ xy z 0 0 1 0 0 1 z
所以：
ˆ 1 C1 C1 ˆ C 2( x ) ˆ 2( y ) 2( z )
这说明，若分子中存在两个互相垂直的 C 轴，则在其交点上必定出现垂直于这两个 2
C 2 轴的第三个 C 2
轴。推广之，交角为
2
2n
的两个
C2
Cn
，在垂直于
轴组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个 C 2 轴的
Cn
0 0 1
1 0 0 ' V 0 1 0 0 0 1
1 2 ' V' 3 2 0
3 1
2
2 0
0 0 1
3 1 2 0
群论-第二章_群表示理论_2011.12.7
j
C3v： e,c3 ,c32 ,1 , 2 , 3
c3eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ 2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ3 eˆ3
6
c3 M
c3
1 2
3 2
3 2
1 2
0
1 2
0
，也可写成
19
定理2.若D1和D2是群G的等价幺正表示，则有
幺正矩阵U，使得
。
证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S， 对∀g∈G，有
D2 g S 1D1 g S 并有D2 g 1 S 1D1 g 1 S D2 g 1 S D1 g 1 S 1 D21 g 1 S D11 g 1 S 1 D2 g S D1g S 1
y
1 2
x
3 2
y eˆ1
3 2
x
1 2
y
eˆ 2
x
11
T c3 u1r
eˆ1 c31r 2
eˆ2
c31r
2
1 2
x
3 2
y 2
3 2
x
1 2
y 2
1 2
u1
r
13
一个群有多少种表示？
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(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
对于群G的每个操作R，G和Gn是具有矩阵 D (R ) 和 Dv (R )
（维数分别为n和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的
一. 群的表示
1.群的各种表示
群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群 的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群 。
群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性 变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。
基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数 。 因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可 约表示是固定的有限个。
1
k (E ) 2 g 1(C i ) 1 (第1列和第1行)
1
ab
c
d
（2）不可约表示的数目r等于类的数目k
(3)各行必须满足 (4)各列必须满足
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
n 1
n
(C i)nຫໍສະໝຸດ (Cj )*(
g
gi )ij
1 2a 3b 0
2
Oˆ R
A1
f
2
A1Oˆ R
f2
A1D
f
(R
)
f
2
A1D
f
(R
)
A
g2
g
n
f
n
f
n
f
n
g
n
与右上式比较，
D g (R ) A1D f (R ) A
以g为基表示的矩阵与以f为基表示的矩阵，可由一个相似变换简单地联系起来，这
两个表示被称为等价
2. 举例 p轨道函数空间 f基 px
R
Dik (R
)
D
jm
(R
)*
0,
if
i j
or / and
km
R
R
Dik (R
) Dik
(R
)*
g n
表 6-5.1 p129 =A1
=E
（还有一个 一维不等价 不可约表示， 见后面）
举例验证广义正交定理：见上页表
例1：
验证
R
Dik
(R
)Dik (R
)*
g n
右端: C3v群的阶g为6，只有当=n,i=j, 且 k=m时不为0。
g基 p1
py
P-1
pz
p0
用前面定义的A，
A=
A-1=
A为酉阵
对于绕e3轴顺时针转q,求得
（详见p122-123）
D g (R ) A1D f (R ) A
等价表示— n维线性空间中,两组(线性独立的)基｛ f i ｝、｛ g j ｝的表示矩阵 D f 、Dg 在相似变换下有
可见,一方面,等价表示相当于基组变换,判定为等价表示的两组基属于同类,同类表示研 究一个即可.群中有意义的是那些不能通过相似变换联系起来的不等价表示.
k=i, m=j
R Dii (R )Dnjj (R -1 ) ( g n ) nijij
对i和j加和
i, j R Dii (R )Dnjj (R -1 ) ( g n ) n i, j ijij
R
n i1
Dii
(R
)
nn j 1
Dnjj
(R
-1
)
(
g
n
) n
n i1
nn
ij
j 1
( g n )n n
1.以直角坐标为基
2. 以分子内坐标为基
Oˆ R
f2
D
f
(R
)
f2
f
n
f
n
g1
g1
Oˆ R
g2
D
g
(R
)
g2
gn
g
n
What is the relationship between D f (R ) and D g (R ) ?
g1
f1
f1
f1
g1
Oˆ R
g
若以两个 键为基,则得到两个2维的矩阵表示：
什么是等价表示 不同线性独立的函数集合
f1, f2 ,, fn , g1, g2 ,, gn ,
f1 g1
f2
A
g2
f
n
g
n
左乘A-1,得
g1
f1
g
2
A1
f2
g
n
f
n
f1
f1
x (R )xn (R - 1 ) g n
R
酉矩阵
x (R )xn (R )* g n
R
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
1 gi2
(C i
)
1
gi2
n
(C
i
)*
g n
i1
例：求某一不可约表示的特征标 （1）各个不可约表示的维数的平方和等于群的阶
k
n2 g
取二维表示，则右端=6/2=3
取i=1, j=2，则:
左端= R
D1E2 (R )D1E2 (R ) 02 (
3)2 ( 2
3 )2 02 ( 2
3)2 ( 2
3)2 3 2
E C3
C32
v’ v”
v’”
试验证i=2, j=1的情况和
DiEk (R
)
D
E jm
(R
)*
0,
if
i j
P X -1QX
D(X 1)D(X ) D(X 1X ) D(E ) D1(X )D(X ) D(X 1) D1(X )
D(P) D(X -1QX) D1(X )D(Q )D(X )
D(P)和D(Q)靠相似变换联系起来
27
3. 不可约表示的性质
特征标的广义正交定理
R Dik (R )Dnmj (R -1 ) ( g n )nijkm
(3) 可约表示与不可约表示
可约(化)表示:如果有一相似变换可以将一个表示的所有矩阵都对角化,或变成式样相同 的准对角(分块)矩阵,那么,这个表示就是可约(化)表示. 于是,相似变换又是约化表示的工具. 约化后的可约表示等于各子块表示矩阵的直和. 不可约表示(IR):若子块表示矩阵不能再约化了,则称为不可约表示。
or / and
km
R
例2：
取n=nn=1, 即1维不可约表示A1
D A1 (R )D A1 (R ) (11) 6
R
R
例3：
R Dik (R )Dnjm (R )* ( g n )nijkm
取n=1, nn=2, 即A1和E不可约表示。
∵ n,则右端=0
对A1只有一个元素1，对E,如取j=1, m=2
(1) 忠实表示与不忠实表示
以x,y,z为基得到的一组3维矩阵：
有与C2V群相同的乘法关系，构成C2V群的一个矩阵表示。像这样，一个对称操 作对应一个矩阵的表示,即为忠实表示.
(2) 等价表示与不等价表示
实际上,O原子在构成H2O分子时,3个实p轨道与2s轨道经sp3不等性杂化,形成两对孤对电 子(未成键)和两个与H结合键.
左端=
R
DA1 (R )D1E2 (R ) 0 (
3) 2
3 0 ( 2
3) 2
3 0 2
E
C3 C32 v’ v”
v’”
2. 特征标与特征标表
特征标定义：
特征标性质： （1）等价表示的特征标相等（逆命题也成立）
（2）同类操作的特征标相等
如果： P X -1QX
则： (P ) Q
证明：
关系
R Dik (R )D *njm (R ) ( g n )nijkm
g为群的阶,加和遍及所有的操作R. 证明见附录A.7-1
对称操作R的逆矩阵 对称操作R的逆操作
假定不可约表示是酉群
R Dik (R )Dnjm (R )* ( g n )nijkm
（理解更重要）
可分为三个等式理解
Dik (R )Dnjm (R )* 0, if n
1 2a2 3b2 6
2 2c 3d
0
4 2c2 3d 2 6
35
二. 群表示的基
一个分子的所属点群确定之后,在分子对称(群)框架下,可以选任何事件为基；
直角坐标、基向量(分子内坐标)和(波)函数 特别是以波函数(AO、MO)为基,因为对称操作使分子进入等价构型,分子的能量不变, 分子整体以及分子哈密顿算符一定属于分子所属点群的全对称表示.