子空间的交与和

• 关于子空间的交与和有以下结论 关于子空间的交与和有以下结论:
1.设V1 , V2 ,W都是子空间, 那么由W ⊂ V1 与W ⊂ V2 可推出 W ⊂ V1 ∩ V2 ; 而由W ⊃ V1 ,W ⊃ V2 可推出W ⊃ V1 + V2 . 2.对于子空间V1与V2 , 下列命题是等价的 : (1) V1 ⊂ V2 ; (3) V1 + V2 = V2 (2) V1 ∩ V2 = V1
• 推论:如果n维线性空间V的两个子空 推论:如果n维线性空间V 间的维数大于n, n,则两个子空间必含 间的维数大于n,则两个子空间必含 有非零的公共元素. 有非零的公共元素.
证明：由条件有 维(V1 ) + 维(V2 ) = 维(V1 + V2 ) + 维(V1 ∩ V2 ) > n 而维(V1 + V2 ) ≤ n, 故 维(V1 ∩ V2 ) > 0 V1与V2 含有非零的公共元素 .
带入上式右端、移项、整理 k m＋1＝k m + 2 = L = k s = 0, 进而有 k1 = k 2 = L = k m = 0; p m +1 = L = p r = 0
从而 α 1 , L , α m , β m +1 , L , β s , γ m +1 , L , γ r 是V1 + V 2的一组基， 维（ V1 + V 2 ) = s + r − m = 维（ V1）＋维（ V 2）－维（ V1 ∩ V 2）
• 证明维数定理
设维 (V1 ) = s , 维(V 2 ) = r , 维(V1 ∩ V 2 ) = m
α 1 , α 2 , L , α m 是V1 ∩ V2的一组基 , 分别扩充成 V1的一组基 α 1 , α 2 , L , α m , β m +1 , L , β s 与 V 2的一组基 α 1 , α 2 , L , α m , γ m +1 , L , γ r 有 V1 = L (α 1 , L , α m , β m +1 , L , β s )
• 线性空间 中,有 线性空间V中 有
L (α 1 , α 2 , L , α r ) + L ( β 1 , β 2 , L , β t ) = L (α 1 , α 2 , L , α r , β 1 , β 2 , L , β t )
Theorem(维数定理 维数定理) 维数定理
如果 V1 , V2 是线性空间V的两个子空间, 那么 维(V1 ) + 维(V2 ) = 维(V1 + V2 ) + 维(V1 ∩ V2 )
• 思考题
是线性空间V 设V1,V2是线性空间V的两个子空间 R(V1)=s,R(V2)=r,则子集合 )=r,则子集合 (1)V (1)V1+V2 (2) V1∩V2 (3) V1∪V2 是否是子空间? 是否是子空间? 当它们是子空间时其维数? 当它们是子空间时其维数? 作业： 12、13、14、 作业：P275-12、13、14、15
V1 + V2 + L + Vs = ∑ Vi 也是V的子空间.
i =1
s
因为任意一个ｎ阶矩阵都可表为ｎ 因为任意一个ｎ阶矩阵都可表为ｎ阶对称矩 阵与ｎ阶反对称阵的和, 阵与ｎ阶反对称阵的和,所以有 Ｍn(Ｆ)＝Ｓ＋Ｔ, 其中Ｓ 分别为全体ｎ阶对称和全体ｎ 其中Ｓ,Ｔ分别为全体ｎ阶对称和全体ｎ阶反 对称矩阵的集合,它们都是子空间. 对称矩阵的集合,它们都是子空间. 前面所说Ｘ＋Ｙ＝Ｒ 前面所说Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2也是一个子空间和的具 体例子, 体例子,我们应当善于利用这些具体例子去 理解一般子空间的和的概念
§6－6 子空间的交与和
子空间的பைடு நூலகம்与和
子空间的交与和是Ｖ 子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 例如在Ｒ Ｘ，Ｙ分别表示 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴上所有点的集合，那么Ｘ 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ 的子空间， 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
Theorem 5 如果 1 ，V2是线性空间 的两个子 如果V 是线性空间V的两个子 空间， 也是V的子空间 的子空间。 空间，那么它们的交 V1∩V2也是 的子空间。 证明： 证明：由0∈ V1，0∈ V2 ，知0∈ V1∩V2 ，因而 ∈ ， ∈ ∈ 是非空集合，如果α V1∩V2 是非空集合，如果α，β ∈ V1∩V2，即 α， 那么α β ∈ V1、且α，β ∩V2 ，那么α＋β ∈ V1， α＋ ， β ∈ V2 ， 因此α 的子集。 因此α＋β ∈ V1∩V2 。 V1∩V2 是V的子集。 的子集 子空间的交满足运算规律： 子空间的交满足运算规律：
V 2 = L (α 1 , L , α r , γ m +1 , L , γ r )
V1 + V 2 = L (α 1 , L , α m , β m +1 , L , β s , γ m +1 , L , γ r )
只需证明
α 1 , L , α m , β m +1 , L , β s , γ m +1 , L , γ t 线性无关
如果有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m + k m +1 β m +1 + L k s β s + p1γ m +1 + p 2γ m = 2 + L + p t − m γ t = 0
α = k1α 1 + L + k mα m + k m +1 β m +1 + L + k s β s = − p1γ m +1 + p 2γ m + 2 + L + p r γ r α ∈ V1 ∩ V 2 , 令α = q1α 1 + L + q mα m
V1 ∩ V2 = V2 ∩ V1 (交换率） (V1 ∩ V2 ) ∩ V3 = V1 ∩ (V2 ∩ V3 ) (结合律）
多个子空间的交：
V1 ∩ V2 ∩ L ∩ Vs = IVi 也是V的子空间.
i =1
s
Definition 8：设V1，V2是线性空间V的子空间 所谓V1与V2和定义为
V1 + V2 = { 1 + α 2 | α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } α
Theorem 6：如果 1 ，V2是线性空间 的两 如果V 是线性空间V的两 如果
个子空间， 也是V的子空 个子空间，那么它们的和 V1＋V2也是 的子空 ＋ 间。
• 证明：由于 ∈ V1，0∈ V2 ， 证明：由于0∈ ， ∈ • 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而 1＋V2 是非空集合， ＝ ＋ ∈ 因而V 是非空集合， 如果α 如果α＝ α1＋ α2 ，β ＝ β1＋ β2 ∈ V1＋V2， 因α1＋β1∈ V1、 α2＋β2 ∈ V2 ， • 有 α＋β ＝(α1＋β1)＋( α2＋β2) ∈V1＋ V2 α ＋ • kα=k (α1＋ α2 )= k α1＋k α2 ∈V1＋ V2 α α • 因此 1+V2 是V的子集 因此V 的子集. 的子集 • 有限个子空间的和
• Ex 1.在二位几何空间中 若V1,V2分别是 在二位几何空间中,若 分别是x 在二位几何空间中 轴与y轴 则 轴与 轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. • Ex 2.在三位几何空间中 若V1表示过原点 在三位几何空间中,若 在三位几何空间中 的直线,V 是过原点且与V 垂直的平面,则 的直线 2是过原点且与 1垂直的平面 则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3. • Ex 3线性空间 n中,若V1是As×nx=0的解 线性空间P 线性空间 若 的解 × 空间,V 的解空间, 空间 2是Br×nx=0的解空间 的解空间 × A • 则V1∩V2是 X = 0 的解空间. 的解空间 B