有限元素法选讲(复旦大学数学系有限元素法选讲编写组编)思维导图
合集下载
高中数学知识框架思维导图(整理版)
4
2
2
|→
a |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2
概念
模
线性运算
加、减、数乘
几何意义
平面向量基本定理：⃗ = 1 ⃗1 + 2 ⃗2 ，⃗1 、⃗2 不共线
坐标表示
平面向量
→
几何意义
数量积
⃗ ∙ ⃗⃗ ＝|⃗||⃗⃗|cosθ
→
→
a·b
b 在→
a 方向上的投影为|→
b |cos＝——
2
离心率： = = √1 ± () .
21±co源自 抛物线 2 = 2的焦半径公式：|| = 0 + =
关于点(a，b)对称 点(2a－x ，2b－y )
点(x1，y1) ───────→
1
1
中心对称
关于点(a，b)对称 曲线 f (2a－x，2b－y)=0
曲线 f (x，y)=0 ───────→
概念
表示
通项公式、递推公式
＝1 +
(−1)
2
等差数列与等比数列性质的类比
列表法
通项公式
等差数列
求和公式
等比数列
性质
an≠0，q≠0
数列
图象法
na1，q＝1
n
Sn＝a1(1－q )
，q≠1
1－q
常见递推类型及方法
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
an＝a1qn 1
弦长公式
|| = 2√2 − 2 .
相离、外切 = + 、相交、内切 = − 、包含.（ ≥ )）
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
2
2
|→
a |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2
概念
模
线性运算
加、减、数乘
几何意义
平面向量基本定理：⃗ = 1 ⃗1 + 2 ⃗2 ，⃗1 、⃗2 不共线
坐标表示
平面向量
→
几何意义
数量积
⃗ ∙ ⃗⃗ ＝|⃗||⃗⃗|cosθ
→
→
a·b
b 在→
a 方向上的投影为|→
b |cos＝——
2
离心率： = = √1 ± () .
21±co源自 抛物线 2 = 2的焦半径公式：|| = 0 + =
关于点(a，b)对称 点(2a－x ，2b－y )
点(x1，y1) ───────→
1
1
中心对称
关于点(a，b)对称 曲线 f (2a－x，2b－y)=0
曲线 f (x，y)=0 ───────→
概念
表示
通项公式、递推公式
＝1 +
(−1)
2
等差数列与等比数列性质的类比
列表法
通项公式
等差数列
求和公式
等比数列
性质
an≠0，q≠0
数列
图象法
na1，q＝1
n
Sn＝a1(1－q )
，q≠1
1－q
常见递推类型及方法
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
an＝a1qn 1
弦长公式
|| = 2√2 − 2 .
相离、外切 = + 、相交、内切 = − 、包含.（ ≥ )）
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
高中数学思维导图：集合
集合中元素的数目称为集合的基数
元素
基数为有限大时，称为有限集
基数为无限大时，称为无限集
列举法
｛1，2，3，4｝
表示方法
Hale Waihona Puke 描述法特征图示法 确定性 互异性 无序性
12 345
给定一个集合，任给一个无素，该元素或者属于 或者不属于该集合，二者必居其一
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次
子集个数 非空子集个数 真子集个数 非空真子集个数
且
交集
由属于A且属于B的相同元素组成的集合
并集
或
由所有属于A或属于B的元素所组成的集合
补集
相对补集 绝对补集
若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：某素 属于B但不属于A
若 给定全集 ，有
则在
中的相对补集
称为 的绝对补集
高中所说补集一般就是指绝对补集
运算
含义 性质
并集
或
交集
且
补集
且
交换律
结合律
分配率
运算律
德.摩根定律
N （自然数集） N*或N+（正整数集）
Z (整数集） Q （有理数集）
R （实数集）
（空集）
常用数集
集合
概念
具有某种特定性质的具体或抽象的对象汇总而成 的集体，构成集合的这些对象称为该集合的元素
集合用大写英文字母表示,如：A 元素用小写英文字母表示,如：a
一个集合中，每个元素的地位是相同的，元素之间是无序的
集合类型
空集：不包含任何元素的集合
空集是任意一个非空集合的真子集 空集是任意一个集合的子集
设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属 于T则称S是T的子集称S是T的子集
第3章创造方法思维导图 脑图
②提出如何解决问题的建议（绿帽）
应用步骤
③评估建议的优缺点：列举优点（黄帽）；列举缺点（黑帽）
④对各项选择方案进行直觉判断（红帽）
⑤总结陈述，得出方案（蓝帽）
使用中的注意问题
①控制与应用 ②使用的时机 ③时间的管理
四种不同类型的参与者（参与生产的消费者、消费者、项目团队成员、主持人/辅 导人）+2个流程（焦点小组法和创造性解决问题会议）
理想模型在科学研究中的的简化与纯化（只是近似地反映原型的性质 和规律） ②理想模型的运用可以促使人们在研究中发挥科学想象力和逻辑思维能力 ③理想模型的建立是思想实验（或称理想实验）的前提
操作
①思想实验要以真实的物质实验为基础 ②发挥创造性想象的作用，要超越物质条件的限制 ③运用严格的逻辑推理手段，逻辑上自洽 ④思维实验的结果在应用中是有条件的
3.2.3 思想实验法 （理想实验、假想实
验或抽象实验）
理性模型的建立
从原则上说，思想实验是无法在现实中操作的。其本质上是理性的思维推理
特点：高度纯化，完全排除次要因素的干扰，把对象置于理想状态下来研究（在 思维中建立）
理想模型是人们在实验材料和经验事实的基础上，综合运用逻辑与非逻辑思维方 法进行的思维创造，是对原型高度抽象化了的思维客体或思想事物。
原则
②自由奔放 ③踊跃发言 ④借题发挥（产生连锁反应）
自由联想法
应用
较多应用于 建筑设计
特点：把所期望的结果作为输出，以能产生次输出的一切可以利用的条件作为输 入，从输入到输出经历自由联想提出设想，用限制条件来评价设想，由此反复交 替，最后得出理想的输出。（比自由漫谈法多一个评价过程，结果更有意义、更 成熟）
eg.：黑白电视机→彩色电视机→数字电视机
理数思维导图
十十五、平面面向量量
不不等式的基本概念
具有大大小小和方方向的量量叫做向量量
空间向量量
七、不不等式
同向不不等式与异向不不等式 同解不不等式与不不等式的同解变形
共线向量要不不等式 几几个著名不不等式 不不等式的解法
整式不不等式分式不不等式;指数不不等式;对数不不等式;含绝对值不不等式
平面面
集合的性质
两条平行行行线在同一一平面面内的射影图形是一一条直线或两条平行行行线或两点 异面面直线判定定理理：过平面面外一一点与平面面内一一点的直线和平面面内不不经过该点的直线是 异面面直线.（不不在任何一一个平面面内的两条直线） 平行行行公理理：平行行行于同一一条直线的两条直线互相平行行行 等⻆角定理理：若果一一个⻆角的两边和另一一个⻆角的两边分别平行行行并且方方向相同，那么这两个⻆角相等 相交、平行行行、在平面面内. 空间直线与平面面位置
直线与平面面平行行行、直线与平面面垂直
八八、立立体几几何
一一、集合与常 用用逻辑语言言
“或”、“且”、“非非”这些词叫做逻辑联结词；不不含有逻辑 联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结 词“或”、“且”、“非非”构成的命题是复合命题。
平面面平行行行判定定理理：如果一一个平面面内有两条相交直线都平行行行于另一一个平面面，那么这两个平面面平行行行.（“线面面平行行行，面面面面平行行行”） 从n个不不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一一 定顺序排成一一列列，叫做从n个不不同元素中取出m个 元素的一一个排列列. 如果，两个排列列相同，不不仅这两个排列列的元素必须完全相同，而而 且排列列的顺序也必须完全相同. 定义 相同排列列. 排列列数. 排列列公式 含有可重元素的排列列问题. 排列列 对排列列定义的理理解. ①棱柱的各个侧面面都是平行行行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱 的各个侧面面都是矩形；正棱柱的各个侧面面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面面与平行行行于底面面的截面面是对应边互相平行行行的全等多边形. ③过棱柱不不相邻的两条侧棱的截面面都是平行行行四边形. 棱柱具有的性质 平行行行六面面体 两个平面面平行行行的性质定理理：如果两个平面面平行行行同时和第三个平面面相交，那么它们交线平行行行.（“面面面面平行行行，线线平行行行”） 一一、两个平面面所成二二面面⻆角是直二二面面⻆角，则两个平面面垂直 二二、如果一一个平面面与一一条直线垂直，那么经过这条直线的平面面垂直于这个平面面.（“线面面垂直，面面面面垂直”） 1. 乘法原理理、加法原理理. 2. 可以有重复元素的排列列. 两个平面面垂直，那么在一一个平面面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面面。 两个原理理 两个平面面垂直的判定 两个平面面垂直性质定理理 直棱柱侧面面积 斜棱柱侧面面积
考研数学 知识结构思维导图(数二)
1.分离变量，物以类聚人以群分 2.y'在等式左侧，右侧应写成乘积形式
一阶微分方程的求解
齐次型
y'=f(y/x)
对x求导
1/y'=f(x/y)
对y求导
换元后分离变量，交换x和y的地位
一阶线性型（或可换元为它）
y'+p(x)y=q(x) 伯努利方程
y'+p(x)y=q(x)的特殊形式
伯努利方程可理解为一 阶线性方程的普遍形式
符号函数 抽象函数
复合函数
偏导函数
换元法
一元函数积分换元法 二元函数积分换元法
应用
面积
1.积分变化口诀：后积先定限，限内画直 线，先交先下限，后交写上限；
2.注意对称性得0的应用可以极大地化简计 算
微分方程
可分离变量
y'=f(x).g(y)
分离变量
y'=f(ax+by+c)
换元后再分离变量
一般一层积分不易处理，化成两层积分，在交换 积分次序
分部积分法
换序型
反常积分的计算
研究对象
常规题型取绝对值时取值范围
曲线平移时相关符号不同取值范围所对应的面积
切线综合
函数列综合
题型总结
在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的 增加而成比例增加（或减少），这样的动
点所形成的轨迹叫做螺线。
阿基米德螺旋线
数列极限
定义
定义及使用
唯一性 有界性
使用
保号性
为常数
收敛充要条件
归结原则的使用（变量连续化）
直接计算法
定义法（先暂后奏）
001 高中数学 集合 思维导图 横版 A3打印
且
A与B的交集 性质 Ø
或
性质 Ø
若给定全集 ，有
，则
（
）
（
） Ø 性质
A与B的并集 补集
四、集合的基本运算
， 结合律 ， 分配律
， 德.摩根律
， 交换律
集合运算律
整数集合 正整数集合 有理数集合 自然数集合
实数集
三、常用数集及记法
集合
一、集合的概念与表示
某些指定的对象在一起就构成一个集 合。集合中的每一个对象叫集合的元 定义 素。
全集 空集
不含有任何元素，符号表示： Ø
二、集合的关系
子集
：若
则
真子集 集合相等
若
则
且
，若
可能
元素与集合的关系
属于∈ 不属于∉
列表法
把集合中的元素一一列举出来
表示方法 描述法
集合中的元素公共属性描述出来
图示法 用封闭的曲线表示
有限集合 集合元素有限
分类 无限集合 集合元素无限
空集 不含有任何元素的集合Biblioteka 确定性 给定集合，元素是确定的
元素特性 互异性 集合中不允许有相同元素出现
无序性 集合里元素的构成顺序随意
A与B的交集 性质 Ø
或
性质 Ø
若给定全集 ，有
，则
（
）
（
） Ø 性质
A与B的并集 补集
四、集合的基本运算
， 结合律 ， 分配律
， 德.摩根律
， 交换律
集合运算律
整数集合 正整数集合 有理数集合 自然数集合
实数集
三、常用数集及记法
集合
一、集合的概念与表示
某些指定的对象在一起就构成一个集 合。集合中的每一个对象叫集合的元 定义 素。
全集 空集
不含有任何元素，符号表示： Ø
二、集合的关系
子集
：若
则
真子集 集合相等
若
则
且
，若
可能
元素与集合的关系
属于∈ 不属于∉
列表法
把集合中的元素一一列举出来
表示方法 描述法
集合中的元素公共属性描述出来
图示法 用封闭的曲线表示
有限集合 集合元素有限
分类 无限集合 集合元素无限
空集 不含有任何元素的集合Biblioteka 确定性 给定集合，元素是确定的
元素特性 互异性 集合中不允许有相同元素出现
无序性 集合里元素的构成顺序随意
文数思维导图
四种命题之间的相互 关系 奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)
原命题为真，它的逆命题不不一一定为真 原命题为真，它的否命题不不一一定为真 原命题为真，它的逆否命题一一定为真
函数的奇偶性 棱形、棱柱
随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 概率 等可能事件的概率 事件
常用用逻辑语言言 平面面平行行行于平面面垂直
道 有
原命题：若p则q 逆命题:若q则p 否命题:¬p则¬q
品 精
h 课
p t t
集合运算
/ : s
交 并 补
③空集是任何非非空集合的真子子集
k /
y . e
u o
a d
c . o
m o
包含关系 等价关系
主要性质和运算律律
逆否命题:¬q则¬p 交换律律 集合的运算律律 结合律律 分配率 其他
函数单调性
十十、导数
有
高高考数学 思维导图 （文文科）
精 道
课 品
t h
s p t
对数函数
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
⻆角度与弧度的互换关系 弧⻓长公式
三⻆角函数定义:设α是任意⻆角，在α的终边上取（异于原点的）一一点P(X,Y)P与原点的距离为r,则
三⻆角函数 的定义域 三⻆角函数的公式
/ / :
e k
o y .
d u
o a
o c .
/ m
直接证明与间接证明 数学归纳法 向量量的概念 空间向量量的运算
十十三、证明和推理理
十十四、平面面向量量
不不等式的基本概念
不不等号的定义
有限元法ppt课件
3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建 立起对该法的理解；
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
38
第二节 有限元法的分类
39
一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
40
1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
12
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
15
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
38
第二节 有限元法的分类
39
一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
40
1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
12
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
15
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有