小升初数学讲义之——数论
数论专题讲义
数论专题讲义数论专题数论主要分为以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、分裂问题一.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位数和偶数位数之和的差可以除以11，那么这个数可以除以114.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，然后这个数字可以除以7、11或13【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果ca，CB，然后是C（a±b）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果boa，Cob，然后COA用同样的方法，我们还可以得出：属性3如果a可以被B和C的乘积除，那么a也可以被B和C除。
也就是说，如果bcoa，那么么boa，coa．属性4如果数字a可以被数字B或数字C除，并且数字B和数字C是互质的，那么a必须被数字B除1/10除以和C的乘积。
也就是说，如果boa，COA和（B，C）=1，那么bcoa性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m是非零整数）；性质6如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果b｜a，和D C，然后是BD AC；1、整除判定特征如果六位数的数字是1992□ □ 可以除以105，最后两位数是多少？2、数的整除性质应用如果15abc6可以除以36，商是最小的，那么a、B和C分别是什么？3、整除综合性问题已知：23！？258d20c6738849766ab000。
小升初数学知识点之数论
小升初数学知识点之数论数字的魅力一直以来都备受人们的关注和热爱。
数论作为数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系，为我们揭示了数字的奥秘。
在小升初考试中，数论是一个重要的考点，掌握好数论的知识对学生来说至关重要。
本文将介绍小升初数学知识点之数论，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
1. 质数和合数质数指的是只能被1和自身整除的整数，比如2、3、5等。
而合数则指的是可以被除了1和自身之外的其他整数整除的整数，比如4、6、8等。
掌握质数和合数的概念十分重要，可以帮助我们判断一个数的性质，并解决一些数的因子相关的问题。
2. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（GCD）指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大整数，最小公倍数（LCM）则是两个或多个整数中能够被它们整除的最小整数。
求最大公约数和最小公倍数的方法有很多，比如质因数分解法、辗转相除法等。
了解和掌握这些方法可以帮助我们解决一些关于数的倍数和约数的问题。
3. 素数分解和唯一分解定理素数分解是将一个合数分解成若干个素数的积的过程。
唯一分解定理指出，每一个大于1的正整数都可以写成质数的乘积，而且这个质因数分解的形式是唯一的。
通过素数分解，我们可以将一个较大的整数进行简化，方便我们进行计算和分析。
4. 奇偶性质每一个整数都可以分为奇数和偶数两类，其中奇数指的是不能被2整除的数，偶数则是可以被2整除的数。
奇偶性质在数论中有很多应用，比如判断一个数的因子个数、质因数分解中的奇偶关系等。
5. 同余定理同余定理是数论中一个重要的概念，它描述了整数间除以一个正整数所得的余数的性质。
同余定理可以帮助我们解决一些关于模运算的问题，比如计算大数的末几位、判断两个数是否互质等。
6. 质数的判定判断一个数是否为质数是数论中一个经典且重要的问题。
常见的质数判定方法有试除法、费马小定理等。
了解这些方法可以帮助我们高效地判断一个数是否为质数。
7. 常见的数论应用题数论的知识点在小升初数学考试中有着广泛的应用。
(4)小升初数论
11、如果a=4b，a、b都是大于0的自然数，那么a、b的最 小公倍数是（ ），最大公因数是（ ）。 12、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144， 则这两个数分别是（ ）和（ ）。
二、判断 1、因为24÷6=4，所以24是倍数，4是因数。（ ） 2、两个合数一定不是互质数。（ ） 3、一个数的倍数一定大于这个数的因数。（ ） 4、任意两个相邻自然数中一定有一个是奇数。（ ） 5、2的倍数都是合数。（ ） 6、自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。（ ） 7、一个数的因数是无限的，一个数的倍数是有限的。（ ） 8、用5,6,7这三个数字组成的三位数一定是3的倍数。（ ）
例【6】 选择 把90分解质因数，正确的形式是（ ）。 A、90=2×5×9 B、90=3×3×2×5×1 C、90=2×3×3×5 D、2×3×5×3=90
课堂练习
一、填空 1、在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小 的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶 数是（ ），最小的自然数是（ ）。 2、20以内不是偶数的合数是（ ），不是奇数 的质数是（ ）。 3、一个数的最大因数是18，这个数是（ ），把 它分解质因数是（ ）。
2,3,5倍数的特征
个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。 1、2的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍 2、3的倍数的特征： 数，这个数就是3的倍数。
3、5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
4、同时是2和3的倍数的数，个位树上的数是 0,2,4,6,8，并且各个数位上的数字之和是3的 倍数； 同时是3和5的倍数的数，个位上的数是0或 5，并且各个数位上的数字之和是3的倍数； 同时是2和5的倍数的数，个位上的数是0； 同时是2,3,5的倍数的数，个位上的数是0， 并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
小升初数论综合讲座教案
小升初数论综合讲座教案教案标题：小升初数论综合讲座教案目标学生：小升初年级的学生教学目标：1. 了解数论的基本概念和主要研究内容；2. 掌握数论中的基本定理和证明方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力；4. 提高学生对数学的兴趣和学习主动性。
教学内容：1. 数论的基本概念：素数、合数、质因数分解等；2. 数论的主要研究内容：最大公约数、最小公倍数、同余、质数判断等；3. 数论中的基本定理：费马小定理、欧拉定理等；4. 数论证明方法：数学归纳法、反证法等。
教学准备：1. 教学材料：数论相关教材、练习题；2. 教具：黑板、粉笔、计算器等；3. 多媒体辅助教学工具：PPT、视频等。
教学过程：导入：1. 师生互动：通过展示一个有趣的数学谜题，引发学生的兴趣和思考；2. 引入课题：“今天我们将一起探索数论这个神奇的数学分支，了解它的研究内容、基本定理和证明方法。
”知识点讲解：1. 通过多媒体展示数论的基本概念和主要研究内容，并结合实例进行讲解；2. 解释数论中的重要定理和证明方法，确保学生理解并掌握。
示范演示：1. 提供数论的典型题目，解答过程需要用到基本定理和证明方法；2. 引导学生思考解题思路，进行解题示范。
练习与巩固：1. 发放练习题，让学生在课堂上独立完成；2. 讲解答案，逐步引导学生理解解题过程和思想方法。
拓展与应用：1. 提供一些数论中的拓展题目，让学生进行更深入的思考和探索；2. 引导学生将数论所学应用到实际问题中，培养问题解决能力。
总结与反思：1. 总结本节课所学内容，并与学生进行互动讨论；2. 鼓励学生提出问题和疑惑，解答并反思课堂教学效果。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，推荐相关的数论学习资源和参考书籍；2. 布置相关的作业，巩固数论知识。
评估方式：1. 在课堂上进行学生学习态度和参与度的观察评价；2. 配置适当的练习题，检验学生的数论知识和解题能力；3. 定期组织考试，全面评估学生的学习效果。
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版
小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律精英版同余定理及其应用同余定理是数论的一个重要概念，它在奥数竞赛中经常被用来解决问题。
同余定理的精髓可以用下面的一句话来概括：如果两个数除以一个数得到的余数相等，那么这两个数对于这个数来说是同余的。
具体来说，对于给定的整数 a、b 和正整数 m，如果 a 除以 m 得到的余数与 b 除以 m 得到的余数相等，即 a mod m = b mod m，那么就可以说 a 和b 是关于模 m 同余的，记作 a ≡ b (mod m)。
同余定理可以表示为以下几个性质：1.自反性：对于任意整数 a 和正整数 m，有 a ≡ a (mod m)。
2.对称性：对于任意整数 a、b 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m)。
3.传递性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且b ≡c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
了解了同余定理的性质后，我们就可以开始利用同余定理解决一些有关数的性质或问题了。
应用一：同余定理的运算第1页/共4页同余定理对于数的加减乘除运算有一些有趣且有用的性质。
1.加法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a + c ≡ b + b (mod m)。
2.减法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡ b (mod m)，那么 a - c ≡ b - b (mod m)。
3.乘法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，那么 a × c ≡ b × d (mod m)。
4.除法性：对于任意整数 a、b、c 和正整数 m，如果 a ≡ b (mod m) 且c ≡d (mod m)，且 c 和 m 互素，那么 a ÷ c ≡ b ÷ d (mod m)。
小升初之数论专题
［知识要点］小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1 •带余除法：若a, b是两个整数，b>0,则存在两个整数q, r，使得a=bq+r （0<r v b）, 且q, r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2. 若a|c , b|c，且a, b 互质，则ab|c。
3•唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即PJp# …用, （1）其中pl v p2v・・・v pk为质数，a1, a2,…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4. 约数个数定理：设n的标准分解式为（1）,则它的正约数个数为：d （n）= （a1+1）（a2+1）・・・（ak+1）。
5. 整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x v y与x < y-1是等价的。
下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。
第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。
数整除的特征【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了口13.7 □元, 你能帮忙补上□中数字吗？练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□ 67.9 □元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例2.在算式labcde 3二abcdel中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求abcde这个五位数是多少?练习2. 一个六位数，他的个位数字是6,将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个?练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个?【综合练习】1. 学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口. 2 □元，已知□处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？2. 已知x1993y是45的倍数，求所有满足条件的六位数x1993y。
小升初数学备考之——数论篇
小升初数学备考之——数论篇在小升初数学择校考试中，我们通常将其内容分为五大板块：计算问题、数论问题、几何问题、应用题以及数学原理类问题。
那么，什么是数论呢？数论最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，命题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
既然数论知识这么重要，那么，在小升初择校考试中，同学们在数论问题上的得分率如何呢？从近几年武汉市某些学校小升初试卷来看，数论问题在五大板块内容中得分率较低，得分率38.5%左右。
目前小学阶段的数论知识考点主要有哪些呢？它们真的就这么难吗？小学阶段的数论知识点主要有：整除及整除特征、奇偶性、极值问题；因数倍数、质数与合数、分解质因数；带余除法、同余性质、中国剩余定理、乘方等。
下面我们就从近年来武汉市各重点学校小升初择校试题来看看这些知识的难度究竟如何吧！小升初试题选讲（一）①从0、4、2、5四个数字中选出三个组成一些能够同时被2、3、5整除的三位数，其中最小的三位数是（）。
【2009年武汉市十一中试题】②期末考试六年级（1）班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班共有（）名学生。
【2008年水二中试题】③如果形如“2□1□”的四位数能被9整除，那么这样的四位数有（）个。
【2010年武珞路中学试题】④一个五位数，如果去掉万位和个位上的数字，就是一个能被2、3、5同时整除的最小三位数，在满足条件的这些五位数中，能被11整除的最大的一个数是（）。
【2008年武钢实验学校试题】这类题型主要考察数的整除特征。
小升初数学知识点之数论
千里之行，始于足下。
小升初数学学问点之数论数论是数学中的一个分支，主要争辩整数的性质和关系，涉及到整数的整除性、素数性质、同余关系等内容。
在小升初数学中，数论也是一个重要的学问点，以下是数学学问点之数论的主要内容。
一、整数的整除性1. 整数的定义及性质：整数是指正整数、0和负整数的统称。
整数有加法、减法、乘法运算，但并非全部整数都可以进行除法运算。
2. 整除与倍数：整数a除以整数b得到整数c，可以表示为a能整除b，记作a|b；假如b能整除a，也就是存在整数c，使得b=ac，则称a是b的倍数，b是a的约数。
3. 因数与倍数的关系：一个数的因数是指能整除这个数的整数，而这个数称为这些因数的倍数。
二、素数与合数1. 素数的定义：素数是大于1且只能被1和自身整除的整数。
2. 基本性质：素数只有两个因数，即1和自身；除了2之外的素数都是奇数。
3. 求解素数的方法：试除法、素数筛法等。
4. 合数的定义：合数是指除了1和本身之外还有其他因数的整数。
三、最大公约数与最小公倍数1. 公约数的定义：假如a和b都能被c整除，则称c是a和b的公约数。
2. 最大公约数的定义：最大公约数是指a和b的公约数中最大的那个数，记作gcd(a,b)。
3. 求解最大公约数的方法：辗转相除法、质因数分解法等。
4. 公倍数的定义：假如a和b都能被c整除，则称c是a和b的公倍数。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5. 最小公倍数的定义：最小公倍数是指a和b的公倍数中最小的那个数，记作lcm(a,b)。
6. 最大公约数与最小公倍数的关系：对于任意两个整数a和b，有gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b。
四、同余关系1. 同余关系的定义：设a、b、n为整数，假如n能整除a-b，则称a和b 对模n同余，记作a ≡ b (mod n)。
2. 同余定理：若a≡b (mod n)，c≡d (mod n)，则有a±c≡b±d (mod n)，ac≡bd (mod n)。
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小升初——数论
数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。
掌握代数式处理数论问题的方法。
1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？
2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。
3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？
4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a
5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？
6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多
少？
8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是
多少？
311，那么这三个质数和是多少？
9、三个质数倒数和是
1001
10、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？
11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？
12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法）
13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，
那么4个数的公因数最大是多少？
14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？
15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？
16、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？
A1999311能被72能除，试求A、B两数的差（大减小）
17、如果一个九位数B
18、一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是多少？
19、已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数是多少？
1661，这三个质数和是多少？
20、三个质数倒数的和是
1986
21、小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩。
琳琳问他：“你考了多少分？得了第几名？”小明说：“我得年龄、得分和名次相乘的积是4365.”你知道小明的年龄、得分和名次吗？
22、有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数，请问：这个数是多少？
23、n 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n 最小是多少？
24、有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数。
请问：这三个数中最小的一个数是多少？
25、甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8，乙的数字和是14，那么甲、乙两数的差是多少？
26、有一个六位数abcde 1乘以3以后变成1abcde ，求这个六位数。