公开课圆锥曲线综合问题之用定义解题20181128
高考数学复习点拨 活用圆锥曲线“统一性”定义解题
活用圆锥曲线“统一性”定义解题从点的集合（或轨迹）的观点来看，圆锥曲线（除圆外）都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合（或轨迹）．这个定点称为焦点，定直线称为他们的准线，由于常数e 的取值X 围不同，曲线分为椭圆、双曲线和抛物线．深刻理解这一定义（以下简称“统一性”定义），对解决有关圆锥曲线问题有着举足轻重的作用，下面就此举例说明：一、活用圆锥曲线“统一性”定义判断曲线的形状例1已知平面上的动点M （x ，y ）满足方程22(2)(1)|3412|x y x y +++=+-.问点M 的轨迹是 （ ）（A ）椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)直线分析：一般情况下，识别点的轨迹是通过化简方程来进行的，但此例若用此法处理不仅麻烦，且由于其曲线的对称轴与坐标轴不平行，化简了方程的形式仍很难识别，若能用圆锥曲线“统一性”定义去思考，答案则显而易见．解：原方程可化为 .此式的几何意义可理解为：在平面内动点M （x ，y ）到定点（-2，-l ）的距离与到定直线：3x ＋4y 一12＝0的距离之比为5：1，由圆锥曲线的“统一性”定义可知，这样的轨迹是以定点（-2，-l ）为焦点，以直线L ：3x ＋4y 一12二0为准线的双曲线．二、活用圆锥曲线“统一性”定义求曲线方程例2：如图，ABCD 是一X 矩形纸片，AB=4,AD=8,按图形所示方法进行折叠，使折叠后的B 点都落在AD 上，此时B 记为B ˊ，（注：折痕EF 中，点F 也可落在边CD上）。
过B ˊ作B ˊT ∥CD 交EF 于T 点，求T 点的轨迹方程.分析：本题是有关折叠问题的一道题，应注意折叠前后的图形联系。
就本题而言，连结TB 后，有|TB|=|TB ˊ|，即T 到定点B 的距离与到直线AD 距离相等，所以T 的轨迹为抛物线，剩下的工作就是建系，求方程及X 围，同样应注意应用图形的几何性质.解：连结TB ，由ΔEBT 与ΔEB ˊT 全等可知，|TB|=|TB ˊ|即动点T 到定点B 与到定直线AD 距离相等，所以T 的轨迹为抛物线的一部分，B 为焦点，AD 为准线，以AB 的中垂线为x 轴，以BA 为y 轴建立直角坐标系，AB 中点为O ，设其方程为x 2=-2py ，则|OB|=2p =2,∴所求方程为x 2=-8y. 当沿x 轴为折痕时，T 在原点O ；当沿A 与BC 中点连线为折痕时，T 在BC 的中点，所以T 点横坐标X 围是0≤x ≤4.∴T 点的轨迹方程为x 2=-8y(0≤x ≤4).例3：求经过点M(1,2)，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆左顶点的轨迹方程. 分析：设椭圆左顶点为A(x,y)由题设可知，左焦点F 所满足的关系是明确的，因此，解决此题的关键是将A 的坐标转移到F 点上去（找出A 点坐标与F 点坐标的关系式），然后再根据题设条件（点M 到点F 的距离与到准线的距离之比为12），利用圆锥曲线统一性定义，列出关系式，经过化简整理，求得轨迹方程.解：设椭圆左顶点为A(x,y)，左焦点为F ，反向延长线AF 交y 轴（左准线）于点Q ，则M(1,2)到y 轴的距离d=1，如图，由椭圆统一性定义可得F 点的坐标为3(,)2xy ，再根据统一性定义，由||12MF d =,即2231(1)(2)22x y -+-=化简得所求轨迹方程：2229()4(2)13x y -+-=.三：活用圆锥曲线“统一性”定义判断直线与圆的位置关系例4：已知抛物线y 2=2px ，判断以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系。
巧用定义求解圆锥曲线的有关问题
巧用定义求解圆锥曲线的有关问题圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，也是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于对定义的恰当合理的应用。
一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解。
有些与焦点和准线有关的问题，从定义入手，就很容易解决问题，下面举例说明能用圆锥曲线的定义解决的几类问题。
一.巧用定义判断曲线类型例1.判断方程（x+3）2+y2+（x-3）2+y2=10表示的曲线类型。
[解析]∵（x+3）2+y2表示平面上的点（x，y）到点（-3，0）的距离（x-3）2+y2表示平面上的点（x，y）到点（3，0）的距离∴（x+3）2+y2+（x-3）2+y2=10表示平面上的点（x，y）到点（-3，0）和点（3，0）的距离之和为常数10，且10>6，所以由椭圆的定义可得此方程表示的曲线是长轴为10，焦距为6的椭圆。
同类例题：判断方程（x-1）2+（y-2）2x+y+1=22表示的曲线类型。
[解析]∵（x-1）2+（y-2）2表示点（x，y）到点（1，2）的距离x+y+12表示点（x，y）到直线x+y+1=0的距离∴（x-1）2+（y-2）2x+y+1=22表示焦点为（1，2），准线方程为x+y+1=0的抛物线二.巧用定义求轨迹方程例2.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一点，点A在圆周上.把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当A点运动时，点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆[解析]由条件知折痕CD垂直平分AQ，故|PQ|+|PO|=|PA|+|PO|=|OA|>|OQ|，∴点P的轨迹是以O，Q为焦点的椭圆.故选A同类例题：在正方体A1B1C1D1-ABCD的侧面BC1内有一点P到直线BC 的距离是到直线C1D1距离的2倍，则P点的轨迹是（）A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分[解析]∵直线C1D1⊥平面BC1，∴无论点P在侧面BC1内的位置如何，点P到直线C1D1的距离都是PC1，则问题可等价转化为在平面BC1内动点P到定点C1距离与到直线BC的距离之比为12，故P点的轨迹为椭圆的一部分.[答案]B三.巧用定义判定某些位置关系例3.设P是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（）A.内切B.外切C.内切或外切D.不相切[解析]取PF2的中点M，则2|OM|=|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距.由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a，即2|MF2|-2|OM|=2a，∴|OM|=|MF2|-a，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切.故选A同类例题：设双曲线的左、右焦点为F1、F2，左、右顶点为M、N，若△PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是（）A.在线段MN的内部B.在线段F1M的内部或NF2内部C.点N或点MD.以上三种情况都有可能[解析]若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B则|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|AF1|-|BF2|.∴N为切点，同理P在左支上时，M为切点.[答案]C四.巧用定义求离心率例4.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°，则椭圆的离心率为[解析]∵∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°∴∠F1PF2=90°∴PF12+PF22=4c2又∵PF1+PF2=2aPF1PF2=tan75°∴e=63同类例题：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围。
圆锥曲线定义解题答案
1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用椭圆第一定义：平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数a 2的动点M 的轨迹叫椭圆，即a MF MF 221=+。
例1：椭圆1163622=+y x 上一点P 到两个焦点距离之积为m ，求m 的最大值，并求出当m 取得最大值时P 点的坐标。
分析：此题求P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。
解：设椭圆1163622=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F , 1021=+PF PF ,25222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=PF PF PF PF m , 当且仅当21PF PF =时取等号，此时点P 为短轴的端点。
所以P 的坐标为（0，4）或（0，-4）时，m 能够取最大值，最大值为36。
考题中考察的是圆锥曲线的最值问题，而且题目中有涉及到圆锥曲线的焦点，我们此时可快速想到这种问题可以运用圆锥曲线的定义来解。
此题考察的是动点到两焦点距离之积，从而能够很快速的想到该题能够涉及圆锥曲线的第一定义：动点到两定点距离之和等于定值2a 。
再结合曾经学过的不等式性质，能够很容易的把题目的考点转化为曾经学过的知识，从而使得问题得到轻松的解决。
例2、如图，椭圆C 的方程为2222 1 (0)y x a b a b+=>>，A 是椭圆C 的短轴左顶点，过A 点作斜率为－1的直线交椭圆于B 点，点P （1，0）, 且BP ∥y 轴，△APB 的面积为92，求椭圆C 的方程； 分析：看似题目考查的是函数问题 ，按照经验似乎应该做函数求峰值。
但如果这样一来，问题会变的很复杂。
但是我们可以巧用椭圆的第一定义，解答就相比较变得简洁许多。
解：（1） ,2921=⋅=∆PB AP S APB 又∠PAB ＝45°， AP ＝PB ，故AP ＝BP ＝3. ∵P （1,0），A （－2,0），B （1,－3）∴ b=2，将B 点坐标代入椭圆得：222191b b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 212a =，所求椭圆方程为22 1 124y x += 如果题目问的是圆锥曲线的最值问题时, 如果由题目所给的条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到化繁为简的效果。
利用圆锥曲线的定义解题
利用圆锥曲线的定义解题圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线。
圆锥曲线的定义是整章内容的理论基础。
圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连，圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线的各个方面。
因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便，产生一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好感觉.我认为在本章的教学中应强化定义的教学，积极主动地培养学生应用定义解题的意识。
本文通过下面几个方面的问题谈谈如何利用圆锥曲线的定义解题。
1.利用定义法求值例1.（1）从双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（）A.|MO|-|MT|>b-aB.|MO|-|MT|=b-aC.|MO|-|MT|b>0）.因为离心率为22，所以22=1-b2a2，解得b2a2=12，即a2=2b2.又△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+BF2+AF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=2a+2a=4a，所以4a=16，a=4，所以b=22，所以椭圆方程为x216+y28=1.2、利用定义法求最值例2.（1）（2009·四川）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.115D.3716解析：直线：x=-1为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离，故本题化为在抛物线上找一个点P，使得P到点F（1，0）和直线的距离之和最小，最小值为F（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离，即= =2，故选A.（2）. 定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离，并求点M的坐标。
圆锥曲线定义解题
巧用圆锥曲线定义法解题摘要：圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学教学过程中的重点章节之一，在教学过程和高考试卷中都占有很大的比例。
在历年高考的命题中都是热点和重点之一。
圆锥曲线的定义在初高中数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。
本论文首先对圆锥曲线的定义进行归纳总结概述，运用类比和大量的举例对圆锥曲线概念作了说明；其次给出了利用圆锥曲线定义巧解题的一些方法以及解题过程，然后对利用圆锥曲线定义巧解题中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习利用圆锥曲线定义解题中常出错的地方，并给出了应对方法。
关键词：圆锥曲线定义解题方法一、圆锥曲线的定义圆锥曲线包括三类曲线，分别为椭圆，双曲线，抛物线。
对于圆锥曲线，国际上总体上有两大类的定义，第一种定义明确的标出了圆锥曲线的三类曲线的特性，第二种定义则概括出了各圆锥曲线的本质上的联系。
在数学中，定义是展现数学概念之间区别的强有力的工具，定义反映了数学对象的本质属性和特征，对与数学定义的深刻理解，能够为提高解题能力打下坚实基础。
在圆锥曲线中，有相当多的问题是可以化归到运用定义从而得以简捷求解。
1.1圆锥曲线的第一定义高中数学教材中对与圆锥曲线给出了两种定义，第一定义展示了三类曲线各自独特性质和几何特征，分别为：椭圆：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
双曲线：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
几何解析中，用垂直于圆锥锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆;把平面稍稍的倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
1.2圆锥曲线的第二定义圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）统一定义：平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。
利用圆锥曲线的统一定义解题
利用圆锥曲线的统一定义解题圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。
恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。
一、“统一定义”活解曲线方程例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程．解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：444MF PFx =---，即=216y x =-，故所求曲线的方程为216y x =-点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解．练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。
解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。
二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||PA PF +最小．分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为12，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答．解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则12PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设(,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求．点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。
如何利用定义法解答圆锥曲线最值问题
定义法是用圆锥曲线的定义解题的方法.圆锥曲线的定义是解题的重要依据.在解答圆锥曲线最值问题时，灵活运用椭圆、双曲线、抛物线的定义，可简化运算，有效提升解题的效率.下面结合实例，谈一谈运用圆锥曲线定义解答最值问题的一些技巧.一、利用椭圆的定义求最值若平面内一个动点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|），则该点的轨迹叫做椭圆，这两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，常用|F 1F 2|或2c 表示.由椭圆的定义可得：|MF 1|＋|MF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中c 2=a 2-b 2，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数.运用椭圆的定义求最值，需先确定两个定点的位置；然后根据椭圆的定义，建立关于动点到定点的距离的关系式.例1.已知椭圆x 24+y 23=1上有一动点P ，圆()x -12+y 2=19上有一动点Q ，圆()x +12+y 2=49上有一动点R ，则||PQ +||PR 的最大值为（）.A.3 B.5C.8D.9解：由椭圆的方程x 24+y 23=1得a =2,b =3,c =1，所以其焦点为F 1()-1,0,F 2()1,0，由圆的方程()x -12+y 2=19可得其圆心为F 2()1,0，半径为r 1=13，由圆的方程()x +12+y 2=49可得其圆心为F 1()-1,0，半径为r 2=23，则P 点到圆F 1上动点R 的最大值为||PR max =||PF 1+r 2=||PF 1+23，P 点到圆F 2上动点Q 的最大值为||PQ max =||PF 2+r 1=||PF 2+13，所以()||PQ +||PR max=||PQ max +||PR max =||PF 1+||PF 2+1，由椭圆的定义知||PF 1+||PF 2=2a =4，得()||PQ +||PR max=5.故选B 项．此题中涉及了三个动点，需根据圆的性质：圆外一点M 到圆上一点的最大距离为圆心到M 的距离加上半径，求得P 点到圆F 1上动点R 的最大值||PR max =||PF 1+r 2，以及P 点到圆F 2上动点Q 的最大值||PQ max =||PF 2+r 1，进而得到()||PQ +||PR max =||PF 1+||PF 2+1.而F 1、F 2是两个定点，P 为动点，即可根据椭圆的定义，求得||PF 1+||PF 2的值，从而求得最值.解答本题的关键在于结合图形，明确两圆、椭圆、动点的位置关系，以根据圆的性质、椭圆的定义求得最值.例2.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E :()x -42+()y -32=1上任意一点，则||MN -||MF 1的最小值为______．解：因为N 为圆E :()x -42+()y -32=1上的任意一点，所以||MN min =||ME -r ，由圆E :()x -42+()y -32=1，得其圆心为E ()4,3，半径为r =1，所以()||MN -||MF 1min=()||MN min-||MF 1min =()||ME -r -||MF 1min=()||ME -||MF 1-1min，根据椭圆的定义知||MF 1+||MF 2=2a =4，由三角形的三边关系知()||ME -||MF 1-1min=()||ME +||MF 2-5min=||EF 2-5，由椭圆C :x 24+y 23=1得其焦点为F 2()1,0，则||EF 2=()4-12+()3-02=32，所以||MN -||MF 1的最小值为32-5.此最值问题中涉及了两个动点和一个定点，需根据圆的性质：圆外一点P 到圆上一点的最小距离为圆心到P 的距离减去半径，求得M 点到圆E 上的动点N 的最小值||MN min =||ME -r .然后根据椭圆的定义和三角形三边之间的关系，将求||MN -||MF 1的最小值转化为求焦半径||EF 2的值.解答此类题，需灵活运用数形结合思想和转化思想.二、利用双曲线的定义求最值平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F 1F 2|）的点M 的轨迹叫做双曲线.这两个定46点之间的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距.由双曲线的定义可得||MF 1|-|MF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0.在运用双曲线的定义求最值时，要注意：（1）明确动点与两定点距离之间的关系；（2）确保a ＜c .例3.已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上，点Q 在曲线C 2:()x +52+y 2=1上，点R 在曲线C 3:()x -52+y 2=1上，则||PQ -||PR 的最大值是（）.A.6B.8C.10D.12解：画出如图1所示的图形.由曲线C 2:()x +52+y 2=1，得其圆心为C 2()-5,0，半径为1，由曲线C 3:()x -52+y 2=1，得其圆心为C 3()5,0，半径为1，则||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，则()||PQ -||PR max =||PC 2-||PC 3+2，由曲线C 1:x 216-y 29=1可知其左右焦点分别为F 1()-5,0,F 2()5,0，根据双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a =8，所以()||PQ -||PR max=||PC 2-||PC 3+2=||PF 1-||PF 2+2=8+2=10.故答案选C 项．此问题中的三个动点分别在两个圆和双曲线上，需先根据圆的性质确定||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，将求||PQ -||PR 的最大值转化为求||PC 2-||PC 3的值.而C 2()-5,0、C 3()5,0为定点，于是根据双曲线的定义建立关系式，求得||PC 2-||PC 3的值，即可求得最值.例4.已知A ()-4,0，B 是圆()x -12+()y -42=1上的一点，点P 在双曲线x 29-y27=1的右支上，则||PA +||PB 的最小值为（）.A.9B.25+6C.10D.12解：由题意画出如图2所示的图形，由圆()x -12+()y -42=1，得其圆心为C ()1,4，半径为1，所以||PB min =||PC -r =||PC -1，因此()||PA +||PB min =||PA +||PC -1，由双曲线x 29-y 27=1得其左右焦点为F 1()-4,0，F 2()4,0，根据双曲线定义可知||PF 1-||PF 2=2a =6，因为A ()-4,0，所以||PA -||PF 2=6，所以()||PA +||PB min =()||PA +||PC -1min=()6+||PF 2+||PC -1min=()5+||PF 2+||PC min，根据三角形三边之间的关系，()||PF 2+||PC min=||CF 2=()1-42+()4-02=5，所以()||PA +||PB min =10．故答案选C 项．我们根据题意画出图形，即可明确问题中两个动点和一个定点的位置，于是根据圆的性质，将求||PA +||PB 转化为求()5+||PF 2+||PC min.而F 1()-4,0、F 2()4,0为定点，便联想到双曲线的定义，得到||PF 1-||PF 2=2a =6，将问题转化为求焦半径||CF 2的值.为了确定最值，往往需根据P 、A 、B 三点的位置关系，利用圆的性质和三角形三边关系确定取得最值的临界情形.三、利用抛物线的定义求最值平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.直线l 叫作抛物线的准线.利用抛物线的定义解题时，应将抛物线上的点到焦点的距离与其到准线距离进行等价转化，以确定取得最值时的临界情形.例5.已知抛物线y 2=4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点.若点B ()3,2，则||PB +||PF 的最小值为_____．解：由抛物线C 2:y 2=4x 知其焦点为F ()1,0，准线为x =-1，由抛物线定义可知，||PF =||PA ，则()||PB +||PF min =()||PB +||PA min =||AB ，而B ()3,2,则||AB =3+1=4，所以()||PB +||PF min =4．故答案为4．本题中P 为动点，B 、F 为定点，要求||PB +||PF 的最小值，需先确定其临界的情形.因为F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义，得||PF =||PA ，于是将||PB +||PF 转化为||PB +||PA .显然当P 、B 、F 三点共线时，||PB +||PA 最小，此时||PB +||PA =||AB ，求得||AB 的值，即可求得最值.总之，运用圆锥曲线的定义解题，需先确定动点与定点之间距离的关系：相等、和为定值、差为定值；然后根据椭圆、双曲线、抛物线的定义建立焦半径之间的关系式；再结合图形将最值问题进行转化，以快速确定取得最值的情形，求得最值.（作者单位：江苏省淮北中学）图1xy图247。
2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件 专题13 圆锥曲线中的综合问题 精品
(2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由xy2＝＝k4xy＋m， 得 x2－4kx－4m＝0.
8分
于是 Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以 AB 的中点 M 的坐 标为(2k,2k2＋m)．
由P→F＝3F→M，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
核
心
知
识
·
聚
焦
专
题
突破点 13 圆锥曲线中的综合问题
限
时
集
热
训
点
题
型
·
探
究
提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值． (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并 令其系数为零，可以解出定点坐标.
7分
记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k2>0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝2a21|k＋1| a21k＋12 k21，
|AQ|＝2a21|k＋2| a21k＋22 k22，
故2a21|k＋1| a21k＋12 k21＝2a21|k＋2| a21k＋22 k22，
9分
所以(k21－k22)[1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22]＝0. 由于 k1≠k2，k1，k2>0 得 1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22＝0， 因此k121＋1k122＋1＝1＋a2(a2－2)． 因为①式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是 1＋a2(a2－2)>1， 所以 a> 2.
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答案：A
类型二
利用定义法求最值
例4. 定长为3的线段AB的两端点在抛 物线 y 2 x 上移动，AB的中点为M，求
M到y轴的最短距离。
y A1 M1 B1 N
A
1 AA1 BB1 1 MN MM 1 4 2 4 AF BF 1 AB 1 5 2 4 2 4 4
探 索 提 高
练习5. 直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛 物线交于A、B两点，若线段AB的长为8，AB的 中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程为 .
y2=8x
探 索 提 高
练习6、若点A 的坐标为（3，1），F 为抛 2 y 2 x的焦点，点M 在抛物线上移 物线 动时，求|MA|+|MF|的最小值，并求这时 M 的坐标. y
3 m n 6, m 2 2mn n 2 36,由余弦定理得： 100 m 2 n 2 mn，
，设 PF1 =m， PF2 n,
1 两式相减得mn 64, PF1F2的面积S= mn sin 16 3. 2 3
探 索 提 高
练习4.ABC中, BC长为a, 顶点A在移动过程中满 1 足条件 sin C sin B sin A, 求点A的轨迹方程. 2
由抛物线的定义知|MF|＝ |MB|＝3， 故|FN |＝2|MF|＝6.
答案：6
x2 y2 练习．(2016· 全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E： 2－ 2＝1 的左、 a b 1 右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝ ，则 3 E 的离心率为 ( ) 3 A． 2 B． C． 3 D．2 2
1 2 ,1
N
（N） l M A （M） o F x
1 2
探 索 提 高
练习7.
x2 y2 设点P是椭圆 1上的动 9 4
点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求 cos∠F1PF2的最小值.
1 9
探 索 提 高
x y2 练习8. 已知F1、F2分别是椭圆 1的左右焦点， 4 2 1 A 1, ，P是椭圆上的动点，求 PA PF2 的最小值. 2 y 解： PA PF2 PF1 F1A PF2 P
类型一 利用定义法求值
类型二
类型三
利用定义法求最值
利用定义法求轨迹
类型四
利用定义法判断位置关系
类型一
利用定义法求值
2 x2 x 例1. 已知椭圆 y 2 1和双曲线 2 y 2 1共焦点F1、F2， m n P为两曲线的一个公共点，求F1PF2的大小。
x2 y2 例2 . 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的左焦点F引圆 a b x 2 y 2 a 2的切线l , 切点为T，且l交双曲线的右支于点 P，M是线段FP的中点，O为坐标原点，求 OM TM 的值.
圆锥曲线综合问题之
用圆锥曲线的定义解题
季延中学 K二2 陈红玉 2018.11.28
在解题中,有的同学能自觉地根据问题 的特点应用公式, 定理, 法则; 但对数学定 义往往未加重视,以至不能及时地发现一 些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍 近求远,舍简求繁的情况. 因此合理应用定 义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活 运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来 极大方便,产生一种 “山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”的美好感觉.
其中等号成立当且仅当A、 F 、 B三点共线 x
M F B
类型三
利用定义法求轨迹
例5已知命题：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为 椭圆上任意一点，从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹 为圆（除两点），类比上述命题，将“椭圆” 改为“双曲线”，“外角平分线”改成“内角 角平分线”点P的轨迹为 __________ . y
X
1 ( PQ OF ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
F
QS OF
1 1 1 MN ( PQ QS ) PS PF 2 2 2
三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷； 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形， 常用定义结合正余弦定理；涉及焦点、圆锥曲线上 的点, 要注意另一条两条焦半径结合使用。
解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，y A 1 建立直角坐标系. sin C sin B sin A, 2 C x 1 1 B AB AC BC a，由双曲线定义 2 2 A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点 x2 y2 其方程为 2 2 1 x 0 . a 3a 16 16
四、练习
探 索 提 高
练习1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点
A(-4,0) 和C(4,0) ，顶点B在椭圆
则 sin A sin C
sin B
x2 y2 1 25 9
上，
5 4
.
y B A C x
探 索 提 高
练习2. 已知双曲线 过左焦点F1 作一 弦与左支相交于A,B两点，若|AB|=m ,求ΔAF2 B 的周长 . 4a+2m
解析：法一： 依题意，抛物线 C：y2＝8x 的焦点 F(2,0)，因 为 M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的 中点， 设 M(a， b)(b>0)， 所以 a＝1， b＝2 2， 所以 N(0,4 2)， |FN|＝ 4＋32＝6.
法二：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物 线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂 线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥ OF.由 题意知，F(2,0)，|FO |＝ |AO |＝2. ∵点 M 为 FN 的中点，PM∥ OF， 1 ∴|MP |＝ |FO |＝1. 2 又|BP |＝ |AO |＝2， ∴|MB|＝ |MP|＋ |BP|＝3.
Y Q M P F1 O F2 X
F
1
Q
M
P
O
F
2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
1 1 | OP | F1 M F1Q QF2 a 2 2
类型四
利用定义法判断位置关系
例6.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点, 研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系,并证 明你的结论.
答案：D
y P
解：设F1为右焦点，连结PF1，OT, 则OM//PF1，OT PF， OT =a, OF c, TF b, OM TM 1 1 PF1 PF TF 2 2 b a.
T
M
F
o
F1
x
例 3．(2017· 全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的 中点，则|FN|＝________.
一、知识回顾
M
F1 F2
M
1、椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1 F2 0
2、双曲线的定义
MF1 MF1 2a 0 2a F1 F2
F1
F2
l d
3、抛物线的定义
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
.
.M
F
二、用定义法解题的常见类型
37 2a F1A 2 5 .当且仅当 2 F1、P、A共线，且P在y轴左侧时
P A F1 o F2 x
2
37 取“=”， PA PF2 最小值为2 5 . 2
2018年12月7日星期W
[针对训练 ] x2 y2 1． (2017· 郑州模拟 )已知椭圆 2＋ 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1， F2， 过 F2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， 若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ( 2 A． 2 C． 5－ 2 B． 2－ 3 D． 6－ 3 )
B’
N A’ O A
M
x
|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|
| AF | | BF | | AB | | MN | , 2 2
F
故以AB为直径的圆与l相切.
变式：1、以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|
为直径的圆与y轴位置关系是:
Y
2
相切 .
S
Q N O
P M
MN
F1 B
x2 y2 2 1, 2 a b
y
A o F2 x
探 索 提 高
x2 y 2 练习3. 双曲线 1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线 9 16 上，直线PF1，PF2的倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为 3 A.16 3 B.32 3 C.32 D.42
解析：数形结合.易得F1PF2
解析：法一：作出示意图如图所示， c 2c |F1F2| 离心率e＝a＝2a＝ ， |MF2|－|MF1| |F1F2| 由正弦定理得e＝ ＝ |MF2|－|MF1| 2 2 sin∠F1MF2 3 ＝ 1＝ 2. sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 1－ 3
b2 法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝ a . 1 |MF1| 1 又sin∠MF2F1＝ 3 ，所以 |MF | ＝ 3 ，即|MF2|＝3|MF1|.由双 2 2b2 曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝ a ，所以b2＝ c a ，所以c ＝b ＋a ＝2a ，所以离心率e＝a＝ 2.