高考数学讲义空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【难度】4【解析】C ；分线段AB 两端点在平面α同侧和异侧两种情况解决．【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【难度】6 【解析】3;【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．OEA 1D C 1B 1DCA【难度】6【解析】 ∵11A B ∥11C D ，且11C D ⊂面11ABC D∴11A B ∥面11ABC D ，且点E 在11A B 上，∴点E 到平面11ABC D 的距离即为点1A 到平面11ABC D 的距离 连结1A D 交1AD 于Q ，则根据正方体性质可知，1A O ⊥面11ABC D ∴点1A 到平面11ABC D 的距离为1A O 的长，即12AO =典例分析板块一.点到平面的距离问题【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=o ，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【难度】6【解析】 作DH ⊥PA 交PA 于H∵PD ⊥面ABCD ，且AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，且PD I AD D = ∴AB ⊥面PAD ∵DH ⊂面PAD∴DH ⊥AB ，又DH ⊥PA ，且AB PA A =I ∴DH ⊥面PAB ，∴点D 到平面PAB 的距离即为DH 长 在Rt PAD ∆中，AD PD a ==，∴DH = ∴点D 到平面PAB本题可用体积法，在此不在给出具体过程．【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60o ，求点C 到面1ABC 的距离.EDC 1B 1A 1CBA【难度】6 【解析】答案：34过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连结1C D ，则1C D ⊥AB ，160C DC ∠=o∴CD =1C D =132CC =在1CC D ∆中，过C 作CE ⊥1C D则CE 为点C 到平面1ABC的距离，334CM ==∴点C 到平面1ABC 的距离为34【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCDAA 1【难度】6【解析】D ；因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1DEF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E=11⨯=，故选D ．【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【难度】6 【解析】 D因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1D EF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E =11⨯=，故选D ．【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【难度】6【解析】 设P 在 底面ABC 上的射影为O ，则2PO =，且O 是三角形ABC 的中心，设底面边长为a，则223=，∴a =b则b ='h 面积法求A 到侧面PBC的距离2h ==【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【难度】6【解析】连结AC ，BD 交于点O ，连结EO ，则EO ∥PD又PD ⊂面PCD ，∴EO ∥面PCD ，点E 到面PCD 的距离可转化为点O 到面PCD 的距离 ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴面PCD ⊥平面ABCD过点O 作OG ⊥CD 交CD 于点G ，由面PCD I 平面ABCD CD =知OG ⊥面PCD ， 则OG 的长为点E 到面PCD 的距离在正BCD ∆中，60BDC ∠=o ,122aDO BD ==,∴sin 60OG DO =⋅o 本题可将点E 到平面PCD 的距离转化为，点B 到平面PCD 的距离的一半，则BCD ∆的过点B 的中线为点B 到平面PCD 的距离．【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【难度】8【解析】 ⑴∵,PA PB PA PC ⊥⊥，∴PA ⊥平面PBC ， ∴PA BC ⊥． 又∵PO ⊥平面ABC ， ∴PO BC ⊥， ∴BC ⊥平面POA ， ∴BC AO ⊥， 同理有AB CO ⊥， ∴O 为ABC ∆的垂心． ⑵∵PO ⊥平面ABC ，∴PO AO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥， ∵PA PB PC ==，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆， ∴OA OB OC ==， ∴O 为ABC ∆的外心． ⑶（法一）∵PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，∴AB BC CA ===，ABC ∆为正三角形，∴AO AB ==，∴PO ==．因此点P 到平面ABC． （法二）∵,PA PB PA PC ⊥⊥，∴PA ⊥平面PBC ，∴1133P ABC ABC A PBC PBC V S PO V S AP --=⋅⋅==⋅⋅，又AB BC CA ===，ABC ∆为正三角形，∴221)2ABC S =，∴21a aPO ⋅⋅==，即为所求．【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【难度】8【解析】 ⑴连结AC ，∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CC BD ⊥． 又∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥． ∴BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ， ∴1BD AC ⊥，同理有，1A D ⊥平面11ABC D ，∴11A D AC ⊥， ∴1AC ⊥平面1A BD ；⑵法一：要求点到平面的距离，可以用体积法， 记A 点到平面1A BD 的距离为d ，1D 1A A11111133A ABD ABD A A BD A BD V S AA V S d --=⋅==⋅，11A B A D BD ===，1221)2A BD S ==，∴21a ad ⋅==，即为所求． 法二：记1AC I 平面1A BD M =，连结1A M 交BD 于N ，连结11,AN AC ， ∵1AC ⊥平面1A BD ，∴AM 的长即为所求的距离，且1AM A N ⊥， ∵平面//ABCD 平面1111A B C D ，∴11//AC AN，故有12AN AC ==， 在1Rt A AN ∆中，1AM A N ⊥，∴11a AA ANAM A N⋅===．【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ；②求点D 到平面11A BD 的距离．【难度】8【解析】⑴（法一：等积法）设点1A 到平面11AB D 的距离为h∵111111A AB D A A B D V V --=，∴1111111133AB D A B D h S AA S ∆∆⋅=⋅⋅在11AB D ∆中，由已知条件有11AB AD ==，11B D =∴111322AB D S ∆== 而12AA =，111211122A B D S ∆=⨯=∴1111111222332A B D AB D AA S h S ∆∆⨯⋅=== （法二：直接法）连结11A C 交11B D 于点O ，则11A C ⊥11B D ， ∵1AA ⊥上底面1111A B C D ，从而有1AA ⊥11B D ∵11AC I 11AA A =∴11B D ⊥面1AAO ，又11B D ⊂面11AB D ， ∴面1AAO ⊥面11AB D ，且面1AAO I 面11AB D AO = 过1A 作1A H ⊥AO 交AO 于H ，则1A H ⊥面11AB D ∴点1A 到平面11AB D 的距离即为1A H 长， 在1Rt A AO ∆中，由已知可得AO =，1AO =，而12AA =∴1223A H == ⑵①∵长方体中棱1AB AD ==，∴BD ⊥AC 又1DD ⊥底面ABCD ，且AC ⊂底面ABCD ， ∴AC ⊥1DD ，从而AC ⊥面1BDD∴AC ⊥1BD∵11A D ⊥面11A ABB ，且AE ⊂11A ABB ， ∴AE ⊥11A D ，且AE ⊥1A B∴AE ⊥面11A BD ，且1BD ⊂面11A BD ，ABCD A 1B 11D 1EF∴AE ⊥1BD又∵AE AC A =I ，∴1BD ⊥面EAC ②∵AD ∥11A D ，且11A D ⊂面11A BD ∴AD ∥面11A BD∴点D 到平面11A BD 的距离可以转化为点A 到面11A BD 的距离 又∵AE ⊥面11A BD ∴AF即为所求距离AF ==。