方阵的行列式 可逆矩阵与逆矩阵共33页文档
矩阵行列式与可逆矩阵
矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
矩阵可逆的条件
谢谢观看
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矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进 行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最 简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有 重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩 相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文-全文在线阅读-
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1AXBB-1= A-1CB-1，
即
X = A-1CB-1。
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解
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★ 矩阵与矩阵的加、减法； ★ 矩阵与数的乘积； ★ 矩阵与矩阵的乘积； ★ 方阵的行列式； ★ 逆矩阵； ★ 矩阵的转置。
Ex.4
解
又
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于是
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也可以直接按定义来验证这一结论。
上页 下页 返回
Ex.5 解
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Ex.6 解
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上页 下页 返回上页Fra bibliotek返回设给定一个线性变换： 它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，
上页 下页 返回
记
则线性变换(7)可记为 Y =AX.
逆矩阵。
例如
因为AB= BA= E，所以B是A的逆矩阵，同样A也 是B的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C都是 A的逆矩阵， 则有
B=BE =B（AC）=（BA）C =EC =C， 所以 A的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A-1。 即若AB=BA=E，则 B=A-1。
§3 逆 阵
★ 逆矩阵的概念 ★ 矩阵可逆的条件 ★ 逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
(优选)第四节可逆矩阵与逆矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：