1.2 一元二次方程的解法(5)
一元二次方程的第五种解法
←关键步骤
∴ [ax +(ax+b)]2=[ ax -(ax+b)]2+4(-ac)
即 (2ax+b)2= b2-4ac 当b2-4ac≥0时， 2ax+b= b2 4ac
当b2-4ac≥0时，
2ax+b= b2 4ac
2ax= -b b2 4ac
b b2 4ac X=
2a
课时小结
谈一谈，这节课你有什么收获？
1、利用图形解一元二次方程的主要依据 是恒等式：(a+b)2=(a-b)2+4ab
2、利用图形法解一元二次方程可适用于形如 (ax+m)(ax+n)=b (a≠0,b≠0)的一元二次方程
3、“图形法”同样具有一般性，可解任意一道 一元二次方程
4、要自觉培养“发现问题，解决问题”的创新意识。
X+2
小正方形面积： [(x+2)-x]2=4 大正方形的面积：[(x+2)+x]2=4+35x4 X
X+2
X X+2
此图形反映了哪一个恒等式： (a+b)2=(a-b)2+4ab
（这正是利用图形解一元二次方程的依据）
学以致用 例题解析
例1：解方程 (32-2x)(20-2x)=540
解： 原方程可整理为 (x-16)(x-10)=135 ∴ [(x-16)+(x-10)]2= [ (x-16)-(x-10)]2+135x4 即 (2x-26)2=576 (x-13)2=144 x-13=±12 x=13±12 ∴ x1=25 ，x2=1
数学-沪科版-八年级下-第17章 一元二次方程
1.2《一元二次方程的解法—直接开方法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法班级________姓名____________一.学习目标：1．由平方根的定义探寻直接开方法；2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程．学习难点：体会整体思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是．②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝．③x2＝14，则x＝．若分式x2－92x－6的值为零，则x的值为．Ⅱ．活动探究【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0．【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？阅读：解方程x2－4＝0．解：移项，得x2＝4．∴x＝±4＝±2即x1＝2，x2＝−2．我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”．思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。
例1：解下列一元二次方程．⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0．例2：解下列一元二次方程．⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0．【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？例3：用“直接开方法”解下列方程：⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0．【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0【课内反馈】1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为．2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为．3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤04．解下列方程⑴2x2＝50；⑵12y2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．。
九年级数学苏科版上册课时练第1单元《1.2一元二次方程的解法》 练习试题试卷 含答案
课时练1.2一元二次方程的解法一、填空题1．对于具有ax2＝b形式的一元二次方程，可以用法求解．2．用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个式，右边化为．3．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k≥0C．k≥5D．k＞54．方程（x﹣1）2＝2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，5．若x2＝9，则x＝．6．一元二次方程（x+6）2＝10可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝，则另一个一元一次方程是．7．解方程：（x﹣2）2＝25．x1＝，x2＝．二、解答题8．解下列方程：（1）x2﹣1＝11；（2）16x2＝5；（3）0.2x2﹣＝0；（4）9﹣（x﹣1）2＝0．9．用直接开平方法解方程：（1）（﹣2）2＝6；（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；（3）（x+3）（x﹣3）＝9；（4）（x+）2＝（1+）2．10．当x取何值时，代数式3x2﹣3的值和代数式2x2﹣1的值相等？11．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0C．m≥1D．m≥212．一元二次方程（1﹣x）2＝2的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+D．x1＝1﹣，x2＝1+13．自由下落的物体的高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h＝4.9t2．现有一铁球从离地面19.6m高的建筑物顶部做自由下落，到达地面需要的时间是s．14．用直接开方法解下列方程：（1）x2﹣27＝0；（2）（x﹣2）2＝6；（3）3（x﹣3）2＝75；（4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0．15．用直接开方法解下列方程：（1）（x+）（x﹣）＝8；（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．16．去年年底学校图书馆库存有图书7.5万册，预计到明年年底学校库存图书增加到10.8万册，求这两年的年平均增长率．参考答案一、填空题1．直接开平方．2．完全平方，常数．3．C．4．C．5．±3．6．x+6＝﹣．7．7，﹣3．二、解答题8．解：（1）∵x2﹣1＝11，∴x2＝12，则x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵16x2＝5，∴x2＝，则x1＝，x2＝﹣；（3）∵0.2x2﹣＝0，∴0.2x2＝，则x2＝3，∴x1＝，x2＝﹣；（4）∵9﹣（x﹣1）2＝0，∴（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．9．解：（1）∵（﹣2）2＝6，∴﹣2＝±，解得，；（2）∵3（x﹣1）2﹣6＝0，∴3（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴，；（3）∵（x+3）（x﹣3）＝9，∴x2﹣9＝9，则x2＝18，∴，即x1＝3，x2＝﹣3；（4）∵（x+）2＝（1+）2．∴x+＝1+或x+＝﹣1﹣，解得x 1＝1，．10．解：由题意，得3x2﹣3＝2x2﹣1，整理得x2＝2．∴x＝．∴当x取时代数式3x2﹣3和代数式2x2﹣1的值相等．11．B．12．D．13．2．14．解：（1）∵x2＝27，∴x2＝81，则x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9；（2）∵（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝±，则x1＝，x2＝；（3）∵3（x﹣3）2＝75，∴（x﹣3）2＝25，则x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得x1＝8，x2＝﹣2；（4）∵（y+4）（y﹣4）﹣9＝0，∴y2﹣16﹣9＝0，∴y2＝25，∴y1＝5，y2＝﹣5．15．解：（1）∵（x+）（x﹣）＝8，∴x2﹣5＝8，则x2＝13，∴x＝±，即x1＝，x2＝﹣；（2）∵4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2，∴2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），解得：y1＝3，．16．解：设这两年的平均增长率为x，依题意，得：7.5（1+x）2＝10.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法：因式分解法和配方法。
一、因式分解法因式分解法是指将一元二次方程分解成两个一次因式的乘积，再令每个一次因式等于零，解得方程的两个根。
例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：首先，找到两个数的乘积等于常数项c，且和等于中间项b的相反数。
在本例中，c为6，b为-5，可以将6拆解为-2和-3，-2与-3的和为-5，符合要求。
然后，将方程分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
接下来，令每个一次因式等于零，即(x - 2) = 0和(x - 3) = 0。
最后，解得x = 2和x = 3，这两个值分别为方程的两个根。
二、配方法配方法是指通过将一元二次方程移项，并用一个常数将方程的两边补全为一个完全平方的形式，从而将一元二次方程转化为一个平方差的形式，进而求解方程。
例如，解方程x^2 + 4x - 5 = 0：首先，将方程移项，得到x^2 + 4x = 5。
然后，通过添加一个与方程中一次项的系数一半相等的常数的平方，使得方程的左边成为一个完全平方。
在本例中，一次项的系数为4，可以添加(4/2)^2 = 4的平方，得到x^2 + 4x + 4 = 5 + 4，即(x + 2)^2 = 9。
接下来，令要解的方程的平方项等于右边的常数，即(x + 2)^2 = 9。
最后，开方，解得x + 2 = ±3，即x = 1和x = -5，这两个值分别为方程的两个根。
总结起来，一元二次方程的解法包括因式分解法和配方法。
通过运用这两种解法，可以求得一元二次方程的根，从而解决实际问题。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题
章节测试题1.【题文】解方程:x2-4x-1=0.【答案】x1=2+,x2=2-.【分析】根据配方法，可得答案.【解答】解：∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.2.【题文】解下列方程：（1）x2+10x+25=0（2）x2﹣x﹣1=0．【答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=【分析】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，按照先移项，再配方，后开方的步骤求解即可..【解答】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+=，（x﹣）2=，开方，得x﹣=±，x1=，x2=．3.【题文】解方程：（1）x2﹣9=0（2）x2+2x﹣1=0．【答案】（1）x1=3，x2=﹣3；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【分析】（1）根据本题方程的特点，用“直接开平方法”解答即可；（2）根据本题方程的特点，用“配方法”或“公式法”解答即可.【解答】解：（1）x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+2x﹣1=0，移项得：x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=2，∴（x+1）2=2，∴x+1=±，∴ x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.4.【题文】用配方法解方程：．【答案】，【分析】先把常数项移到右边,两边同时加上一次项系数的一半的平方，即都加上9,把左边写成完全平方式，即的形式，然后两边开平方求出未知数的值.【解答】解:，，，，，∴，．5.【题文】用配方法说明下列结论：（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【答案】（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）代数式2x-x2-3的值恒小于0【分析】运用配方法的运算方法，第一步：如果二次项数不是1，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算；第二步：配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．【解答】解：（1）x2+8x+17= x2+8x+16-16+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0∴（x+4）2+1＞0即代数式x2+8x+17的值恒大于0（2）2x-x2-3= -x2+2x -3= -（x2-2x +3）= -（x2-2x+1-1 +3）= -［（x-1）2+2］= -（x-1）2-2∵-（x-1）2≤0∴-（x-1）2-2＜0即代数式2x-x2-3的值恒小于0．6.【题文】解方程：【答案】，【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据完全平方公式配方，配方的方法是：先将常数项移到右边，然后两边都加一次项系数一半的平方.【解答】解：，7.【题文】解方程：x2+4x﹣4=0．【答案】x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．【分析】根据这个一元二次方程的特点，用“配方法”或“公式法”解即可.【解答】解：方程移项得：x2+4x=4，配方得：x2+4x+4=8，即（x+2）2=8，∴x+2=±2，解得：x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．8.【题文】解方程：2x2-4x-1=0.【答案】．【分析】根据配方法解方程即可．【解答】解：移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，，配方得，x2-2x+1=+1，，∴，∴．9.【题文】用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1 = 0；（2）7x2 -28x +7= 0. (3) x2-x-4=0(4) 3x2-45=30x【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）把二次项系数化为1，常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，把二次项系数化为1，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）4x2 -4x -1 = 0，x2-x-=0，x2-x=，x2-x+=+，即(x-)2=，则x-1=±，；（2）7x2 -28x +7= 0，x2-4x=-1，x2-4x+22=-1+22，即(x-2)2=3，则x-2=±，x=2±，即；（3）x2-x-4=0x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，即；（4）3x2-45=30x，x2-10x=15，x2-10x+52=15+52，即(x-5)2=40，则x-5=±，x=5±，即.10.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.【解答】解：（1）x2+2x-8=0，x2+2x=8，x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，则x+1=±3，x=−1±3，即；（2）x2+12x-15=0，x2+12x=15，x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，则x+6=±，x=−6±，即；（3）x2-4x=16，x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，则x-2=±，x=2±，；（4）x2=x+56，x2-x+2=56+2，（2=，则x-=±，x-=±+，即.11.【题文】x2﹣4x+1=0（用配方法）【答案】x1=2+，x2=2﹣.【分析】先移项，然后配方，解出x即可.【解答】解：x2－4x+1=0，移项，得x2－4x=－1，配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，解得，x－2=，即x1=2+，x2=2－.12.【题文】解下列方程：（1）(1+x)2－2=0；(2)9(x－1)2－4=0．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（2）先移项，再把二次项系数化为1，然后用“直接开平方法”解方程即可.【解答】解：（1）移项得：，∴，∴.（2）原方程可化为：，∴，∴.13.【题文】解关于x的方程（x+m）2=n．【答案】当时，方程无解；当时，，.【分析】由于题目中没有告诉“n”的取值范围，所以分“n0”和“n<0”进行解答即可.【解答】解：（1）当n≥0时，x+m=±，∴ x1=－m，x2=－－m．（2）当n<0时，方程无解．14.【题文】解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【分析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．【解答】解：解：（1）∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．15.【题文】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．【答案】（1）4；（2）7；（3）2【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．【解答】解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xy z=2．16.【题文】“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【解答】解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【题文】如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．【答案】-8【分析】将原式化为+（b－6）2=0，由此可得，分别求出a、b 的值即可求出ab.【解答】解：原等式可化为+（b－6）2=0，∴，∴a=，b=6，∴ab=－8.故答案为－8.18.【题文】用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2－4x－1=0；（3）9y2－18y－4=0；（4）x2+3=2x.【答案】（1）x1=－2，x2=－－2；（2）x1=1+，x2=1－；（3）y1=+1，y2=1－；（4）x1=x2=.【分析】（1）先移项，再配方，解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（3）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x 即可；（4）先移项，再配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+4x=－1，配方，得x2+4x+22=－1+22，即（x+2）2=3，解得x1=－2，x2=－－2；（2）移项，得2x2－4x=1，二次项系数化为1，得x2－2x=，配方，得x2－2x+12=+12，即（x－1）2=，解得x－1=±，即x1=1+，x2=1－；（3）移项，得9y2－18y=4，二次项系数化为1，得y2－2y=，配方，得y2－2y+12=+12，即（y－1）2=，解得y－1=±，即y1=+1，y2=1－；（4）移项，得x2－2x+3=0，配方，得（x－）2=0，解得x1=x2=.19.【题文】用配方法解方程，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得，配方，得，即，解得，即．【答案】．【分析】上面过程不对，错在配方一步，改正即可.【解答】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－x+=15+，即（x－）2=，解得x－=±,即x1=3，x2=.20.【题文】解下列方程：（1）x2+6x+5=0；（2）2x2+6x－2=0；（3）（1+x）2+2（1+x）－4=0.【答案】（1）∴x1=－1，x2=－5；（2）x1=－，x2=－－；（3）x1=－2，x2=－－2【分析】（1）先移项，再配方解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可；（3）先去括号，再移项，然后配方解出x即可.【解答】解：（1）移项，得x2+6x=－5，配方，得x2+6x+32=－5+32，即（x+3）2=4，由此可得：x+3=±2，∴x1=－1，x2=－5；（2）移项，得2x2+6x=－2，二次项系数化为1，得x2+3x=－1，配方，得x2+3x+（）2=－1+（）2，即（x+）2=，由此可得x+=±，∴x1=－，x2=－－；（3）去括号整理，得x2+4x－1=0，移项，得x2+4x=1，配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=±，∴x1=－2，x2=－－2.。
1.2一元二次方程的解法公式法
（1）3x2+5x-1=0
解：a=3，b=5，c=-1，
b² -4ac=5² -4×3×（-1）=37>0
X= =
Х1=
Х2=
（2）4x² +1=-4x
解：移项，得4x² +4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b² -4ac=4² -4×4×1=0
X=
X1=X2
==-
（3）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b² -4ac=2² -4×1×2=-4<0
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x 2a 4a 2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
即
b b 4ac x 2a 2a
2
一元二次方程的 求根公式
4、2x² -3x-1=0
解下列方程： 1、x2=4 3、8x2-10=0；
不含一次项
2、x2－3=0； 4、2x2 =80;
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定
义,可解得 x1 a , x2 a 方法叫做直接开平方法.方程的
例1、用直接开平方法解下列方程:
(1 （ ) x 18 ） 25
(a≠0, b2-4ac≥0)
b b 4ac x 2a
2
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
解一元二次方程时，把各项系数的值 直接代入这个公式，若b2-4ac≥0，就可以 求得方程的根. 这种解一元二次方程的方
法叫做公式法.
《一元二次方程的解法》经典例题精讲
《一元二次方程的解法》经典例题精讲例1解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-，25x 2=，25x ±=，x ＝±＝±55． ∴5x 5x 21-==，．例2解方程2)3x (2=+．分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．了．解：2)3x (2=+，23x ±=+，23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．例3解方程081)2x (42=--．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．较好．解：081)2x (42=-- 整理，81)2x (42=-，481)2x (2=-， 292x ±=-，∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解． 解法一：02x 3x 2=+-，(x (x－－2)(x 2)(x－－1)1)＝＝0， x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，． 解法二： ∵a ＝1，b ＝－＝－33，c ＝2， ∴01214)3(ac 4b 22>=´´--=-，∴213x ±=．∴1x 2x21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△先计算“△”的值，若△<0<0<0，则方程无解，就不必解了．，则方程无解，就不必解了．，则方程无解，就不必解了．例5解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，为未知数，m m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2³-的情况下，利用公式法求解．利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－＝－3m 3m 3m，，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--´´--=-22n 4mn 4m ++= 0)n 2m (2³+=．∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴nm x n m 2x 21-=+=，． 注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：系数方程时要注意：(1)(1)(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)(2)不要把一元二次方程一般形式中的不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；混淆；(3)(3)(3)在在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．重要，要记住．解：x 73x 22=+，23x 27x 2=+-，0234747x 27x 22=+÷øöçèæ-÷øöçèæ+-2， 162547x 2=÷øöçèæ-， ∴4547x ±=-． ∴21x3x21==，． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．边就配成了一个二项式的完全平方．例7不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=D 的值的符号就可以了．符号就可以了．解：(1)(1)∵∵a ＝2，b ＝3，c ＝－＝－44， ∴041)4(243ac 4b 22>=-´´-=-． ∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． (2)(2)∵∵a ＝1616，，b ＝－＝－242424，，c ＝9， ∴09164)24(ac 4b 22=´´--=-． ∴方程有两个相等的实数解．∴方程有两个相等的实数解．(3)(3)将方程化为一般形式将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－＝－77，c ＝5， ∴554)7(ac 4b 22´´--=- ＝4949－－100 ＝－＝－51<051<051<0．．∴方程无实数解．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．的值．分析：根据韦达定理a cx x abxx2121=×-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则，则56x 25k x 222-=×-=+，，∴53x 2-=，k ＝－＝－77．即方程的另一根为53-，k 的值为－的值为－77． 注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c．例9利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的两根的 (1)(1)平方和；平方和；平方和；(2)(2)(2)倒数和．倒数和．倒数和．分析：已知21x x 23xx2121-=×-=+，．要求．要求(1)(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+，关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ×+、的式子．的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出，由此可求出(1)(1)(1)．同样，可用．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)(1)∵∵21x x 23x x 2121-=×-=+，，∴212212221x x 2)x x (x x -+=+÷øöçèæ--÷øöçèæ-=212232149+= 413=； (2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--=＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是3434，求，求m 的值．的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=×-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则，则2mx x 2x x 2121=×-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+=34)2(2--=＝－＝－303030．．∵2mxx 21=，∴m ＝－＝－303030．．注意：解此题的关键是把式子2221x x x x+变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．的值．例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、1010．．分析：因为任何一元二次方程都可化为因为任何一元二次方程都可化为((二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=×-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=×++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋1010＝－＝－＝－p p ，2×1010＝＝q ，∴p ＝－＝－121212，，q ＝2020．．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一但一般只写出比较简单的一个．个．例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．，求这两个数． 分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－这个方程的一次项系数就应该是－88，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵qx x p 8xx2121=×-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-．解这个方程得74x 74x21-=+=，，∴这两个数为7474-+和．例13如图22-2-122-2-1，在长为，在长为32m 32m，宽为，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+． 题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为x m ，则，则，则 2032x x 20x 325402´=-++． 0100x 52x 2=+-，(x (x－－2)(x 2)(x－－50)50)＝＝0， x －2＝0，x －5050＝＝0， ∴50x 2x21==，．∵x ＝50不合题意，不合题意， ∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m 2m．．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x ．例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，吨，33月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(15000(1＋＋x)x)，，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=．这就是重要的增长率公式．这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+，56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去不合题意，舍去))． 答：平均每月增长的百分率是20%20%．．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．，并舍去负值．。
课后作业.2 一元二次方程的解法练习》(配方法)(含答案)
1.2 一元二次方程的解法练习一、选择题1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或105．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C． D．6．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠07．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥18．（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜19．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠210．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠011．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．2412．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=013．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．214．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x215．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．以上三种情况都有可能16．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=017．（2015•湘西州）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=018．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于______．20．一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=______．（只需填一个）．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．22．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．23．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．1.2 一元二次方程的解法答案一、选择题1．D；2．C；3．B；4．B；5．B；6．A；7．B；8．A；9．D；10．D；11．C；12．A；13．B；14．C；15．C；16．A；17．B；18．A；二、填空题19．3；20．4；21．m≤1；22．m＜；23．4；2；24．a＞0；25．a≤1；26．-3；。
一元二次方程的解法-公式法第5课
4 2 6x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
6 36 6 6 x , 2 4 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4x 8 4x 11
2
b 4ac 4 4 2 5 56.
2 2
4 2 14 4 2 14 x , 2 2 4
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
动手试一试吧！
1、方程3 +1=2 x中， 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 -1或4 有两个相等的实数根，则n=------. x2 b2-4ac=----0
2 2
（1）解下列方程：
5 x 2 4 x 8 4 x 11 ; x 2 x 4 5 8x. 6
解：（1）
a 1, b 1, c 6.
2
b 4ac 1 4 1 6 25.
2
1 25 1 5 x , 2 1 2
ax2 bx c 0 （a 0）.
求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1= -2 , = x2 = . = .
即
b b 4ac . x 2 2a 4a
2 2
②
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
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说明：二次项系数是字母时，一定要注意 根的判别式是二次项系数≠0的情况下运用 的，本例中的k≠0不能忽略。
例3、已知关于x的方程, 证明:不论m为何值,这个方程 总有两个不相等的实数根
解: 4m 4 2m 4 2 4m 8m 16
方程有两个相等的实数根.
△ ＜０
一元二次方程没有实数根
例1. 当k为何值时，关于x的方程 x2+(1-2k)x+k2-1=0有两个相等的实数根？
△ =(1-2k)2-4×1×(k2-1)=5-4k 解：
令5-4k=0
5 得k= 4 5 ∴当k= 4时, 方程有两个相等的实数根.
1、不解方程，判别下列方程根的情况 (1)x2＋3x－1＝0 (2)x2-6x+9＝0 (3)2y2-3y+4=0 (4)x2＋5＝2 5 x
（3）方程没有实数根，
2 m 1 x 2mx m 2 0 3.一元二次方程
有两个不等的实数根,则m的取值 范围是______________
解 2m 4m 1m 2
2
变
4m 8 0 m 2
又 m 1 0即m 1
2
当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 4ac 0
2 2
时，方程有两个相等的实数根；
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根.
不解方程,判别方程 5x 2 1 x 0 的根的情况______________
解 : 5x x 5 0
2
b 4ac 1 4 5 5 101 0
高手过招： 1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且 关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个 相等的实数根． 求证：这个三角形是直角三角形．
2：已知关于x的方程：
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根，
（2）方程有两个相等的实数根，
2.当k为何值时，关于x的方程 kx2+kx+2-k=0有两个相等的实数 根？ 此时方程的根是多少呢?
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根
解：由定义可知，k≠0 △=[-(2k+1)]2-4k2=4k+1 （1）∵方程有两个不相等的实数根。 1 ∴ 0 即 4k 1 0 ∴ k 4 k 0 k 0 k 0 1 ∴k> 且k≠0
2
x 2mx 2m 4 0
2
4 m 2m 1 12 2 4m 1 12 0
2
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根
例 4 、已知： a 、 b 、 c 是△ ABC 的 三边，若方程b(x2－1)－2ax+c(x2+1)=0 有两个等根，试判断△ ABC 的形 状.
(1)
当b2-4ac＞0时
b b 2 4ac x 2a
根的判别式(△)： 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)
当b2-4ac=0时 方程有两个相等的实数根.
b x1=x2= 2a 当b2-4ac<0时
(3)
一元二次方程没有实数根
根据△的值的符号，可以确定一元二次方 程根的情况． 反过来，也可由 一元二次方程根的情况 来确定△的值的符号． 即有： △ ＞０ 方程有两个不相等的实数根 △ ＝０
4m 4m 4m 8
2 2
m 2且m 1
1.求判别式时，应该先将方程化为一 般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提 条件为 “方程是一元二次方程”，即 二次项系数不为0.
大丰市三龙初级中学 陈志军
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 4、写出方程的解x1与x2.
2
方程根的情况：
当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数 根；
4
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根。 ∴△=0，即4k+1=0
1 ∴k= 4
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根，分别求k的取值范围。
2 2
原方程有两个不相等的 实数根
练习： 不解方程，判别下列方程根的情况
(1)2x2＋3x－4＝0
(2)16y2＋9＝24y
(3)5(x2＋1) －7x＝0
由此说明, 可以根据b2-4ac的符号来判断一 元二次方程根的情况， 代数式b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式， 可用符号 “△”表示．