集合的交与并运算
集合的交集与并集
集合的交集与并集集合是数学中一个重要的概念，用于描述具有共同特征的对象的集合。
在集合论中，我们经常会用到两个基本的运算，即交集和并集。
交集是指由两个或多个集合中具有相同元素的元素组成的新的集合，而并集则是由两个或多个集合中所有的元素组成的新的集合。
本文将着重介绍集合的交集与并集，并探讨它们在数学中的应用。
1. 交集的定义与性质交集是指由两个或多个集合中共同元素组成的新的集合。
假设A和B是两个集合，则它们的交集表示为A∩B。
交集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x同时属于集合A和集合B，则x属于A∩B。
交集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。
即交换交集的操作次序不会改变结果。
（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即交集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。
（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。
即交集与并集满足分配律。
2. 并集的定义与性质并集是指由两个或多个集合中所有元素组成的新的集合。
假设A和B是两个集合，则它们的并集表示为A∪B。
并集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x属于集合A或属于集合B，则x属于A∪B。
并集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。
即交换并集的操作次序不会改变结果。
（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。
即并集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。
（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
即并集与交集满足分配律。
3. 交集与并集的应用交集和并集在数学中有广泛的应用，特别是在集合论、逻辑学、概率论等领域。
在集合论中，交集和并集是集合运算的基础。
通过交集和并集的组合运算，可以构建更复杂的集合关系，如补集、差集等。
在逻辑学中，交集和并集可以用来表示命题之间的联系。
高中数学课件集合的运算交、并
2021/4/27
例2：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B
解：A∪B ={x|x是锐角三角形} ∪{x|x是钝角三角形} ={x|x是斜三角形}
例3：设 A { x | 1 x 2 } ， B { x | 1 x 3 } 求 A , B
分析：此题与例1类似，与实数大小有关系，利用数轴处理
-1
1 23
解：将集合A，集合B用上图表示
A B {x| 1x2 } {x|1x3 } {x| 1x3 }
练习：设 A { x | 1 x 0 } ， B { x |1 x 3 } 求 A ,B
2021/4/27
例4：设 A { x |x 2 } ， B { x |x 3 } ， A B 求 .
分析：求两个集合的交集即是求既属于集合A又属于集合B的元素， 此题与实数大小有关系，利用数轴处理会是问题简便
解：在数轴上分别作出集合A 集合B所对应的部分
-2
3
从图形可以看出，阴影部分即是集合A 与集合B 的交集
A B { x |x 2 } { x |x 3 } { x | 2 x 3 }
2021/4/27
14Βιβλιοθήκη 32注意：定义中的“或”字，它说明A∪B中的元素有下列三种情况：
xA,xB或 xA,xB或 xA,xB 2、交集：一般地，由所有属于集合A，且属于集合B的元素所组成的
集合，叫做集合A与集合B的交集。
记作：AB 读作：“A交B” 即 A B { x |x A ,且 x B }
注意：定义中的“且”字，它说明A∩B中的任一元素x都是A与B的 公共元素。由此可知， A∩B必是A和B的公共子集。
高中数学-集合的基本运算(并集与交集)
A∪B
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
用Venn图表示如下：
AB
A∩B
性质
={x 1＜ x＜2}
。 。。 。
-1 0 1 2 3
练习
1. 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
练习
2. 已知集合A={x －2≤x≤4}, B={x x＞a}
①若A∩B≠φ,求实数a的取值范围; ②若A∩B≠A,求实数a的取值范围．
则A∩B＝ {等腰直角三角形}
例题
例2 设A={x x是A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例题 例3 设A={x -1＜ x ＜ 2},B={x 1＜ x＜3},
求A∪B , A∩B． 解： A∪B={x -1＜ x ＜ 2}∪{x 1＜ x＜3}
={x -1＜ x＜3} A ∩ B={x -1＜ x ＜ 2} ∩{x 1＜ x＜3}
集合的 基本运算
并集与交集
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
用Venn图表示如下：
集合的运算---交、并
例5：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B 分析：此题仍是求交集，如果用文氏图表示各个集合，可能会 方便我们的理解
A
B
解：将集合A，集合B用上图表示 A∩B ={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}
例6：根据条件求集合A： {2}
方法：（1）利用集合间关系进行元素分析； （2）利用文氏图进行元素分析； （3）利用数轴进行元素分析。
课堂小结：
1、正确理解交集与并集的概念。 2、会求两个已知。
； 小程序游戏 h5小游戏 h5游戏
；
A {2,5,6}
解：
A {2,5,6} A可能为{2,5,6}、 {2， 5}、 {2， 6}、 {5， 6}、 {2}、 {5}、 {6}、
{2} A A为含有2的所有集合
{2， 5}、 {2， 6}、 {2， 5， 6} 综上所述：集合A 可能为： {2}、
经验总结：解集合问题时，元素是核心，所以在解集 合题时抓住元素特征是重要途径。 元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。
6，
8
7，
B
解：将集合A，集合B用上图表示 A∪B ={4，5，6，8} ∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8} 注意：本题两个集合中都有元素5，8，但在求两个集合的并集的时候 只能出现一次，不能写成{3，4，5，5，6，7，8，8}
例2：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B 解：A∪B ={x|x是锐角三角形} ∪{x|x是钝角三角形} ={x|x是斜三角形} 例3：设 A {x | 1 x 2}，B {x | 1 x 3}, 求A B 分析：此题与例1类似，与实数大小有关系，利用数轴处理
如何计算集合的交集和并集
如何计算集合的交集和并集在数学中，集合是由一组元素组成的。
而集合的交集和并集是集合运算中常见且重要的概念。
本文将详细介绍如何计算集合的交集和并集，并给出一些实际的例子来帮助读者更好地理解。
一、集合的交集集合的交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的新集合。
计算集合的交集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行交集运算的集合。
例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。
2. 然后，找出这两个集合中共有的元素。
在这个例子中，集合A和集合B的交集是{3, 4}，因为它们两个集合中都包含这两个元素。
3. 最后，将共有的元素组成一个新的集合，即为集合的交集。
在这个例子中，集合A和集合B的交集为{3, 4}。
需要注意的是，如果两个集合没有共有的元素，那么它们的交集将为空集。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，那么它们的交集为空集。
二、集合的并集集合的并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。
计算集合的并集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行并集运算的集合。
例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。
2. 然后，将这两个集合中的所有元素合并在一起。
在这个例子中，将集合A和集合B中的元素合并在一起得到{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 最后，将合并后的元素组成一个新的集合，即为集合的并集。
在这个例子中，集合A和集合B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
需要注意的是，并集中不会重复出现相同的元素。
如果两个集合中有相同的元素，那么在并集中只会保留一个。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么它们的并集为{1, 2, 3, 4, 5}，而不是{1, 2, 3, 3, 4, 5}。
三、实际例子为了更好地理解集合的交集和并集的概念，我们来看一些实际的例子。
例子一：小明和小红是一所初中的学生，他们分别喜欢篮球和足球。
集合的并、交、补基本运算法则
集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．之巴公井开创作
定理.设A,B,C为任意三个集合，Ω与Æ分别暗示全集和空集，则下面的运算法则成立：
(1) 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；
(2) 结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,
(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C）；
(3) 分配律: (A∩B) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),
(A∪B) ∩C =(A∩C) ∪(B∩C)；
(4) 摩根(Morgan)律: ，；
(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；
(6) 吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；
(7)0―1律: A∪Æ=A，A∩Ω=A，
A∪Ω=Ω，A∩Æ=Æ；
(8)互补律: , Æ；
(9) 重叠律: , .
证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．
例试证明等式
证.
＝Ω∩C＝C
对偶.定理的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把Æ换成Ω，同时把Ω换成Æ，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式．
例的对偶为；的对偶为；的对偶式是。
集合的交集与并集的求解
集合的交集与并集的求解在数学中，集合是由一组特定对象组成的集合，可以是数字、字母、词语等。
集合的交集和并集是集合运算中常见且重要的概念。
本文将详细介绍集合的交集和并集的定义及求解方法。
一、集合的交集集合的交集，指的是由两个或多个集合中共同拥有的元素组成的新集合。
我们可以使用符号“∩”表示集合的交集。
例如，对于集合A和集合B，它们的交集可以用符号表示为A∩B。
要求两个集合的交集，我们需要找到同时属于这两个集合的所有元素。
简单来说，就是找到A和B中共同的元素。
如果一个元素只属于A或只属于B，那么它就不属于A∩B。
求解集合的交集的方法如下：1. 遍历集合A中的每个元素。
2. 检查该元素是否也属于集合B。
3. 如果该元素同时属于集合B，则将其加入交集集合中。
举例来说，假设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={4, 5, 6, 7}，我们来求解它们的交集A∩B。
首先，遍历集合A中的每个元素，从1开始。
对于元素1，检查它是否也属于集合B，发现不属于。
然后，继续遍历集合A中的下一个元素2。
对于元素2，发现它也属于集合B。
因此，将元素2加入交集集合中。
接下来，继续遍历集合A中的下一个元素3。
元素3不属于集合B，所以不将其加入交集集合。
继续遍历集合A中的下一个元素4。
元素4同样属于集合B，将其加入交集集合。
最后，遍历集合A中的最后一个元素5。
元素5也属于集合B，将其加入交集集合。
经过以上步骤，我们得到交集A∩B={2, 4, 5}。
通过上述过程，我们可以看出，求解集合的交集就是找到两个集合中共同拥有的元素。
二、集合的并集集合的并集，指的是将两个或多个集合中的所有元素组合成一个新的集合。
我们可以使用符号“∪”表示集合的并集。
例如，对于集合A 和集合B，它们的并集可以用符号表示为A∪B。
求解集合的并集的方法如下：1. 将集合A中的所有元素放入新集合中。
2. 遍历集合B中的每个元素。
3. 检查该元素是否已经属于新集合。
高中数学 集合间交、并、补的运算
集合间交、并、补的运算一、交集：交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为。
数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合。
由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x ∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合{1，2，3} 和{2，3，4} 的交集为{2，3}。
数字9 不属于素数集合{2，3，5，7，11} 和奇数集合{1，3，5，7，9，11}的交集。
若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B = ? ;。
例如集合{1，2} 和{3，4} 不相交，写作{1，2} ∩{3，4} = ? 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。
交集运算满足结合律，即 A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素A，x 属于A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合{A，B，C} 的交集。
（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
这一概念的符号有时候也会变化。
集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。
后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈I} 的交集。
这里I 非空，Ai 是一个i 属于I 的集合。
注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.A=｛-1,0,1｝，B=｛1,2,3｝则 = =
4.若A=｛等腰三角形｝B=｛直角三角形｝则 = =
2、我的疑惑
训练案
训练方法指导：
1.当A B时，要当心 的情况.
2.过程与方法: 会使用Venn图表示两个集合的交集与并集，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 渗透数形结合的思想.
3.情感、态度与价值观：在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识，能将所学知识系统化、条理化，并通过合作学习等形式，培养学生积极参与的主体意识.
自学要求：
认真阅读课本P11---P12，会用文字语言、符号语言、图形语言叙述和表示交集与并集的概念.
2.注意一些常见结论，如 =A， 分别等价于什么？
1.设集合 ， ,则 =________________
2.若 求 并用数轴表示
3.若 ， ，求
4.(选做)设
（1）若 ，求实数 的取值范围
（2）若 =A，求实数 的取值范围
②若 则 = =
③ = = = =
问题 ，求 ， 并用数轴表示.
③若 ， ，求 ， 并用数轴表示.
问题3、当方程 的解集为A，方程 的解集为B,若 ,求
2、当堂检测
1）设Ｍ＝｛０，１，２，４，５， ７｝，Ｎ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｐ＝｛４，７，９｝，则（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）＝（ ）
2019届数学科必修1导学案第3个课题：集合的交与并运算
班级
姓名
时间
主备课人
审核人
审批人
探究案
1、知识探究
【学习指导】积极讨论，大胆展示，注意数集问题借助数轴，点集问题借助坐标平面.
问题1、① 与A，B有怎样的包含关系？__________________
与A，B有怎样的包含关系？__________________
预习案
1、自主学习
1.集合A与B的交集定义是________________________________________________________
记作_________，读作_________，即__________________________________用Venn图表示为：
2.集合A与B的并集是_____________________________________________________________
Ａ．｛１，４｝ Ｂ．｛１，７｝ Ｃ．｛４，７｝ Ｄ．｛１，４，７｝
、A={x|x是大于10的正奇数} B={x|x是12的正约数}求 ,
3）若集合Ａ、Ｂ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∩Ｂ，则集合Ａ，Ｂ的关系是_________________________________．
我的收获
刘玉东
学习目标：1.知识与技能:理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集和并集.