怎样求点到平面的距离

怎样求点到平面的距离

徐加生

在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。

一 直接法

根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。

例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，32AC ,2BC ,90ABC ==︒=∠，且C A AA ,C A AA 1111=⊥；（I ）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小；（II ）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小；（III ）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。

图1

简析：（I ）如图1，取AC 中点D ，易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为︒=∠45AD A 1。 （II ）由于⊥D A 1底面ABC ，过D 作AB DE ⊥于E ，连E A 1，知AB E A 1⊥，则ED A 1∠为所求二面角的平面角。易求得︒=∠60ED A 1。

（III ）要求C 到平面11ABB A 的距离，可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ，CH 的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH 的长。注意到AB BC ⊥，连BH ，则由三垂线定理得AB HB ⊥，即HBC ∠为二面角的平面角。由（II ）知HBC ∠︒=60，所以360sin BC CH =︒=为所求。

注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。

二. 找垂面法

找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到

平面的垂线段。

例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D 。（1）求证//BC 1平面D AB 1；（2）求点B 到平面D AB 1的距离。

图2

简析：（1）连B A 1与1AB 相交于O ，连DO 。由三角形中位线定理易得OD //BC 1，则

D AB //BC 11面。

（2）由于O 为B A 1的中点，所以点B 到平面D AB 1的距离等于点1A 到平面D AB 1的距离。

由111C A D B ⊥，得111ACC A D B 面⊥，又D AB D B 11面⊂，所以面111ACC A D AB 面⊥，交线为AD （找到了垂面）。 过1A 作AD H A 1⊥于H ，则D AB H A 11面⊥，所以H A 1的长度就是点1A 到平面D AB 1的距离。

在AD A Rt 1∆中，2

3

AD A A D A H A 111=

⋅=

所以点B 到平面D AB 1的距离为2

3

。

三. 转化法

当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离。

例3. （1991年全国高考题）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。

简析：如图3，连AC 分别与BD 相交于O ，与EF 相交于H ，由

EF ⊥G CH G CH Rt ∆G H OK ⊥11

112OK =

等积法

即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。

例4. 同例3。

简析：设B 到面EFG 的距离为h ，

h S 3

1

V GEF GEF B ⋅=∆-

由于112)244

3

(22221GH EF 21S 22GEF =⨯+⨯⨯=⋅⋅=

∆， 所以h 113

2

V GEF B =

- 另一方面，3

4S 41221S GC 31V V BAD BEF BEF G GEF B =⨯⨯=⋅⋅==∆∆--， 所以

3

4

h 1132=， 得11

11

2h =即为B 到平面GEF 的距离。

五. 坐标向量法

通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。 例5. （2003年江苏高考题）如图4，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱2AA 1=，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II ）求点A 1到平面AED 的距离。

图4

简析：（I ）易知G BE ∠为B A 1与平面ABD 所成的角。不难求出3

2

arcsin

GBE =∠。 （II ）分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系。 设a 2|CA |=，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），1A （2a ，0，2），E （a ，a ，1）， )3

1

,3a 2,3a 2(

G ，

所以)1,a 2,0(BD ),2,3

a

,3a (GE -==→→

由03

2

a 32BD GE 2=+-=⋅→

→， 解得1a =。

所以A （2，0，0），1A （2，0，2），E （1，1，1）

易证平面⊥AED 平面E AA 1，交线为AE ，所以点1A 在平面AED 内的射影H 在AE 上。 设→

→

λ=AE AH ，则

)2,,(AH A A H A 11-λλλ-=+=→

→→

由0AE H A 1=⋅→

→

，即02=-λ+λ+λ，得

3

2

=

λ 所以)3

4,32,32(H A 1--=→

3

6

2|H A |1=

→

故点1A 到平面AED 的距离为

3

6

2。