同济高等数学第一章第六节课件
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同济六版高数第一册第一单元.ppt
定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
高等数学课件同济六版上册1-6
法2 找两个趋于
n
, 使 的不同数列 xn 及 xn
n
) lim f ( xn ) lim f ( xn
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2 有
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n ) 1 2 n n xn
x
x lim (1 1 ) e x
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
从而有
t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] e lim [(1 1 ) ( 1 t t t
定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
Note: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x
e 1
例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos xx x x 2x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
m 7. lim 1 _____ x x
n
, 使 的不同数列 xn 及 xn
n
) lim f ( xn ) lim f ( xn
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2 有
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n ) 1 2 n n xn
x
x lim (1 1 ) e x
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
从而有
t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] e lim [(1 1 ) ( 1 t t t
定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
Note: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x
e 1
例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos xx x x 2x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
m 7. lim 1 _____ x x
高等数学(同济第六版)第一章第6节
高等数学同济版（实际为第六版第一章第六节）深入探讨了极限存在的准则，并详细介绍了两个重要极限。首先，阐述了函数极限与数列极限之间的紧密联系，通过定理1揭示了它们之间的关系，并给出了详细的证明过程。此外，还引入了夹逼准则，这是一个判断函数极限存在的重要工具，定理2对其进行了严谨的阐述。接下来，文档重点介绍了两个重要极限，即sinx/x在x趋向0时的极限为1，以及（1+1/x）的x次方在x趋向无穷大时的极限为自然常数e。对于这两个极限，文档不仅给出了证明过程，还通过多个例题展掌握极限运算方法以及后续课程的学习都具有重要意义。
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定：
当 0 < s 3 时，C = 10； 当 3 < s 10 时，C = 10 + 2( s – 3 )= 2s + 4； 当 s > 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 .
U (a) { x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
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第一个重要极限
参看附图 设圆心角AOB=x ( 0 x ) 2 显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x sin x 1 cos x 从而 (此不等式当 x0 时也成立) x D 因为 lim cos x =1 B 简要证明
(
lim sin x =1 x0 x
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例3 已知圆内接正 n 边形面积为
An = n R 2 sin cos n n
sin 2 n
n
R
cos n
证:
n
lim An = lim R
n
n
说明: 计算中注意利用
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？
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lim (1+ 1 ) x = e x x
1 lim[1+a (x)]a (x)
= e (a(x)0)
1 例 4 例 3 求 lim (1 ) x x x 解 令t=x 则x 时 t 于是
或
1 1 1 1 x t lim (1 ) = lim (1+ ) = lim = x t t x t (1+ 1)t e t 1 1 x lim (1 ) = lim (1+ ) x(1) x x x x =[ lim (1+ 1 ) x ]1 = e1 x x
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设 xn = (1+ 1 )n 可以证明 (1)xnxn+1 nN+ (2)xn3 n 根据准则II 数列{xn}必有极限 此极限用e来表示 即 1 lim (1+ )n = e n n 我们还可以证明 lim (1+ 1 ) x = e x x 这就是第二个重要极限
e 4. lim (1 + sin x) = ____ x 0
1 x
二 P52 4(2) (3) (5)
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作业
P52 1 (5)，(6) ; 2 (4) ;
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sina (x) = lim sin u =1 lim u 0 u a (x)
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sin a (x) sin x lim =1 lim =1 (a(x)0) x0 x a (x)
tan x 例例 11 求 lim x0 x sin x 1 tan x sin x 1 解 = lim = lim lim =1 解 lim x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x 1 cos x 例 2 例 2 求 lim 2 x0 x x x 2 2 2 sin sin 1 1 cos x 2 = lim 2 解 lim = lim x0 x2 x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x 2 sin 1 1 2 1 2 = lim = 1 = 2 x0 x 2 2 2
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思考与练习 一 填空题 ( 1～5 ) sin x 0 ; 1. lim = _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin = ____ x 0 x
4 x+2 e ; 5. lim = ____ x x 2
x
1 2. lim x sin = ____ ; 1 x x
sin x =1 根据准则 I lim x0 x
x0
1 x O C
A
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第一个重要极限
lim sin x =1 x0 x
注:
sina (x) 在极限 lim 中 只要a(x)是无穷小 就有 a (x) sina (x) lim =1 a (x)
这是因为 令u=a(x) 则u0 于是
§1.6 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I及第一个重要Leabharlann 限二、准则II及第二个重要极限
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一、准则I及第一个重要极限
准则 I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2) lim yn = a lim zn = a
x1 x2x3 x4x5
xn
A
M
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设 xn = (1+ 1 )n 可以证明 (1)xnxn+1 nN+ (2)xn3 >>> n 根据准则II 数列{xn}必有极限 此极限用e来表示 即 1 lim (1+ )n = e n n e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 lim (1+ ) x = e x x
注:
1 在极限 lim[1+a (x)]a (x) 1 lim[1+a (x)]a (x)
中 只要a(x)是无穷小 就有
= e >>>
注: 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 •准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者情况发生