数学史

莱布尼茨
大家好！
在生活中，我们常听到一句名言“世界上没有完全相同的树叶”，但是这句名言是出自哪位伟人之口呢？在数学中，我们学习了微积分以及一些积分符号，这一些又是哪位数学家发明创造的呢？相信大家都很想知道答案：这一些发明出自于德国数学家——莱布尼茨，我将和大家一起从其生平、数学成就等方面来认识这位科学史上的巨匠。

（一）名人简介
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。

涉及的领域及法学、力学、
光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里
士多德、“德国百科全书式的天才”。

（二）人物生平
公元1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·凡·莱
布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲
弗里德希·莱布尼茨是莱比锡大学的道德哲学教授，
母亲凯瑟琳娜·施马克出身于教授家庭，虔信路德新
教。

在莱布尼茨6岁时父亲去世，为他留下丰富的藏书。

1661年15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，并钻研哲学，广泛阅读了培根、伽利略、开普勒等人的著作。

1663年5月，他以题目为《论个体原则方面的形而上学争论》的论文获得学士学位。

1664年1月，以《论法学之艰难》取得该校哲学学士学位。

是年2月12日，他母亲不幸去世。

18岁的莱布尼茨从此只身一人生活，他—生在思想、性格等方面受母亲影响颇深。

从1665年开始，莱比锡大学审查他提交的博士论文《论身份》，但1666年，以他年轻为由而拒绝不授予他博士学位，对此他愤怒地离开莱比锡前往纽伦堡的阿尔特多夫大学，1667年2月阿尔特多夫大学授予他博士学位，并聘他为教授，被他拒绝。

1672—1676年，任外交官并到欧洲各国游历，此间他结识了惠更斯等科学
家，从惠更斯的论著中看到了数学的魅力，从而激发了他对数学的兴趣与追求，在惠更斯的热情指导下，他深入钻研了笛卡尔、帕斯卡、巴罗等人的论著，并写下了很有见地的数学笔记，并于1673年被选为英国皇家学会会员。

1676年，他到德国西部的汉诺威，担任腓特烈公爵的顾问及图书馆馆长近40年，这使他能利用空闲钻研自己喜爱的问题，撰写各种题材的论文，其论文之多浩如烟海。

1682年，他与门克创办拉丁文科学杂志《教师学报》，他的数学、哲学文章大都刊登在此杂志上。

1700年被选为法国科学院院士，同时创建了柏林科学院，并担任第一任院长。

至此当时世界上四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼茨作为核心成员。

1712年左右，他同时被维也纳、布伦兹维克、柏林、彼得堡等王室所雇用。

这一时期他一有机会就积极地宣传他编写百科全书，建立科学院以及利用技术改造社会的计划。

在他去世以后，维也纳科学院、彼得堡科学院先后都建立起来了。

据传，他还曾经通过传教士，建议中国清朝的康熙皇帝在北京建立科学院。

1716年11月14日，由于痛风和胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。

（三）数学成就
在数学中，以他的姓氏命名的有：莱布尼茨定理、莱布尼茨公式、莱布尼茨级数、莱布尼茨收敛准则、莱布尼茨性质等等。

他最著名的成就是创建了微积分的方法。

（1）微积分的创立
与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。

莱布尼茨的微积分思想的最早记录，出现在他1675年的数学笔记中。

他研究了巴罗的《几何讲义》及帕斯卡的《关于四分之一圆的正弦》的论文之后，意识到微分与积分是互逆的关系，并得出了求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值（当这些差值变成无穷小时）的比；而求面积则依赖于横坐标的无穷小区间上的纵坐标之和或无限窄矩形面积之和，并且这种求和与求差的运算是互逆的。

即莱布尼茨的微分学把微分看作变量相邻二值的无限小的差，而他的积分概念则以变量分成的无穷多个微分之和的形式出现。

莱布尼茨的第一篇微分学论文《一种求极大极小和求切线的新方法》，简称《新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献，这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。

文中介绍了微分的定义，函数的和、差、积以及乘幂的微分法则，关于一阶微分不变形式的定理，关于二阶微分的概念以及微分学对于研究极值、作切线、求曲率及拐点的应用。

莱布尼茨关于积分学的第一篇论文发表于1686年，其中首次引进了积分号⎰，并且初步论述了积分或求积问题与微分或求切线问题的互逆关系，该论文的题目为《探奥几何与不可分量及无限的分析》。

在这篇积分学论文中，莱布尼茨给出了摆线方程为：⎰-+-=2222y x x dx
x x ，目的是要说明他的方法和符号，
可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程。

（2）数学符号
莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。

他曾说：“要发明, 就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”，正象印度——阿拉伯的数学促进了算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。

莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统。

1675年引入dx 表示x 的微分，“∫”表示积分，dddy ddv ,表示二阶、三阶微分。

1695年左右，用n d m 表示m 阶微分。

除积分、微分符号外， 他创设的符号还有除号“b
a ”比“a ：
b ”，相似“∽”, 全等符号“≌”，并“⋃”，“交“ ⋂”，概念加号“⊕”，此外，还有对数符号、函数符合、行列式符号等等。

莱布尼茨的优越的符号为以后分析学的发展带来了极大地方便。

欧洲大陆的数学得以迅速发展， 莱布尼兹的巧妙符号功不可没。

（3）对其他数学分支的贡献
莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。

莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。

在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。

他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。

莱布尼茨还对于笛卡尔的解析几何，他提出了“坐标”及“横坐标”的概念；他还得到了sinx，cosx，arctanx等函数的无穷级数展开式，后来也认识到级数收敛的重要性；在常微分方程中，他想到分离变量法。

此外，莱布尼茨创立了符号逻辑学的基本概念。

莱布尼茨1679年撰写的《二进制算术》，使他成为二进记数制得发明人。

他是制造计算机的先驱，1674年在巴黎科学院当众演示了他制成的“算术计算机”，这是第一台能做四则运算的计算机。

他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。

（四）牛顿与莱布尼茨发明权之争
牛顿与莱布尼兹之间发生了优先权问题的争执，争端是由局外人挑起的，一位瑞士数学家德勒1699年在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”而莱布尼兹为“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”，莱布尼兹立即对此反驳，1712年，英国皇家学会专门指定了一个委员会进行调查，并于翌年公布了一份著名的《旦报》，宣布“牛顿为第一发明人”，引起了莱布尼兹的申诉，争论在双方的追随者之间越演越烈，直到莱布尼兹和牛顿去世后，才逐渐平息并得到解决，经过调查，特别是对莱布尼兹的手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就时间而言，牛顿要早，就发表的时间而言，莱布尼兹则先。

优先权争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。

微积分发明权的争论，对整个18世纪英国与欧陆国在数学发展上分道扬镳，产生了严重的影响。

由于英国数学家们固守牛顿的传统使自己逐渐远离分析的主流，分析的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼兹微积分方法的基础而取得的。

牛顿与莱布尼茨都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异，各有特色，但二者的功绩是相当。

结束语：莱布尼茨的博学多才在科学史上罕有所比，他把一切领域的知识作为自己追求的目标。

莱布尼茨的研究涉及数学、哲学、法学、力学、光学、流体静力学、气体学、海洋学、生物学、地质学、机械学、逻辑学、语言学、历史学、神学等41个范畴，被誉为“17世纪的亚里士多德”、“德国百科全书式的天才”。

感谢大家同我一起来认识这位伟大名人，谢谢大家！。